Этот метод аппроксимирует точное решение $u(x, i)$ приближснным решением $\tilde{u}$, определеным на конечномерном подпространстве (обычно только по переменной $x$ ):
\[
u(x, t) \approx \tilde{u}(x, t)=\sum_{i=0}^{n} c_{i}(t) \varphi_{i}(x) .
\]

Функцни $\varphi:(x)$ обрауют соответстующим образом выбранный базис. Обысно в качестве этих функцй выбнравте тригонометрическе функшии, что приводит к консчному преобразованию Фурье, т. е. к спектралному методу. Другой популярый зыбор связан с кусочно полиномиальнми рушкциями с локапьным базисо; это так называемый метод конечих элементов. В простейшем варианте последнего метода функция $\tilde{n}$– кусочно липейная функция, а базисные функции яң ( $x$ ) суть так пазываемые

Рис. 10.1. Базиснье функции для кусочполинейного лриблтжнного решепия $\tilde{u}$.
«шапочки», представленные на рис. 10.1 и оиисываемые уравпениями
\[
\Psi_{i}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(x-x_{i-1}\right) /\left(x_{i}-x_{i-1}\right) & \text { при } x_{i-1} \leqslant x<x_{i}, \\
\left(x_{i+1}-x\right) /\left(x_{i+1}-x_{i}\right) & \text { при } x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}, \\
0 & \text { во всех других точках. }
\end{array}\right.
\]

Здесь $x_{i}$ суть «узлы» или точки, в которых производная $\tilde{u}$ становится разрывной; обычно эти точки располагаются на равных расстояних цруг от цруга. Подобные диаграммы можно нарисовать для базнсных фуикций, являюцихся кусочно полнномиальнымн. Существенным иоментом в выборе базисных функций является то, что оии ненулевые лишь в небольцой области оси $x$. Это ведет к эффективной чнсленной ббработке получающейся снстемы совместных уравиений.

Қак толєко сиециальный выбор подпространства сделан, то подсталяя (10.2.3) в (10.2.1) и предполагая, что функции $q_{i}(x)$ ныбраны удовлетворяюцими граничиым условиям, получим
\[
\sum_{i}^{n} \dot{c}_{i}(i) \varphi_{i}(x)-L\left\{\sum_{i}^{n} c_{i}(t) \varphi_{i}(x)\right\}=r(x, t),
\]

где тока обозначает дифференцирование по $t$. Если бы $\tilde{u}$ было точным решешием, то остаток $r(x, i)$ был бы равен нулю. Для того чтобы получить уравнения для коэффициентов $c_{i}(t)$, мы потребуем, чтобы остаток был в некотором смысле малым. Обычно для этих целей испольуется подол Галёркина, заключающийся в требовании, чтобы выполнялись равенства
\[
\int r(x, t) \psi_{j}(x) d x=0, \quad j-0,1, \ldots, n,
\]

где фупкции $\psi ;(x)$ известны как пробные функции. Часто. но ие всегда; в качестве этих пробных функіий выбирактся базисные дуукцни $\varphi_{i}(x)$. Условия (10.2.6) приводят к системе обыкновенных дифференцильвы уравнений для коэффициенгов $c_{i}(t)$. Здеся интеграл берется по конечной обльсти, вне которой функтня $и$ преднолагаегся равной нулю.

Рассмотрим в качсстве примера линейное уравґение топлоироводности лия случая, когда базисные н пробные руиктин нмеют вид (10.2.4), а узлы внбираются на расстолини h дpyr от груга. В этом случае интеграны в.(10.2.6) легко вычнсльнот, и полученные обыкновенные дифференциалыс уравнения представляотся в тридиагональном виде
\[
\dot{c}_{i-1}+4 \dot{c}_{i}+\dot{c}_{i+1}=\frac{6 a}{h^{2}}\left(c_{i-1}-2 c_{i}+c_{i+1}\right), \quad i=1, \ldots, n .
\]

Существенный отход от строгого определения метода Галёркипа касается обрацения с нелинейпыми џенами в интегралс (10.2.6). Члены вида
\[
\int F\left\{\sum_{0}^{n} c_{i}(l) \psi_{i}(x)\right\} \psi_{j}(x) d x
\]

где $F^{\prime}(\hat{u})$ – нелинейлая функцня, вычислиотс с помощью числснных квадратур. Вместо зтого можно воспользоваться методом Так называемой \”ялпроксимации произведением» (Қристи и др. [1981]) и заменить (10.2.8) на
\[
\sum_{i=0}^{n} F\left(c_{i}\right) \int \varphi_{i}(x) \psi_{j}(x) d x .
\]

Метод аппроксимации произведением, примснлемьй с локальными базисными функциями, подобными шапочками, но очевидным причинам дает значительно более простой алгорнтм и даже, в некоторых случаях, неожиданиую выгоду – высокую точность. Полезный обзор метода конечных элемснгов для солитонных уравнений опбликован Митчеллом и Шумби [1981].

Другой подход к (10.2.6) состонт в том, чтобы положнть остаток равным нулю на множестве точек $x_{0}, \ldots, \dot{x}_{n}$,
\[
r\left(x_{j}, t\right)=0, \quad j=0,1, \ldots, n .
\]

Это метод коллокации: хотя в настояпее время он мало используюся для уравнений с частними производиыми, он прнобретыет попуиярность для обыкшовенны дифференшильных уравнений. Метод коликаци формально зквивалентен методу Галёркина, єсли в качестве пробных функций выбираются 8-фупкции Дирака.