Раздел 2.1

Приложение метода обратной задачи рассеяния к проблеме дистанционной регистрации обсуждается в работе Миттры [1973].

Техника сканирования, развитая для рентгеновских лучей, описана в статье Смита и др. [1977 ].

Утверждение об обратимости преобразования $\mathscr{F}$ на $A(\mathbb{R})$ является чрезмерным упрощением, так как прообраз элемента пространства $A(\mathbb{R})$ не обязан принадлежать пространству $A(\mathbb{K})$. Лучше определить образ $A(\mathbb{R})$ как новое пространство $\tilde{A}(\mathbb{R})$, на котором определено преобразование $\mathscr{F}^{-1}$. Для того чтобы уравнения (2.2.11) и (2.2.12) были справедливы, потребуем, чтобы из условия $B \in \widetilde{A}(\mathbb{R})$ следовало $\exp (i k x) B \in \widetilde{A}(\mathbb{R})$.

Предположение, что функция $q^{t}(x)$ удовлетворяет граничным условиям (2.1.19), необходимо, поскольку, вопреки интуиции, из абсолютной интегрируемости функции не следует, что она должна стремиться к нулю на бесконечности.

Очень хороший обзор прямых и обратных задач можно найти в статье Келлера [1967].

Раздел 2.2
Этот раздел основывается на работе Келлера, Кея и Шмойса [1956].

Раздел 2.3

Предположение, что $\psi(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$, следующее за уравнением (2.3.10), необходимо, так как это не следует из свойств интегрируемости волновой функции. Мы вводим условие $\psi( \pm \infty)=$ $=0$ для того, чтобы оператор $H$ был корректно определен. Эволюционный оператор $U=\exp (-i H t)$ будет, таким образом, унитарным на области определения оператора $H$, и он может быть продолжен на все пространство $L^{2}$ (代) с сохранением нормы.

Непрерывная часть спектра оператора $L$ (уравнение (2.3.22)) не существует, если мы будем требовать, чтобы собственные функции удовлетворяли условию квадратичной интегрируемости: она состоит из обобщенных собственных значений, которые возникают при отказе от этого условия.

С математической точки зрения непрерывность производной требуется для того, чтобы обеспечить самосопряженность граничных условий для оператора $H=-d^{2} / d x^{2}+V(\underline{x})$.

Раздел 2.4

Метод разложения на множители описан в статье Инфельда и Халла [1951].

Полезное собрание статей по преобразованиям Бэклунда издано под редакцией Миуры [1976].