В последних двух разделах мы ограничивались случаем единственной функции $Q$ и рассматривали поведение этой функции и соответствующих решений Йоста для уравнения Шрёдингера только в зависимости от $x$. Конечно, самое интересное для нас в линейном уравнении Шрёдингера — научиться решать те нелинейные уравнения, которые могут быть ассоциированы с ним в том смысле, как это было изложено в разд. 3.2. Там мы показалй, что иерархия Лакса уравнений КдФ представляет собой одно из таких семейств. В этом разделе мы получим очень большое семейство уравнений, которые могут быть ассоциированы с уравнением Шрёдингера и, кроме того, поддаются решению. Эти два свойства на самом деле связаны между собой; разрешимые уравнения всегда ассоциированы.

Отложим подробное обсуждение обратного метода до следующей главы. Однако некоторые общие представления о методе понадобятся для того, чтобы понять, насколько обширный класс разрешимых уравнений может быть получен. По существу метод состоит в получении уравнений, управляющих эволюцией данных рассеяния, заданных в начальный момент: $S_{+}\left(t_0\right)=\{{\lambda }_j\left(t_0\right)$, $D_{+j}\left(t_0\right),R_{+}(k,t_0),j=1,\dots ,M,k\in R\}$ — для данного потенциала $Q(x,t_0)$. Если $S_{+}$подчиняется некоторым условиям, то, как мы увидим, функция $Q$ определяется по $S_{+}$единственным образом для любого значения параметра $t$. Если эволюционное уравнение для данных рассеяния может быть решено, то функция $Q$ единственным образом определяется для последующих моментов времени. Тем самым мы решим задачу с начальными условиями для уравнения, которому удовлетворяет функция $Q$, с начальными условиями $Q(x,t_0)$. Эволюционные уравнения для данных рассеяния — уравнения первого порядка и включают билинейные функционалы решений Поста. В общем случае мы не можем надеяться на какие-либо упрощения, потому что $Q$ может удовлетворять любому нелинейному уравнению с заранее заданными граничными условиями, состоящими в том, что $Q$ вместе со своими производными по $x$ и по $t$ стремится к нулю «достаточно быстро» при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Однако если мы ограничимся некоторым классом уравнений, для которых эволюционное уравнение данных рассеяния линейно, то они могут быть решены, из чего дальше последует решение $Q$ для любого момента времени.

В работе Абловица с соавторами [1974] подчеркивается, что эту процедуру можно рассматривать как нелинейный аналог анализа Фурье. В самом деле, процедура, превращающая эволюционные уравнения для данных рассеяния в линейные, включает нахождение функции, в сущности являющейся дисперсионным соотношением линеаризованного уравнения, которому удовлетворяет функция $Q$. Все это подробно обсуждается в настоящем разделе. Кроме того, мы используем теорию сплетающих операторов, кратко описанную в предыдущем разделе, для того, чтобы развить теоретико-операторный подход для получения эволюции данных рассеяния из пары Лакса, связанной с данным разрешимым уравнением.

Функция $Q$ в общем случае может зависеть не только от $x,t$, но и от еще нескольких пространственных переменных $y=(y_1,\dots$ $\dots ,y_n)$, и решения Йоста в этом случае тоже могут зависеть от этих дополнительных переменных. Сейчас нам будет удобно рассматривать $k$ как функцию от переменных $(t,y)$. Сначала мы будем предполагать, что функция $Q$ и решения Йоста как функции от этих переменных принадлежат $C^1$. Это означает, что мы требуем существования и непрерывности частиы производных по $t$ и $y$. Вдобавок мы потребуем, чтобы функция $Q$ принадлежала пространству $C^{\mathrm{\infty }}$ по переменной $x$ и чтобы функция $Q$ и ее производные «достаточно быстро» стремились к нулю при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Из дальнейшего будет ясно, почему мы требуем выполнения именно этих условий. Мы выо́ираем такие обозначения, что если $p\in {\mathbb{F}}^{n+2}$, то ее локальные координаты будут $(x,t,y)$. Пусть отображение $C$ :’ $\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{n+1}$ определяет кривую в пространстве ${\mathbb{K}}^{n+1},t=t(u)$, $y=y(u)$.

Эта кривая может быть превращена в кривую $C_{x_0}^{\ast }$ в пространстве ${\mathbb{R}}^{n+2}:x=x_0,t=t(u),y=y(u)$. Пусть $C^{\ast }=\{C_{x_0}^{\ast }:x_0\in$ $\in \mathbb{R},C$ — любая кривая в ${\mathbb{R}}^{n+1}\}$. Если $f\in C^1({\mathbb{R}}^{n+1},\mathfrak{K})$, тогда производная от $f$ вдоль любой кривой из семейства $C^{\ast }$ вычисляется по формуле
$$\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{dt(u)}{du}\cdot \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{dy(u)}{du}\cdot \frac{\partial f}{\partial y},$$

где $t=t(u),y=y(u)$ — параметризация выбранной кривой. Точка в формуле (3.5.1) обозначает обыкновенное скалярное произведение. Таким образом, $(0,dt(u)/{du|}_{u=0},dy(u)/{du|}_{u=0})-$ компоненты касательного вектора к кривой $C_{x_0}^{\ast }$ в точке $p_0=$ $=\{x_0,t_0=t(0),y_0=y(0)\}$. Ясно, что производная функций $f$ вдоль любой кривой семейства $C^{\ast }$ в точке $p_0$ будет иметь вид (3.5.1), и, таким образом, мы сможем написать
$$X_{p_0}(f)=(({\pi }^{\ast }{X}^t(x_0,t_0,y_0)\frac{\partial }{\partial t}+{\pi }^{\ast }{X}^y(x_0,t_0,y_0)\cdot \frac{\partial }{\partial y})f$$

где ${\pi }^{\ast }{X}^t=X^t{}_0\pi ,X^t$ и $X^{y_i}$ — произвольные функции на пространстве ${\mathbb{R}}^{n+1}$ и $\pi$ — проекция $\pi (x,t,y)=(t,y)$. Отсюда следует, что
$$X={\pi }^{\ast }{X}^t\frac{\partial }{\partial t}+{\pi }^{\ast }{X}^y\frac{\partial }{\partial y}$$

определяет векторное поле над ${\mathbb{R}}^{n+2}$, если $X^t$ и $X^y$ — заданные функции на ${\mathbb{R}}^{n+1}$. Решение уравнений
$$\frac{dt}{du}=X^t,\frac{dy}{du}=X^y$$

позволяет получить семейство орбит или кривых, параметризованное переменной $x$ и имеющее касательные векторы, определяемые (3.5.3). Рассмотрим теперь графики функций $k:{\mathbb{R}}^{n+1}\to C$. Введем многообразие $J^0(R^{n+1},C)$ с локальными координатами $(t,y,k)$. Кривые на $J^0({\mathbb{R}}^{n+1},C)$ могут быть превращены в кривые на $J^0({\mathbb{R}}^{n+1},C)\times \mathbb{R}$, и для этого случая мы получим векторные поля
$$X={\pi }^{\ast }{X}^t(\frac{\partial }{\partial t}+k_t\frac{\partial }{\partial k})+{\pi }^{\ast }{X}^y\cdot (\frac{\partial }{\partial y}+k_y\frac{\partial }{\partial k})$$

$(\pi (x,t,y,k,k_t,k_y)=(t,y)$ на $J^1({\mathbb{R}}^{n+1},C)\times \mathbb{R}$ соответствует функциям $X^t,X^{y_i}$, определенным на пространстве ${\mathbb{K}}^{n+1}$ ).

В классическом случае обычно имеют дело с вариациями, если хотят вычислить производную по произвольному направлению. Поэтому мы введем обозначения $\delta$ и $\mathrm{\Delta }$ для дифференциальных операторов, отображающих функции на $J^0({\mathbb{k}}^{n+1},C)\times R$ в множество функций на $J^1({\mathbb{K}}^{n+1},C)\times \mathbb{R}$ :
$$\begin{array}{l}\delta ={\pi }^{\ast }{X}^t(\frac{\partial }{\partial t}+k_t\frac{\partial }{\partial k})+{\pi }^{\ast }{X}^y\cdot (\frac{\partial }{\partial y}+k_y\frac{\partial }{\partial k}),\\ \mathrm{\Delta }=\delta -\delta k\frac{\partial }{\partial k}.\end{array}$$

Обычно преобразование ${\pi }^{\ast }$ в выражении (3.5.6) опускают. Мы будем кроме того использовать $\mathrm{\Delta }$ для обозначения соответствующего оператора, действующего на функциях, определенных на ${\mathbb{R}}^{n+1}$, а именно оператора
$$X^t\frac{\partial }{\partial t}+X^y\cdot \frac{\partial }{\partial y}.$$

Из определения операторов $\delta$ и $\mathrm{\Delta }$ следует, что они коммутируют с оператором $\partial /\partial x$.

Для получения вариации $\mathrm{\Delta }$ данных рассеяния примем процедуру, предложенную Флашкой и Ньюэллом [1975]. Фундаментальное матричное решение
$$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{ll}\phi & \overline{\phi }\\ {\phi }_x& {\overline{\phi }}_x\end{array}\right)$$

как показано в разд. 3.3, удовлетворяет уравнению
$${\mathrm{\Phi }}_x=\mathbf{P}\mathrm{\Phi }\equiv (Q\sigma -\mathbf{B}(k))\mathrm{\Phi },\mathrm{Im}k=0,$$

где
$$\mathbf{B}(k)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ k^2& 0\end{array}\right)\text{ и }\sigma =\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Обратную к Ф можно найти, если использовать значение вронскиана $W({}_k\phi ,{}_k\overline{\phi })=2ik$ :
$${\mathrm{\Phi }}^{-1}=\frac{1}{2ik}\left(\begin{array}{cc}{\overline{\phi }}_x& -\overline{\phi }\\ -{\phi }_x& \phi \end{array}\right).$$

Построив вариацию $\mathrm{\Delta }$ из (3.5.8) и умножив слева на ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$, получим
$${\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Phi }}_x={\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathbf{P}\mathrm{\Phi }+{\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathbf{P}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\text{. }$$

Дифференцируя равенство $\mathrm{\Phi }{\mathrm{\Phi }}^{-1}=1$ по $x$, разрешая его относительно ${\mathrm{\Phi }}_x^{-1}$ и используя (3.5.8), получим
$${\mathrm{\Phi }}_x^{-1}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-{\mathrm{\Phi }}^{-1}{\mathrm{\Phi }}_x{\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-{\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathbf{P}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }.$$

Комбинируя (3.5.10) и (3.5.11) и интегрируя по $x$ вдоль всей оси $\mathbb{R}$, получаем в результате выражение
$${{\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }|}_{x=-\mathrm{\infty }}^{x=\mathrm{\infty }}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q\left({\mathrm{\Phi }}^{-1}\sigma \mathrm{\Phi }\right)dx.$$

Поскольку фундаментальные матричные решения линейно зависимы для вещественного $k$, то
$$\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Psi }\mathbf{A},\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}b& \overline{a}\\ a& \overline{b}\end{array}\right),$$

где А-матрица, введенная в разд. 3.3. Следовательно, (3.5.12) приобретает вид
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{-1}\left({\mathrm{\Psi }}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }\right)(x=+\mathrm{\infty })\mathbf{A}-& \left({\mathrm{\Phi }}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\right)(x=-\mathrm{\infty })=\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q\left({\mathrm{\Phi }}^{-1}\sigma \mathrm{\Phi }\right)dx.\end{array}$$

Для того, чтобы обеспечить существование интегралов в (3.5.12) и (3.5.14), введем условие, что $\mathrm{\Delta }Q\to 0$ «достаточно быстро» при $|x|\to \mathrm{\infty }$, которое уже встречалось раньше в наших предположениях. Поскольку вариация $\mathrm{\Delta }$ независима от $x$, мы можем поменять местами дифференцирование при помощи $\mathrm{\Delta }$ и знак предела и затем использовать тот факт, что $\mathrm{\Delta }\exp (\pm ikx)=0$. Тогда получим
$${\mathbf{A}}^{-1}\mathrm{\Delta }\mathbf{A}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q\left({\mathrm{\Phi }}^{-1}\sigma \mathrm{\Phi }\right)dx$$

Введем билинейный функционал
$$I_{\mathrm{\Delta }}(u,v)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q(u,v)dx$$

Тогда уравнения (3.5.15) можно переписать в эквивалентной форме:
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }a=-\frac{1}{2ik}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\psi ),\\ \mathrm{\Delta }b=\frac{1}{2ik}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\overline{\psi }).\end{array}$$

Для того, чтобы получить уравнения (3.5.17) и (3.5.18), можно использовать либо выражения для вронскианов (3.3.47)-(3.3.49), либо непосредственно использовать соотношения, которые существуют между фундаментальными матричными решениями Ф и $\mathrm{\Psi }$ и матрицей $\mathbf{A}$, заданные уравнением (3.5.13).

Вариации $\mathrm{\Delta }$ от $\overrightarrow{a}$ и $\overline{b}$ были опущены в (3.5.12), потому что они комплексно сопряжены с $\mathrm{\Delta }a$ и $\mathrm{\Delta }b$. В разд. 3.4 мы определяли данные рассеяния как множество
$$S_{+}=\{{\lambda }_j,D_{+j},R_{+}(k),k\in \mathrm{R},j=1,\dots ,M\}.$$

Это множество состоит из собственных значений и нормировочных «постоянных» собственных векторов оператора L вместе с функцией $R_{+}$, определенной на вещественной оси. Из формул (3.5.17) и (3.5.18) можно сразу получить вариацию $\mathrm{\Delta }$ функции $R$ :
$$\mathrm{\Delta }{R}_{+}=\frac{\mathrm{\Delta }b}{a}-\frac{b}{a^2}\mathrm{\Delta }a=R_{+}(\frac{1}{2ik}\frac{1}{ab}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\phi )).$$

Уравнение (3.5.19) верно для любой функции $Q$, удовлетворяющей условию ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|Q(x)|(1+x^2)dx<\mathrm{\infty }$ и стремящейся к нулю при $|x|\to \mathrm{\infty }$ вместе со своими производными для произвольных величин $t$ и $y$. Поэтому, вообще говоря, (3.5.19) — очень сложное уравнение, которое мы не можем надеяться решить точно, т. е. найти интегрирующий множитель уравнения. Однако если потребовать выполнения дополнительного ограничения
$$\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\phi )-2ikab\mathrm{\Omega }=0,\\ \mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }(k,t,y),\end{array}$$

то тем самым из класса всех возможных уравнений, образованных из функций $Q$, удовлетворяющих этим условиям, мы выделим те, для которых вариация $\mathrm{\Delta }$ функции $R_{+}$задается линейным уравнением:
$$\mathrm{\Delta }{R}_{+}=\mathrm{\Omega }{R}_{+}.$$

В частности, некоторые вариации превращают (3.5.21) в уравнение, допускающее точное решение. Как уже было кратко отмечено в начале этого раздела, в том случае, если уравнение, описывающее эволюцию $S_{+}$, может быть решено, то может быть эффективно решена и задача с начальными условиями для нелинейного уравнения, которому удовлетворяет функция $Q$. Таким образом, вопрос сводится к тому, можем ли мы из (3.5.20) получить такое семейство уравнений, что для любого из них эволюция функции $R_{+}$описывается уравнением (3.5.21)?

Из уравнения Шрёдингера (3.3.1) для обобщенных собственных функций $u,v$ с соответствующими им собственными значениями получим следующие соотношения:
$$\begin{array}{c}-u_{xx}v=(k^2-Q)uv\\ -{\left(u_{xx}v\right)}_x+Q_{x}uv=(k^2-Q)(uv{)}_x\\ (uv{)}_{xx}=u{u}_{xx}v+2u_x{v}_x+u{v}_{xx}=2(Q-k^2)uv+2u_x{v}_x\\ -u_{xx}{v}_x=(k^2-Q)u{v}_x\\ -v_{xx}{u}_x=(k^2-Q)u_{x}v.\end{array}$$

Используя (3.5.23), (3.5.25) и (3.5.26), найдем
$$(u_{xx}v-u_x{v}_x)(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{Q}_{s}uvds+(u_{xx}v-u_x{v}_x)(-\mathrm{\infty }),(3.5.27)$$

а из этого выражения вместе с (3.5.24) и (3.5.22) получим уравнение
$$-\frac{1}{4}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}ds{Q}_s-4Q)uv=k^{2}uv+\frac{1}{2}(u_{xx}v-u_x{v}_x)(-\mathrm{\infty }).$$

В (3.5.28) ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dsQ$ — интегральный оператор, определяемый следующим образом:
$$\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathit{x}}ds{Q}_s\right)u(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathit{x}}{Q}_s(s)u(s)ds.$$

Уравнения (3.5.27) и (3.5.28) — фундаментальные соотношения, выполнения которых мы будем в дальнейшем требовать. В частности, если $u=v=\phi$, то уравнение (3.5.27) приобретает вид
$$ab=\frac{1}{4k^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{Q}_x{\phi }^{2}dx$$

а уравнение (3.5.28) превращается в задачу на собственные значения
$${\mathbf{L}}_1{\phi }^2=k^2{\phi }^2$$

где
$${\mathbf{L}}_1\equiv -\frac{1}{4}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}ds{Q}_s-4Q)$$

Уравнение (3.5.30) позволяет записать ограничение (3.5.20) в следующем виде:
$$\begin{array}{c}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Delta }Q+Q_{x}C){\phi }^{2}dx=0,\\ C(k,t,y)=\frac{i}{2k}\mathrm{\Omega }(k,t,y).\end{array}$$

Вспомним, что наша цель состоит в том, чтобы усилить (3.5.32) и получить разрешимые эволюционные уравнения. Если $C$ :і коэффициенты вариации $\mathrm{\Delta }$ являются функциями только от переменных $t$ и $y$, то требования
$$\mathrm{\Delta }Q+C{Q}_x=0$$

для всех $t$ и $y$ оказывается достаточно для того, чтобы породить нетривиальное эволюционное уравнение, включающее только функцию $Q$ и ее производные и тривиальным образом удовлетворяющее уравнению ограничения. Как можно было бы обобщить этот пример на ситуацию, когда $C$ и $\mathrm{\Delta }$ произвольным образом зависят от $k$ ? Для начала рассмотрим случай, когда $C(k)=-4k^2$ и $\mathrm{\Delta }$ не зависит от $k$. Тогда, если использовать (3.5.31), то (3.5.32) можно записать в следующем виде:
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Delta }Q-4Q_x{\mathbf{L}}_1){\phi }^{2}dx=0.$$

Это выражение имеет правильную форму, но оператор ${\mathbf{L}}_1$ действует на ${\phi }^2$, так что мы не можем просто приравнять нулю содержимое скобки. Поэтому нам нужно перенести действие оператора ${\mathbf{L}}_1$ с функции ${\phi }^2$ на $Q_x$. Если нам удастся это сделать, то скобки в (3.5.34) станут снова независимы от $\phi$ и приравнивание нулю этого выражения будет представлять собой достаточное нетривиальное условие выполнения ограничений (3.5.20). Для того, чтобы перенести действие оператора на $Q_x$, построим сопряженный к оператору ${\mathbf{L}}_1$ оператор ${\mathbf{L}}_1^A$ (см. замечание 1 к разд. 3.5). Определим
$$⟨{\mathbf{L}}_{1}u,Q_{x}v⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathbf{L}}_{1}u{Q}_x{v}^{\ast }dx$$

где $u$ и $v$ — произвольные элементы пространства $L^2(R)$. Заметим, что (3.5.35) корректно определено, даже если $u(x,k)={\phi }^2(x,k)$, $k$ вещественное, вследствие асимптотического поведения функции $Q_x$. Интегрирование по частям показывает, что
$$\begin{array}{l}—\frac{1}{4}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}dy{Q}_x-4Q)u{Q}_x{v}^{\ast }dx=\\ =-\frac{1}{4}{[u_x{Q}_x{v}^{\ast }-u{\left(Q_x{v}^{\ast }\right)}_x-2{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{Q}_s{v}^{\ast }ds{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{Q}_{s}uds]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\\ -\frac{1}{4}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u[\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-4Q+2Q_x{\int }_x^{\mathrm{\infty }}ds]\left(Q_x{v}^{\ast }\right)dx\end{array}$$

Таким образом, получаем
$$\begin{array}{c}⟨{\mathbf{L}}_{1}u,Q_{x}v⟩=⟨u,{\mathbf{L}}_1^A{Q}_{x}v⟩\\ {\mathbf{L}}_1^A\equiv -\frac{1}{4}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-4Q+2Q_x{\int }_x^{\mathrm{\infty }}dy)\end{array}$$

В частности, (3.5.37) справедливо при $v\equiv 1$ и $u={\phi }^2$, так что (3.5.34) может быть записано в виде
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Delta }Q-4{\mathbf{L}}_1^A{Q}_x){\phi }^{2}dx=0.$$

Это ограничение тривиальным образом удовлетворяется, если изменение $Q$ подчиняется уравнению
$$\mathrm{\Delta }Q-4{\mathbf{L}}_1^A{Q}_x=0.$$

Возвращаясь к обозначениям разд. 3.1 и 3.2 , положим $q=-6{\alpha }^{-1}Q$ и выберем $\mathrm{\Delta }=\partial /\partial t$. При этом (3.5.39) приобретает вид
$$q_t+\alpha q{q}_x+q_{xxx}=0,$$

что является уравнением КдФ (3.1.1). Очевидно, что тот же метод позволяет получить нелинейные уравнения, соответствующие случаю, когда $C$ — произвольный вещественный полином от $k^2$. Так, если
$$C(t,y,k^2)=\sum _{i=0}^n{g}_i(t,y)k^{2i},$$

то мы имеем
$$\begin{array}{rl}C(t,y,k^2){\phi }^2& =\sum _{t=0}^{n}g(t,y)k^{2i}{\phi }^2=\\ & =\sum _{i=0}^n{g}_i(t,y){\left({\mathbf{L}}_1\right)}^{2i}{\phi }^2=C(t,y,{\mathbf{L}}_1){\phi }^2.\end{array}$$

Для того, чтобы получить уравнение (3.5.42), мы воспользовались условием дифференцируемости функции $Q$. Основное требование, которое здесь должно выполняться, состоит в том, чтобы $Q$ как функция от $x$ принадлежала $C^{\mathrm{\infty }}$ и как функция от $(t,y)$ принадлежала пространству $C^1$. Вдобавок мы потребуем, чтобы функция $Q$ и ее производные «достаточно быстро» стремились к нулю при $|x|\to \mathrm{\infty }$, с тем чтобы были определены сингулярные интегралы.

Используем эту информацию для получения общего нелинейного уравнения, определенного в (3.5.41). Из (3.5.32) и (3.5.41), (3.5.42) мы имеем
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\mathrm{\Delta }\left({\mathrm{L}}_1^A\right)Q(x,t,y)+C(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)Q_x(x,t,y)]{\phi }^2(x,t,y)dx=0,$$

где
$$\mathrm{\Delta }\left({\mathbf{L}}_1^A\right)\equiv X^t(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)\frac{\partial }{\partial t}+X^y(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)\frac{\partial }{\partial y}$$

и, таким образом, уравнение ограничения тривиально удовлетворяется нелинейным эволюционным уравнением
$$\mathrm{\Delta }\left({\mathbf{L}}_1^A\right)Q(x,t,y)+C(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)Q_x(x,t,y)=0.$$

Более широкий класс нелинейных уравнений, удовлетворяющих уравнению ограничения, можно получить, если предположить, что $C$ — рациональная функция от $k^2,C=C_2/C_1$, где $C_1$ и $C_2$ имеют вид (3.5.41). Тогда соответствующее эволюционное уравнение будет иметь следующий вид:
$$C_1(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)\mathrm{\Delta }\left({\mathbf{L}}_1^A\right)Q(x,t,y)+C_2(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)Q_x(x,t,y)=0.$$

Отсюда следует, что семейство нелинейных эволюционных уравнений, для которых $\mathrm{\Delta }$-эволюция функции $R_{+}$подчиняется линейному уравнению, порождается множеством произвольных вещественных полиномов от $k^2,C_1,C_2$. Более формально $C_1,C_2$ могут считаться произвольными вещественными аналитическими функциями от $k$.

Уравнения можно записать в другой форме, в которой вводится оператор, играющий важную роль в гамильтоновой структуре этого частного случая метода обратной задачи. Пусть $u,v\in$ $ϵL^2($ K ${}^2$. Тогда
$$\begin{array}{rl}⟨u,{\mathbf{L}}_1^A{v}_x⟩& =-\frac{1}{4}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-4Q+2Q_x{\int }_x^{\mathrm{\infty }}ds)\frac{\partial v^{\ast }}{\partial x}dx=\\ & =-\frac{1}{4}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\frac{\partial }{\partial x}(v_{xx}^{\ast }-4Q{v}^{\ast })+2Q_x{v}^{\ast })dx=\\ & =⟨u,\frac{\partial }{\partial x}{\mathbf{L}}_{2}v⟩,\end{array}$$

где
$${\mathrm{L}}_2\equiv -\frac{1}{4}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-4Q-2{\int }_x^{\mathrm{\infty }}ds{Q}_s).$$

Теперь уравнение (3.5.46) можно записать так:
$$C_1(t,y,{\mathbf{L}}_1^A)\mathrm{\Delta }\left({\mathbf{L}}_1^A\right)Q(x,t,y)+\frac{\partial }{\partial x}{C}_2(t,y,{\mathbf{L}}_2)Q(x,t,y)=0.$$

Это получается по индукции, поскольку для любого целого $r$
$$⟨u,{\left({\mathbf{L}}_1^A\right)}^r{v}_x⟩=⟨u,{\left({\mathbf{L}}_1^A\right)}^{r-1}\frac{\partial }{\partial x}\left({\mathbf{L}}_{2}v\right)⟩.$$

Если проделать соответствующие вычисления, принимая во внимание граничные условия на функцию $Q$, уравнение (3.5.48) можно переписать в виде
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ds{C}_1(t,y,{\mathbf{L}}_2)\mathrm{\Delta }\left({\mathbf{L}}_2\right)Q(s,t,y)+C_2(t,y,{\mathbf{L}}_2)Q(x,t,y)=0.$$

Прежде чем перейти к детальному рассмотрению примеров этих уравнений, вернемся к эволюции $S_{+}$. Мы уже видели, что разрешимые уравнения (3.5.50) связаны с линейной эволюцией функции $R_{+}$:
$$\mathrm{\Delta }{R}_{+}=\mathrm{\Omega }{R}_{+}\equiv -2ik{C}_1\left(k^2\right)/C_2\left(k^2\right)R_{+}.$$

Нам пришлось применить здесь $\mathrm{\Delta }$-вариацию функции $R$, поскольку вычнсления в (3.5.14) не определены для $\delta$-вариации. Однако если $\mathrm{Im}k>0$ или Im $k<0$, можно выполнить наиболее общую вариацию $\delta$ для данных рассеяния $a,b$ или $\overline{a},\overline{b}$ соответственно. В этом случае для аналитичности $b$ и $b$ требуется, чтобы функция $Q$ имела компактный носитель. Уравнения (3.5.17), (3.5.18) заменяются теперь уравнениями
$$\begin{array}{rl}\delta a+a\delta k& =-\frac{1}{2ik}{I}_{\mathrm{\Delta }}(f,\psi ),\\ \delta b+b\delta k& =\frac{1}{2ik}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\overline{\psi }),\end{array}\mathrm{Im}k>0,$$

так что
$$\delta \left(\frac{b}{a}\right)=\frac{1}{2ik{a}^2}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\phi )\equiv \mathrm{\Omega }b{a}^{-1},\mathrm{Im}k>0.$$

Для данных рассеяния $\overline{a},\overline{b}\delta$-вариация находится путем комплексного сопряжения уравнений (3.5.52). Если $k\in C({\mathbb{F}}^{n+1},C)$, то для любой орбиты $\delta ,t=t(u),y=y(u)$ существует индуцированная кривая $k(u)\equiv k(t(u),y(u))$ в комплексной плоскости $k$. Пусть, в частности, $k_j$ соответствует собственному значению ${\lambda }_j=$ $=k_{\overline{j}}$ оператора L. Тогда функционал
$$D_{+}(k)=-ib(k)(k-k_j)/a(k),$$

вычисляемый при постоянных значениях $t$ и $y$, корректно определен, дифференцируем и имеет значение
$$D_{+j}\equiv D_{+}\left(k_j\right)=-i{b}_j/{\dot{a}}_j$$

при $k=k_j$, являющейся нормировочной постоянной для соответствующей собственной функции ${\psi }_j$, как было показано в разд. 3.3 и 3.4. Из (3.5.53) и (3.5.54) получаем
$$(\delta D_{+}(k)-\mathrm{\Omega }(k)D_{+}(k))\cdot (k-k_j)-D_{+}(k)\delta (k-k_j)=0.$$

Это на самом деле семейство операторов, зависящее от параметра $k$ : в обозначениях разд. 3.3
$${}_k\delta ={}_k{X}^t(t,y)(\frac{\partial }{\partial t}+k_t\frac{\partial }{\partial k})+{}_k{X}^y(t,y)(\frac{\partial }{\partial y}+k_y\frac{\partial }{\partial k}).$$

Если предположить, что коэффициенты ${}_k\delta$ аналитичны, то
$${}_k\delta ={}_{k_j}\delta +{(k-k_j)}_{k_j}{\delta }_k+O\left({|k-k_i|}^2\right)$$

и (3.5.56) может быть переписано в виде
$$\begin{array}{rl}({}_k\delta D_{+}(k)-\mathrm{\Omega }(k)D(k)-& D_{+}(k{)}_{k_j}{\delta }_k(k-k_j))(k-k_j)+\\ & +{}_{k_j}\delta (k-k_j)+O\left({|k-k_j|}^2\right)=0.\end{array}$$

Можно вычислить предел при $k\to k_j$ двумя способами. Заметим сначала, что $k_j\delta k_j=0$; тогда, переходя к пределу, получим
$$\begin{array}{rl}{k_j\delta k|}_{k=k_j}=(\delta k{)}_{k=k_j}& \equiv X^t(t,y,k_j)k_{it}+\\ & +X^y(t,y,k_j)\cdot k_{iy}=0,j=1\dots ,M.\end{array}$$

Затем разделим (3.5.59) на ( $k-k_j$ ) и перейдем к пределу, используя $(3.5.60)$. Тогда получим
$$\begin{array}{r}{k}_j\mathrm{\Delta }{D}_j(t,y)-\mathrm{\Omega }(t,y,k_j)D_{+j}(t,y)-D_{+j}(t,y{)}_{k_j}{\mathrm{\Delta }}_k{k}_j(t,y)=0\\ j=1,\dots ,M.\end{array}$$

При выводе этой формулы мы пользовались двумя фактами:
$${{\delta k(t,y)|}_{i=k_j}\equiv \mathrm{\Delta }k(t,y)|}_{k=k_j}\text{ и }{{\delta }_{k}k(t,y)|}_{k=k_j}\equiv {\mathrm{\Delta }}_{k}k(t,y{)}_{k=k_j}.$$

Уравнение (3.5.61) остается справедливым и для того случая, когда функция $Q$ не имеет компактного носителя. В этом случае интеграл в (3.5.53) сходится только в собственных значениях оператора L. Дальше для продолжения доказательства вводится подходящая аналитическая функция $l(k)$, такая что $l\left(k_j\right)=b_j$ и $l_k\left(k_j\right)=b_{kj}$. Существование интегрального представления $b_{kj}$ следует из интегрального представления (3.3.64) и теоремы 3.1. В общем случае (3.5.60) является нелинейным уравнением для $k_j$. Однако если $k_j$ уже определено, то уравнение (3.5.61) линейно. Мы не будем рассматривать общее семейство разрешимых уравнений, поскольку анализ уравнения (3.5.60) труден. Частные решения все-таки можно было бы получить, но для целей нашей книги мы ограничим себя в оставшейся части этого раздела и в следующей главе случаем, представляющим наибольший интерес: $\mathrm{\Delta }\equiv$ $\equiv \partial /\partial t$ и $C_1,C_2$ — функции только от переменной $k^2$. В этом случае $S_{+}(t)$ единственным образом определяется множеством $S_{+}\left(t_0\right)$. Дальше мы увидим следующее интересное свойство соответствующих разрешимых уравнений. Линеаризируя (3.5.46), получим
$$C_1(-\frac{1}{4}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2})Q_t(x,t)+C_2(-\frac{1}{4}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2})Q_x(x,t)=0,$$

и, полагая $Q(x,t)=\exp (i(\omega t-kx))$, приходим к дисперсионному соотношению
$$\omega (k)=k{C}_2\left(\frac{1}{4}{k}^2\right)/C_1\left(\frac{1}{4}{k}^2\right),$$

из которого мы выводим, что фазовая скорость элементарного решения $\omega /k$ определяет класс эквивалентности разрешимых нелинейных уравнений. Два уравнения принадлежат к одному и тому же классу эквивалентности, если $C_2^1=E.C$ и $C_1^1=E.C_1$, где $E$ — вещественная аналитическая функция от $k^2$. Для того чтобы подытожить полученные до сих пор результаты, сформулируем в явном виде, что значит «достаточно быстро». Функция $Q$ называется быстро убываюце й или принадлежащей классу Шварца, если она принадлежит пространству $C^{\mathrm{\infty }}$ и
$$\underset{(x,t)\in {\mathbb{R}}^2}{sup}\left|x^{{\alpha }_1}{t}^{{\alpha }_2}\frac{{\partial }^{{\beta }_1+p_{12}}Q}{\partial x^{{\beta }_1}\partial t^{{\beta }_2}}\right|<\mathrm{\infty },$$

где ${\alpha }_i,{\beta }_i$ — неотрицательные целые числа. Если просмотреть в обратном порядке процесс, при помощи которого мы получили разрешимые уравнения, то обнаружится, что если функция $Q(x,t)$ может быть единственным образом реконструирована по множеству $S_{+}(t)$, то задача с начальными данными разрешима при условии, что функция $Q(x,t_0)$ удовлетворяет общему условию Шварца:
$\underset{(x,t)\in R^2}{sup}\left|t^{{\chi }_2}{x}^{{\alpha }_1}\frac{{\partial }^{{\beta }_1+{\beta }_2}Q}{\partial x^{{\beta }_1}\partial t^{{\beta }_2}}\right|<\mathrm{\infty },{\beta }_1$ целое,
${\beta }_2$ неотрицательное целое.

Таким образом, если мы интерпретируем отрицательные индексы как «антипроизводные», то мы сможем убедиться, что интегралы от функций $Q(x,t_0)$ и $Q_t(x,t_0)$ тоже являются быстро убывающими функциями в смысле данного выше определения. На самом деле нам потребуются только два значения ${\beta }_2$ — нуль и единица, но для простоты мы используем более общее утверждение. Это конечно, очень сильное условие на функцию $Q(x,t_0)$. Для специальных разрешимых уравнений оказываются достаточными гораздо более слабые условия (см. разд. 4.1), но это — простейшее условие, которое можно наложить для того, чтобы $Q$ было классическим решением для любого уравнения из семейства разрешимых уравнений типа (3.5.46).

Теорема 3.11. Если ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|Q(x,t_0)\right|(1+x^2)dx<\mathrm{\infty }$, то данные рассеяния определяются единственным образом по $Q(x,t_0)$. Функция $\mathrm{\Omega }(k)$ определяет класс эквивалентности разрешимых нелинейных эволюционных уравнений
$$C_1\left({\mathbf{L}}_1^A\right)Q_t(x,t)+C_2\left({\mathbf{L}}_1^A\right)Q_x(x,t)=0,$$

каждому члену которого отвечает одно и то же $S_{+}(t)$,
$$\begin{array}{rl}{R}_{+}(t)& =R_{+}\left(t_0\right)\exp \mathrm{\Omega }(k)(t-t_0),\\ D_{+j}(t)& =D_{+j}\left(t_0\right)\exp {\mathrm{\Omega }}_j(t-t_0),{\mathrm{\Omega }}_j=\mathrm{\Omega }\left(k_j\right),\\ k_j(t)& =k_j\left(t_0\right),\end{array}$$
$\mathrm{\Omega }(k)=-2ik{C}_2/C_1\equiv -2i\omega (2k),\omega =\omega (k)$ — дисперсионное соотноиение соответствующего линеаризованного уравнения.

Достаточное условие для того, чтобы функция $Q$ была решением задачи с начальными данными, состоит в том, чтобы начальные условия были определены таким образом, чтобы это гарантировало принадлежность восстановленной функции $Q$ общему классу IIварца.

Одна из задач, возникающих здесь, состоит, как мы увидим в следующей главе, в том, чтобы определить начальные данные для произвольного разрешимого уравнения. В качестве примеров нелинейных уравнений, разрешимых этим обратным методом, можно привести следующие: Кдф
$$\begin{array}{c}{C}_1\left(k^2\right)=1,C_2\left(k^2\right)=-4k^2\\ Q_t-6Q{Q}_x+Q_{xxx}=0.\end{array}$$

Иерархия КдФ
$$\begin{array}{c}{C}_1\left(k^2\right)=1,C_2\left(k^2\right)=a_i{k}^{2i},a_i\in \mathbb{R};\\ Q_t+a_i{\left({\mathbf{L}}_1^A\right)}^{2i}{Q}_x=0.\end{array}$$

Это то же самое множество уравнений, которое было выведено в разд. 3.1 с использованием пары Лакса, поскольку оба множества уравнений имеют одно и то же линеаризованное дисперсионное соотношение и $C_1\equiv 1$.
Уравнение длинных волн
$$\begin{array}{c}{C}_1\left(k^2\right)=(1+k^2),C_2\left(k^2\right)=-4;\\ Q_{xxt}-4Q_t-4Q{Q}_t+2Q_x{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{Q}_{t}dy+Q_x=0.\end{array}$$

Это уравнение сводится к уравнению КдФ в пределе длинных волн малой амплитуды и имеет хорошие свойства устойчивости, т. е. слабо реагирует на возмущения в виде коротких волн.

Наконец, рассмотрим, какую роль играет $a$ в этом обратном методе. Из уравнений (3.5.22)-(3.5.26) примерно тем же способом, каким было получено уравнение (3.5.28), можно получить, что
$${\mathbf{L}}_{2}uv=k^{2}uv+\frac{1}{2}(u_{xx}v-u_x{v}_x)(\mathrm{\infty }),$$

где ${\mathbf{L}}_2$ — оператор, определенный в (3.5.47). В частности,
$${\mathbf{L}}_2\phi \mathrm{\Psi }=k^2\phi \psi -k^{2}a,$$

поскольку
$$\begin{array}{c}{\mathbf{L}}_{2}1=\frac{1}{2}Q,\\ ({\mathbf{L}}_2-k^2\mathbf{I})\cdot [\frac{\mathrm{\Phi }\mathrm{\Psi }}{a}-1]=-\frac{1}{2}Q.\end{array}$$

Хотя след резольвентного оператора не определен, можно определить регуляризованный след, соответствующий эталонному оператору ${\mathbf{L}}_0\equiv \mathbf{L}(Q=0)$ :
$$d(\lambda )\equiv \mathrm{Tr}((\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I}{)}^{-1}-{({\mathbf{L}}_0-\lambda \mathbf{I})}^{-1}).$$

Для изоспектрального уравнения Шрёдингера, используя определение ядра резольвенты, данное в (3.4.12), можно найти, что
$$d\left(k^2\right)=-\frac{1}{2k}\frac{d}{dk}\log a(k)=\frac{i}{2k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\phi \psi }{a}-1)dx,$$

так что, используя (3.5.68), мы формально получаем
$$\frac{d}{dk}\log a(k)=\frac{i}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{({\mathbf{L}}_2-k^2)}^{-1}Qdx.$$

Кроме того, можно переписать (3.5.17) в терминах резольвентного оператора для оператора ${\mathbf{L}}_2$ :
$$\mathrm{\Delta }a=-\frac{1}{2ik}{I}_{\mathrm{\Delta }}(\phi ,\psi )=-\frac{a}{2ik}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q(\frac{\phi \psi }{a}-1)dx,$$

при граничных условиях на $\mathrm{\Delta }Q$. Затем, используя (3.5.68), находим, что
$$\mathrm{\Delta }\log a(k)=\frac{1}{4ik}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q{({\mathbf{L}}_2-k^2)}^{-1}Qdx.$$

Уравнения (3.5.72) и (3.5.73) крайне интересны и важны. Предполагая справедливость разложения ${(\mathbf{I}-{\mathbf{L}}_2/k^2)}^{-1}$ для больших значений $k$, мы получаем из (3.5.71)
$$\frac{d}{dk}\log a(k)\sim \frac{-i}{2k^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{{\mathbf{L}}_2}{k^2}\right)}^{n}Qdx\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }.$$

Выполняя формальное интегрирование, получаем
$$\log a(k)\sim \frac{i}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)}\cdot \frac{1}{k^{2n+1}}{\left({\mathbf{L}}_2\right)}^{n}Qdx\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }.$$

Полагая по определению
$$c_{2n+1}\equiv \frac{i}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathbf{L}}_2^{n}Q}{(2n+1)}dx,$$

мы получаем формулу следов, принадлежащую Захарову и Фаддееву [1971]. Первые три члена разложения будут иметь следующий вид:
$$c_1=\frac{i}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Qdx,c_3=\frac{i}{8}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{Q}^{2}dx,c_5=\frac{i}{32}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(Q_x^2+2Q^3)dx.$$

Справедливость этого разложения можно доказать, если получить асимптотическое разложение для $\log a$, отправляясь от изоспектрального уравнения Шрёдингера. Нетрудно видеть, что $\mathrm{\Delta }a=0$. Из (3.3.60) и (3.5.21) имеем
$$\mathrm{\Delta }{\left|R_{+}\right|}^2\perp \mathrm{\Delta }{\left|T_{+}\right|}^2=\mathrm{\Delta }{\left|T_{+}\right|}^2=0$$

поскольку $\mathrm{\Omega }$ мнимое. Тогда из (3.4.61) следует, что $\mathrm{\Delta }a=0$. Кроме того, можно непосредственно показать, что интеграл в правой части (3.5.73) тождественно равен нулю для разрешимых уравнений. Однако уравнение (3.5.73) становится нетривиальным, если $\mathrm{\Delta }$ интерпретируется как функциональная производная.

Функциональная производная, или производная Фреше, определяется следующим образом:
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Delta }\mathcal{F}(Q)}{\mathrm{\Delta }Q}\cdot vdx\equiv \underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{d}{d\epsilon }\mathcal{F}(Q+\epsilon v)$$

здесь
$$\mathcal{F}(Q)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(Q,Q_x,\dots ,Q_{nx})dx.$$

Число $n$ в (3.5.78) — целое и положительное.
$$\text{ Так, например, если }\mathcal{F}(Q)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(Q_x^2+2Q^3)dx\text{, то }$$
$$\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{d}{d\epsilon }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{{(Q_x+\epsilon v_x)}^2+2(Q+\epsilon v{)}^3\}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(6Q^2-2Q_{xx})vdx$$
(после интегрирования по частям), так что
$$\frac{\mathrm{\Delta }\mathcal{F}(Q)}{\mathrm{\Delta }Q}=6Q^2-2Q_{xx}$$

До сих пор предполагалось, что функция $v$ принадлежит тому же пространству, что и функция $Q$; так, например, можно предполагать, что это пространство функций Шварца общего типа. Простое обобщение определения позволит нам определить про-
изводную Фреше и для этого случая (для этого просто надо разрешить числу $n$ в формуле (3.5.78) принимать любое целое значение, интерпретируя при этом отрицательные индексы как интегралы). Легко видеть из определения, что производная Фреше, если ограничиваться только функциями, принадлежащими классу Шварца, представляет собой в точности оператор Эйлера-Лагранжа в этом функциональном пространстве:
$$\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }Q}=\frac{\partial }{\partial Q}-\frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial Q_x}+\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\partial }{\partial Q_{xx}}-\cdots .$$

Проверка дифференцированием показывает, что (3.5.73) можно интерпретировать как этот тип вариационной производной. Это происходит потому, что оператор полного дифференцирования и производная Фреше коммутируют, так что предположения, сделанные при выводе формулы (3.5.73), остаются верными и в этом случае. Это значит, что (3.5.81) можно принять в качестве определения вариации функции $\log a$, если функция $Q$ меняется произвольным образом (не обязательно как решение) в функциональном пространстве. При $|k|\to \mathrm{\infty }$ формула (3.5.73) дает асимптотику
$$\mathrm{\Delta }\log a\sim -\frac{1}{4i{k}^3}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }Q{\left(\frac{{\mathbf{L}}_2}{k^2}\right)}^{n}Qdx\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty },$$

но
$$\log a\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{c_{2n+1}}{k^{2n+1}}\right)\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty },$$

и, следовательно,
$$\frac{\mathrm{\Delta }{c}_{2n+3}}{\mathrm{\Delta }Q}=\frac{1}{4i}{\left({\mathrm{L}}_2\right)}^{n}Q$$

Полагая $C_2\left({\mathrm{L}}_2\right)=\sum _{j=1}^n{a}_j{\left({\mathbf{L}}_2\right)}^j,C_1\equiv 1$ и используя затем формулу (3.5.84), мы увидим, что соответствующее разрешимое уравнение может быть записано в гамильтоновой форме
$$Q_t+\frac{\partial }{\partial x}\left\{\frac{\mathrm{\Delta }\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }Q}\right\}=0$$

с гамильтонианом
$$\mathcal{H}=\sum _{j=1}^{n}4i{a}_j{c}_{2j+3}.$$

Отсюда следует, что существует гамильтонова структура, ассоциированная с иерархией уравнений Лакса. Так, если, например, взять $\mathcal{H}=-16i{c}_5$, то после использования (3.5.81) окажется, что мы получили уравнение КдФ (3.1.1) с изменением масштаба $q=-6{\alpha }^{-1}Q$. Этот аспект теории уравнений, разрешимых методом обратного преобразования рассеяния, так же как и гамильтоновы формы уравнений для рациональных линеаризованных дисперсионных соотношений, выводят нас за рамки настоящей книги. Дальнейшие подробности содержатся в статье Захарова и Фаддеева [1971], в статьях Гельфанда и Дикого [1975-78], в работе Флашки и Ньюэлла [1975], Додда и Буллафа [1979].

В разд. 3.2 мы вывели иерархию уравнений КдФ, используя существование пары Лакса (A, L) (теперь ее часто записывают как (P, L) в честь Питера Лакса), где L — изоспектральный оператор Шрёдингера. Мы обратились к иерархии КдФ, поскольку она ассоциирована с оператором L. В этом разделе мы получили большой класс разрешимых нелинейных уравнений, и нам бы хотелось показать, что они тоже ассоциированы с некоторыми парами, т. е. определить оператор А в паре Лакса. Вообще говоря, это довольно сложный процесс. Однако для иерархии Лакса существует сравнительно прямой путь, и мы его сейчас опишем. Диагональ резольвентного ядра определяется формулой
$$R(x,x,k^2)=\frac{i}{2ka(k)}\psi (x,k)\phi (x,k),\mathrm{Im}k>0,$$

которая является непосредственным следствием определения резольвентного ядра, данного в разд. 3.4. Из (3.5.72) ясно, что
$$\frac{\mathrm{\Delta }\log a}{\mathrm{\Delta }Q}=R\text{. }$$

Из асимптотического разложения этого выражения при больших $k$ и из соотношений (3.5.85), (3.5.86), (3.5.84) следует, в частности, что
$$R_{j+1}={\mathrm{L}}_2{R}_j,$$

где $R_j$ являются коэффициентами асимптотического разложения
$$R\sim \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{R_j}{k^{2j+1}}\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }.$$

Дифференцируя теперь (3.5.68), мы видим, что $R$ удовлетворяет линейному уравнению третьего порядка
$$-R_{xxx}+2Q_{x}R+4(Q-k^2)R_x=0.$$

В наших обозначениях разрешимые уравнения этого типа могут быть записаны так:
$$Q_t+\frac{\partial }{\partial x}\sum _{j=0}^n{b}_j{R}_j=0.$$

Поэтому ясно, что коммутатор операторов $\mathbf{L}$ и ${\mathbf{A}}_j$ кратен $R_{jx}$. Если мы интерпретируем оператор $R$, заданный в (3.5.90), как порождающую функцию, то мы можем получить порождающий оператор для операторов, отвечающих функциям $R_j$, входящим в (3.5.92), следующим путем:
$$-R_x\equiv [\mathbf{L},\mathbf{A}]\text{. }$$

Здесь $\mathbf{A}$ — порождающий оператор для операторов ${\mathbf{A}}_j$. Далее, $-R_x=-R_x(\mathbf{L}-k^2){(\mathbf{L}-k^2)}^{-1}=$
$$\begin{array}{r}=(R_x\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-Q{R}_x+k^2{R}_x){(\mathbf{L}-k^2)}^{-1}=\\ =(R_x\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{1}{4}{R}_{xxx}+\frac{1}{2}{Q}_{x}R){(\mathbf{L}-k^2)}^{-1}.\end{array}$$

Последнее выражение получается после подстановки $k$ из формулы (3.5.91). Кроме того, можно получить
$$\begin{array}{rl}[\mathbf{L},\mathbf{A}]=(\mathbf{L}a-a\mathbf{L})& {(\mathbf{L}-k^2)}^{-1}=\\ =& (-a_{xx}-2a_x\frac{\partial }{\partial x}+Qa-aQ){(\mathbf{L}-k^2)}^{-\mathbf{1}},\end{array}$$

если положить
$$\mathbf{A}=a{(\mathbf{L}-k^2)}^{-1}.$$

Затем, сравнивая (3.5.95) с (3.5.94) и предполагая, что $a$ — оператор первого порядка, мы можем получить требуемое представление
$$\mathbf{A}=(-\frac{1}{2}R\frac{\partial }{\partial x}+\frac{1}{4}{R}_x){(\mathbf{L}-k^2)}^{-1}$$

Операторы ${\mathbf{A}}_j$ получаются из асимптотического разложения порождающего оператора
$$\mathbf{A}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathbf{A}}_j}{k^{2j+1}}\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }.$$

Оператор для уравнения КдФ получается, если взять подходящий олератор, кратный оператору ${\mathbf{A}}_2$. Неприятный множитель $i$, появляющийся в наших выкладках, можно убрать, если сделать замену переменной $k\to ik$.

После того как мы установили теоретико-операторный метод получения разрешимых уравнений, кажется естественным вонрос, нельзя ли таким же путем получить временну́ю эволюцию данных рассеяния без обращения к свойствам самого изоспектрального уравнения Шрёдингера. К сожалению, детали такого подхода еще не проработаны. Однако мы можем применить некоторые идеи разд. 3.4, относящиеся к сплетающим операторам, для того, чтобы охарактеризовать суть такого метода. Положим ${\mathbf{L}}_0\equiv$ $\equiv \mathbf{L}(Q=0)$ и $\mathbf{L}\equiv \mathbf{L}(Q(t))$; тогда, определяя ${\mathbf{U}}_{\pm }$так же, как мы это делали в разд. 4, из определения сплетающего оператора (3.4.46) получим, что
$${\mathbf{L}}_t=[{\mathbf{A}}_{\pm },\mathbf{L}],\text{ где }{\mathbf{A}}_{\pm }={\mathbf{U}}_{\pm t}{\mathbf{U}}_{\pm }^{\ast }$$

и
$$\begin{array}{rl}{s}_t={\left({\mathbf{U}}_{+}^{\ast }{\mathbf{U}}_{-}\right)}_t={\mathbf{U}}_{+t}^{\ast }{\mathbf{U}}_{-}+{\mathbf{U}}_{+}^{\ast }{\mathbf{U}}_{-t}& =\\ ={\mathbf{U}}_{+}^{\ast }{A}_{+}^{\ast }\mathbf{U}+{\mathbf{U}}_{+}^{\ast }{\mathbf{A}}_{-}{\mathbf{U}}_{-}& \equiv {\mathbf{U}}_{+}^{\ast }({\mathbf{A}}_{-}-{\mathbf{A}}_{+}){\mathbf{U}}_{+}\mathbf{S},\end{array}$$

здесь, как и раньше, использован тот факт, что операторы ${\mathbf{A}}_{\pm }$ являются антиэрмитовыми, что легко доказывается дифференцированием по $t$ условия унитарности операторов ${\mathbf{U}}_{\pm }$. Если преобразовать (3.5.100) к спектральному представлению оператора ${\mathbf{L}}_0$, то получим
$${\tilde{\mathbf{S}}}_t=\tilde{\mathbf{B}}\cdot \tilde{\mathbf{S}},\text{ где }\tilde{\mathbf{B}}={\mathbf{T}}_0{\mathbf{U}}_{+}^{\ast }({\mathbf{A}}_{-}-{\mathbf{A}}_{+}){\mathbf{U}}_{+}{\mathbf{T}}_0^{\ast }.$$

Оператор $\tilde{\mathbf{B}}$ предполагается диагональным (поскольку оператор $\tilde{\mathbf{B}}$ неограничен, это условие следует рассматривать как дополнительное). Таким образом мы получили уравнение для эволюции матрицы рассеяния. Соответствующий пример приведен у Флашки и Ньюэлла [1975].