В разд. 7.5 мы ввели в рассмотрение абелевы калибровочные поля, ассоциированные с группой $U$ (1) одномерных комплексных унитарных матриц. В качестве обобщения мы можем рассмотреть более общую группу унитарных матриц $G$, содержащуюся в общей линейной группе всех невырожденных комплексных $(n \times n)$-матриц $G L(n, C)$. Мы ограничимся рассмотрением групп унитарных матриц, параметризованных $p<n^{2}$ вещественными параметрами. Можно показать, что элементы $g$ таких $p$-параметрических непрерывных групп матриц могут быть представлены в виде
\[
g=\exp i L_{A} \alpha^{A}, \quad A=1, \ldots, p, \quad \alpha^{A} \in \mathbb{R},
\]

где $L_{A}(A=1,2, \ldots, p)$ – множество $p$ эрмитовых матриц, размера $n \times n$, которые удовлетворяют множеству коммутационных соотношений вида
\[
\left[L_{A}, L_{B}\right]=i C_{A B C} L_{C} .
\]

Параметры $C_{A B C}$ суть постоянные характеристики $p$-параметрической группы, известные как структурные постоянные этой группы. Матрицы $L_{A}$ называются образующими элементами группы, на них натянуто линейное векторное пространство L. Из (7.9.2) следует, что коммутатор [ , ] определяет отображение $\mathrm{L} \times \mathrm{L} \rightarrow \mathrm{L}$ и превращает $\mathrm{L}$ в алгебру, известную как алгебра Ли группы $G$.

Естественное скалярное произведение на $G L(n, C)$ определяется формулой
\[
\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A^{+} B\right) .
\]

Часто оказывается возможным выбрать образующие $L_{A}$ так, чтобы они были ортогональны относительно этого скалярного произведения, т. е. чтобы выполнялись соотношения
\[
\left\langle L_{A}, L_{B}\right\rangle=C_{A} \delta_{A B},
\]

где иногда удобно выбирать $C_{A}
eq 1$.
В случае, когда группа неабелева, существует естественное действие группы $G$ на ее алгебре Ли $L$, известное как сопряженное действие и определенное следующим образом:
\[
\Phi \rightarrow_{g} \Phi=g \Phi g^{-1} .
\]

Эта операция выбирается как обобщение (7.5.5), причем матрица Ф заменяет скалярное поле $\varphi$. Қаждое из $p$ скалярных полей, параметризующих $\Phi$, преобразуется с помощью ( $p \times p$ )-матрицы, которая заменяет $(1 \times 1)$-матрицу $\widetilde{\beta}$. Преимущество такого выбора заключается в том, что норма $\|\Phi\|$, определенная формулой
\[
\|\Phi\|^{2}=\langle\Phi, \Phi\rangle
\]

инвариантна относительно сопряженного действия и обобщает инвариант $|\varphi|^{2}$ единственного скалярного поля $\varphi$. Заметим, однако, что возможны другие $G$-инвариантные комбинации полей $\Phi$, по которым можно построить $G$-инвариантный потенциал. В случае $d$ пространственных переменных наше обобщение (7.5.1), инвариантное относительно группы $G$, определяется действием
\[
\mathscr{E}_{\Phi}=\frac{1}{2}\left[\sum_{a=1}^{d}\|\Phi, a\|^{2}+2 V(\|\Phi\|)\right] .
\]

Преобразование (7.9.5) представляет собой обобщение калибровочного преобразования, а группу $G$ называют калибровочной epynnoü.

Рассмотрим теперь координатнозависимые калибровочные преобразования, определенные гладкими отображениями $g: \mathbb{R}^{d} \rightarrow G$, имеющими в координатах следующий вид:
\[
g: x \rightarrow \exp \left[i L_{A} \beta^{A}(x)\right] \text {. }
\]

Все функции $\beta^{A}: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}(A=1,2, \ldots, p)$ гладкие.
Для того, чтобы сделать уравнения, соответствующие (7.9.7), инвариантными относительно этих координатнозависимых калибровочных преобразований, мы введем в рассмотрение $d$ калибровочных полей $A_{a}$, принадлежащих $\mathbf{L}$, и построим ковариантную производную
\[
D_{a} \Phi=\left(\Phi_{a}-i\left[A_{a}, \Phi\right]\right),
\]

следуя (7.5.8), но допуская выбор сопряженного действия на матрице $Ф$.

Действие калибровочной группы на калибровочных полях $A_{a}$ определяется требованием того, чтобы $D_{a} \Phi$ преобразовывалось таким же образом, как $\Phi$, а именно
\[
\left(D_{a} \Phi\right)(x) \rightarrow\left({ }_{g} D_{a} \Phi\right)(x)=g(x)\left(D_{a} \Phi\right)(x) g^{-1}(x) .
\]

В результате получается преобразование
\[
A_{a}(x) \rightarrow\left({ }_{g} A_{a}\right)(x)=g(x) A_{a}(x) g^{-1}(x)+i g(x) g^{-1}(x),{ }_{a} .
\]

В абелевом случае полевой тензор $F_{a b}$ был инвариантным, но в неабелевом случае он таковым не является и должен быть заменен соответствующей инвариантной комбинацией. Определим полевой тензор $G_{a b}$ формулой
\[
G_{a b}=F_{a b}-i\left[A_{a}, A_{b}\right] .
\]

Тогда $G_{a b}$ преобразуется так же, как $\Phi$ и $D_{a} \Phi$,
\[
G_{a b}(x) \rightarrow\left({ }_{g} G_{a b}\right)(x)=g(x) G_{a b}(x) g^{-1}(x),
\]

и действие, по которому можно построить калибровочные модифицированные уравнения (если выбрать $C_{A}=1(A=1,2, \ldots$, ) ), представляет собой функционал вида
\[
\mathscr{E}_{\Phi, G}=\frac{1}{2}\left[\sum_{a=i}^{d}\left\|D_{a} \Phi\right\|^{2}+\|G\|^{2}+2 V(\|\Phi\|)\right] .
\]

где $\|G\|_{1}^{2}$ есть инвариантная норма, определенная формулой
\[
\|G\|^{2}=\frac{1}{2} \sum_{a b}\left\langle G_{a b}, G_{a b}\right\rangle .
\]

Если скалярное поле отсутствует, то уравнения, отвечающие члену (1/2) |G|, являются обобщениями уравнений Максвелла и называются уравнениями Янеа-Милла:
\[
D_{a} G_{a b}=0 .
\]

Если предположить, что потенциальная функция имеет конечное число нулей $c_{i}(i=1,2, \ldots, M$ ), то пространство решений с конечной энергией, обозначим его $F$, разбивается на $M$ секторов $A_{i}$, определенных следующим образом:
\[
A_{i}=\left\{\left(\Phi, A_{a}\right) \in F:\|\Phi\| \rightarrow c_{i} \quad \text { при } \quad\|x\| \rightarrow \infty\right\} .
\]

В каждом секторе функция $\|\Phi\|$ принимает своё асимптотическое значение на сфере в $L$ радиуса $c_{1}$.

Поэтому если $\Phi \in A_{i}$, то можно определить отображение $\tilde{\Phi}: S^{d-1} \rightarrow S^{p-1}$ с помоцью формулы
\[
\widetilde{\Phi}: \widehat{n} \rightarrow \lim _{|x| \rightarrow \infty} \Phi(|x| \hat{n}) c_{i}^{-1}
\]

Существование топологического заряда определяется свойствами $\pi_{d-1}\left(\mathcal{S}^{p-1}\right)$.