В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура в удивительно краткой и оригинальной статье в журнале Physical Review Letters нашли точное решение уравнения Кортевега – де Фриза (КдФ) на вещественной оси
\[
q_{t}+\alpha q q_{x}+q_{x x x}=0
\]

в классе функций, достаточно быстро стремящихся к конечному пределу при $|x| \rightarrow \infty$. В своей работе они полагали $\alpha=-6$, но простым изменением масштаба $q: q \rightarrow-\alpha q / 6$ можно сделать $\alpha$ любым удобным числом. Эта статья явилась кульминацией исследований этих авторов о свойствах уравнения КдФ (Миура [1968], Миура и др. [1968], Су и Гарднер [1969], Крускал и др. [1970], Гарднер [1971 ], Гарднер и др. [1974 I). В этих статьях выводятся многие свойства уравнения КдФ, которые, как теперь известно, характерны для целого класса разрешимых уравнений в частных производных. (См. замечание к гл. 3.1.1.)

Они показали, например, что уравнение КдФ на вещественной прямой имеет бесконечное число законов сохранения, которые мы подробно обсудим в разд. 3.5. Миура, исследуя сохраняющиеся плотности для уравнения КдФ и соответствующее бесконечное множество для модифицированного уравнения КдФ (мКдФ)
\[
v_{t}-\beta v^{2} v_{x}-\frac{1}{-} v_{x x x}=0,
\]

нашел преобразование, связывающее решения двух уравнений (Миура [1968]):
\[
q=\frac{1}{\alpha}\left(-\beta v^{2}+\varepsilon(6 \beta)^{1 / 2} v_{x}\right), \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

Подстановка (3.1.3) в (3.1.1) показывает, что
\[
q_{t}+\alpha q q_{x}+q_{x x x} \equiv \frac{1}{\alpha}\left(-2 \beta v+\varepsilon(6 \beta)^{1 / 2} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(v_{t}+\beta v^{2} v_{x}+v_{x x x}\right) .
\]

Ясно, что если $v$ является решением уравнения (3.1.2), то $q$, определенное при помощи (3.1.3), является решением уравнения КдФ (3.1.1). Преобразование (3.1.3) представляет собой половину преобразования Бэклунда, которое в общем случае определяет соответствие (а не отображение) между решениями одного и того же уравнения или двух различных уравнений. Другую половину преобразования можно получить, повторяя подстановку (3.1.3) в (3.1.2) до тех пор, пока не исключатся все производные функции $v$ по $x$. Полученное таким образом полное преобразование Бэклунда состоит из пары дифференциальных уравнений в частных производных:
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=\frac{\varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\alpha q+\beta v^{2}\right), \\
v_{t}=-\frac{\alpha \varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\frac{1}{3} v^{2} \beta q+q_{x x}+\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} \varepsilon v q_{x}+\frac{\alpha q^{2}}{3}\right) .
\end{array}
\]

В гл. 6 приводится полное исследование преобразований Бэклунда и их связи с точно решаемыми уравнениями системы ЗШ-АКНС. Здесь важно заметить, что условия полной интегрируемости уравнений (3.1.5), т. е. $v_{x t}=v_{t x}$, удовлетворяются, если $q$ является решением уравнения КдФ (3.1.1).

Прежде чем продемонстрировать это, приведем преобразование (3.1.5) к более общему виду, используя инвариантность уравнения (3.1.1) относительно преобразования Галилея:
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+\alpha \lambda t, \\
t^{\prime}=t, \\
q^{\prime}=q+\lambda .
\end{array}
\]

Здесь $\lambda$ – любое вещественное число. Эта симметрия уравнения КдФ, примененная к (3.1.5), позволяет обобщить преобразования Бэклунда, включив в них произвольный параметр $\lambda$. Уравнения (3.1.5) приобретают вид
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=\frac{\varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\alpha(q-\lambda)+\beta v^{2}\right) \\
v_{i}=\frac{-\alpha \varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\frac{1}{3}(q+2 \lambda)\left(\alpha(q-\lambda)+\beta v^{2}\right)+q_{x x}+\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} \varepsilon v q_{x}\right) .
\end{array}
\]

Здесь в обозначениях переменных штрихи опущены. Условие полной интегрируемости уравнений (3.1.7), (3.1.8) требует, чтобы $v_{x t}=v_{t x}$. Несложные вычисления с использованием (3.1.7), (3.1.8) показывают, что
\[
\begin{array}{r}
v_{x t}=\frac{\varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\alpha q_{t}-\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} \varepsilon v \alpha\left(\frac{1}{3}(q+2 \lambda)\left(\alpha(q-\lambda)+\beta v^{2}\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+q_{x x}+\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} v q_{x} \varepsilon\right)\right),
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
v_{t x}= & \frac{-\alpha \varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(q_{x}\left(\alpha(q-\lambda)+\beta v^{2}\right)+\frac{\alpha}{3}(q+2 \lambda) q_{x}+q_{x x x}+\right. \\
& +\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} \varepsilon v q_{x x}+\frac{\varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\alpha(q-\lambda)+\beta v^{2}\right)\left(\frac{2 \beta}{3} v(q+2 \lambda)+\right. \\
& \left.\left.+\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} q_{x} \varepsilon\right)\right)
\end{aligned}
\]

Заметим, что когда мы берем частную производную по $x$ от функций, зависящих от $x, \partial / \partial x$ на самом деле является полной производной, т. е. если обозначить этот оператор $\frac{\partial^{\dagger}}{\partial x}$, то для данного примера будет выполняться равенство
\[
\frac{\partial^{\dagger}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}+q_{x} \frac{\partial}{\partial q}+q_{x x} \frac{\partial}{\partial q_{x}}+q_{x x x} \frac{\partial}{\partial q_{x x}}+v_{x} \frac{\partial}{\partial v} .
\]

Сравнивая два выражения в (3.1.9), мы находим, что система (3.1.7), (3.1.8) вполне интегрируема, если $q$ является решением уравнения КдФ (3.1.1). Преобразование уравнения КдФ в такое уравнение, для которого функция $v$ является решением, можно получить, используя уравнение (3.1.7) для исключения $q$ из (3.1.8). В результате получится уравнение
\[
v_{t}+\alpha \lambda v_{x}-\beta v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0,
\]

которое просто связано с уравнением мКдФ и совпадает с ним при $\lambda=0$. Таким образом, преобразование Бэклунда (3.1.7), (3.1.8) связывает уравнение КдФ с однопараметрическим семейством уравнений мКдФ (3.1.11) ( $\alpha$ и $\beta$ предполагаются фиксированными). Мы полагали $\alpha$ и $\beta$ произвольными в этом тексте, так что читателю будет легче сравнивать исследования разных авторов, встречающиеся в литературе.

Есля предположить, что $q$ – известное решение, то уравнения (3.1.7), (3.1.8) представляют собой примеры уравнений Риккати. Это означает, что они являются уравнениями первого порядка с квадратичной нелинейностью. В частности, они могут быть линеаризованы изменением зависимой переменной. Положим в уравнениях (3.1.7), (3.1.8)
\[
v=\gamma \frac{\psi_{x}}{\psi}
\]

и выберем $\gamma$ так, чтобы квадратичный член в (3.1.7) исчез. Оказывается, что
\[
\gamma=-\varepsilon\left(\frac{6}{\beta}\right)^{1 / 2}
\]

Уравнение (3.1.8) превратится в уравнение
\[
\psi G_{x}-\psi_{x} G=0,
\]

где
\[
G \equiv \psi_{t}-\frac{\alpha}{6} q_{x} \psi+\frac{\alpha}{3}(q+2 \lambda) \psi_{x} .
\]

После интегрирования уравнения (3.1.14) преобразованные уравнения (3.1.7), (3.1.8) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\psi_{x x}+\frac{\alpha}{6} q \psi=\frac{\alpha k^{2}}{6} \psi, \\
\psi_{t}+\frac{\alpha}{3}\left(q+2 k^{2}\right) \psi_{x}+\left(f(k, t)-\frac{\alpha}{6} q_{x}\right) \psi=0,
\end{array}
\]

где $k^{2}=\lambda$ и $f$ – произвольная функция от переменных $t$ и $k$.
Уравнение (3.1.15) является уравнением Шрёдингера, о котором шла речь в разд. 2.41 Однако теперь уравнение (3.1.15) это уравнение в частных производных, хотя переменная $t$ появляется здесь только в качестве параметра. Для того, чтобы продолжить сравнение с содержанием разд. 2.4, используем инвариантность уравнения (3.1.11) относительно замены $v \rightarrow-v$. Если применить эту тривиальную симметрию к уравнениям (3.1.7), (3.1.8) и определить $Q$ как соответствующее решение уравнения КдФ, то
\[
\begin{array}{c}
-v_{x}=\frac{\varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\alpha(Q-\lambda)+\beta v^{2}\right), \\
v_{t}=\frac{\alpha \varepsilon}{(6 \beta)^{1 / 2}}\left(\frac{1}{3}(Q+2 \lambda)\left(\alpha(Q-\lambda)+\beta v^{2}\right)+Q_{x x}-\left(\frac{2 \beta}{3}\right)^{1 / 2} \varepsilon v Q_{x}\right) .
\end{array}
\]

Из (3.1.7) и (3.1.17) немедленно получается, что
\[
v_{x}=\frac{\alpha_{\varepsilon}}{2(6 \beta)^{1 / 2}}(q-Q) .
\]

Если мы введем функции
\[
\omega=\frac{1}{2} \int_{-\omega}^{x} q(y) d y+\mu, \quad W=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} Q(y) d y-\mu
\]
c
\[
\mu=\frac{\varepsilon}{\alpha}\left(\frac{3 \beta}{2}\right)^{1 / 2} v(-\infty),
\]

то получим из (3.1.19) и (3.1.7), (3.1.8) (или из (3.1.17), (3.1.18)) пару уравнений в частных производных, связывающую два решения уравнения КдФ:
\[
\begin{array}{c}
(W+w)_{x}=k^{2}-\frac{\alpha}{6}(W-w)^{2}, \\
(W-w)_{t}=\frac{\alpha^{2}}{6}(W-w)^{2}(W-w)_{x}-\alpha k^{2}(W-w)_{x}-(W-w)_{x x x} .
\end{array}
\]

При получении (3.1.22) мы использовали (3.1.21), так что мы можем записать окончательный вид уравнения в симметричной форме. Уравнения (3.1.21), (3.1.22) представляют собой автопреобразование Бэклунда для уравнения КдФ (3.1.1). (См. замечание 1.2. кгл. 3.) Это значит, что оно преобразует одно решение этого уравнения в другое решение того же самого уравнения. Впервые его вывели Уолквист и Эстабрук [1973]. Уравнение (3.1.21) совпадает с уравнением (2.4.33) при $k=i k$ и $\alpha=-6$. Использование преобразования (3.1.21), (3.1.22) при получении решений уравнения КдФ исследуется в задачах в конце главы.

Завершая этот раздел, обратимся к уравнениям (3.1.15), (3.1.16). Исключая из этих уравнений $q$, найдем, что $\psi$ является решением уравнения
\[
\psi \psi_{t}+\alpha k^{2} \psi \psi_{x}-3 \psi_{x} \psi_{x x}+f \psi^{2}+\psi \psi_{x x x}=0 .
\]

Таким образом, система уравнений (3.1.15), (3.1.16) является преобразованием Бэклунда между уравнением КдФ (3.1.1) и уравнением (3.1.23). Этот факт обычно не подчеркивается в литературе.
Из уравнений (3.1.11) и (3.1.19) видно, что
\[
Q-q=\frac{12}{\alpha}(\log \psi)_{x x} \text {. }
\]

Поскольку $q=0$ является решением уравнения КдФ, уравнение (3.1.24) можно использовать для конструирования дальнейших решений уравнения КдФ рекуррентным методом. Все они будут иметь следующий вид:
\[
q=\frac{12}{\alpha}(\log \varphi)_{x x}
\]

Легко показать, что $\varphi$ удовлетворяет уравнению
\[
\varphi \varphi_{x t}-\varphi_{x} \varphi_{t}+3 \varphi_{2 x}^{2}+\varphi \varphi_{4 x}-4 \varphi_{x} \varphi_{3 x}=0,
\]

если подставить (3.1.25) в уравнение (3.1.1). Уравнение (3.1.26) было выведено Хиротой [1971] при помощи преобразования (3.1.25). Проведенный им анализ этого уравнения приводит к подмножеству решений уравнения КдФ, состоящему из так называ
емых $N$-солитонных решений, как мы уже видели в гл. 1. Эти решения возникают как самая важная компонента общего решения, выведенного Гарднером и др. [1967]. В частности, отметим, что если $q=0$ (см. 3.1.15) и (2.4.6)), то решение $Q$, порожденное преобразованием Бэклунда, обязано быть безотражательным потенциалом $\mathrm{sech}^{2}$, о которой шла речь в разд. 2.4.

В этом разделе мы попытались показать взаимосвязь симметрий и преобразований Бэклунда между уравнением КдФ и некоторыми другими нелинейными уравнениями. Мы хотели бы подчеркнуть тот факт, что (3.1.7), (3.1.8) и связанные с ними уравнения, в частности (3.1.15) и (3.1.16), интерпретируются как преобразования Бэклунда.