Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Когда металлический кристалл непрерывно деформируется силами сдвига, он отвечает на это скольжением одюй плоскости атомов в кристалле вдоль другой. На рис. 7.19 схематически представлены две области такого металлического кристалла. Верхняя область скользит вдоль нижней области под действнем силы сдвига в указанном иаправленин. Ведущий край верхней области и участки за ним скользят вдоль нижней области, в то время как участки, расположеные еще дальше назад от этого края, еще не начали скользить. Такое отставание ирнводит к деформации кристаллической решетки в локализованной ббласти кристалла, в данном случае в плоской области, перпенднкулярной к направлению сдвига, которая расюространяется по кристаллу. Такой тип дислокации известеп как краевая дислокация. Можно построить очень простую модель этой ситуации, если считать, что нижняя область остается неподзижной, и ввести периодический потенциал, в котором атомы верхней области движутся. На рис. 7.20 показаны два слоя, непосредетвенно примыкающих к плоскости скольжения. Если шаг решетки в направлении плоскости скольжения обозначить через $\alpha$, то возможный вид периодического потенциала, описывающего воздействие неподвижного нижнего слоя на $k$-й атом верхнего слоя, дается формулой где через $\varphi_{k}$ обозиачается отклонение $k$-го атома от его положения равновесия. Если силы между атомами в кристаллическом слое подобй тем, что возникают в линейной теории упругости с силовой константой $\beta$, как было рассмотрено в гл. 1 при изучении задачи ФПУ, то уравнение движения $k$-го атома имсет вид C помощью тривиального изменения масштабов уравнение (7.6.2) приводится к уравнению (7.1.4), описывающему механиеский маятник. Если сделать замены $\Phi_{h}=\left(2 \pi q_{h} \alpha\right), A=\alpha^{2} \vec{A}, \beta=$ $=\bar{\beta} \alpha^{-2}$ и устремить $\alpha$ к нулю, то в пределе при переходе к непрерывному распределению атомов в решетке мы получим уравнение $С Г$ Рис. 7.19. Процесс скольженил. На этом примере мы ясно видим, как энергия упругости «пакапливается» в таких дислокациях. Пользуясь уравнением (7.2.6) и гамильтонианом, соответетвующим (7.6.3), мы паходим, что Рис. 7.20. равіа (в соответствия $с$ уравнением (7.2.6), нспользующим гамильтониан, соответствующий уравленню (7.6.3)) Интересно отметить, что, как было найдено из экспериментов, металы с низким значением $E_{\text {mп }}$ оказываются более пластичными. Это объясняется большей легкостью гоявления солитоноподобных дислокаций. Выше мы рассмотрели лишь краевые дислокации. Заметим для полноты, что в общем случае граница между скользящей и неподвижной областями в металлическом кристалле криволинейна, она называется линией дефектоб. Энергия, накапливаемая в таких дефектах, пропорциональна длине дефекта, и мы получаем ситуацию, подобную той, что возникала в связи с поверхностным натяжением. Когда система развивается во времени, то она ведет себя таким образом, чтобы понизить свою энергию, а это обстолтельство способствует возникновению линейных дефектов, представляющих собой замкнутые кривые. Ситуация подобна той, что получается при образовании мыльных пузырей. Если задаться вопросом, как два таких линейных дефекта в кристалле взаимодействуют, то мы как раз и столкнемся с проблемой, для исследования которой важны те топологические понятия, которые мы здесь ввели. Упорядоченная система, такая, как кристалл, позволяет нам в каждой точке области пространства, занятой системой, определить некоторую величину $\Psi$, называемую параметром порядка. Параметр порядка показыпает степень организованности (упорядоченности) системы в окрестности заданной точки объема, занятого системой. В декартовых координатах мы описываем состояние системы функцией $\Psi: x \rightarrow \Psi(x), x \in R^{n}$, непрерывной в некотором смысле; ее возможные значения образуют пространство, известное как пространство параметров порядка $S_{\Psi}$ для этой системы. Существует много различных способов определения параметра порядка, и конкретный выбор обычно зависит от того специального свойства физической системы, которое надлежит изучить. Говорят, что среда находится в упорядоченном состоянии, если функция $\Psi$ принимает одно и то же значение во всех точках системы. Функция $\Phi$, введенная выше для описания непрерывного аналога дискретіго кристалла, является параметром порядка для этой системы. Точно так же угол поворота $\varphi$ континуальной модели механического маятника, рассмотренной в разд. 2, яв»яется параметром порядка. Однократная скрутка эластичной ленты или односолитоная дислокация в кристалле разделяют две области, в каждой из которых система находится в упорядоченном состоянии. Параметр порядка быстро меняется лишь в окрестиости скрутки или линии дефекта. В каждом из этих двух случаев пространство параметра порядка представляет собой единичную окружность $S^{1}$. В случае ленты это утверждение справедливо, так как параметр порядка $\varphi$ есть угол, в случае же краевой дислокации это является следствием периодической структуры кристаллической решетки. Легче всего это увидеть, если рассмотреть какую-либо физическую величину, скажем плотность. Если $\rho_{0}(x)$ есть плотность совершенного, недеформированного одномерного кристаллического слоя и если шаг решетки равен $\alpha$, то мы имеем Если плотность $\bar{\rho}$ деформированного кристалла можно представить в виде то $\varphi$ является параметром порядка для системы, принимающим значение 0 в упорядочениом состоянии. Функция $\varphi$ не является периодической, но, изменяя значение $ч$ на величину, кратиую шагу решетки $\alpha$, мы получаем конфигурацию, неразличимую, если измерять лишь плотность, от той, когда она не изменялась вовсе. Преобразование (7.6.7) является элементом группы $T$ сдвигов Если $H_{\alpha}=\left\{\bar{T}_{L} \in T: L=n \alpha, n \in Z \mid\right.$ есть подгруппа сдвигов, кратных шагу репетки $\alpha$, то пространство параметров порядка $S_{\Phi}=T / H_{\alpha} \cong S^{1}$. Преимущество рассмотрения пространств, возникающих в качестве фактор-пространств, заключается в том, что они очень облегчают выделение подходящих гомотопических групп. А это в свою очередь помогает нам ренать вопрос о существовании подобных кинкам решений. Больцинство параметров порядка, которые обычно возикают в физике твердого тела, ассоциированы с групгой преобразований $G$, действующих транзитивю на пространство параметров порядка. Для частного значения $\Psi$ параметра порядка мы определим $H_{\psi}$, изатролную груплу для $\boldsymbol{\psi}$, как подгруппу группы $G$, определенную формулой Вообще говоря, $H_{ч}$ не является нормальной подгруппой группы $G$. Поскольку $G$ действует транзитивно на $S_{\text {чг, то }}$, две любые изотропные группы изоморфны в силу существования виутренего автоморфизма. Структура, которую мы обрисовали, позволяет нам трактовать $S_{\Psi}$ как фактор-пространство $G / H_{\Psi}$ левых классов смежности $H_{\psi}$. Поэтому существование кинк-решений в физике твердого тела тесно связано со структурой гомотопических групп $\pi_{n}(\mathrm{G} / H)$. Существуют два физических явтепия, связанных с наличием упорядоченного состояния вецества, для нзучения которых уравнения СГ особенно полезны. Это ферромагнетизм и сверхпроводимость. Явление ферромагнетизма будет рассмотрено в разд. 7.7. В этом разделе, а также в разд. 7.8 мы рассмотрим явлепие сверхпроводимости. Впачале мы опишем физическое явление как таковое, а затеи изложим классическую теорню Ландау и Гинзурга, представленную в термипах комнлекснозначно’о параметра норядка. Когда мы вернемея к дальнейшеиу обсужденик сверхпроводимости в разд. 7.8, мы коснемся вопроса о квантовомеханическом туннелировании и эффекте Джозефжона. Это позволит нам развить некоторые необходимые квантовомсханические понятия. Когда температура, уменьшаясь, подходит к критической темпсратуре, магнитное поте, которое в нормальной фазе проннкало в метал, начиндет выталкиваться из сверхироводящего образца. Это выталкивание поля из образца, когда он из нормальной фазы ґереходит в снерхпроводящую, называетея эффектом Мейссера. Оказывается, что поле не лолиостью вытесняется, а проникает в образец на некоторую глубину $\lambda$ от поверхности материала. Велнчнна $\lambda$ называется гаубиной проникновения. Тичиное значенне глубины проникновения около $10^{-5} \mathrm{~cm}$. Сверхіроводящее состояние представляет определенную термодинамическую фазу, отмсченную скачкообразным измененисм термодинамических величин, например свободной энергии, в условиях, когда температура пересекает критическую. Существенны элементом большинства теорий, которые были предпожены датя объяснения специальных свойств сверхпроводяцего состояния, Phe. 7.21 . является идея пар Купера, или свер хпроводяцих электронов. Пары Купера имеют пространственную протяженность порядка второй характеристической длины $\xi$, известной как длина когерентности. Для типичпого сверхцроводника $\xi$ приблизительно равно $10^{-4}$, и отношение глубины проникновения к длине когерентности, известное как параметр Ландау — Гинзбурга, обычно меньше единицы. Два электрона в паре могут далеко отстоять друг от друга, и среднее расстояние между параметрами много меньше размера пары. Вследствие межэлектронных сил притяжения, порожденных взаимодействием с ионной решеткой, электронный газ неустойчив к образованию пар Купера, и спаривание продолжается до тех пор, пока не будет достигнута некоторая точка равновесия. В результате бозонной природы пар образуетея система, состоящая из крупномасштабного конденсата куперовских пар, большинство из которых находится в самом нижнем энергетическом состоянии. Теперь ясно, почему сверхпроводники так резко отличаются от нормальных металлов. Одна из наиболее ранних и наиболее успешных феноменологических теорий, которая систематизировала эксперименталыные факты, известные ко времени ее создания, была построена Ландау и Гинзбургом. Она явилась плодом замечательной физической интуиции; краткий набросок, который мы помецаем ниже, связан со многими интерпретациями, сделанными много позже момента, когда теория была построена в ее оригинальном варианте. Действительно, только в 1959 году Горьков смог связать эту в высшей степени плодотворную теорию непосредственно с микроскопической теорией. интерпретируется, следуя исходной идее Шрёдингера, как локальная плотность сверхпроводящих электронов. Если материал состоит из областей, находящихся в нормальной фазе и в сверхпроводящей, то $n$ обращастся в нуль в области с нормальной фазой и принимает приблизительно постоянное значение в сверхпроводящей области. Сущность идеи Ландау — Гинзбурга заключается в том, что Ф медленно меняетея в пространстве всюду, кроме областей, расположенных вблизи границ нормальных и сверхпроводящих зон. Эта идея реализуется предположением о том, что плотность свободной энергии сверхпроводяцей фазы может быть разложена в ряд вида где $f_{0}$ есть плотность свободной энергии нормальной фазы, величины $f_{i}(i=2,4)$ суть зависящие от температуры постоянные, $m^{*}$ — эффективная масса пары Қупера и $e^{*}=2 e$ — это ее заряд. Волновая функция сверхпроводящих электронов связана с электромагнитным полем, описываемым векторным потенциалом А калибровочно инвариантным образом, как это было сделано в разд. 7.5. После изменения масштаба и добавления физически безразличной постоянной величины выражение (7.6.10) можно переписать в виде в котором мы немедленно распознаем статическую, $d=3$, абелеву модель Хиггса разд. 7.5. Уравнения Ландау — Гинзбурга получаются минимизацией свободной энергии, так же как в предыдуцем разделе минимизировалось действие в абелевой модели Хиггса. Уравнения полностью эквивалентны. В предыдущем разделе мы обнаружили, что модель Хиггса имеет вихревые решения. Силы между вихрями зависят от того, будет ли $\lambda$ больше или меньще $1 / 2$. Описанные свойства сверхРис. 7.22. Соерхирочодинки ] и II родов. проводимости соответствуют системам, описывающим модели Хиггса с $\lambda<1 / 2$, а сверхпроводники с такими свойствами называются сверхпроводниками I рода. Системы, которые отвечают моделям $\mathrm{X}$ иггса с $\lambda>1 / 2$, называются сверхпроводниками II рода. На рис. 7.22 показано различие в проникновении потоков магнитиого поля внутрь сверхпроводников I и II родов. В обоих случаях поток в конечном итоге выталкивается, но для материала II рода выталкивание происходит не при каком-то олределенном значении внешнего поля. Для сверхпроводника II рода существуют два критических значения внешнего поля: $H_{\text {с }_{1}}$ и $H_{\epsilon_{3}}$, Когда величина поля возрастает, переходя $H_{c_{1}}$, поток начинает проникать в сверхпроводник. Однако в отличие от потока для материалов I рода, остающегося ламинарным, сверхпроводник II рода пронизывается большим числом вихревых трубок, которые регулярно располагаются в пространстве и образуют решетку. Индивидуальные вихревые трубки расположены порознь из-за их взаимного отталкивания, и суммарное число трубок определяется суммарным потоком, который, согласио (7.5.35), квантуется в $N$ единиц потока. Қаждая трубка несет в сверхпроводник квант потока, Этот иитевидный процесс продолжаетея до тех пор, пока $H$ пе становится равным $H_{c_{2}}$ и впутреннее магнитное поле не согласуется с внешним, и тогда система приходит в свою нормальную фазу. Для значеший $H$, расположенных между $H_{c_{1}}$ и $H_{c_{2}}$, система находится в промежуточной фазе или, как иногда говорят, в фазе Шубникова. Қак показано Эссманом и Трюяле, решетка из вихрей — экспериментаньно наблюдаеиая структура. Поскольку вихри ассоциируются с тнологиескии аспектами уравнений, онисывающих состояцие сверхироводимости, не удивительно, что они будут еце пам встречаться при исследовании смежиых вопросов. В напем стедующсм иримере, относящсмся к ферромагнетизму, снова появятся внхри, и многие замечания этого раздела окажутся уместиыи также и та́м.
|
1 |
Оглавление
|