Изучение солитона как устойчивого частицеподобного состояния нелинейных систем настолько захватило воображение физиков и математиков всех направлений, что его без преувеличения можно считать одной из немногих междисциплинарных тем современной математической физики. Возможно, что эта тема провзаимодействует с широким спектром соответствующих дисциплин, оставив в конце концов их содержание неизменным и лишь сдвинув некоторые акценты. Только время покажет, так ли это.

У неискушенного читателя, желающего познакомиться с основными идеями указанной теории, может возникнуть вопрос: с чего начинать? Как показывает библиография, помещенная в конце книги, сейчас существует много руководств, рассматривающих предмет с разных точек зрения. Эта книга написана для читателя, который не имеет предварительных сведений ни о солитонах, ни о нелинейных волновых уравнениях и для которого современная научная литература может оказаться слишком трудной для начального чтения. Одна из отличительных черт данной книги попытка объединить идеи теории солитонов с изучением физических истоков рассматриваемых нелинейных уравнений. Кроме того, мы изучаем обратное преобразование рассеяния с такой степенью строгости, к которой обычно не стремятся авторы других руководств, хотя полное владение этим техническим материалом не столь существенно для понимания приложений теории. Мы будем в основном заниматься теорией и приложениями классических солитонов, ограничиваясь лишь кратким знакомством с квантовомеханическими эффектами, которые встречаются в физике частиц и в квантовой теории поля. Мы надеемся, что наш подход к проблемам привлечет внимание как специалистов, так и студентов, изучающих прикладную математику, теоретическую физику и смежные технические дисциплины.

Выбор тем в этой книге преследует две основные цели. Первая цель – изучение решений некоторых уравнений с помощью обратного преобразования рассеяния, а вторая состоит в изучении общих классов физических систем, порождающих эти уравнения. Оказывается, что эти цели совместимы, хотя количество уравнений, допускающих решение методом обратной задачи рассеяния, мало. Это точно интегрируемые эволюционные уравнения, такие как КдФ, мКдФ, sin-Гордон (СГ) и НШЛ, которые возникают самым естественным образом при изучении слабо нелинейных дисперсионных систем различных типов в различных пространственных и временных масштабах. Универсальность этих уравнений оказывается настолько поразительной, что многие были склонны видеть в этом нечто магическое. Одна из наших целей состоит в том, чтобы показать, что это не так: дисперсионные слабо затухающие или незатухающие нелинейные системы ведут себя одинаково, независимо от того, встречаются ли они при описании плазмы, классических жидкостей, лазеров или нелинейных решеток. Эволюция длинных волн, с одной стороны, и гармонические волновые пакеты в резонансных и далеких от резонанса системах, с другой стороны, наряду с другими нелинейными взаимодействиями – это классические явления, возникающие во многих отраслях физики и прикладной математики. Теперь их следует считать стандартными эффектами, автоматически возникающими при изучении таких систем. Изучение солитонов хороший пример такого поля деятельности, где объединены усилия специалистов разных направлений – от экспериментальной физики до чистой математики, и еще одна цель этой книги продемонстрировать важность междисциплинарного подхода начинающему исследователю.

C самого начала изучения солитонов стала ясной ценность тщательных численных экспериментов, дополненных аналитическими методами. Сейчас, когда стали актуальны задачи с более чем одной пространственной переменной, численные исследования становятся еще более популярными. Поэтому мы сочли полезным включить в книгу краткую главу о численных методах и их результатах.

В соответствии с этими соображениями мы тщательно отобрали материал по главам. Большинство студентов в США и Соединенном Королевстве, специализирующихся в прикладной и инженерной математике, довольно поверхностно знакомы с квантовой механикой. В то же время основные ее понятия и концепции, такие как коэффициенты прохождения и отражения, квадратично интегрируемые волновые функции и рассеяние на потенциале, абсолютно необходимы при изучении обратного преобразования рассеяния. Поэтому мы включили в книгу главу, посвященную элементарным понятиям квантовой механики и классическим и квантовым обратным задачам рассеяния. С другой стороны, большинство студентов, специализирующихся в теоретической физике, недостаточно знакомы с классической прикладной математикой, в частности с механикой жидкости или геофизической гидродинамикой. Эти студенты могут не знать таких приемов, как метод многих масштабов или метод растяжения координат.

Мы пытались прорабатывать некоторые примеры очень детально с самого начала, потому что считали, что не очень хорошо начинать изложение сразу с готового и неизвестно откуда взявшегося уравнения. Однако нам не всегда удавалось следовать этому принципу из-за недостатка места. Очевидные ограничения на объем книги не позволили нам рассмотреть ряд важных вопросов, например дискретные системы, методы алгебр Ли, случаи высших размерностей, теорию возмущений, а также другие интегрируемые системы, требующие более сложных изоспектральных операторов. Конечно, книга выиграла бы от включения этих разделов, но мы надеемся, что наши коллеги, специализирующиеся в этих областях, поймут наши трудности. Мы уверены, что отдали должное все значительным достижениям, хотя могли конечно, упустить из виду какие-то важные результаты. В конце книги в начале библиографии мы отметили список книг и статей, в которых можно найти многие из упомянутых выше вопросов.

Поскольку эта книга задумана как учебное пособие по основным методам и понятиям, а не как обзор результатов исследований последних лет, мы вынесли большинство ссылок на оригинальные работы в комментарии, помещенные в конце каждой главы. Введение к гл. 1 отчасти служит историческим очерком, а отчасти должно постепенно подвести читателя к идее квантового варианта метода обратной задачи рассеяния. Можно было бы назвать по меньшей мере дюжину имен исследователей, внесших существенный вклад в развитие этой теории, но мы думаем, что большинство согласится с нами в том, что в создании и разработке метода обратной задачи рассеяния наиболее важную роль сыграли М. Д. Крускал и В. Е. Захаров. Эта книга, включая список литературы и предметный указатель, была подготовлена к печати при помощи компьютерной системы обработки текста SCRIBE (Рейд и Уолкер [1979]). Копия для прямого репродуцирования (за исключением рисунков и формул) была подготовлена на принадлежащей Science and Engineering Research Council (SERC) системе Interactive Computing Facility, DEC-10 в Эдинбургском региональном ВЦ (ERCC) и затем репродуцирована на печатающем устройстве DIABLO. Мы хотели бы особенно поблагодарить Джеффа Филлипса из ERCC за его ценные консультации по всем проблемам, возникавшим в ходе работы с системами редактирования SERC ICF. Математические символы и рисунки были добавлены к тексту на последней стадии с помощью стандартной печатной машинки. Многие из рисунков и графиков были построены с помощью системы FR80 графопостроения на микрофильме в лаборатории SERC Резерфорд-Эпплтон с использованием редактора ICF. Мы чрезвычайно благодарны Шоне Маквикар, принявшей на себя тяжелый труд по вводу в ЭВМ основного текста с черновиков. Тина Ричардсон из Imperial College и $М$. Гарднер из HeriottWatt University выполнили искусную работу по внесению математических знаков в текст. Им, а также А. Дж. Марсленду, Дж. Стюарту и И. Сансонне, взявиим на себя труд по чтению корректур и перепечатке, мы приносим свою благодарность. Нам хотелось бы поблагодарить также Анну Тревийон и Энтони Уоткинсона из издательства Academic Press за их почти бесконечное терпение, когда мы пропускали один срок сдачи рукописи за другим. Мы благодарны всем читателям рукописи за полезные советы, хотя мы не снимаем с себя ответственности за оставшиеся в книге ошибки и упущения. Мы надеемся, что читатели доведут до нашего сведения информацию о всех обнаруженных ими ошибках и помогут сделать исправления, способствующие улучшению книги

Октябрь 1982.
Роджер Додд, Дж. Крис Эйлбек, Джон Гиббон, Хедли Моррис.