1. Определим функцию $f(x)$ выражением
\[
f(x)=\sqrt{2 \pi}(1-|x|) \text { для }|x| \leqslant 1 \text { и } 0 \text { во всех остальных }
\]

случаях.
Показать, что
\[
(F f)(k)=\frac{2}{k^{2}}(1-\cos k),
\]

и, следовательно, что
\[
F^{-1}\left(2 k^{-2}(1-\cos k)\right)=f(x) .
\]
2. Показать, что выражение
\[
F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(2 \pi)^{1 / 2} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(x-n^{2}\right) n^{4}\right)
\]

определяет бесконечно дифференцируемую и абсолютно интегрируемую функцию. Показать, что
\[
F\left(N^{2}\right) \geqslant(2 \pi)^{-1 / 2} \text { для всех } N \in Z^{+},
\]

и вывести отсюда, что $F(x)
rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$.
3. Частица колеблется в одномерной симметричной потенциальной яме $V(x)=V(-x)$. Найти потенциал $V(x)$, если известен период колебаний $T(E)$ для частицы с энергией $E$.
4. Определить потенциал, задающий следующее сечение рассеяния:
\[
\sigma(\theta)=\frac{e^{2}}{16 E^{2} \sin ^{4}(\theta / 2)} .
\]
5. Показать, что уравнение Шрёдингера
\[
\left(\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}-x^{2}\right) \psi=0
\]

может быть записано в виде произведения
\[
L_{+} L_{-} \psi=\lambda \psi,
\]

где $\lambda$ и $L_{ \pm}$определяются таким образом:
\[
\lambda=\frac{1}{2}\left(k^{2}-1\right), \quad L_{ \pm}=\left(x \mp \frac{d}{d x}\right) / \sqrt{2} .
\]

Показать, что при обычном скалярном произведении в пространстве $L^{2}(\mathbb{R})$ имеет место соотношение $L_{+}=L_{ \pm}^{ \pm}$и что операторы $L_{ \pm}$ удовлетворяют коммутационному соотношению $\left[L_{-}, L_{+}\right]=1$.

Если $\lambda \varphi$ – квадратично интегрируемая нормированная собственная функция, отвечающая собственному значению $\lambda$, показать, что
(i) $\lambda=\left\|L_{-}(\lambda \varphi)\right\|^{2}$,
(ii) $L_{-}\left({ }_{\lambda} \varphi\right)=\sqrt{\lambda_{\lambda}}\left(\lambda_{-1} \varphi\right)$,
(iii) $L_{+}\left({ }_{\lambda} \varphi\right)=\sqrt{\lambda+1}\left({ }_{\lambda+1} \varphi\right)$.

Из (i) и (iі) вывести, что собственные значения суть $\lambda_{n}=n$ (целые) и что соответствующие собственные функции ${ }_{n} \varphi$ даются формулой
\[
\left.{ }_{n} \varphi=\left(L_{+}\right)^{n}{ }_{0} \varphi\right)(\sqrt{n !})^{-1},
\]

где ${ }_{0} \varphi$ удовлетворяет уравнению $L_{-}\left({ }_{0} \varphi\right)=0$ и имеет вид
\[
{ }_{0} \varphi=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \exp \left(-\frac{1}{2} x^{2}\right) .
\]
6. Показать, что уравнение Шрёдингера с потенциалом
\[
{ }_{a} V(x)=\frac{2}{(x+a)^{2}}
\]

может быть точно решено методом разложения с функцией $u(x)$, выбранной в виде
\[
u(x)=\frac{1}{x+a} .
\]

Использовать этот результат для получения преобразования Бэклунда потенциала ${ }_{a} V$.
7. Использовать результат задачи 6 для определения данных рассеяния $a(k)$ и $b(k)$ для потенциала
\[
V(x)=\frac{2}{1+|x|^{2}} .
\]
8. Рассмотрим уравнение Шрёдингера
\[
\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}+W(x)\right] \psi=0,
\]

где $W(x)$ – потенциал ступенчатой формы:
\[
W(x)=\left[\begin{array}{ll}
-2 \operatorname{sech}^{2} x, & x \leqslant 0, \\
-2, & x \geqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

Пусть $\psi$ – волновая функция со следующим асимптотическим поведением:
\[
\psi \sim\left[\begin{array}{ll}
\exp \left(i k^{\prime} x\right), & x \rightarrow+\infty \\
a\left(k, k^{\prime}\right) \exp (i k x)+b\left(k, k^{\prime}\right) \exp (-i k x), & x \rightarrow-\infty,
\end{array}\right.
\]

причем $k$ и $k^{\prime}$ связаны соотношением $\left(k^{\prime}\right)^{2}=k^{2}+2$. Определить функции $a\left(k, k^{\prime}\right)$ и $b\left(k, k^{\prime}\right)$.
9. Решить систему AKHC с $q=-r=W$, где $W$ – ступенчатый потенциал вида
\[
W(x)=\left[\begin{array}{ll}
-2, & x \geqslant 0, \\
-2 \operatorname{sech} 2 x, & x \leqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

Определить данные рассеяния для этой задачи.