На протяжении этой книги наше внимание было приковано к методу обратной задачи рассеяния для интегрируемых нелинейных уравнений, ассоциированных с двумя наиболее изученными линейными операторами: оператором Шрёдингера в гл. 3 и 4 и оператором АКНС-ЗШ, определенным на вещественной оси. Даже для этих методов обратной задачи рассеяния многие вопросы остаются открытыми. Примерами служат строгий математический подход к интегрируемым нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям; задача Коши для нелинейных эволюцнонных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния для системы АҚНС-ЗШ, для начальных данных, подчиняющихся более слабым ограничениям, нежели те, которых требует теорема 6.25 ; интерпретация сингулярного спектра в физических задачах. Более того, некоторые обобщения представляют физический интерес; например, метод обратной задачи рассеяния с начальными данными, не стремящимися к нулю при $|x| \rightarrow \infty$ (Қавата и Ино [1978] и Қавата и др. [1980]), и теория возмущений для почти интегрируемых уравнений. Последнее обобщение особенно важно. Хотя интегрируемые уравнения могут служить молелью, все же реально мы неизбежно вынуждены работать с нелннейпыми уравнениями, которые сами не являются интегрируемыми, но в некоторых случаях могут быть представлены как возмущения интегрируемых уравнений. Хотя теоретические методы исследования далеко продвинуты, однако во многих случаях они обладают серьезным недостатком – трудностями в интерпретации результатов (в некоторых случаях мы в конце концов приходим к уравнениям, численное решение которых столь же трудно, как для исходных уравнений).

Для интегрируемых уравнений, у которых регуляризированный фуикционал-след резольвентного оператора является интегралом движения, возможна гамильтонова формулировка метода обратной задачи рассеяния (Захаров и Фаддеев [1971], Фаддеев и Тахтаджян [1974], Захаров и Манаков [1974], Захаров и др. [1974], Флашка и Ньюэлл [1975 1, Додд и Буллаф [1979|). Тогда преобразование обратной задачи рассеяния соответствует симплектическому отображению, действующему между многообразиями, для которых данные рассеяния ( $S$ ) и функции, появляющиеся в L $(P)$, суть локальные коорлинаты. Специальный выбор кординат на $S$ переводит исходную симплектическую форму на $P$ в каноническую. В этой системе координат эволюционные уравнения для данных рассеяния становятся преобразованными гамильтоновыми уравнениями на $S$ из исходных нелинейных интегрируемых уравнений, залисанных в виде гамильтоновых систем на $P$. Канонические координаты на $S$ превращаются тогда в координаты типа действие-угол.

Такая формулировка метода обратной задачи рассеяния помимо присущей ей привлекательности обладает тем свойством, что она позволяет проквантовать некоторые физически интересные нелинейные интегрируемые уравнения. Например, нелинейное уравнение Шрёдингера (Кауп [1975]) и СГ-уравнение (Фаддеев и Тахтаджян (1974 l) были проквантованы именно таким образом. Это так называемая полуклассическая (квазиклассическая) процедура, и она согласуется с приближениями лервого порядка по $\hbar$, использующими функциональные интегралы или другие методы (Дашен и др. [1974, 1975], Корепин и Фаддеев [1975] и, например, Лютер [1976]).

В оставшейся части этого раздела мы нсключим из рассмотрения периодические и дискретные задачи и обратим внимание на обобщение методов этой книги для получения других интегрируемых нелинейных уравнений.

Қак было хорошо известно математикам, таким как Пенлеве, Гарнье и Шлезингер, работавшим в начале этого столетия над теорией дифференциальных уравнений, интегрируемые нелинейные дифференциальные уравнения возникают как условия интегрируемости, когда обыкновенные линейные дифхееренциальные уравнения преобразуются таким образом, чтобы сохранить некоторые «характеристикн\” уравнений. Так, интегрируемые нелинейные уравнения для двух независимых переменных, которые возникают благодаря изоспектральным деформациям, получаются из уравнений вида
\[
Y_{x}(k)=\mathbf{P}(k) Y(k),
\]

где $Y(k)=Y(x, t, k)$ есть $n$-координатный вектор-столбец в некотором функциональном пространстве, подвергаемый деформациям
\[
Y_{t}(k)=\mathbf{Q}(k) Y(k),
\]

сохраняющим спектр ( $k_{t}=0$, если $Y(k)$ есть решение). Легко проверить, что условия интегрнруемости $Y_{x t}=Y_{t x}$ дают уравнение
\[
\mathbf{P}_{\boldsymbol{t}}(k)-\mathbf{Q}_{x}(k)-[\mathbf{P}(k), \mathbf{Q}(k)]=0 .
\]

Производные в (6.4.3) суть полные производные для матричных функций $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$, которые, вообще говоря, зависят от множества функций $\left\{p_{i}(x, t), i=1, \ldots, m\right\}$ и их производных по $x$. Уравнения (6.4.3) должны быть независимы от $k$. Легко видеть, что два примера гл. 3 и 6 укладываются в эту схему. Возможны и другие виды деформаций, которые приводят к интегрируемым уравнениям. Во всех случаях законы сохранения позволяют просто вычислять деформации характеристических данных, ассоцированные с задачей. Например, в изоспектральной задаче эволюция данных рассеяния $S_{ \pm}$легко может быть получена для ннтегрируемых уравнений. Решение задачи при произвольных значениях независимых переменных восстанавливается затем с помощью преобразования обратной задачи рассеяния по этим характеристическим данным, Таким образом, метод, приспособленный для решения интегрируемых нелинейных уравнений, полученных деформациями с сохранением характеристики $A$, подобен мегоду обратной задачи рассеяния (см. разд. 4.2 и 6.2); мы назовем его обратным $A$-методом. Аналогично уравнения (6.4.2) тогда следует назвать изо- $A$ деформациями. Мы сейчас приведем краткий обзор результатов в этой области, появивнихся за последнсе десятилетие.