Примеры предыдущей главы, в которых уравнение НЛШ возникало как описывающее изменение амплитуды, были специально подобраны как случаи, когда рассматриваемые системы остаются устойчивыми при всех значениях параметров из всего $k$-пространства, и поэтому в дисперсионных соотношениях, отвечающих этим системам, нет мнимых частей. Такие системы оказываются замкнутыми, или консервативными, в том смысле, что в них не происходит рассеяния энергии ни вследствие трения, ни вследствие других эффектов и, кроме того, не происходит подкачки энергии от внешних энергетических источников. Уравнение НЛШ, которое описывает эволюцию огибающей волн в консервативной системе в слабо нелинейном пределе, описывает конкуренцию между нелинейностью и дисперсией. Нелинейные члены порождают гармоники (при условии, что начальная амплитуда достаточна для того, чтобы они были учтены), и эти гармоники и основной тон конкурируют с дисперсионными эффектами, создавая окончательное равновесие.

Однако в распространении волн встречаются проблемы другого рода, которые существенно отличаются от возникающих в описанных ситуациях. Если в систему передается или подкачивается энергия с помощью какого-то механизма, например вращения, фонового потока или теплового градиента, то потенциальная энергия используется для образования волн. В математической модели может оказаться некоторый «параметр управления», роль которого может быть существенна в следующей ситуации. Под воздействием энергии фонового потока рассматриваемая система может потерять устойчивость, когда указанный параметр переходит через некоторое критическое значение. В надкритической области волновой пакет будет забирать энергию из запасов имеющейся потенциальной энергии. Это обстоятельство является дополнительным фактором, управляющим эволюцией волны, кроме тех, которые были даны в первом параграфе выше. Это также означает, что бесконечно малые возмущения будут расти, когда контрольный параметр находится в надкритической области, в то время как в полностью устойчивой системе, рассмотренной в предыдущей главе, такие волны всегда будут оставаться мальми.

Существует много физических примеров поведения такого типа. Один из таких хорошо известных примеров – это случай жидкости, подогреваемой сииу. Для малых темгературных градиентов жидкость еще способна отводить тепло, но когда градиент возрастает, теплопроводности уже недостаточно и начинается конвекция. При критическом значении теплового градиента, когда начальное стационарное состояние жидкости становится неустойчивым и когда само это критическое значение как бы отмечает момент возникновения конвекции, мы говорим, что имела место бифуркация, потому что одно состояние системы стало неустойчивым и начало переходить в другое устойчивое состояние. Этот пример будет подробно рассмотрен в примечаниях к этой главе.

Другой известный пример гидродинамической неустойчивости связан с появлением турбулентности в ламинарном потоке жидкости между двумя бесконечными горизонтальными плоскостями, когда число Рейнольдса, увеличиваясь, проходит через критическое значение. Проблема гидродинамической устойчивости чрезвычайно сложна и является активной областью исследований для специалистов вот уже более полувека. Соответствующие ссылки интересующийся читатель может найти в примечаниях к этой главе. Возможно, наиболее хорошо известный пример вне механики жидкости – это пиример лазера, где атомы в оптической полости будут излучать индивидуально и не в фазе один с другим, если число заполнения образца ниже критического значения. Выше этого критического значения они будут излучать в фазе и производить когерентный свет. Бифуркация описанного выше типа может попросту пониматься как фазовый переход, понятие, которое обычно применяется в ферромагнетизме, когда ферромагнит обнаруживает различные магнитные свойства по разные стороны от критической температуры.

Для иллюстрации появления этой неустойчивости нам необходимо рассмотреть, как дисперснонное соотношение зависит от $k$ и $\omega$. Мы ограничимся для простоты одним пространственным измерением и рассмотрим дифференциальные уравнения в частных производных, записанные в общем матричном виде:
\[
L\left(\frac{\partial}{\partial t} ; \frac{\partial}{\partial x} ; \mu\right) \varphi=\{\ldots,(M \varphi) \cdot(N \varphi), \ldots\}^{2} .
\]

Квадратичный нелинейный член в правой части (9.1.1) можно заменить, если это необходимо, членами более высокого порядка. Параметр $\mu$ является параметром управления. Подразумевается, что вектор $\varphi$, вектор зависимых переменных, варьируется около некоторого устойчивого состояния равновесия системы и что $\mu$ входит в задачу как результат разложения упомянутого вектора в окрестности этого состояния. За исключением параметра $\mu$,вид уравнения (9.1.1) по существу тот же самый, что и в гл. 8. В гл. 8 мы намеренно ограничили себя такой формой $L$, при которой получаются чисто вещественные корни $\omega$ при всех $k$. Здесь же мы будем обсуждать, как могут появиться два различных типа неустойчивости. Они могут быть классифицированы, если рассмотреть дисперсионное соотношение для решений с малыми амплитудами гармонических волн:
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\mathbf{b} \exp (i \theta)+\text { c. c. } \\
\theta=k x-\omega t+\delta .
\end{array}
\]

Поэтому имеем
\[
l(-i \omega ; i k ; \mu) \mathbf{b}=0 .
\]

C этого момента мы условимся считать, что строчными буквами обозначаются функции от $k$ и $\omega$, а прописными – функции от $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$. Нетривиальные решения (9.1.4) существуют, если
\[
\text { det } l=0 \text {. }
\]

Уравнение (9.1.5) есть дисперсионное соотношение. Дисперсионное соотношение теперь показывает, содержит ли рассматриваемая модель затухающие члены или нет. Это позволяет нам расщепить анализ на две категории.
Қатегория I
Если затухание имеется, то дисперсионное соотношение (9.1.5) будет комплексной функцией от $\omega$ и $k$, поскольку оно содержит как четные, так и нечетные степени $i$. Поэтому могут появиться комплексные корни. Рассмотрим комплексный корень
\[
\omega=\omega_{\mathrm{R}}(k, \mu)+i \omega_{\mathrm{I}}(k, \mu) .
\]

Уравнение (9.1.2) преобразуется к виду
\[
\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{b} \exp \left[i\left(k x-\omega_{\mathrm{R}} t\right)\right] \exp \left(\omega_{1} t\right)+\mathbf{c} . \mathrm{c} .
\]

Может случиться так, что с изменением $\mu$ вещественное число $\omega_{\text {I }}$ изменит знак. Если $\omega_{1}>0$, то это решение будет расти экспоненциально во времени и окажется неустойчивым. Если $\omega_{1}<0$, то оно убывает и решение асимптотически устойчнво. Қогда $\omega_{1}(k, \mu)=0$, решение называется нейтрально или маргинально устойчивым. Решение этого уравнения
\[
\mu=R(k)
\]

дает граничную кривую в пространстве ( $\omega, k$ ) между областями асимптотической устойчивости и неустойчивости. Эти кривые могут принимать различные формы, но типичной является параболическая форма, изображенная на рис. 9.1.

Точка минимума при $k=k_{\mathrm{c}}, \mu=\mu_{\mathrm{c}}$ называется точкой бифуркации или критической точкой, потому что при $\mu \leqslant \mu_{\mathrm{c}}$ функция $\varphi$ всегда убывает для любого значения $k$. Однако если $\mu>\mu_{\mathrm{c}^{\prime}}$, то полоса конечной ширины мод становится неустойчивой и явится причиной роста амплитуды волны. Критическое волновое число $k$ является преимущественной модой системы, так как это первая мода, которая становится неустойчивой, когда $\mu$, увелиqиваясь, проходит через критическое значение. Говорят, что система испытывает бифуркацию, когда около точки $\mu=\mu_{c}$, меняется качественная природа гармонических волновых решений.

Рис. 9.1.
Только что проведенный очень простой анализ относится к системам, в которых диссипация играет главную роль. Однако неустойчивыми могут стать и такие системы, в которых дисперсия, а не диссипация играет главную роль.
Категория II
Второй тип неустойчивости возникает, когда диссипация отсутствует. Хотя система является чисто дисперсионной с вещественным дисперсионным соотношением, однако корни дисперсионного соотношения могут образовывать комплексно сопряженную пару
\[
\omega=\omega_{\mathrm{R}} \pm i \omega_{1} .
\]

В таком случае уравнение (9.1.2) переписывается в следуюцем виде:
\[
\Phi=\mathbf{b} \exp \left[i\left(k x-\omega_{R} t\right)\right] \exp \left( \pm \omega_{l} t\right)+\mathbf{c} . \mathbf{c} .
\]

Поскольку такие корни входят парами, то при $\omega_{\text {I }}
eq 0$ решение экспоненциально растет, и асимптотическая устойчивость невозможна. Однако можно достичь нейтральной устойчивости, если $\omega_{\text {I }}=0$. Такой случай легче всего рассмотреть, если предположить, что дисперсионное соотношение квадратично по $\omega: a \omega^{2}+$ $+b \omega+c=0$, где $a, b$ и $c$ суть функции $k$ и $\omega$. Для тех значений $\mu$, для которых $b^{2}>4 a c$, мы, очевидно, имеем $\omega_{\mathrm{I}}=0$; но если значение $\mu$ таково, что $b^{2}<4 a c$, то $\omega_{\mathrm{I}}
eq 0$. Условие $\omega_{I}(k, \mu)=0$ дает границу в ( $\mu, k$ )-пространстве между нейтральной устойчивостью в области, расположенной ниже нейтральной кривой $\mu=R(k)$, и неустойчивостью в области, расположенной выше этой кривой. Для некоторой точки ( $\mu, k$ ), лежащей ниже кривой, гармоническая волна, отвечающая такому волновому числу, не растет, не убывает, как в первом случае для диссипативных систем, но распространяется дисперсионно.

Для обеих категорий при изучении поведения системы главный интерес представляет область $\mu \simeq \mu_{\mathrm{c}}$, когда амплитуда волны начинает расти за счет фонового источннка потенциальной энергии. Поскольку амплитуда растет, то первоначальное предположение о том, что нелинейными членами можно пренебречь, оказывается неверным. На этой стадии нелинейности неустойчивость и различные дисперсионные эффекты системы начинают конкурировать между собой, результатом чего является ограниченне роста амплитуды. Интересным моментом, относящимся к неустойчивым системам, является то обстоятельство, что нелинейность вынуждена производить эффекты из-за неустойчивости линейных решений в области $\mu=\mu_{c}$. Это находится в контрасте с устойчивыми системами, рассмотренными в предыдущей главе, где нелинейность начинала играть роль только в том случае, когда начальная волна обладала достаточной амплитудой для того, чтобы нелинейными эффектами нельзя было пренебречь.

Другим важным эффектом является стремление системы действовать через преимущественную моду $\boldsymbol{k}_{\mathrm{c}}$. С физической точки зрения эту моду можно рассматривать как резонансную моду системы. Прежде чем применить анализ для размерностей наших двух категорий, стоит вернуться к эвристическому выводу НЛШуравнения, которым мы занимались в разд. 8.1, рассматривая дисперсионное соотношение, слабо зависящее от амплитуды. Поскольку в той главе мы рассматривали только устойчивые случаи, можно ограничиться членами только первого порядка по ш. Мы должны здесь рассмотреть все корни. Қроме того, если мы делаем дисперсионное соотношение зависящим от $|A|^{2}$, то мы должны добавить в этом случае в дисперсионное соотношение дополнительную функцию, которую мы обозначим через $B$ и которую будем считать функцией потенциальной энергии. Эта функция определяет меру той энергии, которой обмениваются фон и волны. Запишем наше дисперсионное соотношение в виде
\[
D\left(k, \omega,|A|^{\mathrm{a}}, B, \mu\right)=0 .
\]

Переходя к разложению Тейлора относительно $k=k_{\mathrm{c}}, \omega=\omega_{\mathrm{Rc}}$, $\mid \boldsymbol{A}\}^{2}=B=0$ в области $\mu \simeq \mu_{\mathrm{c}}$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\left.k-k_{\mathrm{c}}\right) D_{k}+\left(\omega-\omega_{\mathrm{Rc}}\right) D_{\omega}+|A|^{2} D_{|A|^{2}}+B D_{B}+\left(\mu-\mu_{\mathrm{c}}\right) D_{\mu}:+ \\
+1 / \mathrm{s}\left[\left(\omega-\omega_{\mathrm{Rc}}\right)^{2} D_{\omega \omega}+2\left(k-k_{\mathrm{c}}\right)\left(\omega-\omega_{\mathrm{Rc}}\right) D_{h \omega}+\right. \\
\left.+\left(k-k_{\mathrm{c}}\right)^{2} D_{h k} \ldots\right] \ldots=0 .
\end{array}
\]

Отсюда непосредственно видно, что случаи неустойчивости в ка тегориях I и II существенно отличны в поведении. Поскольку в случае категории II (чисто дисперсионный тип) корни появляются сопряженными парами, то на нейтральной кривой $\mu=R(k)$ эти сопряженные пары стремятся к двойному корню дисперсионного соотношения. Следовательно, $D_{\hat{\theta}}$, а значит и $D_{k}$, равны нулю в критической тоцке. Поэтому амплитудное уравнение для $A$ должно иметь второй порядок по времени и пространственной переменной. В случае категории I двойные корнн не появляются, и поэтому амплитудное уравнение будет иметь первый порядок по времени.

Применсние (9.1.12) обиаруживает различие между чисто устойчивыми дисперсионими волнами последней главы и рассмотренными здесь случаями, относящимися к лазерному импульсу, распространяющемуся через атомную среду. Уравнение (8.1.3) дает хорошее физическое описание поведения волн, поскольку из эксперимента хорошо известно, что показатель преломления такой среды зависит от $|A|^{2}$ при условии, что падающая волна находится далеко от частоты атомного резонанса основной среды. В предыдущей главе мы описали этот случай как «внерезонансный». Однако если частота падающей волны близка к частоте атомного резонаиса или с ней совпадает и если атомы среды получили начальную подкачку, так что некоторая их доля оказалась в верхнем атомном состоянии, то мы получим ситуацию, очень близкую к той, которая описана в этом разделе. НЛШуравнение больше не является эволюционным уравнением для огибающей, потому что имеющаяся потенциальная энергия, накопленная атомами, готова для использования волнами, осциллирующими на преимущественной или \”резонансной» частоте. Явление самоиндццированной прозрачности (СИП) в нелинейной оптике дает физический пример этого резонансного случая, с ним мы будем иметь дело в разд. 9.4.

Метод пахождения эволюционного уравнения для амплитуды $A$ аналогичен предложенному в предыдущей главе. Подход, связанный с многократными растяжениями, имеет преимущество перед другими эвристическими методами в том, что позволяет точно расположить члены по порядку, не оставляя сомнений относительно включения или не включения того или иного члена. Прнменение разложения Тейлора, как в (8.1.4) или (9.1.12), полезно в качестве нллюстрации, но недостаточно для получения точных ответов. Для обеих категорий I и II мы будем рассматривать несущую волну, действующую около критического или резонансного волнового числа $k_{\mathrm{c}}$, и считать, что $\mu$ близко к $\mu_{\mathrm{c}}$.

Возьмем маленькую полоску неустойчнвых мод ( $k_{\mathrm{c}}-\varepsilon ; k_{\mathrm{c}}+\varepsilon$ ) около критического волнового числа. Эта полоса изображена на рис. 9.2. Мы можем формально разложить $\mu=R(k)$ в ряд Тейлора около $k_{\mathrm{c}}$ :
\[
\mu=R\left(k_{\mathrm{c}}\right) \pm 1 / 8 \mathrm{e}^{2} R^{d}\left(k_{\mathrm{c}}\right)+\ldots .
\]

Что же такое в? Из (9.1.13) мы видим, что в есть мера того, как далека система от точного критического состояния,
\[
\varepsilon \sim\left(\mu-\mu_{\mathrm{c}}\right)^{1 / 2},
\]

и поэтому $\varepsilon$ определяется выбором $\mu$ при необходимом ограничении, что в мало. Отрицательный знак в (9.1.13) формально позволяет нам учесть субкритическое состояние в окрестности критического, и тогда получается, что $\varepsilon \simeq\left(\mu_{\mathrm{c}}-\mu\right)^{1 / 2}$. Так определенное $\varepsilon$ можно взять в качестве малого параметра, который определяет медленные пространственные и временни́е переменные $X_{1}=\varepsilon x ; X_{2}=\varepsilon^{2} x ; \ldots T_{1}=\varepsilon t ;$ $T_{2}=\varepsilon^{2} t ; \ldots$. Далее мы будем следовать процедуре, описанной в гл. 8. Представим $\varphi$ в виде асимптотического ряда по $\varepsilon$, разложим $L$ в окрестности $\partial / \partial t$ и $\partial / \partial x, k$ и шычислим в точках $k_{\mathrm{c}}$ и $\omega_{\mathrm{Rc}}$ соответственно. В фурье-пространстве это эквивалентно разложению Тейлора около критической точки ( $k_{\mathrm{c}}, \mu_{\mathrm{c}}$ ). Амплитуда огибающей $A$ ( $X_{1}$, $\left.X_{2}, \ldots, T_{1}, T_{2} \ldots\right)$ появляется при порядке $O$ (ع) в формальной задаче многомасштабного растяжения.
\[
\begin{aligned}
\Phi^{(1)} & =\mathrm{b} A \exp \left(i \theta_{\mathrm{c}}\right)+\mathrm{c} . \mathrm{c} . \\
\theta_{\mathrm{c}} & =k_{\mathrm{c}} x-\omega_{\mathrm{Re}} t+\delta .
\end{aligned}
\]

Теперь вместо того, чтобы дать читателю довольно длинное обоснование выкладок, ведущих к различным амплитудным уравнениям, которые возникают в наших двух категориях неустойчивости, просуммируем окончательные результаты, оставляя получение формальных асимптотик до следующего раздела. Читатель, который не интересуется методом размерности, может опустить следующий раздел.

Простейшее уравнение размерности 1, которое появляется для описания неустойчивости категории I, представляет собой кубическое нелинейное диффузионное уравнение
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial A}{\partial T_{2}} & \left.\left.= \pm \alpha_{1} A-\beta_{1} \frac{\partial^{\mathrm{a}} A}{\partial \ddot{X}^{2}}+\gamma_{1} A \right\rvert\, A\right]^{2}, \\
\bar{X} & =X_{1}-c_{g} T_{1} .
\end{aligned}
\]

Коэффициенты $\alpha_{1}, \beta_{1}$ и $\gamma_{1}$ для этой категорин задач часто оказываются комплексными. Уравнение $(9.1,16$ ) известно в теоретической физике как кубически нелинейное уравнение Ландау-Гинзбурга из-за его сходства с уравнением из теории сверхпроводимости. В механике жидкости оно появлялось под разными названиями, налример как уравнение Ньюэлла и Уайтхеда [1969]. Это уравнение и его обобщения являются «типичными» уравнениями, которые могут появляться в качестве примеров к категории I. Они возникают, в частности, в задачах конвекции и плоскопараллельных течений. Некоторые ссылки и дальнейшие комментарии приводятся в примечаниях.

Для неустойчивости категории II мы получаем, как было предсказано, амплитудные уравнения второго порядка по времени и пространству. Уравнение (9.1.16), будучи уравнением диссипативного типа, не интегрируемо в том смысле, как описано в этой книге. В этом случае возникают два вида «типичных» амплитудных уравненнй. Первый – интегрируемый, второй – неинтегрируемый. Первый вид сейчас будет представлен парой уравнений, в которых появляется функция $B$, впервые введенная в (9.1.11):
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{X_{1}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A= \pm \alpha A-\beta A B, \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) B=\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)|A|^{2} .
\end{array}
\]

Қоэффициенты $\alpha$ и $\boldsymbol{\beta}$ вещественные, а $c_{1}$ и $c_{2}$ – два значения групповой скорости, вычисленные в точке ( $k_{c}, \mu_{c}$ ). Очевндно, что в то время как $c_{g}$ из (9.1.16) однозначна, потому что нейтральная кривая определяется единственным корнем дисперсионного соотношения, групповая скорость, соответствующая устойчивости категории II, будет двузначной благодаря слиянию пары комплексно сопряженных корней в двойной корень на нейтральной кривой. Знаки $\pm$ при члене $\alpha A$ в (9.1.17) выбираются в соответствии с выбором над- или подкритического состояния вблизи $\mu_{\mathrm{c}}$. Уравнения (9.1.17) и (9.1.18) являются основной темой этой главы, и два примера, которые мы рассмотрим ниже, ясно продемонстрируют физическую природу этих уравнений. Эти уравнения, которые мы, начиная с этого момента, будем называть $A B$-уравнениями, интегрируемы методом обратной задачи рассеяния и могут быть трансформированы к другой, более знакомой нам форме, с которой мы уже встречались в гл. 6. Два примера, которые мы намерены рассмотреть, следующие:
(i) самоиндуцированная прозрачность при распространении ультракоротких оптических импульсов;
(ii) идеальная (без вязкости) двухслойная модель бароклинной неустойчивости.

Эти два примера будут разобраны в разд. 9.3 и 9.4. Особенно подробно, шаг за шагом, будет разобран пример СИП для того, чтобы показать практически технику вычислений. Рассмотрение в полном объеме двухслойной модели требует проведения весьма
длинных вычислений и поэтому мы ограничимся лишь схематическим наброском.

Прежде чем перейти к описанию некоторых простых свойств $A B$-уравнений, запишем амплитудное уравнение 2-го типа, возникающее для описания неустойчивости категории II:
\[
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A= \pm \alpha A-\beta A|A|^{2} .
\]

Функция $B$ не фигурирует в этой системе. Идеальная неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (Вейссман [1979]) и задача о продольном изгибе упругих оболочек (Ландж и Ньюэлл [1973 ]) представляют собой два физических примера, в которых появляется уравнение (9.1.19). Заметим, однако, что заменой координат $\alpha^{1 / 2} T_{1}=\xi+\tau ; \alpha^{1 / 2} X_{1}=c_{1} \xi+c_{2} \tau$ и растяжением $A: \varphi=(\beta / \alpha)^{1 / 2} A$ мы превращаем уравнение (9.1.19) в хорошо известное $\varphi^{4}$-уравнение
\[
\varphi_{\xi \tau}= \pm \varphi-\varphi|\varphi|^{2},
\]

которое, как было отмечено в предыдущей главе, является неинтегрируемой системой.

Возвращаясь к $A B$-уравнениям, стоит затратить несколько строк, чтобы показать, что они представляют собой систему, уже рассмотренную в гл. 6. Это легче всего сделать, если привести их к следующему виду. Определим
\[
\begin{array}{l}
R=\sqrt{2 \beta} A, \\
S= \pm 1-\beta \alpha^{-1} B
\end{array}
\]

и введем полухарактеристические координаты
\[
\xi=-\left(X_{1}-c_{1} T_{1}\right)\left(c_{1}-c_{2}\right)^{-1} \alpha^{-1 / 2} ; \quad \tau=\left(X_{1}-c_{2} T_{1}\right)\left(c_{1}-c_{2}\right)^{-1} \alpha^{1 / 2} .
\]

Тогда $A B$-уравнения превращаются в уравнения вида
\[
\begin{array}{l}
R_{\xi}=R S, \quad R \rightarrow 0 ; \quad S \rightarrow \pm 1, \\
S_{\xi}=-\frac{1}{2}\left(|R|^{2}\right)_{\tau}, \quad|\xi| \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Метод ЗШ-АКНС $2 \times 2$-обратной задачи рассеяния, рассмотренный в гл. 6, показывает, что (9.1.24), (9.1.25) являются условиями интегрируемости задачи на собственные значения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi_{1}}{\partial \xi}+i \lambda \psi_{1}=\frac{1}{2} R \psi_{2}, \\
\frac{\partial \psi_{2}}{\partial \xi}-i \lambda \psi_{2}=-\frac{1}{2} R^{*} \psi_{1}
\end{array}
\]

с собствешными функциями, подчиненными уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi_{1}}{\partial \tau}=\left(-S \psi_{1}+R_{\tau} \psi_{2}\right) / 4 i \lambda, \\
\frac{\partial \psi_{2}}{\partial \tau}=\left(R_{\tau}^{*} \psi_{1}+S \psi_{2}\right) / 4 i \lambda .
\end{array}
\]

Матричное уравнение Шрёдингера, получающееся из (9.1.26),
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}+\lambda^{2}\right) \psi=V \psi
\]

нмеет в качестве потенциала матрицу $V$ внда

Солитонные решения возможны лишь в том случае, если энергетические состояпия отрицательны. Эти связанные состояния отвечают чисто мнимым собственным значениям матрицы $V$ как потенциала. Уравнение (9.1.24) лишь тогда кососимметрично, когда $\beta>0$, поэтому это условие является критерием того, что $A B$ уравнения допускают солитонные решения. Это эквивалентно критерию $\beta \gamma>0$ Бенджамина- Фейра предыдущей главы для НлШ-уравнения.

Еспи $\beta>0$ и $A$ комплексно, то $R$ комплексно и уравнения $(9.1 .24),(9.1 .25)$ не могут быть далее упрощены. Если, однако, $A$ и $R$ вещественны, что соответствует отсутствию фазовых изменений в несущей волне, то можно проинтегрировать эти уравнения. Полагая $R=\varphi_{\llcorner}$и предполагая, что $\varphi_{\xi \tau}=F(\varphi)$, находим
\[
\begin{aligned}
\varphi_{\overline{5} \mathrm{E}} & =\varphi_{\xi} S, \\
S_{\mathrm{E}} & =-\varphi_{\xi} \varphi_{\mathrm{Er}} .
\end{aligned}
\]

Оба эти уравнения показывают, что
\[
F^{\prime \prime}+F=0,
\]

поэтому без потери общности можно выбрать $F(\varphi)= \pm \sin \varphi$. Получающееся в результате уравнение
\[
\varphi_{\bar{\zeta}}= \pm \sin \varphi
\]

является известным уравнением СГ. Кроме того, мы получаем также
\[
S= \pm \cos \varphi,
\]

и в каждом выражении выбор знака $\pm$ отвечает над- и подкритическому состояниям соответственно. Если $\beta<0$, то (9.1.25) имеет положительный знак и (9.1.32) превращается в уравнение $F^{n}-F=0$, что приводит в результате к уравнению sh-Гордон.

Следуя гл. 6, можно найти различные мультисолитонные решения; мы не будем повторять здесь их вывод. Знаки $\pm$ приведут, разумеется, к различным результатам в этих формулах. Для подкритического случая (знак -) односолитонное решение ( $R$ вецественно) представляется формулами
\[
\begin{array}{l}
R=2 a_{1} \operatorname{sech} \theta, \quad S=-1+2 \operatorname{sech}^{2} \theta, \\
\varphi=4 \operatorname{arctg}(\exp \theta), \quad \theta=a \xi-\frac{1}{a} \tau+\delta .
\end{array}
\]

В системе отсчета ( $X_{1}, T_{1}$ ) имеем
\[
\begin{array}{l}
\theta=\varkappa\left(X_{1}-v T_{1}\right), \\
v=\left(c_{1} \beta a^{2} \alpha^{-1}+c_{2}\right) /\left(\beta^{2} a^{2} \alpha^{-1}+1\right), \\
\kappa=\left(\alpha+\beta a^{2}\right) \beta^{1 / 2} a\left(c_{2}-c_{1}\right) .
\end{array}
\]

Нетрудно доказать, что $c_{2}<v<c_{1}$, так что скорость солитона должна находйться между двумя групповыми скоростями $c_{1}$ и $c_{2}$. Этот солитон устойчив к малым возмущениям. В гл. 8 мы обсуждали СГ-уравнение как модельное уравнение для механической системы маятников, где $\varphi$ играет роль угла закручивания. Это солитонное решение (9.1.35) играет роль угла закручивания, от $\varphi=0$ до $\varphi=2 \pi$. Угол $\varphi=0$ отвечает «нижнему» положению маятника, когда $S=-1$ (в начале). Величину $S$ можно считать потенциальной энергией системы. По мере возрастания $\tau$ угол $\varphi$ приближается к $\pi$, что отвечает максимальному «верхнему» положению, когда $S$ приближается к + 1. Затем, когда маятник падает вниз, $S$ уменьшается до -1, а $\varphi$ стремится к $2 \pi$. Маятник, который начинает колебания, а затем приходит к одной и той же нижней позиции, очевидно, устойчив к малым возмущениям около состояния $\varphi=0$ (mod $2 \pi)$. Тот факт, что подкритическая скорость солитона лежит между двумя групповыми скоростями падающей волны, качественно согласуется с этим заключением в том смысле, что импульс огибающей не опережает и не отстает от скорости передачи энергии падающей волны.
Надкритическое состояние (знак + ) для вещественного $R$ дает
\[
\begin{array}{l}
R=2 b \text { sech } \eta, \\
S=1-2 \operatorname{sech}^{2} \eta, \\
\eta=b \xi+\tau / b+\delta,
\end{array}
\]

где $\eta$ в снстеме ( $X_{1}, T_{1}$ ) задается формулами
\[
\begin{array}{l}
\eta=x\left(X_{1}-v T_{1}\right) \\
v=c_{1}+\left(c_{1}-c_{2}\right)\left[\beta b^{2} \alpha^{-1}-1\right]^{2}, \\
x=\left(\alpha-\beta b^{2}\right) / b \beta^{1 / 2}\left(c_{1}-c_{2}\right) .
\end{array}
\]

В этом случае либо $v \geqslant c_{1}$, либо $v \leqslant c_{2}$, так что солитонная скорость либо превосходит высшую, либо медленнее низшей групповой скорости падающей волны. Это показывает, что такой солитон не причинный. Например, в разд. 9.3 мы найдем, что $c_{1}=1$ и $c_{2}=0$, где 1 обозначает безразмерную скорость света. Мы можем ожидать, что такой солитон будет неустойчивым, поскольку он «пытается» двигаться либо чересчур быстро, либо чересчур медленно по сравнению с распространением энергии падающей волны. Исследование соотношения (9.1.37) показывает, что система начинается и заканчивается в «верхнем» положении, когда $S=+1$, и только когда $S=-1$, переходит в «нижнее» положение, где ф =л. Это равносильно тому, как если бы маятник начал колебаться с верхнего положения, которое является неустойчивым. Вышенаписанные формулы были приведены для вещественного $R$, и поэтому односолитонные формулы для СГ-уравнения, где $R=\varphi_{\varepsilon}$, также окажутся вещественными. Включение фазового члена в качестве переменной, когда $R$ становится комплексной функцией от $\xi$ и $\tau$, в действительности не исключает аналогии с маятником. Уравнения (9.1.24) и (9.1.25) имеют сохраняемую величину
\[
\left|R_{\tau}\right|^{2}+S^{2}=1
\]

при условии, что $R \rightarrow 0, S \rightarrow+1$, когда $|\xi| \rightarrow \infty$. Этот закон сохранения при вещественном $R$ равносилен равенству
\[
\sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi=1 \text {. }
\]

Следующий раздел помечен звездочкой и может быть опущен при первом чтении. В нем мы делаем попытку охватить ряд деталей, относящихся к возникновению различных амплитудных уравнений. Имеется существенное математическое различие между диссипативными неустойчивыми примерами, которые приводят к кубически нелинейным диффузионным уравнениям (9.1.16), и дифференциальными амплитудными уравнениями второго порядка по времени (9.1.17)-(9.1.18) и (9.1.19), которые возникают из дисперсионно неустойчивых примеров.