Классическая механика представляет собой подходящее описание для таких систем, как солнечная система. Процесс измерения для таких макроскопических систем имеет пренебрежимо малое влияние на результаты наблюдений. С точки зрения классической механики движущаяся частица в каждый момент времени имеет и точно определенное положение в пространстве, и точное значение импульса, а также всех характеристик, поддающихся наблюдению, таких как энергия и момент количества движения. Это очень важный аспект классического подхода. Классическая задача рассеяния, рассмотренная в предыдущем разделе, очень типична в этом смысле. Уравнения (2.2.3) и (2.2.4) могут быть использованы для моделирования движения кометы в гравитационном поле планеты. В классической модели комета приближается из некоторой бесконечно удаленной точки пространства по прямой линии, гравитационное поле планеты отклоняет ее, и она уходит по орбите, асимптотой которой является другая прямая линия. Мы говорим, что комета была рассеяна гравитационным полем планеты. В любой точке траектории комета обладала точным положением в пространстве, импульсом, энергией и моментом количества движения. Действительно, две последние характеристики постоянны в процессе движения кометы.

Квантовая механика представляет собой подходяцее описание для систем малого размера, в которых существенны взаимодействия субатомных частиц. В отличие от своего классического аналога квантовая частица не может одновременно иметь точно определенное положение в пространстве и точно определенный импульс, поскольку процесс измерения взаимодействует с системой субатомного размера. Однако можно выделить набор наблюдаемых характеристик, которые могут быть одновременно определены. Например, энергия $E$ и момент количества движения $J$ частицы могут быть одновременно измерены без влияния одного на другое.

Для того чтобы проиллюстрировать понятия квантовой механики, и в частности уравнение Шрёдингера, рассмотрим движение квантовой частицы в потенциальном поле $V(x)$ на вещественной прямой $-\infty<x<\infty$. Эта задача имеет непосредственное отношение к методам, которые будут развиты в последующих главах.

Квантовая частица может быть описана только в вероятностных терминах. В любой момент времени $t$ состояние такой частицы определяется комплекснозначной функцией $\psi^{t}(x)$ от координаты $x$. Такая функция $\psi^{t}(x)$ называется волновой функцией, и для нее должно выполняться условие
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi^{t}(x)\right|^{2} d x<\infty,
\]
т. е. она должна быть квадратично интегрируема. Полное линейное пространство всех таких функций будет обозначаться $L^{2}(\mathbb{R})$. Это ограничение накладывается для того, чтобы функцию $\psi^{t}(x)$ можно было интерпретировать следующим образом. Величина $|\psi(x)|^{2} d x$ интерпретируется как относительная вероятность нахождения частицы в интервале $(x, x+d x)$. Если выполнено условие (2.3.1), то абсолютная вероятность нахождения частицы в интервале $(a, b)$ выражается формулой
\[
\left.\int_{a}^{b}\left|\psi^{t}(x)\right|^{2} d x\left|\int_{-\infty}^{\infty}\right| \psi^{t}(x)\right|^{2} d x .
\]

При переходе от классической механики к квантовой мы заменяем классические наблюдаемые величины, такие как положение в пространстве $x$, импульс $p$, энергия $H$, операторами $\hat{x}, \hat{p}$ и $\hat{H}$, действующими на волновую функцию $\psi$. Операторы, представляющие положение в пространстве и импульс, обычно определяются так:
\[
\hat{x} \psi_{t}(x)=x \psi^{t}(x)
\]

и
\[
\hat{p} \psi^{t}(c)=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi^{t}}{\partial x}(x)
\]

где $\hbar=h / 2 \pi$ и $h-$ физическая константа, имеющая размерность действия, известная как постоянная Планка. Численная величина $h$ равна $6.6252 \cdot 10^{-34}$ Дж.с. Тот факт, что положение в пространстве и импульс не могут наблюдаться одновременно, выражается формально в том, что операторы $\hat{x}$ и $\hat{p}$ не коммутируют.

Если измерения положения в пространстве и импульса производятся в разном порядке, то результаты будут разные. Из (2.3.3) и (2.3.4) можно найти, что $[\hat{x}, \hat{p}]=\hat{x} \hat{p}-\hat{p} \hat{x}=i \hbar$, и, таким образом, $\hbar$ является как бы мерой того, насколько измерения положения в пространстве и импульса мешают друг другу. Можно показать, что в пределе $\hbar \rightarrow 0$ квантовая механика переходит в классическую. Это известно под названием классический предел.

Классическая энергия $H$ частицы массы $m$ при значении потенциала $V(x)$ выражается так:
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+V(x) .
\]

Соответствующий ему оператор энергии или оператор Гамильтона в квантовой механике определяется так:
\[
H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+V(\hat{x})=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x) .
\]

Соответствующий физический закон, определяющий эволюцию квантовой системы во времени, выражается уравнением Шрёдингера для $\psi^{t}(x)$ :
\[
i \hbar \frac{\partial \psi^{t}}{\partial t}=\widehat{H} \psi^{t} .
\]

Если в (2.3.6) подставить это выражение для $\hat{H}$, то получим
\[
i \hbar \frac{\partial \psi^{t}}{\partial t}(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi^{t}}{\partial x^{2}}(x)+V(x) \psi^{t}(x) .
\]

Это так называемое нестационарное уравнение Шрёдингера.
Мы должны проверить, что эта эволюция во времени согласуется с нашей вероятностной интерпретацией функции $\psi^{t}$. Если функция $\psi^{t}(x)$ нормирована в некоторый момент времени $t=t_{0}$, т. e.
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi^{t_{0}}(x)\right|^{2} d x=1,
\]

то нужно потребовать, чтобы она была так же нормирована для всех других моментов времени. Это вытекает из закона сохранения, который выводится из уравнения (2.3.8). Из (2.3.8) легко найти, что величина
\[
i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left|\psi^{t}(x)\right|^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^{t^{*}}(x) \frac{\partial \psi^{t}}{\partial x}(x)-\psi^{t}(x) \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}(x)\right)
\]

не зависит от $V(x)$. Интегрируя по всей вещественной оси и предполагая, что $\psi^{t}(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$, получаем
\[
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi^{t}(x)\right|^{2} d x=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[\psi^{t *}(x) \frac{\partial \psi^{t}}{\partial x}(x)-\psi^{t}(x) \frac{\partial \psi^{t}}{\partial x}(x)\right]_{-\infty}^{\infty}=0,
\]

и, таким образом, для любой такой функции норма $\psi^{t}(x)$ сохраняется в процессе движения.

Следовательно, квадратично интегрируемая волновая функция, стремящаяся к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$ и нормированная в какой-то момент времени, остается нормированной для всех моментов времени, так что вероятностная интериретация согласуется с эволюционным уравнением. Уравнение (2.3.10) может быть записано в форме закона сохранения
\[
\frac{\partial \rho^{t}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x} i^{t}=0
\]

если $\rho^{t}$ и $j^{t}$ определены следующим образом:
\[
\rho^{t}=\left|\psi^{t}\right|^{2} \text { и } j^{t}=\frac{\hbar}{2 i m}\left(\psi^{t *} \frac{\partial \psi^{t}}{\partial x}-\psi^{t} \frac{\partial \psi^{t *}}{\partial x}\right) .
\]

Они интерпретируются как плотность вероятности и поток вероятности соответственно. Можно записать $j^{t}$ и другим способом:
\[
j^{t}=\frac{\hbar}{2 m i} W\left(\Psi^{*}, \Psi^{t}\right)
\]

где билинейный функционал $W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ определен выражением
\[
W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
\varphi_{1} & \varphi_{2} \\
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} & \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}
\end{array}\right]
\]

и называется вронскианом от функций $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Вронскианы будут играть важную роль в теории, которая будет развита в последующих главах.

В квантовой механике собственные функции оператора $\widehat{A}$, соответствующего наблюдаемой величине $A$ в классической механике, интерпретируются как состояния частицы, для которых существует точное значение величины $A$. Если мы ищем решения ${ }_{E} \psi^{t}$ нестационарного уравнения Шрёдингера (2.3.7), соответствующие состояниям с точным значением энергии $E$,
\[
H\left({ }_{E} \psi^{t}\right)=E\left({ }_{E} \psi^{t}\right)=2 \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(E \psi^{t}\right),
\]

то мы можем решить уравнение (2.3.16) и получить
\[
\psi(t, x, E)=e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \psi(x, E),
\]

где, как видно из первого равенства в $(2.3 .16), \psi(x, E)$ удовлетворяет уравнению
\[
E \psi(x, E)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x, E)+V(x) \psi(x, E),
\]

которое называется стационарным уравнением Шрёдингера.
Заметим, что эволюция во времени таких собственных состояний энергии приводит только к изменению фазы волновой функции и что величины $\rho^{t}$ и $j^{t}$ не зависят от времени для таких состояний. Важным свойством $j^{t}$ является ее независимость от потенциала $V(x)$. Для собственных состояний энергии можно найти другие такие величины. Если $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ – два решения стационарного уравнения Шрёдингера (2.3.18), то легко показать, что
\[
\frac{\partial}{\partial x} W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=0,
\]

и поэтому вронскиан $W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ от любых двух решений с постоянной энергией – постоянная величина.

Условие квадратичной интегрируемости и непрерывности функции $\psi(x, E)$ и ее первой производной вместе с другими граничными условиями, которые позволяют с помощью общего уравнения (2.3.18) описать конкретную задачу, ставят строгие ограничения на допустимые значения $E$. Если мы определим
\[
Q(x)=-\frac{2 m}{\hbar^{2}}-V(x) ; \quad k^{2}=\cdots \frac{2 m E}{\hbar^{2}} ; y(x, k)=\psi\left(x,-\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\right),
\]

тогда уравнение Шрёдингера (2.3.18) может быть записано в виде
\[
\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+Q(x)\right] y(x, k)=k^{2} y(x, k) .
\]

Теперь его можно интерпретировать как задачу нахождения собственных значений дифференциального оператора
\[
L=\frac{d^{2}}{d x^{2}}+Q(x),
\]

дополненную соответствующими граничными условиями.
Оператор $L$ называют оператором рассеяния Шрёдингера. Собственные значения $E$ представляют собой возможные значения энергии этой системы. В классическом случае $E$ непрерывна и удовлетворяет только естественному ограничению $E \geqslant V_{\text {min }}$, где $V_{\mathrm{min}}$ – минимальное значение потенциала $V(x)$. Однако в квантовом случае энергия не обязана быть непрерывной. Вообще говоря, существует дискретное множество изолированных точек и некоторое количество непрерывных интервалов, образующих множество допустимых значений энергии, которое называется энергетическим спектром $L$. Более точное определение и обсуждение спектра оператора Шрёдингера будет дано в гл. 3.

Не все собственные функции квантового оператора квадратично интегрируемы. Такие функции не являются волновыми функциями, поскольку они не поддаются вероятностной интерпретации. Такие ненормируемые функции мы будем называть обобщенными волновыми функциями. Примером такой обобщенной волновой функции может служить собственная функция ${ }_{k} y$ оператора импульса $\hat{p}$,
\[
\left.\hat{p}\left({ }_{k} y\right)(x)=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\left({ }_{k} y(x)\right)=(\hbar k){ }_{k} y(x)\right),
\]

соответствующая собственному значению импульса $p=h k$. Интегрирование этого уравнения дает
\[
y(x, k)=b(k) e^{i k x},
\]

где $b(k)$ – константа.
Хотя такие собственные состояния импульса не являются физически интерпретируемыми волновыми функциями, в элементарной квантовой механике их обычно используют как базис, по которому разлагаются квадратично интегрируемые волновые функции. Это, в сущности, метод анализа Фурье. Для наших целей с математической точки зрения удобно ввести более строгие ограничения на волновые функции, чем просто принадлежность к $L^{2}(\mathbb{R})$. Требование, чтобы волновая функция была непрерывно дифференцируема и абсолютно интегрируема, $\int_{-\infty}^{\infty}\left|y^{t}(x)\right| d x<\infty$, достаточно для квадратичной интегрируемости, как следует из неравенства Коши – Шварца. Более того, это требование позволит нам применять классическую технику анализа Фурье и вообще даст возможность более гибко манипулировать. Из классической теоремы об интеграле Фурье известно, что такая непрерывно дифференцируемая и абсолютно интегрируемая волновая функция имеет представление Фурье
\[
y^{t}(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{1 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} \tilde{y}^{t}(k) d k,
\]

где по теореме об интеграле Фурье
\[
y^{t}(k)=\frac{1}{(2 \pi)^{1 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i k x} y^{t}(x) d x .
\]

Отдельные элементы подынтегральной функции $e^{i k x} \tilde{y}^{t}(k)$ часто называют модами Фурье от функции $y^{t}$.

Только в том случае, если $V \equiv 0$, функция ${ }_{k} y$ является решением стационарного уравнения Шрёдингера (2.3.18). Если $E=$ $=\hbar^{2} \frac{k^{2}}{2 m}$, то стационарное уравнение Шрёдингера для случая, когда потенциал равен нулю, примет вид
\[
\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}\right] y(x, t)=0 .
\]

Общее решение этого уравнения дается формулой
\[
Y(x, k)=b(k) e^{i k x}+a(k) e^{-i k x} \quad(k>0) .
\]

Случай, когда $V(x)=0$, соответствует свободному движению и описывается свободным уравнением Шрёдингера (2.3.27). Этот
случай в квантовой динамике частиц соответствует случаю прямолинейного движения в классической механике. Общие решения нестационарного свободного уравнения Шрёдингера могут быть выражены формулой
\[
y^{t}(x)=\int_{0}^{\infty} d x e^{\frac{i k^{2} t \hbar}{2 m}} Y(x, k) .
\]

Это интеграл Фурье, представленный в терминах собственных функций энергии и импульса, поскольку эти наблюдаемые могут быть указаны одновременно.
Функция $y^{t}(x)$ состоит из двух частей, $y_{+}^{t}(x)$ и $y_{-}^{t}(x)$, где
\[
\begin{array}{l}
y_{+}^{t}(x)=\int_{0}^{\infty} b(k) e^{i\left(k x-k^{2} \frac{t \hbar}{2 m}\right)} d k, \\
y_{-}^{t}(x)=\int_{0}^{\infty} a(k) e^{-i\left(k x+k^{2} \frac{t \hbar}{2 m}\right)} d k .
\end{array}
\]

Функция $y_{+}^{t}$ состоит из волн, движущихся вправо, а функция $y_{-}^{t}$ – из волн, движущихся влево. Когда мы имеем дело со стационарным уравнением Шрёдингера, следует помнить, что решение
\[
y(x, k)=b(k) e^{i k x}+a(k) e^{-i k x}
\]

соответствует суперпозиции волны, бегущей направо, являющейся собственной функцией импульса с собственным значением $k \hbar$, и волны, бегущей влево, являющейся собственной функцией импульса с собственным значением — $k \hbar$.

Возвращаясь к общему случаю $V
eq 0$, предположим, что $V(x) \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Если квантовая частица направляется с импульсом – kћ из $x=+\infty$, то может случиться, что она пройдет через ядро потенциала и выйдет из него с импульсом – $k \hbar$ в сторону $x=-\infty$, где снова станет свободна. Однако может случиться и так, что она будет отражена потенциалом и вернется к $x=+\infty$ с импульсом $+\hbar k$. Эти две возможности, исключающие друг друга в классической механике, в квантовом мире могут реализоваться одновременно. В нестационарном случае начальный волновой пакет движется из бесконечности, и как только он попадает в зону влияния потенциала, он распадается на свои моды Фурье. Часть исходного пакета проходит сквозь потенциал и движется дальше к – , остальная часть отражается от потенциала. На рис. 2.5 показана последовательность состояний волнового пакета, падающего справа на гауссов потенциал $Q(x)=$ $=2 e^{-x^{2}}$. Если исходная частица на $x=+\infty$ представлена собственным состоянием импульса $e^{-i k x}$, соответствующим свободной частице, движущейся влево и имеющей импульс $-k \hbar$, то мы должны добавить к ней отраженную волну, бегущую направо с импульсом $\hbar k$. Таким образом, асимптотическая форма волновой функции, описывающей частицу на $x=+\infty$, такова:
\[
\tilde{\varphi}(x, k) \sim\left(e^{-i k x}+R(k) e^{+i k x}\right), \quad x \rightarrow+\infty .
\]

На другом пределе $x \rightarrow-\infty$ существует только волна, бегущая налево, которая прошла через потенциал. Следовательно, ее асимптотическая форма будет иметь вид
\[
\tilde{\varphi}(x, k) \sim T(k) e^{-i k x}, \quad x \rightarrow-\infty .
\]

Рис. 2.5. -.- $Q(x),-\operatorname{Re}(y),-\cdots|y|$.
Функции $R(k)$ и $T(k)$ известны как коэффициент отражения и коэффициент прохождения.

В анализе описанного выше процесса рассеяния удобно нормировать волновую функцию ${ }_{k} \tilde{\varphi}$, приведя ее к функции ${ }_{k} \varphi$, имеющей асимптотическое поведение $\varphi(x, k) \sim e^{-i k x}$ при $x \rightarrow-\infty$. Это значит, что мы будем искать волновые функции ${ }_{k} \varphi$, имеющие асимптотическое поведение такого вида:
\[
\varphi(k, x) \sim\left\{\begin{array}{ll}
b(k) e^{i k x}+a(k) e^{-i k x}, & x \rightarrow+\infty, \\
e^{-i k x}, & x \rightarrow-\infty,
\end{array}\right\}
\]

где $a(k)=1 / T(k)$ и $b(k)=R(k) / T(k)$, причем заметим, что $R(k)=b(k) / a(k)$. Из постоянства $j^{t}$ немедленно следует соотношение между функциями $a$ и $b$. Поскольку $j^{t}(+\infty)=j^{t}(-\infty)$ для вещественных $k$, то выполняется равенство
\[
|a(k)|^{2}-|b(k)|^{2}=1 .
\]

Величины $a(k)$ и $b(k)$ представляют асимптотические данные, относящиеся к процессу шрёдингеровского рассеяния точно так
же, как $\theta(b)$ относилась к классическому рассеянию в предыдущем разделе. В оставшейся части этого раздела и в следующем разделе мы начнем исследовать, в какой степени $a(k)$ и $b(k)$ определяют потенциал $Q(x)$. В заключение этого раздела мы решим две простых задачи потенциального рассеяния. Это поможет нам привыкнуть к манипуляциям с функциями $a(k)$ и $b(k)$. Примеры специально выбраны так, что они решаются точно и несложно, и не нужно думать, что их индивидуальные особенности являются типичными. Первый пример – дельта-потенциал, второй – потенциал в форме прямоугольной ямы.