Раздел 6.1
1. Покажите, что в формулировке ЗШ-АКНС оператор Лакса А для уравнения СГ $U_{x t}= \pm \sin U$ задается формулой

\[
\mathbf{A}= \pm \frac{1}{4}\left(\begin{array}{ll}
\int_{x}^{x} d y \cos \frac{U(x)+U(y)}{2}, & -\int^{x} d y \sin \frac{U(x)+U(y)}{2} \\
\int^{x} d y \sin \frac{U(x)+U(y)}{2}, & \int^{x} d y \cos \frac{U(x)+U(y)}{2}
\end{array}\right) .
\]
2. Если $Q$ и $R$ имеют компактный носитель, то таким же свойством обладает $P=(|Q|+|R|)$. Следуя методу последовательных приближений, примененному для доказательства теоремы 6.1, докажите следствие 6.1.2.
3. Покажите, что $\varphi(x, k) e^{i k x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ и $R$ подчиняются теореме 6.1, но не обязательно дифференцируемы.
4. Докажите теорему 6.6, приспособив для этого доказательство теоремы 6.1.
5. Итерируя уравнения
\[
\begin{array}{l}
K_{+1}(x, y)=-\frac{1}{2} Q\left(\frac{1}{2}(x+y)\right)-\int_{x}^{\frac{x+g}{2}} Q(s) K_{+1}(x, y+x-s) d s, \\
K_{+2}(x, y)=1-\int_{x}^{\infty} K_{+1}(s, y-x+s) R(s) d s,
\end{array}
\]

получите оценки (6.1.54).
6. Получите результат леммы 6.10 непосредственно из уравнения (6.1.13) с помощью подстановки в одно из специальных функциональных соотношений леммы.
7. Для самосопряженного случая, когда $R=Q^{*}$, оператор $L$ имеет вид
\[
L \equiv L^{s}=i\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x} & -Q \\
Q^{*} & -\frac{\partial}{\partial x}
\end{array}\right) .
\]

В таком случае применима стандартная теория самосопряженных линейных дифференциальных операторов (см. разд. 3.4). В частности, поскольку $L$ не имеет дискретного спектра, равенство Парсеваля имеет особенно простой вид:
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\left|v_{1}(x)\right|^{2}+\left|v_{2}(x)\right|^{2}\right) d x=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\left|u_{1}(k)\right|^{2}+\left|u_{2}(k)\right|^{2}\right) d\left(\frac{k}{2^{\pi}}\right),
\]

где $V \in L_{2}^{(2)}(R)\left(\equiv L_{x}\right)$ и $u_{1}(k)=\left\langle V,{ }_{k} m^{-}\right\rangle_{x}, \quad u_{2}(k)=\left\langle V,{ }_{k} P^{-}\right\rangle_{x}$.

Здесь $\langle., \text {. })_{x}$ – скалярное произведение в $L_{x}$ и
\[
k^{m-\langle x\rangle}=\frac{\varphi(x, k)}{a(k)}, \quad k^{p-(x)}=\frac{\psi(x, k)}{a(k)} .
\]

Векторы $U(k)$ принадлежат гильбертову пространству $L_{\sigma}$, состоящему из $C^{2}$-значных функций на $R$, интегрируемых с квадратом по мере $d \sigma=\frac{\mathrm{I}}{2 \pi} d k$.
8. Пусть $V \in L_{x}$, и пусть $U(k) \in L_{\sigma 0}$ является $L_{0}^{s}$-представителем, где $L_{\mathfrak{Q}}^{s} \equiv L^{s}(Q=0, R=0$ ). Определим оператор Мюллера $U_{-}$равенством
\[
U_{-} V_{x}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(u_{1}(k)_{x} m^{-}(k)+u_{2}(k)_{x} p^{-}(k)\right) d k,
\]

где ${ }_{x} p(k)={ }_{k} p^{-}(x), \quad{ }_{x} m^{-}(k)={ }_{k} \bar{m}(x)$ определены в $\quad$ (6.1.10). Имеем $U_{-}=U_{+} S$, где $S$ – унитарный оператор рассеяния. Используя соотношение между фундаментальными решениями
\[
\Phi=\Psi \mathbf{A},
\]

покажите, что $L_{0}^{s}$-представителем $S$ является оператор
\[
\tilde{\mathrm{S}}=\left(\begin{array}{rr}
\frac{1}{a} & -\frac{b^{*}}{a} \\
\frac{b}{a} & \frac{1}{a}
\end{array}\right) .
\]

Собственные функции суть $m^{+}=\Psi / \bar{a}, p^{-}=\Phi / \bar{a}$.
9. Определим $h$ как главную ветвь в выражении $e^{h}=\varphi_{1} e^{i k x}$. Тогда граничные условия для $h$ имеют вид $h \rightarrow 0$ при $x \rightarrow-\infty$ и $h=\ln a$ при $x \rightarrow+\infty$. Покажите с помодью (6.1.13), что $h$ удовлетворяет уравнению
\[
2 i k h_{x}=-Q R+Q \frac{\partial}{\partial x}\left(Q^{-1} h_{x}\right)+\left(h_{x}^{2}\right)^{\mathbf{2}} .
\]

Докажите, что это уравнение допускает асимптотическое разложение

и что
\[
h_{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}}{(2 i k)^{n}} \text { при }|k| \rightarrow \infty
\]
\[
\begin{aligned}
p_{1} & =-Q R, \\
p_{n+1} & =Q \frac{\partial}{\partial x}\left(Q^{-1} p_{n}\right)+\sum_{j+k=n} p_{j} p_{k}, \quad n=1,2, \ldots .
\end{aligned}
\]

Интегрируя асимптотическое разложение (равномерность разложения при этом сохраняется), покажите, далее, что
\[
\ln a=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n}} \frac{1}{(2 i)^{n}} \int_{-\infty}^{\infty} p_{n} d x=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n}} C_{n} \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Вычислите первые несколько членов разложения:
\[
\begin{array}{ll}
C_{1}=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty} Q(x) R(x) d x, & C_{2}=\frac{1}{(2 i)^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} Q(x) R_{x}(x) d x, \\
C_{3}=?, & C_{4}=?
\end{array}
\]
10. Покажите, что следующее уравнение
\[
Q_{t x}-2 Q \int_{x}^{\infty}\left(Q^{2}\right)_{t} d s \pm Q=0
\]

равносильно уравнению СГ
\[
V_{x t}= \pm \sin V,
\]
$V_{x}=-2 Q$ в предположении, что $4\left(Q_{t}\right)^{2} \leqslant 1$. Приступая к доказательству этого, используйте $Q_{t}$ как интегрирующий множитель:
\[
Q_{t}^{2}+\left(\int_{x}^{\infty}\left(Q^{2}\right)_{t} d s\right) \pm\left(\int_{x}^{\infty}\left(Q^{2}\right)_{t} d s\right)=0 .
\]

Решая это уравнение относительно $y=\int_{x}^{\infty}\left(Q^{2}\right)_{t} d s$, покажите, как отсюда вытекает результат. Аналогичным образом из уравнения
\[
Q_{x t}-2 Q \int_{x}^{\infty}\left(Q^{2}\right)_{t} d s-\alpha Q+Q_{4 x}+10 Q^{2} Q_{2 x}+10 Q Q_{x}^{2}+6 Q^{5}=0
\]

получите уравнение
\[
Q_{t}-6 Q^{2} Q_{x}-Q_{x x x}+\frac{1}{2} \alpha \sin \left(-2 \int_{x}^{\infty} Q d s\right)=0 .
\]

Раздел 6.3
1. В случае, когда $R=-Q$, покажите, что задача рассеяния (6.1.13) может быть записана в виде
\[
-z_{\alpha x}=P z=k^{2} z,
\]

где $z=y_{1}-i y_{2}$ и $P=i Q_{x}-Q^{2}$. Это как раз изоспектральное уравнение Шрёдингера гл. 3 и 4 . Таким образом, если $P$ удовлетворяет одному из уравнений, интегрируемых этим методом, то $P=i Q_{x}-Q^{2}$ является преобразованием Миуры (преобразованием Бэклунда), переводящим интегрируемое уравнение, которому удовлетворяет $Q$, в это уравнение. Преобразование Миуры является преобразованием Бэклунда, обладающим тем свойством, что $Q \rightarrow P$ однозначно определяет некоторое отображение, в то время как обратное преобразование ( $P \rightarrow Q$ ) многозначно. Покажите, что когда $R=-Q$, интегрируемые уравнения задачи рассеяния ЗШ-АКНС задаются скалярным операторным уравнением.

Сначала заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{L}_{1}^{A}(R \equiv-Q)=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial}{\partial x}-2 Q \int_{x}^{\infty} d s Q & -2 Q \int_{x}^{\infty} d s Q \\
2 Q \int_{x}^{\infty} d s Q & -\frac{\partial}{\partial x}+2 Q \int_{x}^{\infty} d s Q
\end{array}\right) \equiv \\
\equiv\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\beta & -\alpha
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\mathbf{L}_{1}^{A}=\sigma_{3} \gamma_{1}(\alpha+\beta)+\sigma_{3} \gamma_{2}(\alpha-\beta),
\]

где
\[
\gamma_{1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right), \quad \gamma_{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right) .
\]

Далее мы находим, что
\[
\begin{array}{c}
{\left[\mathrm{L}_{1}^{A}\right]^{2 n}=\gamma_{2}[(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)]^{n}+\gamma_{1}[(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)]^{n},} \\
{\left[\mathrm{~L}_{1}^{A}\right]^{2 n+1}=} \\
=\sigma_{3} \gamma_{1}(\alpha+\beta)[(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)]^{n}+\sigma_{3} \gamma_{3}(\alpha-\beta)[(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)]^{n} . \\
\text { В предположении, что } \Omega \text { нечетно, } \Omega(k)=i k D\left(k^{2}\right), \text { из (6.1.112) } \\
\text { мы получаем, что } \quad Q_{t}+D(G) Q_{x}=0,
\end{array}
\]

где
\[
G[Q]=\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-Q^{2}+Q_{x} \int_{x}^{\infty} d s Q,
\]

что определяет класс интегрируемых уравнений в случае, когда $R=-Q$. Покажите, что
\[
\mathbf{F}\left[Q^{2}-i Q_{x}\right]\left[\left[2 Q-i \frac{\partial}{\partial x}\right] y(x, t)\right]=\left[2 Q-i \frac{\partial}{\partial x}\right] \hat{\mathbf{G}}[Q] y(x, t),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\widehat{\mathbf{G}}[Q] \equiv \mathrm{G}[Q]+Q_{x} \int_{-\infty}^{\infty} d s Q, \\
\mathbf{F}[Q] \equiv-\frac{1}{4}\left[\frac{\partial}{\partial x^{2}}-4 Q+2 Q_{x} \int_{x}^{\infty} d s\right] .
\end{array}
\]
$\mathbf{F}$ – оператор рекурсии или производящее выражение для интегрируемых уравнений, ассоциированных с уравнением Шрёдингера (см. 3.5). В частности, мы имеем соотношение
\[
\left(\mathbf{F}\left[Q^{2}-i Q_{x}\right]\right)^{n}\left[2 Q-i \frac{\partial}{\partial x}\right] y \equiv\left[2 Q-i \frac{\partial}{\partial x}\right](\hat{\mathbf{G}}[Q])^{n} y,
\]

справедливое при любом целом $n$. Получается, что для любого интегрируемого уравнения, ассоциированного с системой ЗІІ-АКНС, цля которой $R=Q$, существует преобразование Миуры в интегрируемое уравнение, ассоцнированное с уравнением Шрёдингера. Связь между уравнениями дается формулой
\[
P_{\mathbf{t}}+D(\mathbf{F}) P_{x}=\left[2 Q-i \frac{\partial}{\partial x}\right]\left(Q_{\boldsymbol{t}}+D(\mathbf{G}) Q_{x}\right) .
\]
(При доказательстве этой последней формулы обратите внимание на то обстоятельство, что $\widehat{\mathbf{G}} Q_{x}=\mathbf{G} Q_{x}$.)
2. Установите результат, аналогичный полученному в (6.3) для случая $R=+Q$.
3. Примените формулу (6.3.135) для получения решения (6.3.42) нелинейного уравнения Шрёдингера, отвечающего кратному собственному значению.
4. Для уравнения СГ
\[
U_{x t}=\sin U
\]

из ограничения $2+(1 / 2)|k|^{-2}=v$ на лару собственных значений $\left(k,-k^{*}\right)$ получено решение в виде связанного состояния (6.3.40). В этом случае легко показать, что ввиду $R=-Q$ выполняются равенства $\bar{k}=-k, \bar{D}=-D$. Покажите, применяя (6.3.7), что
\[
W_{1}(x, t)=\int_{x}^{\infty} Q(y, t) d y=2 \operatorname{arctg}\left\{\frac{l D(0)}{2 k} \exp [2 i k x+\Omega(k) t]\right\} .
\]

Затем из (6.3.23) для связанного состояния получается, что
\[
U=4 \operatorname{arctg}\left[\frac{i \eta}{\xi} \operatorname{tg} \frac{1}{2}\left(W_{1}-W_{2}\right)\right],
\]

где $k=\xi+i \eta$. Отсюда следует, что решение в виде связанного состояния представляется следующим образом:
\[
U=4 \operatorname{arctg}\left\{\frac{\eta \cos \xi\left(\alpha+2 x \mp \frac{1}{2 k_{0}^{2}} t\right)}{\xi \operatorname{ch} \eta\left(\beta+2 x \pm \frac{1}{2 k_{0}} 2 t\right)}\right\},
\]

где $\quad \alpha=(2 \xi)^{-1}\left(\gamma+\gamma^{*}\right), \quad \beta=-i(2 \eta)^{-1}\left(\gamma-\gamma^{*}\right), \quad \exp (i \gamma)=$ $=i D(0) / 2 k$. Геометрическое место точек задается окружностью $|k|=k_{0}, k_{0}$ – вещественное число.
5. Следующая диаграмма представляет собой схему, в соответствии с которой с помощью преобразования Бэклунда может быть получено 4-солитонное решение интегрируемого уравнения в случае, когда $R=-Q$.

Примените принцип алгебраической суперпозиции для получения 4-солитонного решения в случае уравнения СГ.

Рис. 6.4. Задача Коши для $\mathbf{L}_{t}-a \mathbf{A}_{u}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$.
6. Рассмотрите асимптотический метод обратной задачи рассеяния Захарова и Манакова для случая $R= \pm Q^{*}$.
7. Асимптотический метод Захарова и Манакова применим также для установления иерархии интегрируемых уравнений, ассоциированных с изоспектральным уравнением Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера имеет вид
\[
-y_{x x}+Q y=k^{2} y .
\]

Введем в рассмотрение функции $u_{1}, u_{2}$ :
\[
y=u_{1} e^{i k x}+u_{2} e^{-i k x} .
\]

Тогда $Y$ есть решение уравнения (6.6.1), если $u_{1}$ и $u_{2}$ удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
-\left(u_{1 x x}+2 i k u_{1 x}\right)+Q u_{2} e^{-2 i k x}, \\
-\left(u_{2 x x}-2 i k u_{2 x}\right)+Q u_{1} e^{2 l k x} .
\end{array}
\]

Предположим, что
\[
\begin{array}{c}
Q=2 \varepsilon^{1 / 2} \tilde{A}(X) \cos \Phi, \\
\Phi=r(X) \ln \varepsilon \rightarrow p(X) \varepsilon^{-1}+q(X)+O(1), \\
X=\varepsilon x .
\end{array}
\]

Полагая $\lambda=-2 k, \theta_{1}=\Phi+\lambda x, \theta_{2}=\Phi-\lambda x$, совершите многомасштабное разложение в (6.6.2). Этот анализ подобен приведенному в разд. 6.3. По существу выражение $A=\widetilde{A k^{-1}}$ – это основное отличне в анализе для порядка $O$ (1).