Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Этот метод аппроксимирует точное решение $u(x, i)$ приближснным решением $\tilde{u}$, определеным на конечномерном подпространстве (обычно только по переменной $x$ ): Функцни $\varphi:(x)$ обрауют соответстующим образом выбранный базис. Обысно в качестве этих функцй выбнравте тригонометрическе функшии, что приводит к консчному преобразованию Фурье, т. е. к спектралному методу. Другой популярый зыбор связан с кусочно полиномиальнми рушкциями с локапьным базисо; это так называемый метод конечих элементов. В простейшем варианте последнего метода функция $\tilde{n}$— кусочно липейная функция, а базисные функции яң ( $x$ ) суть так пазываемые Рис. 10.1. Базиснье функции для кусочполинейного лриблтжнного решепия $\tilde{u}$. Здесь $x_{i}$ суть «узлы» или точки, в которых производная $\tilde{u}$ становится разрывной; обычно эти точки располагаются на равных расстояних цруг от цруга. Подобные диаграммы можно нарисовать для базнсных фуикций, являюцихся кусочно полнномиальнымн. Существенным иоментом в выборе базисных функций является то, что оии ненулевые лишь в небольцой области оси $x$. Это ведет к эффективной чнсленной ббработке получающейся снстемы совместных уравиений. Қак толєко сиециальный выбор подпространства сделан, то подсталяя (10.2.3) в (10.2.1) и предполагая, что функции $q_{i}(x)$ ныбраны удовлетворяюцими граничиым условиям, получим где тока обозначает дифференцирование по $t$. Если бы $\tilde{u}$ было точным решешием, то остаток $r(x, i)$ был бы равен нулю. Для того чтобы получить уравнения для коэффициентов $c_{i}(t)$, мы потребуем, чтобы остаток был в некотором смысле малым. Обычно для этих целей испольуется подол Галёркина, заключающийся в требовании, чтобы выполнялись равенства где фупкции $\psi ;(x)$ известны как пробные функции. Часто. но ие всегда; в качестве этих пробных функіий выбирактся базисные дуукцни $\varphi_{i}(x)$. Условия (10.2.6) приводят к системе обыкновенных дифференцильвы уравнений для коэффициенгов $c_{i}(t)$. Здеся интеграл берется по конечной обльсти, вне которой функтня $и$ преднолагаегся равной нулю. Рассмотрим в качсстве примера линейное уравґение топлоироводности лия случая, когда базисные н пробные руиктин нмеют вид (10.2.4), а узлы внбираются на расстолини h дpyr от груга. В этом случае интеграны в.(10.2.6) легко вычнсльнот, и полученные обыкновенные дифференциалыс уравнения представляотся в тридиагональном виде Существенный отход от строгого определения метода Галёркипа касается обрацения с нелинейпыми џенами в интегралс (10.2.6). Члены вида где $F^{\prime}(\hat{u})$ — нелинейлая функцня, вычислиотс с помощью числснных квадратур. Вместо зтого можно воспользоваться методом Так называемой \»ялпроксимации произведением» (Қристи и др. [1981]) и заменить (10.2.8) на Метод аппроксимации произведением, примснлемьй с локальными базисными функциями, подобными шапочками, но очевидным причинам дает значительно более простой алгорнтм и даже, в некоторых случаях, неожиданиую выгоду — высокую точность. Полезный обзор метода конечных элемснгов для солитонных уравнений опбликован Митчеллом и Шумби [1981]. Другой подход к (10.2.6) состонт в том, чтобы положнть остаток равным нулю на множестве точек $x_{0}, \ldots, \dot{x}_{n}$, Это метод коллокации: хотя в настояпее время он мало используюся для уравнений с частними производиыми, он прнобретыет попуиярность для обыкшовенны дифференшильных уравнений. Метод коликаци формально зквивалентен методу Галёркина, єсли в качестве пробных функций выбираются 8-фупкции Дирака.
|
1 |
Оглавление
|