Когда металлический кристалл непрерывно деформируется силами сдвига, он отвечает на это скольжением одюй плоскости атомов в кристалле вдоль другой. На рис. 7.19 схематически представлены две области такого металлического кристалла. Верхняя область скользит вдоль нижней области под действнем силы сдвига в указанном иаправленин. Ведущий край верхней области и участки за ним скользят вдоль нижней области, в то время как участки, расположеные еще дальше назад от этого края, еще не начали скользить. Такое отставание ирнводит к деформации кристаллической решетки в локализованной ббласти кристалла, в данном случае в плоской области, перпенднкулярной к направлению сдвига, которая расюространяется по кристаллу. Такой тип дислокации известеп как краевая дислокация.

Можно построить очень простую модель этой ситуации, если считать, что нижняя область остается неподзижной, и ввести периодический потенциал, в котором атомы верхней области движутся. На рис. 7.20 показаны два слоя, непосредетвенно примыкающих к плоскости скольжения. Если шаг решетки в направлении плоскости скольжения обозначить через $\alpha$, то возможный вид периодического потенциала, описывающего воздействие неподвижного нижнего слоя на $k$-й атом верхнего слоя, дается формулой
\[
U\left(\varphi_{k}\right)=A\left(1-\cos \left(2 \pi \varphi_{h} / \alpha\right)\right),
\]

где через $\varphi_{k}$ обозиачается отклонение $k$-го атома от его положения равновесия. Если силы между атомами в кристаллическом слое подобй тем, что возникают в линейной теории упругости с силовой константой $\beta$, как было рассмотрено в гл. 1 при изучении задачи ФПУ, то уравнение движения $k$-го атома имсет вид
\[
m \ddot{\varphi}_{k}=-2 \pi A \alpha^{-1} \sin \left(2 \pi \varphi_{h} / \alpha\right)+\beta\left(\varphi_{h+1}-2 \varphi_{k}+\varphi_{k-1}\right) .
\]

C помощью тривиального изменения масштабов уравнение (7.6.2) приводится к уравнению (7.1.4), описывающему механиеский маятник. Если сделать замены $\Phi_{h}=\left(2 \pi q_{h} \alpha\right), A=\alpha^{2} \vec{A}, \beta=$ $=\bar{\beta} \alpha^{-2}$ и устремить $\alpha$ к нулю, то в пределе при переходе к непрерывному распределению атомов в решетке мы получим уравнение $С Г$

Рис. 7.19. Процесс скольженил.
Два состояния равновесия $\Phi=0$ и $Ф-\pi$ этой системы отвегают либо ситуации решетощной упорлдоченности, либо сдаигу полу匹лоскости на одну позицию, как показано на рис. 7.19. Дислокация двшжется бытрой последовательностью «полускачков».

На этом примере мы ясно видим, как энергия упругости «пакапливается» в таких дислокациях. Пользуясь уравнением (7.2.6) и гамильтонианом, соответетвующим (7.6.3), мы паходим, что

Рис. 7.20.
энергия, необходимая для создания статичсского односолитонного решения вида
\[
\Psi=4 \operatorname{arctg}\left(\exp \left(2 \pi x(\overrightarrow{A /} / \bar{\beta})^{1 / 2}\right)\right),
\]

равіа (в соответствия $с$ уравнением (7.2.6), нспользующим гамильтониан, соответствующий уравленню (7.6.3))
\[
E_{\mathrm{rIII}}=4 \pi^{-1}(\overline{A \alpha})^{1 / 2} .
\]

Интересно отметить, что, как было найдено из экспериментов, металы с низким значением $E_{\text {mп }}$ оказываются более пластичными. Это объясняется большей легкостью гоявления солитоноподобных дислокаций. Выше мы рассмотрели лишь краевые дислокации. Заметим для полноты, что в общем случае граница между скользящей и неподвижной областями в металлическом кристалле криволинейна, она называется линией дефектоб. Энергия, накапливаемая в таких дефектах, пропорциональна длине дефекта, и мы получаем ситуацию, подобную той, что возникала в связи с поверхностным натяжением. Когда система развивается во времени, то она ведет себя таким образом, чтобы понизить свою энергию, а это обстолтельство способствует возникновению линейных дефектов, представляющих собой замкнутые кривые. Ситуация подобна той, что получается при образовании мыльных пузырей. Если задаться вопросом, как два таких линейных дефекта в кристалле взаимодействуют, то мы как раз и столкнемся с проблемой, для исследования которой важны те топологические понятия, которые мы здесь ввели.

Упорядоченная система, такая, как кристалл, позволяет нам в каждой точке области пространства, занятой системой, определить некоторую величину $\Psi$, называемую параметром порядка. Параметр порядка показыпает степень организованности (упорядоченности) системы в окрестности заданной точки объема, занятого системой. В декартовых координатах мы описываем состояние системы функцией $\Psi: x \rightarrow \Psi(x), x \in R^{n}$, непрерывной в некотором смысле; ее возможные значения образуют пространство, известное как пространство параметров порядка $S_{\Psi}$ для этой системы.

Существует много различных способов определения параметра порядка, и конкретный выбор обычно зависит от того специального свойства физической системы, которое надлежит изучить. Говорят, что среда находится в упорядоченном состоянии, если функция $\Psi$ принимает одно и то же значение во всех точках системы.

Функция $\Phi$, введенная выше для описания непрерывного аналога дискретіго кристалла, является параметром порядка для этой системы. Точно так же угол поворота $\varphi$ континуальной модели механического маятника, рассмотренной в разд. 2, яв»яется параметром порядка. Однократная скрутка эластичной ленты или односолитоная дислокация в кристалле разделяют две области, в каждой из которых система находится в упорядоченном состоянии. Параметр порядка быстро меняется лишь в окрестиости скрутки или линии дефекта. В каждом из этих двух случаев пространство параметра порядка представляет собой единичную окружность $S^{1}$. В случае ленты это утверждение справедливо, так как параметр порядка $\varphi$ есть угол, в случае же краевой дислокации это является следствием периодической структуры кристаллической решетки. Легче всего это увидеть, если рассмотреть какую-либо физическую величину, скажем плотность. Если $\rho_{0}(x)$ есть плотность совершенного, недеформированного одномерного кристаллического слоя и если шаг решетки равен $\alpha$, то мы имеем
\[
\rho_{0}(x+\alpha)=\rho_{0}(x) .
\]

Если плотность $\bar{\rho}$ деформированного кристалла можно представить в виде
\[
\bar{\rho}(x)-\rho_{0}(x+\varphi(x)),
\]

то $\varphi$ является параметром порядка для системы, принимающим значение 0 в упорядочениом состоянии. Функция $\varphi$ не является периодической, но, изменяя значение $ч$ на величину, кратиую шагу решетки $\alpha$, мы получаем конфигурацию, неразличимую, если измерять лишь плотность, от той, когда она не изменялась вовсе. Преобразование (7.6.7) является элементом группы $T$ сдвигов
\[
T_{L}: x \rightarrow x+L, \quad\left(\bar{T}_{L} f\right)(x)=f(x+L) .
\]

Если $H_{\alpha}=\left\{\bar{T}_{L} \in T: L=n \alpha, n \in Z \mid\right.$ есть подгруппа сдвигов, кратных шагу репетки $\alpha$, то пространство параметров порядка $S_{\Phi}=T / H_{\alpha} \cong S^{1}$.

Преимущество рассмотрения пространств, возникающих в качестве фактор-пространств, заключается в том, что они очень облегчают выделение подходящих гомотопических групп. А это в свою очередь помогает нам ренать вопрос о существовании подобных кинкам решений. Больцинство параметров порядка, которые обычно возикают в физике твердого тела, ассоциированы с групгой преобразований $G$, действующих транзитивю на пространство параметров порядка. Для частного значения $\Psi$ параметра порядка мы определим $H_{\psi}$, изатролную груплу для $\boldsymbol{\psi}$, как подгруппу группы $G$, определенную формулой
\[
H_{\psi}=\{g \in G: g \psi=\cdots \psi .
\]

Вообще говоря, $H_{ч}$ не является нормальной подгруппой группы $G$. Поскольку $G$ действует транзитивно на $S_{\text {чг, то }}$, две любые изотропные группы изоморфны в силу существования виутренего автоморфизма. Структура, которую мы обрисовали, позволяет нам трактовать $S_{\Psi}$ как фактор-пространство $G / H_{\Psi}$ левых классов смежности $H_{\psi}$. Поэтому существование кинк-решений в физике твердого тела тесно связано со структурой гомотопических групп $\pi_{n}(\mathrm{G} / H)$.

Существуют два физических явтепия, связанных с наличием упорядоченного состояния вецества, для нзучения которых уравнения СГ особенно полезны. Это ферромагнетизм и сверхпроводимость. Явление ферромагнетизма будет рассмотрено в разд. 7.7.

В этом разделе, а также в разд. 7.8 мы рассмотрим явлепие сверхпроводимости. Впачале мы опишем физическое явление как таковое, а затеи изложим классическую теорню Ландау и Гинзурга, представленную в термипах комнлекснозначно’о параметра норядка. Когда мы вернемея к дальнейшеиу обсужденик сверхпроводимости в разд. 7.8, мы коснемся вопроса о квантовомеханическом туннелировании и эффекте Джозефжона. Это позволит нам развить некоторые необходимые квантовомсханические понятия.
Сверхпроводияость
Сверхпроводящее состояние вещества представляет собой упорядоченную фазу, характернзуемую рядом разтичиы замечательных свойств. Нанболее важные из этих явлепий – бесконечная проводимость и эффект Мейсснера.
Бесконечная проводияоть
Если некоторые металлы, такие как свинец, ртуть или ниобий, охлаждать, то при нескольких градусах выше абсолютного нуля, при вполне определснной темпсратуре $T=T_{c}$, они внезапио теряют все следы электрического сопротивления. Электрический ток, однажды возникший в кольце из такого материала, будет циркулировать в нем бесконечно долго. Эксперимештально пижняя грапица времени затухация определена в $10^{\text {5}}$ лет, но теоретически ток будет существовать по крайней иере $10^{10^{10}}$ лет, прежде чем исчезнуть из-за термодинамических флуктуаций, которые порождают при температуре ниже $T=T_{\mathrm{c}}$ эффективнос электрическое сопротивление. Интересно отметить, что те же самые термодинамические флуктуации при температуре выше $T-T_{\text {c }}$ могут привссти к усиленио эффекта сверхпроводимости. Такое перекрытис двух режимов вслсдствие флуктуационных эффектов являетея типичным для квантовых систем. Например, для ртути такое квантовомеханическое поведение ожидается при темперуте $4.2 \mathrm{~K}$, и при такой низкой температуре мы попадаем в область физики, которая очень далека от привычного нам мира. На такой неизведашой территории, в области субатомных частиц, квантовомеханические рассмотрения приобретают, очевидно, первостепенное значение, а обычщые законы физики могут оказаться несостоятельными.
Эффект Мейсснера
Если металл охлаждается в присутствии постояного магнитного поля $H$, то критическая температура оказывается зависящей от $H, T_{\mathrm{c}}=T_{\mathrm{c}}(H)$. На рис. 7.21 прнведена экспериментально определенная форма кривой $T_{\mathrm{o}}=T_{\mathrm{c}}(H)$. Заметим, что если $H>H_{\mathrm{c}}$, то даже температура $T=0$ не вызовет переход в сверхпроводяцую фазу, и такие поля разрушают состояние сверхпроводимости.

Когда температура, уменьшаясь, подходит к критической темпсратуре, магнитное поте, которое в нормальной фазе проннкало в метал, начиндет выталкиваться из сверхироводящего образца. Это выталкивание поля из образца, когда он из нормальной фазы ґереходит в снерхпроводящую, называетея эффектом Мейссера. Оказывается, что поле не лолиостью вытесняется, а проникает в образец на некоторую глубину $\lambda$ от поверхности материала. Велнчнна $\lambda$ называется гаубиной проникновения. Тичиное значенне глубины проникновения около $10^{-5} \mathrm{~cm}$.

Сверхіроводящее состояние представляет определенную термодинамическую фазу, отмсченную скачкообразным измененисм термодинамических величин, например свободной энергии, в условиях, когда температура пересекает критическую.

Существенны элементом большинства теорий, которые были предпожены датя объяснения специальных свойств сверхпроводяцего состояния,

Phe. 7.21 . является идея пар Купера, или свер хпроводяцих электронов.
Пары Купера
Фуидаментальым представлением в теории, развитой Бардииым, Купером и Шрифферои, являстся тот факт, что свободные электроны провоцимости в снерхироводяцем металле в рсзультате взаимодействия с решсткой из нонных ядер могут образазывать связанные пары. Идея проста. Если мы рассмотрим два изолированных электрона, но обратим вннмание вначале на один из электронов, образующих пару, мы увиднм, что он будет притягивать положительнье ионы. Облако из положительных ионов, окружающих первый электрон, будет тогда притягивать второй из электроцов пары. Хотя интуитивно кажется, что эффект от такого прнтяжения будет малым, более глубокое рассмотрение показывает, что то, что представля,тось незцачительным экранирующим эффектом, порождает иритягивающую силу. Эта сила взанодействия приводит к образованию связанного состояния, т. е. к составному объекту, имеющему более низкую эпергию, нежели каждая из его компонент в отдельности. Такой объект называется парой Купера либо, иногда, сверхпроводящим электроном. Это связанное состояние имеет двойной заряд электрона, примерно двойную массу электрона, и, что особенно важно, оно не обладает внутренним (собственным) спином. Обыкновеному электрону приписывается внутреннее квантовое число, называемое спином, которое принимает значения $\pm 1 / 2$. Такие часгицы со спинами называются фермионами, и фупдаментальное свойство этих фермионов состоит в следующем. В агрегате, состоящем из многих фермионов, каждый фермион должен находиться в квантовом состоянии, отличном от других фермионов системы. Частицы с нулевым внутренним спином называются бозонами, и в агрегате из бозонов все составляющие могут обладать одной и той же квантовой конфигурацией. Фермионы подчиняются статистике Ферми, а бозоны – статистике Бозе. Связанная пара действует как бозон, поскольку если электроны в паре поменять местами, знак у волновой функции изменится дважды.

Пары Купера имеют пространственную протяженность порядка второй характеристической длины $\xi$, известной как длина когерентности. Для типичпого сверхцроводника $\xi$ приблизительно равно $10^{-4}$, и отношение глубины проникновения к длине когерентности, известное как параметр Ландау – Гинзбурга, обычно меньше единицы. Два электрона в паре могут далеко отстоять друг от друга, и среднее расстояние между параметрами много меньше размера пары.

Вследствие межэлектронных сил притяжения, порожденных взаимодействием с ионной решеткой, электронный газ неустойчив к образованию пар Купера, и спаривание продолжается до тех пор, пока не будет достигнута некоторая точка равновесия. В результате бозонной природы пар образуетея система, состоящая из крупномасштабного конденсата куперовских пар, большинство из которых находится в самом нижнем энергетическом состоянии. Теперь ясно, почему сверхпроводники так резко отличаются от нормальных металлов.

Одна из наиболее ранних и наиболее успешных феноменологических теорий, которая систематизировала эксперименталыные факты, известные ко времени ее создания, была построена Ландау и Гинзбургом. Она явилась плодом замечательной физической интуиции; краткий набросок, который мы помецаем ниже, связан со многими интерпретациями, сделанными много позже момента, когда теория была построена в ее оригинальном варианте. Действительно, только в 1959 году Горьков смог связать эту в высшей степени плодотворную теорию непосредственно с микроскопической теорией.
Теория Ландау – Гинзбуреа
Мы напомним, что в гл. 2 мы иятерпретировали волновую функцию квантовой частицы как плотность вероятности. Такая интерпретация не является оригинальной интерпретацисй Шрёдингера, а была позднее предложена Борном. Шрёдингер перво
начально интерпретировал волповую функцию в терминах плотности заряда и плотности тока, задаваемых фюрмулами $\rho=е \psi \psi$ * и $\mathbf{j}=i e \hbar / 2 m\left(\psi^{*}
abla \psi-\psi
abla \psi^{*}\right)$, которые $о$ снитал физической плотностью электрического заряда и электрическим током квантовомеханического электрона, описываемого волновой функцией $\psi$. Если бы такая интерпретация была бы правильной, то электрический ток породил бы электромагнитные поля, и система, такая, как атом водорода, испускала бы свет и, стало быть, была бы неустойчивой. Поскольку это в действительности не так, то реинтерпретация Борна оказалась существенной для успеха теорин. Однако существует ситуация, для которой оригинальная точка зрения Шрёдингера разумша. Рассмотрим ситуацию, в которой больше число частиц, с неюбходимостью бозонов, находится в одинаковом состоянии, и чусть Ф – волновая функция, описывающая эту конфигурацию. В этой ситуации $|\mathcal{\Phi}|^{2}$ можно интерпретировать как плотность частиц, и если каждая из них имеет заряд, равный $q$, то $q|\Phi|^{2}$ есть плотность электрического заряда. Это в точности та ситуация, которая возникает внутри сверхпроводника. Ландау и Гинзбург ввели в рассмотрение комплекспую псевдоволновую функцию $\Phi$ как параметр порядка Бозе-конденсата из куперовских пар. Величина $n$, определенная равенством
\[
n(x)=|\Phi(x)|^{2},
\]

интерпретируется, следуя исходной идее Шрёдингера, как локальная плотность сверхпроводящих электронов. Если материал состоит из областей, находящихся в нормальной фазе и в сверхпроводящей, то $n$ обращастся в нуль в области с нормальной фазой и принимает приблизительно постоянное значение в сверхпроводящей области. Сущность идеи Ландау – Гинзбурга заключается в том, что Ф медленно меняетея в пространстве всюду, кроме областей, расположенных вблизи границ нормальных и сверхпроводящих зон. Эта идея реализуется предположением о том, что плотность свободной энергии сверхпроводяцей фазы может быть разложена в ряд вида
\[
f=f_{0}+f_{2}|\Phi|^{2}+f_{4}|\Phi|^{4}-\frac{1}{2 m^{*}}\left|\left(-i h
abla_{
abla} \Phi e^{*} \mathbf{A} \Phi\right)\right|^{2},
\]

где $f_{0}$ есть плотность свободной энергии нормальной фазы, величины $f_{i}(i=2,4)$ суть зависящие от температуры постоянные, $m^{*}$ – эффективная масса пары Қупера и $e^{*}=2 e$ – это ее заряд. Волновая функция сверхпроводящих электронов связана с электромагнитным полем, описываемым векторным потенциалом А калибровочно инвариантным образом, как это было сделано в разд. 7.5.

После изменения масштаба и добавления физически безразличной постоянной величины выражение (7.6.10) можно переписать в виде
\[
f=(1 / 2) \sum_{a=1}^{3}\left|D_{a} \Phi\right|^{2}+\frac{\lambda}{4}\left(|\Phi|^{2}-1\right)^{2},
\]

в котором мы немедленно распознаем статическую, $d=3$, абелеву модель Хиггса разд. 7.5. Уравнения Ландау – Гинзбурга получаются минимизацией свободной энергии, так же как в предыдуцем разделе минимизировалось действие в абелевой модели Хиггса. Уравнения полностью эквивалентны. В предыдущем разделе мы обнаружили, что модель Хиггса имеет вихревые решения. Силы между вихрями зависят от того, будет ли $\lambda$ больше или меньще $1 / 2$. Описанные свойства сверхРис. 7.22. Соерхирочодинки ] и II родов. проводимости соответствуют системам, описывающим модели Хиггса с $\lambda<1 / 2$, а сверхпроводники с такими свойствами называются сверхпроводниками I рода. Системы, которые отвечают моделям $\mathrm{X}$ иггса с $\lambda>1 / 2$, называются сверхпроводниками II рода.

На рис. 7.22 показано различие в проникновении потоков магнитиого поля внутрь сверхпроводников I и II родов. В обоих случаях поток в конечном итоге выталкивается, но для материала II рода выталкивание происходит не при каком-то олределенном значении внешнего поля. Для сверхпроводника II рода существуют два критических значения внешнего поля: $H_{\text {с }_{1}}$ и $H_{\epsilon_{3}}$, Когда величина поля возрастает, переходя $H_{c_{1}}$, поток начинает проникать в сверхпроводник. Однако в отличие от потока для материалов I рода, остающегося ламинарным, сверхпроводник II рода пронизывается большим числом вихревых трубок, которые регулярно располагаются в пространстве и образуют решетку. Индивидуальные вихревые трубки расположены порознь из-за их взаимного отталкивания, и суммарное число трубок определяется суммарным потоком, который, согласио (7.5.35), квантуется в $N$ единиц потока. Қаждая трубка несет в сверхпроводник квант потока, Этот иитевидный процесс продолжаетея до тех пор, пока $H$ пе становится равным $H_{c_{2}}$ и впутреннее магнитное поле не согласуется с внешним, и тогда система приходит в свою нормальную фазу. Для значеший $H$, расположенных между $H_{c_{1}}$ и $H_{c_{2}}$, система находится в промежуточной фазе или, как иногда говорят, в фазе Шубникова. Қак показано Эссманом и Трюяле, решетка из вихрей – экспериментаньно наблюдаеиая структура.

Поскольку вихри ассоциируются с тнологиескии аспектами уравнений, онисывающих состояцие сверхироводимости, не удивительно, что они будут еце пам встречаться при исследовании смежиых вопросов. В напем стедующсм иримере, относящсмся к ферромагнетизму, снова появятся внхри, и многие замечания этого раздела окажутся уместиыи также и та́м.