В нестационарной теории сверхпроводимости Ландау-Гинзбурга куперовские пары находятся в одном и том же состоянии и описываются единой волновой функцией $\Phi$, которая в этом случае удовлетворяет феноменологическому уравнению Шрёдингера в нестационарном виде:
\[
i \hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{1}{2 m^{*}}\left(-i \hbar
abla-e^{*} \mathbf{A}\right)^{2} \Phi+V(x) \Phi+\lambda \Phi|\Phi|^{2} .
\]

Функция $V(x)$ есть скалярный потенциал, а $e^{*}$ и $m^{*}$ суть заряд и масса куперовской пары. Величина $\mathbf{A}(x)$ обозначает векторный потенциал внешнего электромагнитного поля.

По аналогии с результатами для одномерного уравнения Шрёдингера, полученными в гл. 2, легко показать, что уравнение (7.8.56) можно записать в консервативном виде
\[
\rho, t=
abla \cdot \mathbf{j}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\rho=e^{*}|\Phi|^{2}, \\
\mathbf{j}=\frac{i \hbar}{2 m^{*}} e^{*}\left(\Phi^{*}
abla \Phi-\Phi_{
abla} \Phi^{*}\right)+\frac{\left(e^{*}\right)^{2}}{2 m^{*}}|\Phi|^{2} \mathbf{A} .
\end{array}
\]

Для нормированной волновой функции Ф скалярная величина $|\Phi|^{2}$ по-прежнему интерпретируется как нестационарное распределение куперовских пар в сверхпроводящем материале. Векторная величина $\mathbf{j}$ интерпретируется как вектор электрического тока, порожденный электромагнитным полем $\mathbf{H}$, удовлетворяющим уравнению Максвелла
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{j} .
\]

Заметим, что это фактически приводит к модификации уравнений Максвелла, поскольку векторный потенциал А входит явно в выражение для тока $\mathbf{j}$.

Рассмотрим экспериментальную конфигурацию, в которой два сверхпроводника разделены барьером из изолирующего материала. На рис. 7.26 изображена эта ситуация. Обычно используют слои из свинца и ниобия, разделенные слоем из окиси ниобия. В гл. 2 мы видели, что квантовая частица имеет ненулевую вероятность просочиться через потенциальный барьер, который был бы непреодолим для соответствующей классической частицы. Это явление проникновения через барьер обычно называется квантовым туннелированием. Совершенно аналогичным образом куперовская пара может туннелировать через промежуточный

Рис. 7.26. Контакт Джозефсона, образованный двумя слоями сверхпроводника, разделенных барьером из несверхпроводящего материала.

Рис. 7.27 (справа). Граница раздела.

слой, отделяющий два сверхпроводника. Это явление сверхпроводяцего туннелирования было рассмотрено Джозефсоном в его докторской диссертации в Кембридже в 1962 г. Мы сейчас рассмотрим это явление в контексте теории Ландау-Гинзбурга.
Контакты Джозефсона

Прежде чем перейти к рассмотрению квантовой стороны вопроса, мы сначала подробно рассмотрим классические электромагнитные аспекты этой проблемы.
Если мы запишем
\[
\Psi=\rho^{1 / 2} e^{i \Phi},
\]

то подстановка в (7.8.59) показывает, что сверхпроводящий электрический ток дается формулой
\[
\mathbf{j}=-\frac{e^{*^{2}} \rho}{m^{*}}\left[\mathbf{A}-\frac{\hbar}{e^{*}}
abla \Phi\right],
\]

которая может быть переписана в виде
\[

abla \Phi=\frac{e^{*}}{\hbar}\left[A+\frac{m^{*}}{e^{*^{\mathbf{1}} \rho}} \mathbf{j}\right] .
\]

Это выражение справедливо лишь для сверхпроводников. Если мы определим $\varphi$ как изменение фазы волновой функции поперек барьера,
\[
\varphi(x, y, t)=\Phi\left(x, y, 0^{+}, t\right)-\Phi\left(x, y, 0^{-}, t\right),
\]

то следующие простые рассуждения показывают, что функция $\varphi$ нетривиальна. На рис. 7.27 изображена граница раздела, взятая в качестве плоскости $(x, y), \mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ – две произвольные точки в барьере. Интегрируя вдоль замкнутой кривой $C$, показанной на рис. 7.27 , и предполагая, что $l$ больше глубины проникновения, получаем
\[
\varphi(\mathrm{Q})-\varphi(\mathrm{P})=\frac{e^{*}}{\hbar} \oint_{C}\left[\mathbf{A}+\frac{m^{*}}{e^{*^{2}} \rho} \mathbf{j}\right] d \mathbf{r},
\]

где $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ – две точки в непроводящем барьере с координатами $(x, y, 0)$ и $(x+\Delta x, y+\Delta y, 0)$ соответственно. Получается, что
\[
\varphi(\mathrm{Q})-\varphi(\mathrm{P})=\varphi, x \Delta x+\varphi, y \Delta y .
\]

По теореме Стокса
\[
\oint_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r}=\int_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}
\]

где $S$ – любая поверхность, имеющая своей границей кривую $C$. Выбирая в качестве $S$ прямоугольник, показанный на рис. 7.27 , мы легко находим, что
\[
d \mathbf{S}=2 l\left(\widehat{\mathbf{i}}_{x} \Delta x-\widehat{\mathbf{i}}_{y} \Delta y\right),
\]

и если мы предположим, что В постоянна вдоль плоскости, то получим, что
\[
\int_{\mathcal{S}} \mathbf{B} d \mathbf{S} \approx \Delta \mathbf{S} \cdot \mathbf{B}=\left(B_{y} \Delta x-B_{x} \Delta y\right) 2 l .
\]

Устремляя $\Delta x$ и $\Delta y$ к нулю, мы получим систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\varphi, x=\frac{e^{*}}{\hbar} B_{y} \cdot 2 l=\alpha B_{y}, \\
\varphi, y=-\frac{e^{*}}{\hbar} B_{x} \cdot 2 l=-\alpha B_{x},
\end{array}
\]

где
\[
\alpha=\frac{2 e^{*} l}{\hbar} .
\]

Эти уравнения дают нам информацию о пространственном изменении $\varphi$, но мы хотели бы также знать, как эта величина меняется во времени и как она связана с сверхпроводящим током через барьер.

Для получения нужного нам соотношения мы будем следовать анализу Фейнмана, в котором эта ситуация моделируется квантовой системой с двумя состояниями. На рис. 7.28 представлена такая модель; эта конфигурация известна как переход (контакт) Джозефсона.

В каждой из сверхпроводящих областей система описывается псевдоволновой функцией. В области 1 она обозначается через $\varphi_{1}$, а в области 2 – через $\varphi_{2}$. Если у нас имеется информация о потенциальном барьере, отвечающем непроводящему слою, то мы можем попытаться решить задачу рассеяния для нелиней ного уравнения Шрёдингера (7.8.56). Простая модель, рассмотренная Джозефсоном, относится к статической ситуации, когда волно-
Рис. 7.28. Схема перехода Джозефсона, представленная двумя областями из одного и того же сверхпроводника, разделенных в начале координат тонким слоем диэлектрика.

вые функции подчиняются стационарному нелинейному уравнению Шрёдингера в каждой из сверхпроводящих областей с потенциалом $V(x)$. Внутри непроводящего барьера волновая функция удовлетворяет обыкновенному уравнению Шрёдингера с отталкивающим потенциалом. Соответствующие уравнения Шрёдингера решаются в каждой из областей, а затем эти решения сшиваются на границе раздела так же, как это было сделано при решении элементарной задачи рассеяния в гл. 2. Однако вычисления довольно сложны, и подобные результаты проще получить, следуя интуитивным соображениям и используя аналогию между этой ситуацией и квантовой системой с двумя состояниями.

Предположим для простоты, что два сверхпроводника изготовлены из одного материала. Если бы две сверхпроводящих области не были связаны, то волновые функции в каждой области удовлетворяли бы нестационарному уравнению Шрёдингера вида
\[
i \hbar \varphi_{i, t}=\widehat{H}_{0} \varphi_{i} \quad(i=1,2) .
\]

Предположим далее, что в каждой из областей 1 и 2 система находится в собственном энергетическом состоянии с энергиями $U_{1}$ и $U_{2}$ соответственно:
\[
\widehat{H}_{0} \varphi_{i}=U_{i} \varphi_{i} \quad(i=1,2) .
\]

Каждый сверхпроводящий электрон заключен в своей области и не выходит за ее пределы, поэтому волновая функция $\varphi_{1}$ обращается в нуль в области 2 , а волновая функция $\varphi_{2}$ обращается в нуль в области 1. Значения $U_{i}$ представляют собой собственные энергии сверхпроводящих электронов в разделенных областях и потому не связаны между собой. Рассмотрим теперь ситуацию контакта Джозефсона, в которой непроводящий слой тонок и есть возможность квантового туннелирования. Волновая функция взаимодействующей системы теперь ненулевая в обеих областях. Собственные энергии больше не являются независимыми. Если имеется разность потенциалов $V$ по разные стороны от контакта, то собственные энергии будут удовлетворять соотношению
\[
U_{2}-U_{1}=e^{*} V .
\]

Предположим, что наличие непроводящего слоя можно моделировать с помощью гамильтониана взаимодействия $\hat{H}_{T}$, известного как гамильтониан туннелирования. Тогда суммарная квантовая система описывается гамильтонианом
\[
\widehat{H}=\widehat{H}_{0}+\widehat{H}_{T} .
\]

Особенно простая модель получается, если предположить, что через барьер туннелирует одна куперовская пара. Такую модель мы получим, если будем рассматривать нашу систему как систему с двумя состояниями. Мы будем считать, что контакт может находиться в двух состояниях. В первом состоянии, описываемом волновой функцией $\varphi_{1}$, куперовская пара находится слева от барьера, во втором состоянии, описываемом волновой функцией $\varphi_{2}$, куперовская пара находится справа от барьера. Волновая функция, описывающая взаимодействующую систему, как следует из общей теории, развитой ранее, представляется в виде линейной комбинации этих двух основных состояний. Равенства (7.8.11) превращаются в систему
\[
\begin{array}{l}
i h a_{1, t}=U_{1} a_{1}+K a_{2}, \\
i h a_{2, t}=U_{2} a_{2}+K a_{1},
\end{array}
\]

где мы предположили, что
\[
\left(\varphi_{i}, \widehat{H}_{\mathrm{T}} \varphi_{j}\right)=\delta_{i j} K .
\]

Выбирая точку начала отсчета энергии посредине между $U_{1}$ и $U_{2}$, запишем уравнения в следующем симметричном виде:
\[
\begin{array}{l}
i \hbar b_{1, t}=1 / 2 e^{*} V b_{1}+K b_{2}, \\
i \hbar b_{2, t}=-1 / 2 e^{*} V b_{2}+K b_{1} .
\end{array}
\]

Величины $\left|b_{1}\right|^{2}$ и $\left|b_{2}\right|^{2}$ являются вероятностями нахождения куперовской пары слева или справа от изолирующего слоя. Если мы выберем фазы основных состояний $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ так, чтобы эти вероятности были вещественными, то мы сможем записать равенство
\[
b_{i}=\sqrt{\rho_{i}} e^{i \theta_{i}} .
\]

Обозначая разность фаз через $\varphi$, т. е.
\[
\varphi=\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right),
\]

и подставляя эти значения в (7.8.79), получим после отделения вещественной и мнимой частей следующую систему:
\[
\begin{array}{l}
\rho_{1, t}=\frac{1}{\hbar} K \sqrt{\rho_{1} \rho_{2}} \sin \varphi, \\
\rho_{2, t}=\frac{1}{\hbar} K \sqrt{\rho_{2} \rho_{1}} \sin \varphi, \\
\theta_{1, t}=\frac{K}{\hbar} \sqrt{\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}} \cos \varphi-\frac{e^{*} V}{2 \hbar}, \\
\theta_{2, t}=\frac{K}{\hbar} \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}} \cos \varphi+\frac{e^{*} V}{2 \hbar} .
\end{array}
\]

Волновая функция в области $R_{i}$ имеет вид
\[
\psi_{i}=\sqrt{\rho_{i}} e^{i \theta_{\theta_{i}}} \varphi_{i}
\]

где каждая из базисных волновых функций $\varphi_{i}$ нормирована единицей на $R_{i}$. Для каждой из областей справедлив закон сохранения (7.8.57), и поэтому интегрирование по области $R_{i}$ позволяет получить следующий результат:
\[
j_{i z}=\rho_{i, t} .
\]

В реальном контакте Джозефсона функции $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ приблизительно совпадают с их общим значением $\rho_{0}$ и являются также приближенно постоянными во времени. На первый взгляд кажется, что это последнее свойство находится в противоречии с уравнениями (7.8.82)-(7.8.85). Однако это не так, поскольку не все характерные черты этой задачи были включены в уравнения. Из (7.8.87) мы видим, что $\rho_{1, t}$ есть сверхпроводящий ток из области 1. Этот ток вскоре зарядил бы область 2 , если бы не то обстоятельство, что имеется внешняя батарея, обеспечивающая разность потенциалов через барьер. Ток, который течет в цепи батареи, не был принят во внимание, хотя именно благодаря ему $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ смогли достичь постоянного значения $\rho_{0}$. Из-за того, что мы не учли вклада дополнительной цепи, уравнения (7.8.84) показывают лишь, как плотности начнут изменяться и какой ток начнет течь в первый момент. Объединяя (7.8.82)-(7.8.85) и (7.8.87), мы получим окончательный результат для сверхпроводящего тока, проходящего через барьер:
\[
j_{i z}=\bar{J} \sin \varphi,
\]

где
\[
\bar{J}=\frac{2 K \rho_{0}}{\hbar} .
\]

Внутри изолирующего слоя выполняются обычные уравнения Максвелла и появляется дополнительная плотность тока смещения
\[
j_{\mathrm{d} z}=c_{\mathrm{s}} V, t,
\]

где $c_{\mathrm{s}}$ есть емкость на единицу площади контакта. Уравнение Максвелла (7.8.60) теперь приводится к виду
\[
B_{y, x}-B_{x, y}=\mu_{0}\left(j_{1 z}+j_{\mathrm{d} z}\right) .
\]

Вычитая из (7.8.85) выражение (7.8.84), получим наш окончательный результат:
\[
\varphi, t=\frac{e^{*}}{\hbar} V .
\]

Если мы объединим теперь уравнения (7.8.70), (7.8.72), (7.8.88) и (7.8.92), то мы придем к известному уравнению
\[
\varphi, x x+\varphi, y y-\frac{1}{c^{2}} \varphi, t t=\frac{1}{\beta^{2}} \sin \varphi,
\]

где
\[
\beta=\left(\hbar / \mu_{0} e^{*} l l\right)^{1 / 2}, \quad c=\left(\mu_{0} c_{s} l\right)^{-1 / 2} .
\]

Если переход, который мы рассматриваем, очень узкий в том смысле, что изменениями в $y$-направлении можно пренебречь, то это уравнение сводится к стандартному виду уравнения СГ с одной пространственной и одной временной переменными.
Односолитонное решение задается формулой
\[
\varphi(x, t)=4 \operatorname{arctg} \exp \left[\beta^{-1} \gamma(x-c v t)\right],
\]

и соответствующее магнитное поле в $y$-направлении имеет вид
\[
B_{y}=2 \gamma \alpha^{-1} \operatorname{sech}\left[\beta^{-1} \gamma(x-c v t)\right] .
\]

Типичный импульс магнитного поля в форме гиперболического секанса распространяется вдоль перехода. Легко находится, что плотность тока $j_{1 z}$ равна
\[
j_{1 z}=-2 j \operatorname{sech}\left[\beta^{-1} \gamma(x-c v t)\right] \text { th }\left[\beta^{-1} \gamma(x-c v t)\right] ;
\]

график этой функции при $\mathrm{t}=0$ изображен на рис. 7.29. Из (7.8.69) мы находим, что суммарный поток магнитного поля, проходящий через барьер, выражается формулой
\[
\frac{h}{e^{*}} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi, x d x=\frac{2 \pi \hbar}{e^{*}} O(\varphi) .
\]

Таким образом, мы видим, что поток «квантуется» на порции размером $2 \pi \hbar / e^{*}$. Этот эффект впервые был предсказан Лондоном, который, однако, предполагал, что заряд $e^{*}$ есть заряд электрона. Когда же квантование потока было экспериментально продемонстрировано Дивером и Фэрбанком, квантовая единица оказалась равной половине ожидаемого значения. Теперь мы понимаем, что $e^{*}$ есть заряд куперовской пары, равный $2 e$. Таким образом, односолитонное решение (7.8.95) представляет отдельный квант потока вдоль перехода. Сходным образом, $N$-солитонные решения несут $N$ единиц потока, и их часто называют $N$-флюксонными $p e$ шениями. Решение (7.8.95) называется флюксоном. Иногда эти решения называют также вихревыми решениями по аналогии с соответствующими решениями типа II для сверхпроводников, упомянутыми в разд. 7.6.

Рис. 7.29.
Рассмотренные выше солитонные решения относятся к стандартному типу решений с граничными условиями на бесконечности. Они менее пригодны для контакта Джозефсона, где граничные условия типа
\[
\varphi_{, x}(0)=A, \quad \varphi_{x}(L)=B
\]

лучше подходят для описания экспериментальных конфигураций. Они ведут к более общим эллиптическим решениям того типа, что описаны в разд. 7.2.