Для того чтобы решить систему в случае потенциала $q=$ $=-2 \operatorname{sech} 2 x$, можно воспользоваться техникой, аналогичной методу разложения. Определим оператор $L_{+}$таким образом:
\[
L_{+}=\left[\begin{array}{cc}
\frac{d}{d x}-\operatorname{th} 2 x & -\operatorname{sech} 2 x \\
\operatorname{sech} 2 x & \frac{d}{d x}-\text { th } 2 x
\end{array}\right] .
\]

Легко показать, что ${ }_{k} v=L_{+}\left({ }_{k} V\right)$ является решением системы ЗШ-АКНС:
\[
\left[\begin{array}{cc}
\frac{d}{d x}+i k & 2 \operatorname{sech} 2 x \\
-2 \operatorname{sech} 2 x & \frac{d}{d x}-i k
\end{array}\right] v(x, k)=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right],
\]

если ${ }_{k} V$ является решением свободной системы
\[
\left[\begin{array}{cc}
\frac{d}{d x}+i k & 0 \\
0 & \frac{d}{d x}-i k
\end{array}\right] V(x, k)=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Поэтому общее решение (2.5.50) имеет вид
\[
\left[\begin{array}{l}
V_{1} \\
V_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
-C(i k+\operatorname{th} 2 x) e^{-i k x}-D(\operatorname{sech} 2 x) e^{i k x} \\
C(\operatorname{sech} 2 x) e^{-i k x}+D(i k-\operatorname{th} 2 x) e^{i k x}
\end{array}\right] .
\]

В частности, мы получим решения для ${ }_{k} \varphi$ и ${ }_{k} \bar{\varphi}$ в виде
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, k)=\left[\begin{array}{c}
\frac{\text { th } 2 x+i k}{i k-1} \\
-\frac{\operatorname{sech} 2 x}{i k-1}
\end{array}\right] e^{-i k x}, \\
\bar{\varphi}(x, k)=\left[\begin{array}{c}
\text { sech } 2 x \\
\frac{\text { th } 2 x-i k}{1+i k}
\end{array}\right] e^{i k x},
\end{array}
\]

из которых можно определить $a, b, \bar{a}$ и $\bar{b}$ :
\[
\begin{array}{ll}
a(k)=\left(\frac{1+i k}{i k-1}\right), & b(k)=0, \\
\bar{a}(k)=\left(\frac{i k-1}{i k+1}\right), & b(k)=0 .
\end{array}
\]

Численное моделирование волнового пакета, падающего на потенциал $q(x)=-2 \operatorname{sech} 2 x$, покажет близкую аналогию с рисунками $2.8-2.10$. Существует связанное состояние при $k=i$ с соответствующей волновой функцией
\[
\varphi(x, i)=\left[\begin{array}{l}
\varphi_{1}(x, i) \\
\varphi_{2}(x, i)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\frac{e}{2}^{-x} \\
\frac{e}{2}^{x}
\end{array}\right] \operatorname{sech} 2 x .
\]

Кроме того, состояние $\varphi$, нормированное в соответствии с (2.5.48), представляет собой функцию $\tilde{\varphi}$ с асимптотическим поведением $\tilde{\varphi}(x, i) \sim \sqrt{C} e^{x}$ при $x \rightarrow-\infty$, где $C$ определено соотношением
\[
C^{-1}=2 \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{1}(x, i) \varphi_{2}(x, i) d x=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}^{2} 2 x=\frac{1}{2} .
\]

Существуют также связанные состояния, соответствующие нулям функции $\bar{a}(k)$, расположенным на отрицательной мнимой полуоси. В этом случае $k=-i$, и соответствующая волновая функция имеет вид

Рис. 2.12.
с нормирующей константой $C$, определяемой из $\bar{C}^{-1}=$ $=-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}^{2} 2 x d x=-\frac{1}{2}$.

На рис. 2.12 показаны две компоненты волновой функции $\varphi(x, i)$. Как мы видели в случае уравнения Щрёдингера, нормирующая константа представляет существенную часть данных рассеяния, если мы хотим реконструировать потенциал единственным образом.

В этой главе мы сделали попытку несколько развеять те опасения, которые мог бы испытывать читатель при переходе к последующим, более строгим главам. Кроме того, мы надеемся, что располагать запасом примеров, с которыми можно соотнести абстрактные результаты, будет полезно и приведет к более глубокому пониманию. Пока что было решено совсем мало математических проблем, мы попытались только определить те ограничения на потенциалы, которые должны быть введены для того, чтобы можно было получить корректно определенные преобразования рассеяния. Теперь у читателя должно быть много вопросов, и мы надеемся, что следующие главы дадут ответы хотя бы на некоторые из них. Мы надеемся, кроме того, что эти главы достаточно вдохновят и вооружат читателя для того, чтобы он мог двигаться дальше и строить собственные рещения.