Максон и Вьечелли [1974] вывели цилиндрически и сферически симметричные варианты уравнений ҚдФ для акустических волн малой амплитуды в бесстолкновительной плазме из горячих электронов и холодыы нонов. Уравиения имеют вид
\[
u_{\mathfrak{\eta}}+(k \eta)^{-1} u+u u_{\tilde{\xi}}+(1 / 2) u_{\xi \xi \xi}=0,
\]

где $\eta$ — времениподобная координата, $\xi$ — радиальная координата и $k=1,2$ для сферической и цилиндрической симметрий соответственно. Авторы рассмотрели эволюцию одной уединенной волпы, используя конечно-разностиую схему с чередованием, осюованную на той, что применили Забуски и Крускал для уравнения КдФ. Было найдено, что имиульс становится более крутым и узкни с теченнем времени, и этот результат был подтвержден аналитнческой работой Қамберпатча [1978 1. После этого Калоджеро и Дегасперис [1978] распространили метод спектрального преобразования обратной задачи на уравнение (10.6.1) для случая $k=2$. Эта работа подтверждает, что сингулярность в решении развивается за коцечное время.

Двумерный вариант уравнения КдФ привлек большое внимание в последние несколько лет. Это так называемое уравнение Кадомцева и Петвиашвили (Кадомцев и Петвиащвили [1970]):
\[
\left(u_{t}+6 u u_{x} \pm u_{x x x}\right)_{x}+3 u_{y, y}=0 .
\]

Его $n$-солитонное решение напел Сацума [1976]. Работы Майлза [1977] и Фримана и др. (см. полезную обзорную статью Фримана [1980] пролили свет иа структуру этих решений.

Одно из любопытпы примснений компьютера заключается в том, чтобы изобразить извсстные аналитические решения: когда решение сложное, рисунок часто стонт многих страниц аналитических выкладок. На рис. 10.7 изображено трехсолитонное рещепие уравнения (10.6.2), где в скобке взят знак «十». Видны три плосковолновых солитона, в области взаимодействия которых появляется несколько коротких волн. Имеется фазовый сдвиг в каждом плоском солитоне, порожденный взаимодействием. Этот рисунок соответствует рис. 6а обзора Фримана, в котором читатель может найти дальнейшие подробности.

Еще более интересны решения, которые локализованы в пространстве и обладают конечной энергией. Такой тип решений поддается численному изучению, так как граничные условия для него более просты. Такие локализованные решения для (10.6.2) (где в скобках был выбран знак минус) впервые получили Манаков и др. [1977]; они подробно описаны в обзоре Фримана. Это были первые точиые солитопоподобные решения с устойчивостью по отношению к столкновениям, открытые в пространстве двух измерений. В настоящее время такие рещения активно изучаются, но подробное их обсуждение выходит за рамки настоящей книги и может быстро устареть.

Рис. 10.7. Трехсолитонное решение уравпения Қадомцева — Петвиашвили.
Уравнение Қадомцева и Петвиашвили численно изучалось также Маханьковым, Литвиненко и Цвачкой [1981], которые применили двумерный вариант конечно-разностной схемы «классиков». Однако это исследование касалось лишь неустойчивых линейных солитонов этого уравнения со знаком минус.

Некоторые результаты по уравнению НЛШ в $n$-мерном пространстве
\[
-i u_{t}+
abla^{2} u+\lambda u|u|^{p-1}=0
\]

содержатся в обзоре Штраусса [1978]. Он утверждает, что для $\lambda>0, p>\mathrm{I}+4 / n$ существует начальное условие $u(x, 0)$, такое что решение не сможет существовать для всех $t$. Если $\lambda<0$, то решение для $p=3$ существует для всех времен, единственно и гладко.

Невозможность существования решений в этих случаях не является всего лишь техническим фактом, но имеет важные применения в физике плазмы и нелинейной оптике, где коллапс цилиндрически симметричных лучей ведет к эффектам «схлопывания» или самофокусировки. Такие коллапсы наблюдали причисленных расчетах уравнений НЛШ Конно и Судзуки [1979], Ломдал и лр. [1980] и Захаров и Сынах [1976I (см. гл. 7 и 8).