В последних двух разделах мы ограничивались случаем единственной функции $Q$ и рассматривали поведение этой функции и соответствующих решений Йоста для уравнения Шрёдингера только в зависимости от $x$. Конечно, самое интересное для нас в линейном уравнении Шрёдингера — научиться решать те нелинейные уравнения, которые могут быть ассоциированы с ним в том смысле, как это было изложено в разд. 3.2. Там мы показалй, что иерархия Лакса уравнений КдФ представляет собой одно из таких семейств. В этом разделе мы получим очень большое семейство уравнений, которые могут быть ассоциированы с уравнением Шрёдингера и, кроме того, поддаются решению. Эти два свойства на самом деле связаны между собой; разрешимые уравнения всегда ассоциированы.

Отложим подробное обсуждение обратного метода до следующей главы. Однако некоторые общие представления о методе понадобятся для того, чтобы понять, насколько обширный класс разрешимых уравнений может быть получен. По существу метод состоит в получении уравнений, управляющих эволюцией данных рассеяния, заданных в начальный момент: $S_{+}\left(t_{0}\right)=\left\{\lambda_{j}\left(t_{0}\right)\right.$, $\left.D_{+j}\left(t_{0}\right), R_{+}\left(k, t_{0}\right), j=1, \ldots, M, k \in R\right\}$ — для данного потенциала $Q\left(x, t_{0}\right)$. Если $S_{+}$подчиняется некоторым условиям, то, как мы увидим, функция $Q$ определяется по $S_{+}$единственным образом для любого значения параметра $t$. Если эволюционное уравнение для данных рассеяния может быть решено, то функция $Q$ единственным образом определяется для последующих моментов времени. Тем самым мы решим задачу с начальными условиями для уравнения, которому удовлетворяет функция $Q$, с начальными условиями $Q\left(x, t_{0}\right)$. Эволюционные уравнения для данных рассеяния — уравнения первого порядка и включают билинейные функционалы решений Поста. В общем случае мы не можем надеяться на какие-либо упрощения, потому что $Q$ может удовлетворять любому нелинейному уравнению с заранее заданными граничными условиями, состоящими в том, что $Q$ вместе со своими производными по $x$ и по $t$ стремится к нулю «достаточно быстро» при $|x| \rightarrow \infty$. Однако если мы ограничимся некоторым классом уравнений, для которых эволюционное уравнение данных рассеяния линейно, то они могут быть решены, из чего дальше последует решение $Q$ для любого момента времени.

В работе Абловица с соавторами [1974] подчеркивается, что эту процедуру можно рассматривать как нелинейный аналог анализа Фурье. В самом деле, процедура, превращающая эволюционные уравнения для данных рассеяния в линейные, включает нахождение функции, в сущности являющейся дисперсионным соотношением линеаризованного уравнения, которому удовлетворяет функция $Q$. Все это подробно обсуждается в настоящем разделе. Кроме того, мы используем теорию сплетающих операторов, кратко описанную в предыдущем разделе, для того, чтобы развить теоретико-операторный подход для получения эволюции данных рассеяния из пары Лакса, связанной с данным разрешимым уравнением.

Функция $Q$ в общем случае может зависеть не только от $x, t$, но и от еще нескольких пространственных переменных $y=\left(y_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, y_{n}\right)$, и решения Йоста в этом случае тоже могут зависеть от этих дополнительных переменных. Сейчас нам будет удобно рассматривать $k$ как функцию от переменных $(t, y)$. Сначала мы будем предполагать, что функция $Q$ и решения Йоста как функции от этих переменных принадлежат $C^{1}$. Это означает, что мы требуем существования и непрерывности частиы производных по $t$ и $y$. Вдобавок мы потребуем, чтобы функция $Q$ принадлежала пространству $C^{\infty}$ по переменной $x$ и чтобы функция $Q$ и ее производные «достаточно быстро» стремились к нулю при $|x| \rightarrow \infty$. Из дальнейшего будет ясно, почему мы требуем выполнения именно этих условий. Мы выо́ираем такие обозначения, что если $p \in \mathbb{F}^{n+2}$, то ее локальные координаты будут $(x, t, y)$. Пусть отображение $C$ :’ $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ определяет кривую в пространстве $\mathbb{K}^{n+1}, t=t(u)$, $y=y(u)$.

Эта кривая может быть превращена в кривую $C_{x_{0}}^{*}$ в пространстве $\mathbb{R}^{n+2}: x=x_{0}, t=t(u), y=y(u)$. Пусть $C^{*}=\left\{C_{x_{0}}^{*}: x_{0} \in\right.$ $\in \mathbb{R}, C$ — любая кривая в $\left.\mathbb{R}^{n+1}\right\}$. Если $f \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n+1}, \mathfrak{K}\right)$, тогда производная от $f$ вдоль любой кривой из семейства $C^{*}$ вычисляется по формуле
\[
\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{d t(u)}{d u} \cdot \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{d y(u)}{d u} \cdot \frac{\partial f}{\partial y},
\]

где $t=t(u), y=y(u)$ — параметризация выбранной кривой. Точка в формуле (3.5.1) обозначает обыкновенное скалярное произведение. Таким образом, $\left(0, d t(u) /\left.d u\right|_{u=0}, d y(u) /\left.d u\right|_{u=0}\right)-$ компоненты касательного вектора к кривой $C_{x_{0}}^{*}$ в точке $p_{0}=$ $=\left\{x_{0}, t_{0}=t(0), y_{0}=y(0)\right\}$. Ясно, что производная функций $f$ вдоль любой кривой семейства $C^{*}$ в точке $p_{0}$ будет иметь вид (3.5.1), и, таким образом, мы сможем написать
\[
X_{p_{0}}(f)=\left(\left(\pi^{*} X^{t}\left(x_{0}, t_{0}, y_{0}\right) \frac{\partial}{\partial t}+\pi^{*} X^{y}\left(x_{0}, t_{0}, y_{0}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial y}\right) f\right.
\]

где $\pi^{*} X^{t}=X^{t}{ }_{0} \pi, X^{t}$ и $X^{y_{i}}$ — произвольные функции на пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$ и $\pi$ — проекция $\pi(x, t, y)=(t, y)$. Отсюда следует, что
\[
X=\pi^{*} X^{t} \frac{\partial}{\partial t}+\pi^{*} X^{y} \frac{\partial}{\partial y}
\]

определяет векторное поле над $\mathbb{R}^{n+2}$, если $X^{t}$ и $X^{y}$ — заданные функции на $\mathbb{R}^{n+1}$. Решение уравнений
\[
\frac{d t}{d u}=X^{t}, \quad \frac{d y}{d u}=X^{y}
\]

позволяет получить семейство орбит или кривых, параметризованное переменной $x$ и имеющее касательные векторы, определяемые (3.5.3). Рассмотрим теперь графики функций $k: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow C$. Введем многообразие $J^{0}\left(R^{n+1}, C\right)$ с локальными координатами $(t, y, k)$. Кривые на $J^{0}\left(\mathbb{R}^{n+1}, C\right)$ могут быть превращены в кривые на $J^{0}\left(\mathbb{R}^{n+1}, C\right) \times \mathbb{R}$, и для этого случая мы получим векторные поля
\[
X=\pi^{*} X^{t}\left(\frac{\partial}{\partial t}+k_{t} \frac{\partial}{\partial k}\right)+\pi^{*} X^{y} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial y}+k_{y} \frac{\partial}{\partial k}\right)
\]

$\left(\pi\left(x, t, y, k, k_{t}, k_{y}\right)=(t, y)\right.$ на $J^{1}\left(\mathbb{R}^{n+1}, C\right) \times \mathbb{R}$ соответствует функциям $X^{t}, X^{y_{i}}$, определенным на пространстве $\mathbb{K}^{n+1}$ ).

В классическом случае обычно имеют дело с вариациями, если хотят вычислить производную по произвольному направлению. Поэтому мы введем обозначения $\delta$ и $\Delta$ для дифференциальных операторов, отображающих функции на $J^{0}\left(\mathbb{k}^{n+1}, C\right) \times R$ в множество функций на $J^{1}\left(\mathbb{K}^{n+1}, C\right) \times \mathbb{R}$ :
\[
\begin{array}{l}
\delta=\pi^{*} X^{t}\left(\frac{\partial}{\partial t}+k_{t} \frac{\partial}{\partial k}\right)+\pi^{*} X^{y} \cdot\left(\frac{\partial}{\partial y}+k_{y} \frac{\partial}{\partial k}\right), \\
\Delta=\delta-\delta k \frac{\partial}{\partial k} .
\end{array}
\]

Обычно преобразование $\pi^{*}$ в выражении (3.5.6) опускают. Мы будем кроме того использовать $\Delta$ для обозначения соответствующего оператора, действующего на функциях, определенных на $\mathbb{R}^{n+1}$, а именно оператора
\[
X^{t} \frac{\partial}{\partial t}+X^{y} \cdot \frac{\partial}{\partial y} .
\]

Из определения операторов $\delta$ и $\Delta$ следует, что они коммутируют с оператором $\partial / \partial x$.

Для получения вариации $\Delta$ данных рассеяния примем процедуру, предложенную Флашкой и Ньюэллом [1975]. Фундаментальное матричное решение
\[
\Phi=\left(\begin{array}{ll}
\varphi & \bar{\varphi} \\
\varphi_{x} & \bar{\varphi}_{x}
\end{array}\right)
\]

как показано в разд. 3.3, удовлетворяет уравнению
\[
\Phi_{x}=\mathbf{P} \Phi \equiv(Q \sigma-\mathbf{B}(k)) \Phi, \quad \operatorname{Im} k=0,
\]

где
\[
\mathbf{B}(k)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
k^{2} & 0
\end{array}\right) \quad \text { и } \quad \sigma=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Обратную к Ф можно найти, если использовать значение вронскиана $W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \bar{\varphi}\right)=2 i k$ :
\[
\Phi^{-1}=\frac{1}{2 i k}\left(\begin{array}{cc}
\bar{\varphi}_{x} & -\bar{\varphi} \\
-\varphi_{x} & \varphi
\end{array}\right) .
\]

Построив вариацию $\Delta$ из (3.5.8) и умножив слева на $\Phi^{-1}$, получим
\[
\Phi^{-1} \Delta \Phi_{x}=\Phi^{-1} \Delta \mathbf{P} \Phi+\Phi^{-1} \mathbf{P} \Delta \Phi \text {. }
\]

Дифференцируя равенство $\Phi \Phi^{-1}=1$ по $x$, разрешая его относительно $\Phi_{x}^{-1}$ и используя (3.5.8), получим
\[
\Phi_{x}^{-1} \Delta \Phi=-\Phi^{-1} \Phi_{x} \Phi^{-1} \Delta \Phi=-\Phi^{-1} \mathbf{P} \Delta \Phi .
\]

Комбинируя (3.5.10) и (3.5.11) и интегрируя по $x$ вдоль всей оси $\mathbb{R}$, получаем в результате выражение
\[
\left.\Phi^{-1} \Delta \Phi\right|_{x=-\infty} ^{x=\infty}=\int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q\left(\Phi^{-1} \sigma \Phi\right) d x .
\]

Поскольку фундаментальные матричные решения линейно зависимы для вещественного $k$, то
\[
\Phi=\Psi \mathbf{A}, \quad \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
b & \bar{a} \\
a & \bar{b}
\end{array}\right),
\]

где А-матрица, введенная в разд. 3.3. Следовательно, (3.5.12) приобретает вид
\[
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{-1} \Delta \mathbf{A}+\mathbf{A}^{-1}\left(\Psi^{-1} \Delta \Psi\right)(x=+\infty) \mathbf{A}- & \left(\Phi^{-1} \Delta \Phi\right)(x=-\infty)= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q\left(\Phi^{-1} \sigma \Phi\right) d x .
\end{aligned}
\]

Для того, чтобы обеспечить существование интегралов в (3.5.12) и (3.5.14), введем условие, что $\Delta Q \rightarrow 0$ «достаточно быстро» при $|x| \rightarrow \infty$, которое уже встречалось раньше в наших предположениях. Поскольку вариация $\Delta$ независима от $x$, мы можем поменять местами дифференцирование при помощи $\Delta$ и знак предела и затем использовать тот факт, что $\Delta \exp ( \pm i k x)=0$. Тогда получим
\[
\mathbf{A}^{-1} \Delta \mathbf{A}=\int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q\left(\Phi^{-1} \sigma \Phi\right) d x
\]

Введем билинейный функционал
\[
I_{\Delta}(u, v)=\int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q(u, v) d x
\]

Тогда уравнения (3.5.15) можно переписать в эквивалентной форме:
\[
\begin{array}{l}
\Delta a=-\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}(\varphi, \psi), \\
\Delta b=\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}(\varphi, \bar{\psi}) .
\end{array}
\]

Для того, чтобы получить уравнения (3.5.17) и (3.5.18), можно использовать либо выражения для вронскианов (3.3.47)-(3.3.49), либо непосредственно использовать соотношения, которые существуют между фундаментальными матричными решениями Ф и $\Psi$ и матрицей $\mathbf{A}$, заданные уравнением (3.5.13).

Вариации $\Delta$ от $\vec{a}$ и $\bar{b}$ были опущены в (3.5.12), потому что они комплексно сопряжены с $\Delta a$ и $\Delta b$. В разд. 3.4 мы определяли данные рассеяния как множество
\[
S_{+}=\left\{\lambda_{j}, D_{+j}, R_{+}(k), k \in \mathrm{R}, j=1, \ldots, M\right\} .
\]

Это множество состоит из собственных значений и нормировочных «постоянных» собственных векторов оператора L вместе с функцией $R_{+}$, определенной на вещественной оси. Из формул (3.5.17) и (3.5.18) можно сразу получить вариацию $\Delta$ функции $R$ :
\[
\Delta R_{+}=\frac{\Delta b}{a}-\frac{b}{a^{2}} \Delta a=R_{+}\left(\frac{1}{2 i k} \frac{1}{a b} I_{\Delta}(\varphi, \varphi)\right) .
\]

Уравнение (3.5.19) верно для любой функции $Q$, удовлетворяющей условию $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$ и стремящейся к нулю при $|x| \rightarrow \infty$ вместе со своими производными для произвольных величин $t$ и $y$. Поэтому, вообще говоря, (3.5.19) — очень сложное уравнение, которое мы не можем надеяться решить точно, т. е. найти интегрирующий множитель уравнения. Однако если потребовать выполнения дополнительного ограничения
\[
\begin{array}{c}
I_{\Delta}(\varphi, \varphi)-2 i k a b \Omega=0, \\
\Omega=\Omega(k, t, y),
\end{array}
\]

то тем самым из класса всех возможных уравнений, образованных из функций $Q$, удовлетворяющих этим условиям, мы выделим те, для которых вариация $\Delta$ функции $R_{+}$задается линейным уравнением:
\[
\Delta R_{+}=\Omega R_{+} .
\]

В частности, некоторые вариации превращают (3.5.21) в уравнение, допускающее точное решение. Как уже было кратко отмечено в начале этого раздела, в том случае, если уравнение, описывающее эволюцию $S_{+}$, может быть решено, то может быть эффективно решена и задача с начальными условиями для нелинейного уравнения, которому удовлетворяет функция $Q$. Таким образом, вопрос сводится к тому, можем ли мы из (3.5.20) получить такое семейство уравнений, что для любого из них эволюция функции $R_{+}$описывается уравнением (3.5.21)?

Из уравнения Шрёдингера (3.3.1) для обобщенных собственных функций $u, v$ с соответствующими им собственными значениями получим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
-u_{x x} v=\left(k^{2}-Q\right) u v \\
-\left(u_{x x} v\right)_{x}+Q_{x} u v=\left(k^{2}-Q\right)(u v)_{x} \\
(u v)_{x x}=u u_{x x} v+2 u_{x} v_{x}+u v_{x x}=2\left(Q-k^{2}\right) u v+2 u_{x} v_{x} \\
-u_{x x} v_{x}=\left(k^{2}-Q\right) u v_{x} \\
-v_{x x} u_{x}=\left(k^{2}-Q\right) u_{x} v .
\end{array}
\]

Используя (3.5.23), (3.5.25) и (3.5.26), найдем
\[
\left(u_{x x} v-u_{x} v_{x}\right)(x)=\int_{-\infty}^{x} Q_{s} u v d s+\left(u_{x x} v-u_{x} v_{x}\right)(-\infty),(3.5 .27)
\]

а из этого выражения вместе с (3.5.24) и (3.5.22) получим уравнение
\[
-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+2 \int_{-\infty}^{x} d s Q_{s}-4 Q\right) u v=k^{2} u v+\frac{1}{2}\left(u_{x x} v-u_{x} v_{x}\right)(-\infty) .
\]

В (3.5.28) $\int_{-\infty}^{\infty} d s Q$ — интегральный оператор, определяемый следующим образом:
\[
\left(\int_{-\infty}^{\boldsymbol{x}} d s Q_{s}\right) u(x)=\int_{-\infty}^{\boldsymbol{x}} Q_{s}(s) u(s) d s .
\]

Уравнения (3.5.27) и (3.5.28) — фундаментальные соотношения, выполнения которых мы будем в дальнейшем требовать. В частности, если $u=v=\varphi$, то уравнение (3.5.27) приобретает вид
\[
a b=\frac{1}{4 k^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} Q_{x} \varphi^{2} d x
\]

а уравнение (3.5.28) превращается в задачу на собственные значения
\[
\mathbf{L}_{1} \varphi^{2}=k^{2} \varphi^{2}
\]

где
\[
\mathbf{L}_{1} \equiv-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+2 \int_{-\infty}^{x} d s Q_{s}-4 Q\right)
\]

Уравнение (3.5.30) позволяет записать ограничение (3.5.20) в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Delta Q+Q_{x} C\right) \varphi^{2} d x=0, \\
C(k, t, y)=\frac{i}{2 k} \Omega(k, t, y) .
\end{array}
\]

Вспомним, что наша цель состоит в том, чтобы усилить (3.5.32) и получить разрешимые эволюционные уравнения. Если $C$ :і коэффициенты вариации $\Delta$ являются функциями только от переменных $t$ и $y$, то требования
\[
\Delta Q+C Q_{x}=0
\]

для всех $t$ и $y$ оказывается достаточно для того, чтобы породить нетривиальное эволюционное уравнение, включающее только функцию $Q$ и ее производные и тривиальным образом удовлетворяющее уравнению ограничения. Как можно было бы обобщить этот пример на ситуацию, когда $C$ и $\Delta$ произвольным образом зависят от $k$ ? Для начала рассмотрим случай, когда $C(k)=-4 k^{2}$ и $\Delta$ не зависит от $k$. Тогда, если использовать (3.5.31), то (3.5.32) можно записать в следующем виде:
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Delta Q-4 Q_{x} \mathbf{L}_{1}\right) \varphi^{2} d x=0 .
\]

Это выражение имеет правильную форму, но оператор $\mathbf{L}_{1}$ действует на $\varphi^{2}$, так что мы не можем просто приравнять нулю содержимое скобки. Поэтому нам нужно перенести действие оператора $\mathbf{L}_{1}$ с функции $\varphi^{2}$ на $Q_{x}$. Если нам удастся это сделать, то скобки в (3.5.34) станут снова независимы от $\varphi$ и приравнивание нулю этого выражения будет представлять собой достаточное нетривиальное условие выполнения ограничений (3.5.20). Для того, чтобы перенести действие оператора на $Q_{x}$, построим сопряженный к оператору $\mathbf{L}_{1}$ оператор $\mathbf{L}_{1}^{A}$ (см. замечание 1 к разд. 3.5). Определим
\[
\left\langle\mathbf{L}_{1} u, Q_{x} v\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{L}_{1} u Q_{x} v^{*} d x
\]

где $u$ и $v$ — произвольные элементы пространства $L^{2}(R)$. Заметим, что (3.5.35) корректно определено, даже если $u(x, k)=\varphi^{2}(x, k)$, $k$ вещественное, вследствие асимптотического поведения функции $Q_{x}$. Интегрирование по частям показывает, что
\[
\begin{array}{l}
—\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+2 \int_{-\infty}^{x} d y Q_{x}-4 Q\right) u Q_{x} v^{*} d x= \\
=-\frac{1}{4}\left[u_{x} Q_{x} v^{*}-u\left(Q_{x} v^{*}\right)_{x}-2 \int_{x}^{\infty} Q_{s} v^{*} d s \int_{-\infty}^{x} Q_{s} u d s\right]_{-\infty}^{\infty}- \\
-\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty} u\left[\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-4 Q+2 Q_{x} \int_{x}^{\infty} d s\right]\left(Q_{x} v^{*}\right) d x
\end{array}
\]

Таким образом, получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\mathbf{L}_{1} u, Q_{x} v\right\rangle=\left\langle u, \mathbf{L}_{1}^{A} Q_{x} v\right\rangle \\
\mathbf{L}_{1}^{A} \equiv-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-4 Q+2 Q_{x} \int_{x}^{\infty} d y\right)
\end{array}
\]

В частности, (3.5.37) справедливо при $v \equiv 1$ и $u=\varphi^{2}$, так что (3.5.34) может быть записано в виде
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Delta Q-4 \mathbf{L}_{1}^{A} Q_{x}\right) \varphi^{2} d x=0 .
\]

Это ограничение тривиальным образом удовлетворяется, если изменение $Q$ подчиняется уравнению
\[
\Delta Q-4 \mathbf{L}_{1}^{A} Q_{x}=0 .
\]

Возвращаясь к обозначениям разд. 3.1 и 3.2 , положим $q=-6 \alpha^{-1} Q$ и выберем $\Delta=\partial / \partial t$. При этом (3.5.39) приобретает вид
\[
q_{t}+\alpha q q_{x}+q_{x x x}=0,
\]

что является уравнением КдФ (3.1.1). Очевидно, что тот же метод позволяет получить нелинейные уравнения, соответствующие случаю, когда $C$ — произвольный вещественный полином от $k^{2}$. Так, если
\[
C\left(t, y, k^{2}\right)=\sum_{i=0}^{n} g_{i}(t, y) k^{2 i},
\]

то мы имеем
\[
\begin{aligned}
C\left(t, y, k^{2}\right) \varphi^{2} & =\sum_{t=0}^{n} g(t, y) k^{2 i} \varphi^{2}= \\
& =\sum_{i=0}^{n} g_{i}(t, y)\left(\mathbf{L}_{1}\right)^{2 i} \varphi^{2}=C\left(t, y, \mathbf{L}_{1}\right) \varphi^{2} .
\end{aligned}
\]

Для того, чтобы получить уравнение (3.5.42), мы воспользовались условием дифференцируемости функции $Q$. Основное требование, которое здесь должно выполняться, состоит в том, чтобы $Q$ как функция от $x$ принадлежала $C^{\infty}$ и как функция от $(t, y)$ принадлежала пространству $C^{1}$. Вдобавок мы потребуем, чтобы функция $Q$ и ее производные «достаточно быстро» стремились к нулю при $|x| \rightarrow \infty$, с тем чтобы были определены сингулярные интегралы.

Используем эту информацию для получения общего нелинейного уравнения, определенного в (3.5.41). Из (3.5.32) и (3.5.41), (3.5.42) мы имеем
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left[\Delta\left(\mathrm{L}_{1}^{A}\right) Q(x, t, y)+C\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{x}(x, t, y)\right] \varphi^{2}(x, t, y) d x=0,
\]

где
\[
\Delta\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) \equiv X^{t}\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) \frac{\partial}{\partial t}+X^{y}\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) \frac{\partial}{\partial y}
\]

и, таким образом, уравнение ограничения тривиально удовлетворяется нелинейным эволюционным уравнением
\[
\Delta\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q(x, t, y)+C\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{x}(x, t, y)=0 .
\]

Более широкий класс нелинейных уравнений, удовлетворяющих уравнению ограничения, можно получить, если предположить, что $C$ — рациональная функция от $k^{2}, C=C_{2} / C_{1}$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ имеют вид (3.5.41). Тогда соответствующее эволюционное уравнение будет иметь следующий вид:
\[
C_{1}\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) \Delta\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q(x, t, y)+C_{2}\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{x}(x, t, y)=0 .
\]

Отсюда следует, что семейство нелинейных эволюционных уравнений, для которых $\Delta$-эволюция функции $R_{+}$подчиняется линейному уравнению, порождается множеством произвольных вещественных полиномов от $k^{2}, C_{1}, C_{2}$. Более формально $C_{1}, C_{2}$ могут считаться произвольными вещественными аналитическими функциями от $k$.

Уравнения можно записать в другой форме, в которой вводится оператор, играющий важную роль в гамильтоновой структуре этого частного случая метода обратной задачи. Пусть $u, v \in$ $\epsilon L^{2}\left(\right.$ K $^{2}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\left\langle u, \mathbf{L}_{1}^{A} v_{x}\right\rangle & =-\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty} u\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-4 Q+2 Q_{x} \int_{x}^{\infty} d s\right) \frac{\partial v^{*}}{\partial x} d x= \\
& =-\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty} u\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(v_{x x}^{*}-4 Q v^{*}\right)+2 Q_{x} v^{*}\right) d x= \\
& =\left\langle u, \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{L}_{2} v\right\rangle,
\end{aligned}
\]

где
\[
\mathrm{L}_{2} \equiv-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-4 Q-2 \int_{x}^{\infty} d s Q_{s}\right) .
\]

Теперь уравнение (3.5.46) можно записать так:
\[
C_{1}\left(t, y, \mathbf{L}_{1}^{A}\right) \Delta\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q(x, t, y)+\frac{\partial}{\partial x} C_{2}\left(t, y, \mathbf{L}_{2}\right) Q(x, t, y)=0 .
\]

Это получается по индукции, поскольку для любого целого $r$
\[
\left\langle u,\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{r} v_{x}\right\rangle=\left\langle u,\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{r-1} \frac{\partial}{\partial x}\left(\mathbf{L}_{2} v\right)\right\rangle .
\]

Если проделать соответствующие вычисления, принимая во внимание граничные условия на функцию $Q$, уравнение (3.5.48) можно переписать в виде
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d s C_{1}\left(t, y, \mathbf{L}_{2}\right) \Delta\left(\mathbf{L}_{2}\right) Q(s, t, y)+C_{2}\left(t, y, \mathbf{L}_{2}\right) Q(x, t, y)=0 .
\]

Прежде чем перейти к детальному рассмотрению примеров этих уравнений, вернемся к эволюции $S_{+}$. Мы уже видели, что разрешимые уравнения (3.5.50) связаны с линейной эволюцией функции $R_{+}$:
\[
\Delta R_{+}=\Omega R_{+} \equiv-2 i k C_{1}\left(k^{2}\right) / C_{2}\left(k^{2}\right) R_{+} .
\]

Нам пришлось применить здесь $\Delta$-вариацию функции $R$, поскольку вычнсления в (3.5.14) не определены для $\delta$-вариации. Однако если $\operatorname{Im} k>0$ или Im $k<0$, можно выполнить наиболее общую вариацию $\delta$ для данных рассеяния $a, b$ или $\bar{a}, \bar{b}$ соответственно. В этом случае для аналитичности $b$ и $b$ требуется, чтобы функция $Q$ имела компактный носитель. Уравнения (3.5.17), (3.5.18) заменяются теперь уравнениями
\[
\begin{aligned}
\delta a+a \delta k & =-\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}(f, \psi), \\
\delta b+b \delta k & =\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}(\varphi, \bar{\psi}),
\end{aligned} \quad \operatorname{Im} k>0,
\]

так что
\[
\delta\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{1}{2 i k a^{2}} I_{\Delta}(\varphi, \varphi) \equiv \Omega b a^{-1}, \quad \operatorname{Im} k>0 .
\]

Для данных рассеяния $\bar{a}, \bar{b} \delta$-вариация находится путем комплексного сопряжения уравнений (3.5.52). Если $k \in C\left(\mathbb{F}^{n+1}, C\right)$, то для любой орбиты $\delta, t=t(u), y=y(u)$ существует индуцированная кривая $k(u) \equiv k(t(u), y(u))$ в комплексной плоскости $k$. Пусть, в частности, $k_{j}$ соответствует собственному значению $\lambda_{j}=$ $=k_{\bar{j}}$ оператора L. Тогда функционал
\[
D_{+}(k)=-i b(k)\left(k-k_{j}\right) / a(k),
\]

вычисляемый при постоянных значениях $t$ и $y$, корректно определен, дифференцируем и имеет значение
\[
D_{+j} \equiv D_{+}\left(k_{j}\right)=-i b_{j} / \dot{a}_{j}
\]

при $k=k_{j}$, являющейся нормировочной постоянной для соответствующей собственной функции $\psi_{j}$, как было показано в разд. 3.3 и 3.4. Из (3.5.53) и (3.5.54) получаем
\[
\left(\delta D_{+}(k)-\Omega(k) D_{+}(k)\right) \cdot\left(k-k_{j}\right)-D_{+}(k) \delta\left(k-k_{j}\right)=0 .
\]

Это на самом деле семейство операторов, зависящее от параметра $k$ : в обозначениях разд. 3.3
\[
{ }_{k} \delta={ }_{k} X^{t}(t, y)\left(\frac{\partial}{\partial t}+k_{t} \frac{\partial}{\partial k}\right)+{ }_{k} X^{y}(t, y)\left(\frac{\partial}{\partial y}+k_{y} \frac{\partial}{\partial k}\right) .
\]

Если предположить, что коэффициенты ${ }_{k} \delta$ аналитичны, то
\[
{ }_{k} \delta={ }_{k_{j}} \delta+\left(k-k_{j}\right)_{k_{j}} \delta_{k}+O\left(\left|k-k_{i}\right|^{2}\right)
\]

и (3.5.56) может быть переписано в виде
\[
\begin{aligned}
\left({ }_{k} \delta D_{+}(k)-\Omega(k) D(k)-\right. & \left.D_{+}(k)_{k_{j}} \delta_{k}\left(k-k_{j}\right)\right)\left(k-k_{j}\right)+ \\
& +{ }_{k_{j}} \delta\left(k-k_{j}\right)+O\left(\left|k-k_{j}\right|^{2}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Можно вычислить предел при $k \rightarrow k_{j}$ двумя способами. Заметим сначала, что $k_{j} \delta k_{j}=0$; тогда, переходя к пределу, получим
\[
\begin{aligned}
\left.k_{j} \delta k\right|_{k=k_{j}}=(\delta k)_{k=k_{j}} & \equiv X^{t}\left(t, y, k_{j}\right) k_{i t}+ \\
& +X^{y}\left(t, y, k_{j}\right) \cdot k_{i y}=0, \quad j=1 \ldots, M .
\end{aligned}
\]

Затем разделим (3.5.59) на ( $k-k_{j}$ ) и перейдем к пределу, используя $(3.5 .60)$. Тогда получим
\[
\begin{array}{r}
k_{j} \Delta D_{j}(t, y)-\Omega\left(t, y, k_{j}\right) D_{+j}(t, y)-D_{+j}(t, y)_{k_{j}} \Delta_{k} k_{j}(t, y)=0 \\
j=1, \ldots, M .
\end{array}
\]

При выводе этой формулы мы пользовались двумя фактами:
\[
\left.\left.\delta k(t, y)\right|_{i=k_{j}} \equiv \Delta k(t, y)\right|_{k=k_{j}} \text { и }\left.\delta_{k} k(t, y)\right|_{k=k_{j}} \equiv \Delta_{k} k(t, y)_{k=k_{j}} .
\]

Уравнение (3.5.61) остается справедливым и для того случая, когда функция $Q$ не имеет компактного носителя. В этом случае интеграл в (3.5.53) сходится только в собственных значениях оператора L. Дальше для продолжения доказательства вводится подходящая аналитическая функция $l(k)$, такая что $l\left(k_{j}\right)=b_{j}$ и $l_{k}\left(k_{j}\right)=b_{k j}$. Существование интегрального представления $b_{k j}$ следует из интегрального представления (3.3.64) и теоремы 3.1. В общем случае (3.5.60) является нелинейным уравнением для $k_{j}$. Однако если $k_{j}$ уже определено, то уравнение (3.5.61) линейно. Мы не будем рассматривать общее семейство разрешимых уравнений, поскольку анализ уравнения (3.5.60) труден. Частные решения все-таки можно было бы получить, но для целей нашей книги мы ограничим себя в оставшейся части этого раздела и в следующей главе случаем, представляющим наибольший интерес: $\Delta \equiv$ $\equiv \partial / \partial t$ и $C_{1}, C_{2}$ — функции только от переменной $k^{2}$. В этом случае $S_{+}(t)$ единственным образом определяется множеством $S_{+}\left(t_{0}\right)$. Дальше мы увидим следующее интересное свойство соответствующих разрешимых уравнений. Линеаризируя (3.5.46), получим
\[
C_{1}\left(-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) Q_{t}(x, t)+C_{2}\left(-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) Q_{x}(x, t)=0,
\]

и, полагая $Q(x, t)=\exp (i(\omega t-k x))$, приходим к дисперсионному соотношению
\[
\omega(k)=k C_{2}\left(\frac{1}{4} k^{2}\right) / C_{1}\left(\frac{1}{4} k^{2}\right),
\]

из которого мы выводим, что фазовая скорость элементарного решения $\omega / k$ определяет класс эквивалентности разрешимых нелинейных уравнений. Два уравнения принадлежат к одному и тому же классу эквивалентности, если $C_{2}^{1}=E . C$ и $C_{1}^{1}=E . C_{1}$, где $E$ — вещественная аналитическая функция от $k^{2}$. Для того чтобы подытожить полученные до сих пор результаты, сформулируем в явном виде, что значит «достаточно быстро». Функция $Q$ называется быстро убываюце й или принадлежащей классу Шварца, если она принадлежит пространству $C^{\infty}$ и
\[
\sup _{(x, t) \in \mathbb{R}^{2}}\left|x^{\alpha_{1}} t^{\alpha_{2}} \frac{\partial^{\beta_{1}+p_{12}} Q}{\partial x^{\beta_{1}} \partial t^{\beta_{2}}}\right|<\infty,
\]

где $\alpha_{i}, \beta_{i}$ — неотрицательные целые числа. Если просмотреть в обратном порядке процесс, при помощи которого мы получили разрешимые уравнения, то обнаружится, что если функция $Q(x, t)$ может быть единственным образом реконструирована по множеству $S_{+}(t)$, то задача с начальными данными разрешима при условии, что функция $Q\left(x, t_{0}\right)$ удовлетворяет общему условию Шварца:
$\sup _{(x, t) \in R^{2}}\left|t^{\chi_{2}} x^{\alpha_{1}} \frac{\partial^{\beta_{1}+\beta_{2}} Q}{\partial x^{\beta_{1}} \partial t^{\beta_{2}}}\right|<\infty, \beta_{1}$ целое,
$\beta_{2}$ неотрицательное целое.

Таким образом, если мы интерпретируем отрицательные индексы как «антипроизводные», то мы сможем убедиться, что интегралы от функций $Q\left(x, t_{0}\right)$ и $Q_{t}\left(x, t_{0}\right)$ тоже являются быстро убывающими функциями в смысле данного выше определения. На самом деле нам потребуются только два значения $\beta_{2}$ — нуль и единица, но для простоты мы используем более общее утверждение. Это конечно, очень сильное условие на функцию $Q\left(x, t_{0}\right)$. Для специальных разрешимых уравнений оказываются достаточными гораздо более слабые условия (см. разд. 4.1), но это — простейшее условие, которое можно наложить для того, чтобы $Q$ было классическим решением для любого уравнения из семейства разрешимых уравнений типа (3.5.46).

Теорема 3.11. Если $\int_{-\infty}^{\infty}\left|Q\left(x, t_{0}\right)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$, то данные рассеяния определяются единственным образом по $Q\left(x, t_{0}\right)$. Функция $\Omega(k)$ определяет класс эквивалентности разрешимых нелинейных эволюционных уравнений
\[
C_{1}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{t}(x, t)+C_{2}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{x}(x, t)=0,
\]

каждому члену которого отвечает одно и то же $S_{+}(t)$,
\[
\begin{aligned}
R_{+}(t) & =R_{+}\left(t_{0}\right) \exp \Omega(k)\left(t-t_{0}\right), \\
D_{+j}(t) & =D_{+j}\left(t_{0}\right) \exp \Omega_{j}\left(t-t_{0}\right), \Omega_{j}=\Omega\left(k_{j}\right), \\
k_{j}(t) & =k_{j}\left(t_{0}\right),
\end{aligned}
\]
$\Omega(k)=-2 i k C_{2} / C_{1} \equiv-2 i \omega(2 k), \quad \omega=\omega(k)$ — дисперсионное соотноиение соответствующего линеаризованного уравнения.

Достаточное условие для того, чтобы функция $Q$ была решением задачи с начальными данными, состоит в том, чтобы начальные условия были определены таким образом, чтобы это гарантировало принадлежность восстановленной функции $Q$ общему классу IIварца.

Одна из задач, возникающих здесь, состоит, как мы увидим в следующей главе, в том, чтобы определить начальные данные для произвольного разрешимого уравнения. В качестве примеров нелинейных уравнений, разрешимых этим обратным методом, можно привести следующие: Кдф
\[
\begin{array}{c}
C_{1}\left(k^{2}\right)=1, \quad C_{2}\left(k^{2}\right)=-4 k^{2} \\
Q_{t}-6 Q Q_{x}+Q_{x x x}=0 .
\end{array}
\]

Иерархия КдФ
\[
\begin{array}{c}
C_{1}\left(k^{2}\right)=1, C_{2}\left(k^{2}\right)=a_{i} k^{2 i}, a_{i} \in \mathbb{R} ; \\
Q_{t}+a_{i}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{2 i} Q_{x}=0 .
\end{array}
\]

Это то же самое множество уравнений, которое было выведено в разд. 3.1 с использованием пары Лакса, поскольку оба множества уравнений имеют одно и то же линеаризованное дисперсионное соотношение и $C_{1} \equiv 1$.
Уравнение длинных волн
\[
\begin{array}{c}
C_{1}\left(k^{2}\right)=\left(1+k^{2}\right), \quad C_{2}\left(k^{2}\right)=-4 ; \\
Q_{x x t}-4 Q_{t}-4 Q Q_{t}+2 Q_{x} \int_{x}^{\infty} Q_{t} d y+Q_{x}=0 .
\end{array}
\]

Это уравнение сводится к уравнению КдФ в пределе длинных волн малой амплитуды и имеет хорошие свойства устойчивости, т. е. слабо реагирует на возмущения в виде коротких волн.

Наконец, рассмотрим, какую роль играет $a$ в этом обратном методе. Из уравнений (3.5.22)-(3.5.26) примерно тем же способом, каким было получено уравнение (3.5.28), можно получить, что
\[
\mathbf{L}_{2} u v=k^{2} u v+\frac{1}{2}\left(u_{x x} v-u_{x} v_{x}\right)(\infty),
\]

где $\mathbf{L}_{2}$ — оператор, определенный в (3.5.47). В частности,
\[
\mathbf{L}_{2} \varphi \Psi=k^{2} \varphi \psi-k^{2} a,
\]

поскольку
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L}_{2} 1=\frac{1}{2} Q, \\
\left(\mathbf{L}_{2}-k^{2} \mathbf{I}\right) \cdot\left[\frac{\Phi \Psi}{a}-1\right]=-\frac{1}{2} Q .
\end{array}
\]

Хотя след резольвентного оператора не определен, можно определить регуляризованный след, соответствующий эталонному оператору $\mathbf{L}_{0} \equiv \mathbf{L}(Q=0)$ :
\[
d(\lambda) \equiv \operatorname{Tr}\left((\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})^{-1}-\left(\mathbf{L}_{0}-\lambda \mathbf{I}\right)^{-1}\right) .
\]

Для изоспектрального уравнения Шрёдингера, используя определение ядра резольвенты, данное в (3.4.12), можно найти, что
\[
d\left(k^{2}\right)=-\frac{1}{2 k} \frac{d}{d k} \log a(k)=\frac{i}{2 k} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\varphi \psi}{a}-1\right) d x,
\]

так что, используя (3.5.68), мы формально получаем
\[
\frac{d}{d k} \log a(k)=\frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{L}_{2}-k^{2}\right)^{-1} Q d x .
\]

Кроме того, можно переписать (3.5.17) в терминах резольвентного оператора для оператора $\mathbf{L}_{2}$ :
\[
\Delta a=-\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}(\varphi, \psi)=-\frac{a}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q\left(\frac{\varphi \psi}{a}-1\right) d x,
\]

при граничных условиях на $\Delta Q$. Затем, используя (3.5.68), находим, что
\[
\Delta \log a(k)=\frac{1}{4 i k} \int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q\left(\mathbf{L}_{2}-k^{2}\right)^{-1} Q d x .
\]

Уравнения (3.5.72) и (3.5.73) крайне интересны и важны. Предполагая справедливость разложения $\left(\mathbf{I}-\mathbf{L}_{2} / k^{2}\right)^{-1}$ для больших значений $k$, мы получаем из (3.5.71)
\[
\frac{d}{d k} \log a(k) \sim \frac{-i}{2 k^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\mathbf{L}_{2}}{k^{2}}\right)^{n} Q d x \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Выполняя формальное интегрирование, получаем
\[
\log a(k) \sim \frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)} \cdot \frac{1}{k^{2 n+1}}\left(\mathbf{L}_{2}\right)^{n} Q d x \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Полагая по определению
\[
c_{2 n+1} \equiv \frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathbf{L}_{2}^{n} Q}{(2 n+1)} d x,
\]

мы получаем формулу следов, принадлежащую Захарову и Фаддееву [1971]. Первые три члена разложения будут иметь следующий вид:
\[
c_{1}=\frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} Q d x, \quad c_{3}=\frac{i}{8} \int_{-\infty}^{\infty} Q^{2} d x, \quad c_{5}=\frac{i}{32} \int_{-\infty}^{\infty}\left(Q_{x}^{2}+2 Q^{3}\right) d x .
\]

Справедливость этого разложения можно доказать, если получить асимптотическое разложение для $\log a$, отправляясь от изоспектрального уравнения Шрёдингера. Нетрудно видеть, что $\Delta a=0$. Из (3.3.60) и (3.5.21) имеем
\[
\Delta\left|R_{+}\right|^{2} \perp \Delta\left|T_{+}\right|^{2}=\Delta\left|T_{+}\right|^{2}=0
\]

поскольку $\Omega$ мнимое. Тогда из (3.4.61) следует, что $\Delta a=0$. Кроме того, можно непосредственно показать, что интеграл в правой части (3.5.73) тождественно равен нулю для разрешимых уравнений. Однако уравнение (3.5.73) становится нетривиальным, если $\Delta$ интерпретируется как функциональная производная.

Функциональная производная, или производная Фреше, определяется следующим образом:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Delta \mathscr{F}(Q)}{\Delta Q} \cdot v d x \equiv \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{d}{d \varepsilon} \mathscr{F}(Q+\varepsilon v)
\]

здесь
\[
\mathscr{F}(Q)=\int_{-\infty}^{\infty} F\left(Q, Q_{x}, \ldots, Q_{n x}\right) d x .
\]

Число $n$ в (3.5.78) — целое и положительное.
\[
\text { Так, например, если } \mathscr{F}(Q)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(Q_{x}^{2}+2 Q^{3}\right) d x \text {, то }
\]
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{d}{d \varepsilon} \int_{-\infty}^{\infty}\left\{\left(Q_{x}+\varepsilon v_{x}\right)^{2}+2(Q+\varepsilon v)^{3}\right\} d x=\int_{-\infty}^{\infty}\left(6 Q^{2}-2 Q_{x x}\right) v d x
\]
(после интегрирования по частям), так что
\[
\frac{\Delta \mathscr{F}(Q)}{\Delta Q}=6 Q^{2}-2 Q_{x x}
\]

До сих пор предполагалось, что функция $v$ принадлежит тому же пространству, что и функция $Q$; так, например, можно предполагать, что это пространство функций Шварца общего типа. Простое обобщение определения позволит нам определить про-
изводную Фреше и для этого случая (для этого просто надо разрешить числу $n$ в формуле (3.5.78) принимать любое целое значение, интерпретируя при этом отрицательные индексы как интегралы). Легко видеть из определения, что производная Фреше, если ограничиваться только функциями, принадлежащими классу Шварца, представляет собой в точности оператор Эйлера-Лагранжа в этом функциональном пространстве:
\[
\frac{\Delta}{\Delta Q}=\frac{\partial}{\partial Q}-\frac{d}{d x} \frac{\partial}{\partial Q_{x}}+\frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{\partial}{\partial Q_{x x}}-\cdots .
\]

Проверка дифференцированием показывает, что (3.5.73) можно интерпретировать как этот тип вариационной производной. Это происходит потому, что оператор полного дифференцирования и производная Фреше коммутируют, так что предположения, сделанные при выводе формулы (3.5.73), остаются верными и в этом случае. Это значит, что (3.5.81) можно принять в качестве определения вариации функции $\log a$, если функция $Q$ меняется произвольным образом (не обязательно как решение) в функциональном пространстве. При $|k| \rightarrow \infty$ формула (3.5.73) дает асимптотику
\[
\Delta \log a \sim-\frac{1}{4 i k^{3}} \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \Delta Q\left(\frac{\mathbf{L}_{2}}{k^{2}}\right)^{n} Q d x \text { при }|k| \rightarrow \infty,
\]

но
\[
\log a \sim \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{c_{2 n+1}}{k^{2 n+1}}\right) \text { при }|k| \rightarrow \infty,
\]

и, следовательно,
\[
\frac{\Delta c_{2 n+3}}{\Delta Q}=\frac{1}{4 i}\left(\mathrm{~L}_{2}\right)^{n} Q
\]

Полагая $C_{2}\left(\mathrm{~L}_{2}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{j}\left(\mathbf{L}_{2}\right)^{j}, C_{1} \equiv 1$ и используя затем формулу (3.5.84), мы увидим, что соответствующее разрешимое уравнение может быть записано в гамильтоновой форме
\[
Q_{t}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{\Delta \mathscr{C}}{\Delta Q}\right\}=0
\]

с гамильтонианом
\[
\mathscr{H}=\sum_{j=1}^{n} 4 i a_{j} c_{2 j+3} .
\]

Отсюда следует, что существует гамильтонова структура, ассоциированная с иерархией уравнений Лакса. Так, если, например, взять $\mathscr{H}=-16 i c_{5}$, то после использования (3.5.81) окажется, что мы получили уравнение КдФ (3.1.1) с изменением масштаба $q=-6 \alpha^{-1} Q$. Этот аспект теории уравнений, разрешимых методом обратного преобразования рассеяния, так же как и гамильтоновы формы уравнений для рациональных линеаризованных дисперсионных соотношений, выводят нас за рамки настоящей книги. Дальнейшие подробности содержатся в статье Захарова и Фаддеева [1971], в статьях Гельфанда и Дикого [1975-78], в работе Флашки и Ньюэлла [1975], Додда и Буллафа [1979].

В разд. 3.2 мы вывели иерархию уравнений КдФ, используя существование пары Лакса (A, L) (теперь ее часто записывают как (P, L) в честь Питера Лакса), где L — изоспектральный оператор Шрёдингера. Мы обратились к иерархии КдФ, поскольку она ассоциирована с оператором L. В этом разделе мы получили большой класс разрешимых нелинейных уравнений, и нам бы хотелось показать, что они тоже ассоциированы с некоторыми парами, т. е. определить оператор А в паре Лакса. Вообще говоря, это довольно сложный процесс. Однако для иерархии Лакса существует сравнительно прямой путь, и мы его сейчас опишем. Диагональ резольвентного ядра определяется формулой
\[
R\left(x, x, k^{2}\right)=\frac{i}{2 k a(k)} \psi(x, k) \varphi(x, k), \quad \operatorname{Im} k>0,
\]

которая является непосредственным следствием определения резольвентного ядра, данного в разд. 3.4. Из (3.5.72) ясно, что
\[
\frac{\Delta \log a}{\Delta Q}=R \text {. }
\]

Из асимптотического разложения этого выражения при больших $k$ и из соотношений (3.5.85), (3.5.86), (3.5.84) следует, в частности, что
\[
R_{j+1}=\mathrm{L}_{2} R_{j},
\]

где $R_{j}$ являются коэффициентами асимптотического разложения
\[
R \sim \sum_{j=0}^{\infty} \frac{R_{j}}{k^{2 j+1}} \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty .
\]

Дифференцируя теперь (3.5.68), мы видим, что $R$ удовлетворяет линейному уравнению третьего порядка
\[
-R_{x x x}+2 Q_{x} R+4\left(Q-k^{2}\right) R_{x}=0 .
\]

В наших обозначениях разрешимые уравнения этого типа могут быть записаны так:
\[
Q_{t}+\frac{\partial}{\partial x} \sum_{j=0}^{n} b_{j} R_{j}=0 .
\]

Поэтому ясно, что коммутатор операторов $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}_{j}$ кратен $R_{j x}$. Если мы интерпретируем оператор $R$, заданный в (3.5.90), как порождающую функцию, то мы можем получить порождающий оператор для операторов, отвечающих функциям $R_{j}$, входящим в (3.5.92), следующим путем:
\[
-R_{x} \equiv[\mathbf{L}, \mathbf{A}] \text {. }
\]

Здесь $\mathbf{A}$ — порождающий оператор для операторов $\mathbf{A}_{j}$. Далее, $-R_{x}=-R_{x}\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-1}=$
\[
\begin{array}{r}
=\left(R_{x} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-Q R_{x}+k^{2} R_{x}\right)\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-1}= \\
=\left(R_{x} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{4} R_{x x x}+\frac{1}{2} Q_{x} R\right)\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Последнее выражение получается после подстановки $k$ из формулы (3.5.91). Кроме того, можно получить
\[
\begin{aligned}
{[\mathbf{L}, \mathbf{A}]=(\mathbf{L} a-a \mathbf{L}) } & \left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-1}= \\
= & \left(-a_{x x}-2 a_{x} \frac{\partial}{\partial x}+Q a-a Q\right)\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-\mathbf{1}},
\end{aligned}
\]

если положить
\[
\mathbf{A}=a\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-1} .
\]

Затем, сравнивая (3.5.95) с (3.5.94) и предполагая, что $a$ — оператор первого порядка, мы можем получить требуемое представление
\[
\mathbf{A}=\left(-\frac{1}{2} R \frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{4} R_{x}\right)\left(\mathbf{L}-k^{2}\right)^{-1}
\]

Операторы $\mathbf{A}_{j}$ получаются из асимптотического разложения порождающего оператора
\[
\mathbf{A}=\sum_{j=1}^{\infty} \frac{\mathbf{A}_{j}}{k^{2 j+1}} \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Оператор для уравнения КдФ получается, если взять подходящий олератор, кратный оператору $\mathbf{A}_{2}$. Неприятный множитель $i$, появляющийся в наших выкладках, можно убрать, если сделать замену переменной $k \rightarrow i k$.

После того как мы установили теоретико-операторный метод получения разрешимых уравнений, кажется естественным вонрос, нельзя ли таким же путем получить временну́ю эволюцию данных рассеяния без обращения к свойствам самого изоспектрального уравнения Шрёдингера. К сожалению, детали такого подхода еще не проработаны. Однако мы можем применить некоторые идеи разд. 3.4, относящиеся к сплетающим операторам, для того, чтобы охарактеризовать суть такого метода. Положим $\mathbf{L}_{0} \equiv$ $\equiv \mathbf{L}(Q=0)$ и $\mathbf{L} \equiv \mathbf{L}(Q(t))$; тогда, определяя $\mathbf{U}_{ \pm}$так же, как мы это делали в разд. 4, из определения сплетающего оператора (3.4.46) получим, что
\[
\mathbf{L}_{t}=\left[\mathbf{A}_{ \pm}, \mathbf{L}\right], \quad \text { где } \quad \mathbf{A}_{ \pm}=\mathbf{U}_{ \pm t} \mathbf{U}_{ \pm}^{*}
\]

и
\[
\begin{aligned}
s_{t}=\left(\mathbf{U}_{+}^{*} \mathbf{U}_{-}\right)_{t}=\mathbf{U}_{+t}^{*} \mathbf{U}_{-}+\mathbf{U}_{+}^{*} \mathbf{U}_{-t} & = \\
=\mathbf{U}_{+}^{*} A_{+}^{*} \mathbf{U}+\mathbf{U}_{+}^{*} \mathbf{A}_{-} \mathbf{U}_{-} & \equiv \mathbf{U}_{+}^{*}\left(\mathbf{A}_{-}-\mathbf{A}_{+}\right) \mathbf{U}_{+} \mathbf{S},
\end{aligned}
\]

здесь, как и раньше, использован тот факт, что операторы $\mathbf{A}_{ \pm}$ являются антиэрмитовыми, что легко доказывается дифференцированием по $t$ условия унитарности операторов $\mathbf{U}_{ \pm}$. Если преобразовать (3.5.100) к спектральному представлению оператора $\mathbf{L}_{0}$, то получим
\[
\tilde{\mathbf{S}}_{t}=\widetilde{\mathbf{B}} \cdot \tilde{\mathbf{S}}, \text { где } \widetilde{\mathbf{B}}=\mathbf{T}_{0} \mathbf{U}_{+}^{*}\left(\mathbf{A}_{-}-\mathbf{A}_{+}\right) \mathbf{U}_{+} \mathbf{T}_{0}^{*} .
\]

Оператор $\widetilde{\mathbf{B}}$ предполагается диагональным (поскольку оператор $\widetilde{\mathbf{B}}$ неограничен, это условие следует рассматривать как дополнительное). Таким образом мы получили уравнение для эволюции матрицы рассеяния. Соответствующий пример приведен у Флашки и Ньюэлла [1975].