Раздел 7.1
1. Механическую модель легко сконструировать, и она не должна быть особенно тщательно изготовленной, чтобы на ней можно было продемонстрировать поведение кинка. Кусок резинки-жлапши» с прямоугольным сечением, который можно приобрести в магазннах, где продаются материалы для детского технического творчества, может служить подходящей «закручивающейся пружиной». Достаточно куска длиной в два фута ( $\approx 60$ см). По всей длине резинки воткните в нее булавки с большими головками, которые обычно используют в картографии, с интервалом в полдюйма ( $\approx 1$ см), так, чтобы они располагались с одной стороны резинки. Теперь вы имеете наглядное пособие, которое может быть использовано и для демонстраций в классе, и для индивидуальных экспериментов.
2. Элементарный обзор по гомотопической теории, подходящий для студентов-математиков, может быть найден, например, в книгах Хокинга и Янга [1961] или Крума [1978]. Книг, ориентированных на физика или ивженера, очень мало, и мы рекомендуем вместо них статьи Мермина [1979] и Мичела [1980]. Более подготовленному читателю обычно рекомендуют руководства Спанье [1966] и Хилтона [1966]. К наиболее ранним статьям, в которых была указана связь между топологическими понятиями и «частицеподобными» характеристиками, относятся работы Скирма [1958] и Финкелстайна с соавторами (Финкелстайн и Мизнер [1959], Финкелстайн [1966], Финкелстайн и Рубинстайн [1968], Финкелстайн и Вейль [1978]). Большинство из этих статей может быть легко и с пользой прочтено студентами старших курсов.
3. Дальнейшие подробности, относящиеся к механическому маятнику, читатель может найти в работах Скотта $[1969,1970]$ или в более поздних исследованиях Фултона [1977].
4. Элементарное изложение теории эллиптических функций, пригодное для студентов-математиков, можно найти в учебнике Уиттекера и Ватсона [1962], а с более современной точки зрения – в монографии Ленга [1973]. Для физиков и инженеров полезна книга Берда и Фредмана [1954]. Специальные решения типа $\varphi^{t}=4 \operatorname{arctg}[f(x) g(x)]$ были впервые подробно рассмотрены Лэмом [1971] и недавно обобщены Қонстабиле и др. [1978].
Раздел 7.2
1. Первые статьи, в которых подробко были рассмотрены столкновительные и частицеподобные свойства солитонов уравнения СГ, принадлежали Перрингу и Скирму [1962] и Рубинстайну [1970].

Раздел 7.3
1. Наш подход к понятию топологического заряда в этом разделе следует неопубликованной работе Патани и др. [1976] и статье Арафуне и др, [1975]. Дальнейшие математические результаты можно найти в книгах Милнора [1965] и Гийемина и Поллака [1974]. Гомотопические группы для сфер вычислены и могут быть найдены в книге Тоды [1962].
2. Одна из тем, которую мы не рассматривали в основном тексте, относится к спину. Мы показали в этом разделе, что множество всех отображений $\varphi: R^{n} \rightarrow X$, обладающих свойством $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow x$ при $|\mathbf{x}| \rightarrow \infty$, может быть разделено на множество классов эквивалентности $Q_{\mathfrak{\mu}}$ гомотопически эквивалентных путей. Природа множества индексов $\mu$ зависит, разумеется, от $X$, и набор гомотопических классов $Q_{\mathfrak{\mu}}$ образует $n$-ю гомотопическую группу $\pi_{n}(X, x)$. Если, например, $X=S^{n}$, то можно показать, что $\pi_{n}\left(S^{n}\right)=Z$, где $Z$ – аддитивная группа целых чисел, и гомотопические классы можно пометить элементами из $Z$, так что мы обозначим их через $Q_{n}$. Функции, принадлежащие классу $Q_{n}$, все имеют степень $m$. В случае $n=1$ они соответствуют $m$ скруткам на угол $2 \pi$.

Предположим, что $n=3$, и мы рассматриваем поля, определенные на обычном евклидовом пространстве. Если уравнения, которым удовлетворяет поле, инвариантны относительно группы вращений на $\mathbb{R}^{3}$, то мы ожидаем, что множество решений уравнения будет отображаться в себя под действием таких преобразований. Поскольку вращение на угол 2 л вокруг какой-нибудь оси в $R^{3}$ не изменяет $R^{3}$, то естественно предлоложить, что в результате индуцированного действия на поле, отвечающего такому вращению на угол $2 \pi$, поле также не изменится. Поле имеет спин, равный $1 / 2$, если под действием такого $2 \pi$-врацения оно не остается неизменным, но меняет свой знак. Очевидно, что вращение на угол $4 \pi$ вернет поле к исходному состоянию. Если ф принадлежит гомотопическому классу $Q$, то при рассмотрении 1-параметрической группы вращений вокруг одной оси мы получим 1-параметрическое семейство функций в $Q$, отвечающих действию элемента этой группы на ф. Поскольку угол, увеличнваясь, меняется от 0 до $2 \pi$, то поле проходит путь в $Q$, который начннается с $\varphi$ и заканчивается – – . Теперь становится ясным, что существование полей со спином $1 / 2$ в данной модели связано с первой гомотолической группой $\pi_{1}(Q)$ классов эквивалентности $\pi_{n}(X)$. Для заданной теории поля, обладающей кинк-решениями, условимся говорить, что теория \”допускает спин», если существуют пути, начннающиеся и заканчивающиеся в некоторой точке $\varphi \in Q$, отвечающие повороту на угол $2 \pi$ вокруг некоторой оси и не принадлежащие к одному и тому же гомотопическому классу. Это означает, что $\pi_{1}(Q)$ должна содержать элемент порядка 2 , но одного этого условия недостаточно, поскольку этот элемент, кроме того, должен отвечать вращению на угол 2 л. За деталями, относящимися к вычислению $\pi_{1}(Q)$, мы можем отослать к статье Уильямса и др. (Уильямс [1970], Уильямс и Звенгровски [1977]).
Раздел 7.4
1. В этом разделе мы следуем лекциям Колемана [1977]. Несколько более строгую трактовку некоторых аспектов этих лекций можно найти в книге Джаффе и Тобза [1980].
2. Для классического нелинейного уравнения Қлейна-Гордона основные состояния даются решениямн уравнения $U^{\prime}(\varphi)=$ $=0$. В окрестности любого заданного решения $\eta$ этого уравнения уравнение Қлейна-Гордона можно линеаризовать. Когда система квантуется, эта линейная теория поля описывает элементарные возбуждения около основного состояния $\varphi$, определенные выражением $\langle\varphi\rangle=\eta$, где скобки означают среднее значение в вакууме.

В классической модели мы вводим новое поле $\chi$, определенное формулой $\varphi=\eta+\chi$, и полевье уравнения принимают вид $\left(\square \chi+U^{\prime \prime}(\eta) \chi\right)=O^{\prime}\left(\chi^{2}\right)$. Величина $U^{n}(\eta)$ теперь заменяет $m$ в этой локальной форме уравнения Қлейна-Гордона, и она отождествляется с квадратом массы соответствующего элементарного возбуждения. Если Ф – многокомпонентное поле, то мы получим матрицу массы $M_{a b}=\partial^{2} U / \partial \Phi_{a} \partial \varphi_{b}$, и ее собственные значения огределяют квадраты масс элементарных возбуждений. В этом случае мы получаем спектр масс. Если потенциал $U$ инвариантен относительно внутренней группы симметрии $G$, то применение преобразования $g \in G$, вообще говоря, изменит основное состояние на другое основное состояние $g \eta$. В квантовом случае вакуумное состояние не инвариантно относительно группы $G$. Состояния элементарных частиц, которые отвечают линеаризации около $\eta$, известны как бозоны $X$ иегса, и их спектр масс не проявляет симметрии $G$. Однако если мы определим подгруппу $H_{\eta}$ группы $G$ формулой $H_{\eta}=\left\{h \in G: h_{\eta}=\eta\right\}$, то спектр масс бозонов Хиггса будет иметь симметрию $H$. Симметрию $G$ называют нарушенной симметрией, и механизм этого нарушения заключается в том, что основное состояние системы может оказаться не инвариантным относительно $G$, несмотря на то что гамильтониан, описывающий фундаментальные взаимодействия, такой инвариантностью облацает. В этом отличие такого нарушения от механизма нарушения симметрии добавлением к гамильтониану членов, описывающих взаимодействие и не инвариантных относительно $G$ (исходный гамильтониан симметрией $G$ обладал). Такой механизм известен как спонтанное нарушение симметрии. Элементарное опнсание этого явления можно найти у Дашена [1969]. Если $\operatorname{dim} G=g$ и $\operatorname{dim} H=h$, то матрица масс имеет ядро размерности $g-h$. Это означает, что существует в точности $g-h$ бозонов Хиггса нулевой массы. Эти частицы, лишенные массы, известны как бозоны Голдстоуна. Это обстоятельство кажется странным, поскольку в реальном мире известно очень мало частиц, лишенных массы. Однако оказывается, что после введения калибровочных полей эти частицы приобретают массу. За дальнейшей информацией мы отсылаем к статьям в сборнике Мохапатры и Лая [1981].

Мы видим, что в предположении транзитивности действия группы $G$ множество основных состояний может быть отождествлено с факторпространством $G / H$ левых классов смежности $H$ в $G$. Это означает, что вопрос о существовании или отсутствии кинк-решений тесно связан с гомотопическими группами типа $\pi_{n}(G / H)$. Читатель может обратить внимание на сходство этой ситуации с той, которая возникла в разд. 7.6 при обсуждении общих параметров порядка. Анализ гомотопических групп такого вида, как здесь рассмотренные, можно найти в статье Годдарда и др. [1977 ].

3. Двойной квадратичный потенциал исследуется несколько иначе, поскольку потенциал $U$ недифференцируем в начале координат. Анализ кинк-решений и ссылки на их применение в моделировании смещенных ферроэлектриков могут быть найдены в статье Труллинджера [1979].
4. Теорема Деррика применяется лишь к статическим решениям, но является важным результатом из-за ее общности. Она может быть найдена в статье Деррика [1964 ]. Пример нестатического кинка приведен в статье Ли [1976].
5. Уравнение (7.4.27) представляет собой модель, рассмотренную влервые Гетмановым [1977], она эквивалентна модели РеггеЛунда (см. Лунд и Регге [1976] и Лунд [1977]). Эта модель является вполне интегрируемым обобщением уравнения СГ.
6. Уравнение (7.4.28) появилось в работе Додда и Буллафа [19771. Это уравнение связано с той же самой обратной задачей третьего порядка, что и уравнение Буссинеска (Форди и Гиббонс [1981]).
7. Существует большое число исследований, посвященных моделированию уравнений Клейна-Гордона в двух и большем числе измерений. Қак основной источник ссылок читатель может использовать обзор Маханькова [1978]. Заключительная глава настоящей книги также содержит дополнительные детали. Численное моделирование так называемых $\mathrm{C} \Gamma$-цепей было произведено Шнейдером и Штоллем (см. ссылки в статьях Бишопа и Шнейдера [1978]) с использованием техники молекулярной динамики и периодическими граничными условиями. Эти моделирования дали также материал для компьютерных фильмов цюрихской группы фирмы IBM.
Раздел 7,5
1. Нашими основными ссылками остаются лекции Коулмана [1977] и книга Джаффе и Тобза [1980]. Желающие больше узнать о калибровочных полях в физике частиц могут обратиться к книге Мохапатры и Лая [1981].
2. Обсуждение электромагнитных полей в контексте классической механики имеется в книге Голдстайна [1980].
3. Уравнения (7.5.46)-(7.5.48) иногда называются уравнениями Богомольного абелевой модели Хиггса (Богомольный [1976]).
4. Численное моделирование, проведенное Джекобсом и Ребби, описано в их статьях (Джейкобс и Ребби [1979], Ребби [1980]). В общем случае, если теория, описываемая плотностью энергии

$\mathscr{E}(\Phi)$, имеет одно кинковое решение $\psi$, то межчастичный потенциал $V$ (d) определяется формулой
\[
V(d)=\mathscr{E}\left({ }_{1} \psi\right)-\mathscr{E}\left({ }_{1} \psi\right)-\mathscr{E}\left({ }_{2} \psi\right)
\]

где ${ }_{1} \psi$ и ${ }_{2} \psi$ – два однокинковых решения, расположенных при $t=0$ на расстоянии $d$ друг от друга, а ${ }_{12} \psi$ есть решение полевых уравнений, которое развивается из этого начального состояния, Для уравнения СГ (Перринг и Скирм [1962])
\[
V \sim\left[\begin{array}{ll}
32 \exp (-d), & d \rightarrow \infty, \\
2 \pi d^{-1}, & d \rightarrow 0 .
\end{array}\right.
\]

Работа Джекобса и Ребби основана на более ранней работе (Де Bera и Шапошник [1976]).
5. Вихревые решения, отвечающие $\lambda=1 / 2$, ведут себя очень похоже на солитоны, которые мы рассматривали в предыдущих главах. Действительно, уравнения Богомольного (7.5.46)-(7.5.49) допускают сведение к одному уравнению
\[
\Delta u=\exp (u)-1,
\]

где $u=2 \operatorname{Re}(\ln \Phi)$. Уравнение очень похоже на точно интегрируемое уравнение Лиувилля
\[
\Delta u=\exp (u),
\]

и поэтому можно ожидать, что (*) также окажется ассоциировано с некоторой обратной задачей рассеяния.
Раздел 7.6
1. Элементарное введение в теорию дефектов в кристалле можно найти в книге Розенберга [1975],
2. Модель с простым периодическим потенциалом, ведущая к уравнению СГ, впервые была предложена Френкелем и Қонторовой [1939]. Этой работе следовало много авторов, среди которых мы можем упомянуть Франка и Ван дер Мёрве [1949, 1950], Зеегера, Донта и Кохендорфера [1953], Зеегера и Шиллера [1966].
3. Возможность представлять пространства параметров порядка как факторпространства групп часто оказывается удобной, поскольку существуют алгебраические результаты, позволяющие упрощать вычисление гомотопических групп типа $\pi(G / H)$ в случае, когда $G$ и $H$ известны. Эти результаты лучше всего выражаются на языке точных последовательностей. Если $G_{1}, G_{2}$ и $G_{3}$ – три группы и отображения $i: G_{1} \rightarrow G_{2}$ и $j: G_{2} \rightarrow G_{3}$ являются гомоморфизмами, то диаграмма
\[
G_{1} \xrightarrow{i} G_{2} \stackrel{i}{\rightarrow} G_{3}
\]

называется точной последовательностью, если
\[
\text { ker } j=\operatorname{im} i \text {. }
\]

Понятие точной последовательности позволяет удобно выражать взаимоотношения между группами. Например, тот факт, что последовательность
\[
0 \rightarrow G_{1} \rightarrow G_{2} \rightarrow 0
\]

точна, равносилен утверждению о том, что $G_{1}$ и $G_{2}$ изоморфны. Сходным образом если группы $G_{t}$ абелевы, то тот факт, что последовательность
\[
0 \rightarrow G_{1} \rightarrow G_{2} \rightarrow G_{3} \rightarrow 0
\]

точная, равносилен утверждению о том, что группа $G_{3}$ изоморфна $G_{2} / G_{1}$.

Основной результат гомотопической теории (Хилтон [1966]) заключается в том, что последовательность
\[
\rightarrow \pi_{n}(H) \rightarrow \pi_{n}(G) \rightarrow \pi_{n}(G / H) \rightarrow \pi_{n-1}(H) \rightarrow \cdots
\]

точна на любом своем участке. Последовательность заканчивается гомотопической группой нулевого порядка, определенной выражением
\[
\pi_{0}(H)=\left\{\begin{array}{ll}
H, & \text { если } H \text { дискретна, } \\
0, & \text { если } H \text { связана. }
\end{array}\right.
\]

Если нам будут известны некоторые из групп в длинной точной последовательности (3), то может оказаться, что нам встретятся сегменты вида (1), (2), qто позволит нам идентифицировать изоморфные группы. Вот некоторые полезные результаты в этом направлении:
(i) $\pi_{n}(H)=0, n
eq 0$, если $H$ дискретна;
(ii) $\pi_{2}(G)=0$ для всех компактных групп $G$;
(iii) если $G=G_{1} \times G_{2}$, то $\pi_{n}\left(G_{1} \times G_{2}\right)=\pi_{n}\left(G_{1}\right) \times \pi_{n}\left(G_{2}\right)$.
Например, мы видели, что параметром порядка в кристалле была $S^{1}$ и что $S^{1}$ можно представить в виде $T / H_{\alpha}$. Записав точную последовательность
\[
\rightarrow \pi_{1}\left(H_{\alpha}\right) \rightarrow \pi_{1^{-}}(T) \rightarrow \pi_{1}\left(S^{1}\right) \rightarrow \pi_{0}\left(H_{\alpha}\right) \rightarrow \pi_{0}(T)
\]
(которая следует из (3), если выбрать $G=T$ и $H=H_{\alpha}$ ), мы получим
\[
0 \rightarrow \pi_{1}\left(S^{1}\right) \rightarrow H_{\alpha} \rightarrow 0,
\]

так как $T \cong R$ и $\pi_{1}(R)=0, \pi_{0}(R)=0$. Из (1) мы находим, что
\[
\pi_{\mathbf{1}}\left(S^{\mathbf{1}}\right) \cong H \cong Z \text {. }
\]

Этот пример тривиальный, но служит иллюстрацией такого подхода к определению гомотопических групп. Более интересный пример касается кратных топологических зарядов. В разд. 9 мы рассмотрим неабелевы модели Хиггса, Если исходная теория инвариантна относительно односвязной компактной калибровочной группы $G$, но основные состояния инвариантны относительно ее подгруппы $J$, то существование кинк-решений зависит от гомотопической группы $G / J$. Если $d=3$, то нам необходимо вычислить гомотопическую группу $\pi_{2}(G / J)$. В таких моделях обнаруживается (Годдард и др. [1977]), что $J$ с необходимостью является прямым произведением тора $T_{1}$ и односвязной подгруппы $G_{1}$. Написанная выше точная последовательность делает вычисление $\boldsymbol{\pi}_{2}(G / J)$ тривиальным. Длинная точная последовательность дает
\[
\rightarrow \pi_{2}(G) \rightarrow \pi_{2}(G / J) \rightarrow \pi_{1}(J) \rightarrow \pi_{1}(G) \rightarrow \ldots .
\]

Поскольку $G$ компактна и односвязна, то
\[
\pi_{2}(G)=0, \quad \pi_{1}(G)=0,
\]

и мы получим последовательность вида (1). Таким образом,
\[
\pi_{2}(G / J)=\pi_{1}(J) .
\]

Так как $J=G_{1} \times T_{1}$, то результат (iii) дает
\[
\pi_{1}(J)=\pi_{1}\left(G_{1}\right) \times \pi_{1}\left(T_{1}\right) .
\]

В силу односвязности $G_{1}$ имеем $\pi_{1}\left(G_{1}\right)=0$. Поэтому если ранг тора $T_{1}$ равен $m$, то мы получим равенство
\[
\pi_{1}(J)=Z^{m}=\pi_{2}(G / J) .
\]

Это очень интересно, поскольку означает, что вместо единственного топологического заряда мы будем иметь множество целозначных топологическнх зарядов.
4. За основополагающей работой Ландау и Гинзбурга [1950] последовала феноменологическая теория Бардина, Купера и Шриффера [1957]. Существует много книг и обзоров по сверхпроводимости. Среди них мы хотим обратить внимание на обширную подборку статей, изданную Парксом [1969], и монографии Рикайзена [1965] и Тинкема [1975]. Завершающее звено, связывающее ранню теорию Ландау-Гинзбурга с микроскопической теорией БКШ, было указано Горьковым [1959, 1960 ]. Экспериментальное наблюдение решетки из вихрей было описано Эссманом и Тройбле [1967].
Раздел 7.7
1. Элементарное введение в теорию ферромагнетизма, подходящее для наших целей, можно найти в книге Розенберга [1975].
2. Оригинальное изложение теории Ландау и Лифшица можно найти в собрании трудов Л. Д. Ландау [1969] и в курсе Электродинамика сплошных сред» [1959]. В последней книге содержится библиография, являющаяся полезным источником ссылок на более новые работы.
3. Наиболее ранний вывод уравнения $С Г$ при описании движения стенок Блоха был сделан Дорингом [1948] и Енцем [1964]. Интересна более новая статья Қарри [1977], посвященная СГ-модели стенок Блоха. В частности, в ней показано, как с помощью аналитического продолжения формулы Хироты для N-солитонных решений можно получить решения-бризеры.
4. Функционал энергии $W[S]$ изотропного ферромагнетика может быть выражен через комплексную переменную ш. Если обозначить энергию через $\widetilde{W}$ (w), то можно показать, что
\[
W(w)=8 \iint d^{2} x|w, \xi|^{2}\left(1-|w|^{2}\right)^{-2}=8 \pi Q(w),
\]

где $Q(w)$ – заряд, выраженный как функционал от ш. Поскольку энергия двухвихревого решения определяется его зарядом, ясно, что межвихревой потенциал равен нулю. Это верно для любого уравнения типа уравнения Богомольного в силу его конструкции.
5. Пространство Минковского, аналогичное изотропному ферромагнетику, определено уравнениями
\[
\partial^{\mu} \partial_{\mu} q^{a}+\left(\partial^{u} q^{b} \partial_{\mu} q^{b}\right) q^{a}=0
\]

где индексы $\mu$ и $v$ принимают значения $0,1,2,3$ с метрикой $-q_{11}=$ $=-q_{22}=-q_{83}=1$. Эта модель называется нелинейной $\sigma-$-моделью. Анализ линейной задачи на собственные значения, ассоциированной с этой задачей, в случае одной пространственной и одной временной переменных впервые был проведен Люшером и Полмейером [1978]. Эта модель калибровочно эквивалентна (в смысле уравнения (7.7.81)) обычному уравнению СГ.
6. Утверждение о нетривиальности группы $\pi_{3}\left(S^{2}\right)$, установленное Хопфом, важно для истории вопроса, ибо оно выявляет разницу между гомотопией и гомологией. Хопф построил специальную образующую группы $\pi_{3}\left(S^{2}\right)$, известную как отображение Xопфа. Это отображение строится следующим образом. Область $S^{\mathbf{a}}$ представляется в виде пары комплексных чисел $\left(z_{1}, z_{2}\right)$ с тем свойством, что $z_{1} \bar{z}_{1}+z_{2} \bar{z}_{2}=1$. Тогда $S^{2}$ представляется как факторпространство этого $S^{8}$ по отношению эквивалентности
\[
\left(z_{1}, z_{2}\right) \sim\left(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}\right),
\]

если существует $\lambda \in C$ такое, что $z_{1}=\lambda z_{1}^{\prime}$ и $z_{2}=\lambda z_{2}^{\prime}$. Обозначим класс эквивалентности элемента $\left(z_{1}, z_{2}\right.$ ) через $\left[z_{1}: z_{2}\right]$. Заметим,

что тем самым получена реализация $S^{2}$ в виде факторпространства
\[
S^{2} \equiv S U(2) / U(1) \equiv S^{3} / S^{1} .
\]

Отображение Хопфа $H$ определяется как естественное отображение $H: S^{8} \rightarrow S^{2}$, координатное представление которого имеет вид
\[
\left(z_{1}, z_{2}\right) \rightarrow\left[z_{1}: z_{2}\right] .
\]

Это отображение может быть выражено иным образом с помощью спинового отображения. Спнн $S^{3} \rightarrow S^{2}$ определяется на языке матриц Паули (7.7.73) следующим образом:
\[
\text { Spin: } Z \quad S=Z+\sigma Z, \quad \text { где } \quad Z=\left(z_{1}, z_{2}\right), \quad z_{1} \bar{z}_{1}+z_{2} \bar{z}_{2}=1 .
\]

Заметим, что отображение появилось в последнем разделе в уравнения (7.7.94)-(7.7.96). Қаждое отображение $F: S^{3} \rightarrow S^{3}$ определяет отображение $f=\left(\operatorname{Spin}_{0} F\right): S^{3} \rightarrow S^{2}$. Поскольку $\pi_{8}\left(S^{3}\right)=$ $=Z$, то каждое такое отображение $F$ имеет определенный топологический заряд $N$. Поэтому отображение $S^{3} \rightarrow S^{2}$ наследует такой топологический заряд, если его с помощью спинового отображения опять отобразить назад к $S^{3}$.
Из формул (7.3.5) и (7.3.10) мы уже знаем, что величина
\[
Q[F]=\frac{1}{31 \Omega_{\mathrm{a}}} \int_{S^{3}} J^{0}(F),
\]

где
\[
J^{\mathrm{C}}=\mathrm{e}_{i / k} \varepsilon_{b_{1} b_{1} b_{3} b_{4}} F^{b_{1}} \partial_{i} F^{b_{2}} \partial_{l} F^{b_{2}} \partial_{k} F^{b_{4}}
\]

является целозначным топологическим зарядом для отображения $F: S^{9} \rightarrow S^{3}$. Если ввести выражения
\[
\begin{aligned}
A_{i} & =-i\left(Z^{+} \partial_{1} Z\right), \\
F_{j h} & =-i\left(\partial_{j} Z^{+} \partial_{k} Z-\partial_{k} Z^{+} \partial_{j} Z\right),
\end{aligned}
\]

то можно будет плотность заряда $J^{0}$ представить в виде
\[
J_{0}=\frac{3}{2} \varepsilon_{i j k} A_{i} F_{j k}=3 \mathbf{A} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

Отправляясь от определяющего соотношения $\mathrm{S}=Z^{+} \sigma Z$, можно показать, что
\[
(\operatorname{rot} \mathbf{A})_{i}=\varepsilon_{i j k} \varepsilon_{a b c} S_{a} \partial_{j} S_{b} \partial_{k} S_{c} .
\]

Поэтому по заданному $S$ это уравнение определяет векторное поле $\mathbf{A}$ как нелокальный функционал от $\mathbf{S}$, и топологический заряд для $S$ задается формулой
\[
\Omega_{8} Q[S]=(1 / 2) \int_{S^{2}} \mathbf{A} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

7. Кинки и уравнение СГ
Этот инвариант известен как инвариант Хопфа (Уайтхед [1947]).
7. Солитоны спиновой цепочки Гейзенберга были впервые численно обнаружены Тьёном и Райтом [1977]. Полная интегрируемость системы была доказана Тахтаджяном [1977]. Калибровочная эквнвалентность этой модели нелинейному уравнению Шрёдингера была доказана Захаровым и Тахтаджяном [1979].
Раздел 7.8
1. Существует большое количество руководств по основам квантовой механики. Мы рекомендуем книги Мерцбахера [1961], Готтфрида [1966] и Мессиа [1961, 1962]. Изложение квантовой теории магнетизма можно найти в книге Уайта [1971].
2. Для нерелятивистской частицы вектор магнитного момента дается формулой $\hat{\mathbf{m}}=e(2 m)^{-1} \hat{\mathbf{j}}$, и для нахождения температурного среднего $\hat{\text { m }}$ мы должны найти ожидаемое значение этого оператора в некотором состоянии и затем усреднить по всем состояниям, через которые система проходит, эволюционируя во времени. Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать не одну и ту же систему в разные времена, а ансамбль систем в одно и то же время. Если имеется $N$ систем, то каждая из них будет описываться матрицей плотности $\rho^{(j)}, j=1, \ldots, N$. Среднее по времени может быть теперь заменено средним по ансамблю. Таким путем мы получим усредненную по ансамблю матрицу плотности, определенную формулой
\[
\overline{\mathbf{\rho}}=N^{-1} \sum_{n} \rho^{(n)} .
\]

Матрица плотности о удовлетворяет всем уравнениям для нормальных матриц плотности, и термически усредненный магнитный момент имеет вид
\[
\mathbf{M}=\langle\langle\tilde{\mathrm{m}}\rangle\rangle=\operatorname{tr}(\tilde{\boldsymbol{\rho}} \tilde{\mathrm{m}}) .
\]

Динамические уравнения для этого среднего магнитного момента, в силу (7.8.19), представляются следующим образом:
\[
\hbar \frac{d \mathrm{M}}{d t}=-i\langle\langle[\tilde{\mathbf{m}}, \widetilde{H}]\rangle\rangle .
\]

Если гамильтониан $H$ имеет вид
\[
\tilde{H}=\widetilde{H}_{0}-\tilde{\mathbf{M}} \cdot \mathbf{H},
\]

где $\mathbf{H}$ – напряженность магнитного поля внутри кристалла, обусловленная внешне приложенным полем, а относительно $\widetilde{H}_{0}$ предполагается, что он коммутирует с $\tilde{\mathbf{M}}$. Поэтому мы имеем ситуацию, описанную в модели Ландау-Лифшица в разд. 7.

В общем случае $\boldsymbol{M}$ пропорционально суммарному моменту количества движения $\mathbf{J}$,
\[
\widetilde{\mathbf{M}}=\beta \tilde{\mathbf{J}},
\]

и квантовомеханические операторы момента количества движения удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
\[
\left[\tilde{J}_{i}, \tilde{J}_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} \tilde{J}_{k} .
\]

Уравнение (*) сводится тогда к
\[
\frac{d \mathbf{M}}{d t}=-\gamma \mathbf{M} \Delta \mathbf{H},
\]

где $\beta=\gamma$ h. Это квантовый вывод уравнений Блоха.
3. Модель, состоящая из системы атомов с двумя состояниями, взаимодействующей с лазером, была рассмотрена Лэмом [1964].
4. Уравнения Блоха получили свое название по сходному набору уравнений, которые появились в статье Блоха [1946].
5. Наш вывод уравнения СГ из нелинейного уравнения Ландау-Гинзбурга заимствован из книги Солимара [1972].
6. Нестационарное уравнение Ландау-Гинзбурга было впервые получено на основании микроскопической теории Горьковым и Элиашбергом [1969]. Уравнение принимает вид (Тинкем [1975])
\[
D^{-1}\left(\partial_{t}+i e^{*} \psi \hbar^{-1}\right) \Delta+\xi^{-2}\left(|\Delta|^{2}-1\right) \Delta+\left(i
abla+\frac{e^{*}}{\hbar c} \mathbf{A}\right)^{2} \Delta=0,
\]

где $D$ есть диффузионная постоянная, представляющая собой электрохимический потенииал, деленный на заряд электрона. Волновая функция $\Delta$ есть так называемый «щелевой параметр», который играет важную роль в БКШ-теории сверхпроводимости.
7. Модель Джейкобсона описана в его статье [1965].
8. Идея рассматривать контакт Джозефсона как систему с двумя состояниями принадлежит Фейману [1969].
9. В обзорной статье Парментера [1978] рассмотрены некоторые вопросы периодических решений из разд. 4 и связи с контактами Джозефсона.
Раздел 7.9
1. Элементарное изложение теории калибровочных полей содержится в первоначальной статье Янга и Миллса [1954] или в статье Бернстайна [1974]. Имеется несколько недавних обзоров, посвященных математическим аспектам калибровочной теории для физиков. Например, можно рекомендовать Егути и др. [1980] или Мадоре [1981].
2. Уравнение Богомольного впервые было выведено в статье Богомольного [1976].
3. Подход, который позволяет редуцировать уравнение Богомольного к уравнению Эрнста [1968], был указан Мантоном [19771. Саму редукцию провели Форгач и др. [1980].
4. Обратная задача рассеяния для уравнения Эрнста была обнаружена Харрисоном [1978] и в родственной форме Нойгебауером и Крамером [1980], Мейзоном [1979], Доддом и Моррисом [1980] и Захаровым и Белинским [1978].
5. Полезным источником дальнейщей информации о солитонах являются лекции Коулмана [1977] или Оливе и др. [1979].