Модель, представленная уравнениями $\varphi^{\mathbf{4}}$ с потенциалом (7.5.37) и модифицированная включением калибровочного поля $U(1)$, называется абелевой ноделью Хигаса. Функционал действия для нее задается равенством
\[
\mathscr{E}_{\Phi, F}=\frac{1}{2}\left[\left|D_{x} \Phi\right|^{2}+\left|D_{y} \Phi\right|^{2}+\|F\|^{2}+\frac{\lambda}{2}\left(|\Phi|^{2}-1\right)^{2}\right] .
\]

Для специального значения параметра $\lambda$, равного $1 / 2$, этот функционал можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{\Phi . F}=\frac{1}{2}\left[\left(\Phi_{1, x}+A_{1} \Phi_{2}\right) \mp\left(\Phi_{2, y}-A_{2} \Phi_{1}\right)\right]^{2}= \\
= \frac{1}{2}\left[\left(\Phi_{1, y}+A_{2} \Phi_{2}\right) \pm\left(\Phi_{2, x}-A_{1} \Phi_{1}\right)\right]^{2}+ \\
+\frac{1}{2}\left[F_{x y} \pm \frac{1}{2}\left(\Phi_{1}^{2}+\Phi_{2}^{2}-1\right)\right]^{2}+\frac{1}{2} F_{x y}
\end{array}
\]

где
\[
\Phi=\Phi_{1}+i \Phi_{2} .
\]

Мы видим, что в силу (7.5.35) суммарная энергия $\int \mathscr{E}_{\Phi, F} d^{2} x$ удовлетворяет ограничению
\[
\int_{R_{2}} \mathscr{E}_{\Phi, F} d^{2} x \geqslant \pi N
\]

Энергия будет минимальной и в (7.5.46) будет иметь место равенство в том и только в том случае, когда справедливы уравнения
\[
\begin{array}{c}
\left(\mathrm{\Phi}_{1, x}+A_{1} \Phi_{2}\right)-\varepsilon\left(\Phi_{x_{1} y}-A_{2} \Phi_{1}\right)=0, \\
\left(\Phi_{1, y} \mid A_{2} \Phi_{2}\right) \mid \varepsilon\left(\Phi_{2, x}-A_{1} \Phi\right)=0, \\
F_{x y}-(1 / 2) \varepsilon\left(\Phi_{1}^{2}+\Phi^{2}–1\right)=0,
\end{array}
\]

где
\[
\varepsilon N>0, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

Хотя замкнутая форма решений этих уравнений неизвестна, доказательство существования решений можно получить. Можно показать, что для заданного $N(N>0)$ и мижества $N$ точек $\left\{z_{i}\right\}(i-1, \ldots, N)$ в $\mathbf{C}$, существует решение с конечным действиси уравнений (7.5.46)-(7.5.49), единственное с точностью до калибровочных преобразований, со следующими свойствамн:
(i) Решение принадлежит глобально $C^{\infty}$.
(ii) Нули функции $\Phi(z, \bar{z}), z=x+i y$, суть точки $\left\{z_{i}\right\}$ ( $i=$ $-1, \ldots, N)$, и $Ф(z, \bar{z}) \sim\left(z-z_{j}\right)^{n_{j}}, z \rightarrow z_{j}$, где $n_{j}-$ крат. ность точки $z_{j}$ из множества нулей.
Такие решения для $N>0$ называтет $N$-вихревими ренениями, а аналогичные решения для $N<0$ называются $N$-дитивихревьми реиениями.

Несмотря на то что выражение в замкнутом виде для $N$-вихревых решений неизвестно, систему уравнений (7.5.46)-(7.5.49) можно свести к болсе простой. Наши топологические рассмотрения помогут наи угадать форму, которую могут прннимать решения. Отображение $\ddot{\chi}_{\pi}: S^{1} \rightarrow S^{1}$, определение выражением
\[
\tilde{\chi}_{n}: z \rightarrow z^{n}, \quad|z|=1,
\]

имеет заряд $n$, и это подсказывает, что решение $\Phi$ мы должны искать в виде
\[
\Phi_{1}+i \Phi_{2}=e^{i n \theta f}(r),
\]

где
\[
f(\infty)-1 .
\]

Для этого отображения $\chi=n \theta$, и поэтому калибровочное пэле принимает асимнтотически следующий вид:
\[
A_{a}-(n \theta)_{a}=-\frac{n \varepsilon_{a} \hat{b} \hat{x}_{b}}{r}, \quad \hat{x}_{b}=x_{b} / r .
\]

Поэтому есть надежда отьскать решение в виде
\[
A_{a}=-\frac{n e_{a} \hat{b}_{b}}{r} a(r)
\]

где
\[
a(\infty)=1 .
\]

Подставляя выражения (7.5.51) и (7.5.54) в уравнения (7.5.46)-(7.5.49), мы сюдим для $N>0$ эти уравнения к следующей паре

Рис. 7.17. Решение с одиночным вихрем. обыкновенных дифференциальных уранений:
\[
\begin{array}{l}
r \frac{\partial f}{\partial r}-n(1-a) f=0 \\
(7.5 \\
\frac{2 n}{r} \frac{d a}{d r}+\left(f^{2}-1\right)=0 .
\end{array}
\]

В окрестности точки $r=0$ решения имеют асимптотику
\[
\begin{array}{c}
f \sim c r^{n}, \\
a \sim \frac{1}{4 n} r^{2},
\end{array}
\]

и, значит, (D имеет в точке 0 нуль порядка $n$. На рис. 7.17 показано решение с одиночным внхрем для Ф и для калибровочного поля вблизи сингуля рной точки $r=0$, где оно имеет следующий асимптотический вид:
\[
\mathbf{A}= \pm \frac{r}{4} \hat{e}_{\theta}+O\left(r^{2}\right)
\]

Из этого рисунка становится понятно, почему мы пазывасм такие решения вихрями. Аналогичный анализ можно провести и для случая $\lambda
eq$ $=1 / 2$. Можно показать, что если $0<\lambda \leqslant 1 / 2$, то решения с конечной эпергией и зарядом $N$ существуют для всех $N$. Решения с положительным $N$ мы называем вихрями, а с отрицательным $N$-анивихрями. Уравнения с зависимостью от времени принимают форму
\[
\begin{array}{l}
F_{a b}=\left(A_{b, a}-A_{a, b}\right), \\
F_{t b}=\left(A_{b, t}-A_{t, b}\right)=E_{b}
\end{array}
\]

(они определяют поля $F_{a b}$ и $E_{b}$ ) вместе с динамическими уравнениями
\[
\begin{array}{c}
E_{b, t}=\left(F_{a b, a}-J_{b}\right), \\
E_{b, b}=-\rho, \\
\left(D_{t}^{2}-D_{x}^{2}-D_{
ot{y}}^{2}\right) \Phi=-\lambda \Phi\left(|\Phi|^{2}-1\right),
\end{array}
\]

где $J_{\mathrm{b}}$ определено в (7.5.21). Плотиость заряда $\rho$ мы определим формулой
\[
\rho=-\operatorname{lm}\left(\Phi \overline{D_{t} \Phi}\right) .
\]

Латинские индексы принимают обычные значения. Из (7.5.61), (7.5.62) мы выводим уравнение неразрывности
\[
\begin{array}{l}
F_{x y, t}=E_{y, x}-E_{x, y}= \\
\quad=\operatorname{div}\left(E_{y},-E_{x}\right) .
\end{array}
\]

Рис. 7.18. Межөихревой пютснцидл как функция расстояния межлу вихрями.

Это уравнение и теорема расходимости (Гаусса – Остроградского) показывают, что зарид
\[
Q=\frac{1}{2 \pi} \int_{R^{2}} F_{x y} d^{2} x
\]

не зависит от времени, в предиложении, что $|\mathrm{E}|$ стремится к нулю при $|x| \rightarrow \infty$ достаточно быстро. Это означает, что, если мы начинаем следить за развитием системы, находящейся, скажем, в состоянии с двумя вихрями, то мы увидим, что она будет эволюционировать во времени, переходя к состояниям из того же гомотопического класса. В разл. 7.2 мы рассмотрели силы взаимодействия между солитонами уравения $\mathrm{C}$. Сходный анализ может быть проведен для сил взаимодействият между вихрями. Джекобс и Ребби [1979 і провели компьютерное исследованне двухвихревого потенциала абелевой модели Хиггса (7.5.42) для различных зачений $\lambda$. На рис. 7.18 показаны пекоторые получешыые ими результаты. Для стециального случая $\lambda-1 / 2$, когда уравнения могут быть редуцированы к (7.5.46)-(7.5.48), межчастичная сила оказывается нулевой и вихри не взаимодейсг вуют. В этом случае могут возникать $n$-вихревые решения, такие как найденные при рассмотрении уравнений (7.2.56)-(7.5.57). Это значение $\lambda$ разбивает множество значений $\lambda$ на две различиые области. Если $\lambda<1 / 2$, то двухвихревой потенциал отрицательный и силы оказываютея притягивающими. Если же $\lambda>1 / 2$, то потенциал положительный, а это приводит к силам отталкивания. Нетрудно видеть, что эта система (так же, как общее уравнение Клейна – Гордона с модифицированным калибровочным полем) имеет некоторые черты точно интегрируемых солитонных систем, которым посвящена эта книга. Однако здесь нет, по-вндимому, ни бесконечной пюследовательности сохрапяемы плотностей, ни преобразования Бэклунда. В разд. 7.9 мы вернемся к родственной системе, которая имеет как целочисленно заряженшые кинки, так и преобразование Бэклунда.