Для получения более общей структуры приведем уравнения СГ к несколько иному виду. Функция $\varphi$ определяет точку на единичной окружности с декартовыми координатами $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, причем
\[
\varphi_{1}=\cos \varphi, \quad \varphi_{2}=\sin \varphi \text { и } \varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}=1 .
\]

Поэтому каждая функция $\varphi$ определяет гладкое отображение $\Phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow S^{\mathbf{1}}$, записываемое в координатах следующим образом: $(t, x) \longrightarrow\left(\varphi_{1}(t, x), \varphi_{2}(t, x)\right)$.

Мы можем обобщить эту ситуацию, рассматривая гладкие отображения $\Phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow S^{n-1}$, имеющие в координатах внд $\left(x_{0}\right.$, $\left.\left.x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right) \rightarrow\left(\varphi_{1}\left(x_{0}, \ldots, x_{n-1}\right), \ldots, \varphi_{n}\left(x_{0}\right), \ldots, x_{n-1}\right)\right)$, где $\varphi_{1}^{2}+$
$+\varphi_{2}^{2}+\ldots+\varphi_{n}^{2}=1$. Последнее попросту означает, что вектор $\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$ имеет единичную длину, что дает обобщение уравнения непрерывности (7.2.19). Дифференцируя соотношение $\langle\varphi, \varphi\rangle=$ $=1$ по $x_{a}$, приходим к уравнению
\[
\left\langle\varphi, \partial_{a} \varphi\right\rangle=0 .
\]

Таким образом, $\partial \varphi$, матрица размером $(n \times n)$ с элементами $\partial_{a} \varphi^{b}$, должна быть вырожденной. Мы знаем, что в этом случае определитель матрицы $\partial \varphi$ должен равняться нулю. Поэтому, переходя к компонентам матрицы $\partial \varphi$, мы получаем равенство
\[
\varepsilon^{a_{1}} \cdots a_{n_{b_{1}}} \ldots b_{n} \partial_{a_{1}} \varphi^{b_{1}} \ldots \partial_{a_{n}} \phi^{b_{n}}=0
\]

которое можно переписать в виде

Таким образом, $n$-компонентный вектор тока $J^{a}$, определенный равенством

сохраняется в том смысле, что
\[
\partial_{a} J^{a}=0 .
\]

В случае уравнения $С \Gamma$, когда $n=2$, мы имеем
\[
J^{\alpha}=\varepsilon^{a c} \mathbf{e}_{b d} \varphi^{b} \partial_{\iota} \varphi^{d},
\]

причем координаты вектора $J$ могут быть записаны в явном виде:
\[
J^{0}=\left(\varphi^{1} \partial_{x} \varphi^{2}-\varphi^{2} \partial_{x} \varphi^{1}\right), \quad J^{1}=\left(\varphi^{2} \partial_{t} \varphi^{1}-\varphi^{1} \partial_{t} \varphi^{2}\right) .
\]

Совершая подстановку в соответствии с параметризацией (7.3.1), получим уравнения
\[
J^{0}=\varphi, x, \quad J^{1}=-\varphi, t
\]

в соответствии с равенствами (7.2.20).
Обобщение топологического заряда дается формулой
\[
Q^{x_{\circ}}(\Phi)=\frac{1}{(n-1) \mid \Omega_{n-1}} \int_{R^{n-1}} J^{0}(\varphi) d x^{1} \ldots d x^{n-1},
\]

где $\Omega_{n-1}=2 \pi^{n / 2} / \Gamma^{(n / 2)}$ есть площадь поверхности единичной сферы $S^{n-1}$, равная $2 \pi$ для случая (7.2.18), когда $n=2$.

Для вычисления интеграла и обоснования свойства целозначности функции $Q^{x_{0}}(\varphi)$ необходимо ввести еще одно математическое понятие – степень Брауэра гладкого отображения. Пусть $M$ и $N$ – две компактные поверхности размерности $m$ и $f: M \rightarrow$

$\rightarrow N$ – гладкое отображение $M$ в $N$. Для каждого $y \in N$ определим множество $f^{-1}(y) \in M$ следующим образом:
\[
f^{-1}(y)=\{x \in M: f(x)=y\} .
\]

Точка $y \in N$ называется регулярным значением отображения $f$, если якобиан $\partial f$ отличен от нуля в каждой точке множества $f^{-1}(y)$. Предполагая, что поверх ность $N$ связна, можно показать, что величина $\operatorname{deg}(f)$, определенная равенством
\[
\operatorname{deg}(f)=\sum_{f=1(y)} \operatorname{sgn}(\operatorname{det}(\partial f)),
\]

где $y$ – регулярное значение отображения $f$, не зависит от специального выбора регулярного значения $y$. Ясно, что величина $\operatorname{deg}(f)$ принимает лишь целые значения. Она называется степенью Брауэра гладкого отображения $f$.

Если ввести в рассмотрение вещественнозначную функцию $g: N \rightarrow \mathrm{R}$, то можно определить суперпозицию $(g \circ f): M \rightarrow \mathrm{R}$, и мы приходим к соотношению
\[
\begin{aligned}
\int_{M} d x^{1} \ldots d x^{m}(g \circ f)\left(x^{1}, \ldots,\right. & \left.x^{m}\right) \operatorname{det} \partial y=\operatorname{deg}(f) \times \\
& \times \int_{K} d y^{\mathrm{I}} \ldots d y^{m} g\left(y^{\mathrm{I}}, \ldots, y^{m}\right) .
\end{aligned}
\]

Если теперь компактифицировать $R^{n-1}$ с помощью отображения $\pi: R^{n-1} U(\infty) \rightarrow S^{n-1}$, то легко можно будет убедиться в том, что формула (7.3.13) и есть решение нашей проблемы. Действительно, из того, что
\[
Q^{x} \circ(\varphi)=\frac{1}{\Omega_{n-1}} \int d x^{1} \ldots d x^{n-1}\left(\operatorname{det} g_{a b}\right)^{1 / 2} \operatorname{det} \partial y,
\]

где $\left(y^{1}, \ldots, y^{n-1}\right)$ – внутренние координаты на сфере, а
\[
g_{a b}=\left\langle\frac{\partial \varphi}{\partial y^{a}}, \frac{\partial \varphi}{\partial y^{b}}\right\rangle
\]

есть метрический тензор на $S^{n-1}$, немедленно следует, что величина
\[
\begin{array}{r}
Q^{x} \circ(\varphi)=\operatorname{deg}\left(\varphi \circ \pi^{-1}\right) \Omega_{n-1}^{-1} \int d y^{1} \cdots d y^{n-1}\left(\operatorname{deg} g_{a b}\right)^{1 / 2}= \\
=\operatorname{deg}\left(\varphi \circ \pi^{-1}\right)
\end{array}
\]

целозначна.
Обобщение гомотопий для отображений из $S^{n}$ в топологическое пространство $X$ строится следующим образом. Два отображения $f, g ; I^{n} \rightarrow X$ называют гомотопными в точке $x \in X$, если они обладают тем свойством, что
\[
f\left(\partial I^{n}\right)=x=g\left(\partial I^{n}\right),
\]

т. е. отображения $f$ и $g$ действительно определены на $S^{\pi}$ и существует непрерывное отображение $H: I^{n+1} \rightarrow X$, такое, что отображение $H^{\mathbf{s}}: I^{\mathrm{n}} \leftarrow-X$, имеющее в координатах вид $H^{s}:\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \rightarrow$ $\rightarrow H\left(s, z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$, удовлетворяет условиям
(i) $H^{s}\left(\partial I^{n}\right)=x$ для всех $s \in I$,
(ii) $H^{0}=f$ и $H^{1}=g$.
Множество классов эквивалентности взанмно гомотопных отображений можно наделить групповой структурой с умножением, определенным формулой
\[
(f \circ g)\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
f\left(2 z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right), & 0 \leqslant z_{1} \leqslant 1 / 2, \\
g\left(2 z_{1}-1, z_{2}, \ldots, z_{n}\right), & 1 / 2 \leqslant z_{1} \leqslant 1 .
\end{array}\right.
\]

Получающаяся группа называется $n$-й гомотопической групnoй в точке $x \in X$ и обозначается $\pi_{n}(X, x)$. Если пространство $X$ линейно связно, то все группы, отвечающие различным точкам $x \in X$, изоморфны между собой, и единственная абстрактная группа, которой они все изоморфны, обозначается $\pi_{n}(X)$ и называется $n$-й гомотопической аруппой пространства $X$.

Топологическое содержание предыдущего анализа можно выразить следующим результатом: $\pi_{n}\left(S^{n}\right)=Z$, где $Z$ – аддитивная группа целых чисел.

Мы рассматриваем лишь модели, которые являются непосредственным обобщением уравнения СГ, поскольку делать общие утверждения в других случаях затруднительно. Происхождение топологического заряда, проявляющегося в сохранении «числа солитонов», для таких уравнений, как КдФ или НШ, проследить гораздо труднее. Для того, чтобы применить только что установленные результаты, мы должны рассмотреть соответствие между решением рассматриваемого уравнения и некоторым отвечающим ему отображением между сферами. Для этого нам понадобится преобразование обратной задачи рассеяния.