Уместно моделировать земную атмосферу неглубоким слоем несжимаемой вращающейся жидкости постоянной плотности, который заключен между жесткой горнзонтальной плоскостью сверху и переменной недеформируемой поверхностью снизу. Схематически эта модель представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1.
Жидкость автоматически оказывается баротропной, потому что она имеет постоянную плотность и, стало быть, применима теорема Тейлора — Прудмана. Можно показать, что этот результат, объединенный с уравнением неразрывности, ведет к соотношению
\[
\frac{D}{D t}\left[\frac{z-h(x, y)}{H(x, y)}\right]=0 .
\]

Функцию $(z-h) / H$ можно взять в качестве сохраняемой величины $\lambda$ в определении потецциальной завихренности П по формуле (5.4.10); она, таким образом, становится второй сохраняемой скалярной функщией. Главный вклад в потенциальную заяихренность П дает вертикальная компонента $\zeta$ вектора завихренности $\omega$, и он представляется в локальных координатах выражением
\[
\rho \Pi=\left(\xi_{0}^{+}+2 \Omega\right) \hat{\mathbf{k}} \cdot
abla[z-h(x, y) / H)=(\xi+2 \Omega) / H .
\]

В силу соотношений (5.4.13), (5.4.14) спреведливо равенство
\[
\zeta=\widehat{\mathbf{k}} \cdot \operatorname{rot} \mathbf{q}=(\rho f)^{-1}
abla^{2} P=
abla^{2} \phi,
\]

где $\psi=P(\rho f)^{-1}$ называется геострофической функцией тока.
Потенциальная завихренность II есть сохраняемая величина, и поэтому для несжимаемой жидкости
\[
\frac{D(\rho \Pi)}{D t}=0
\]
и. мы имеем уравнение
\[
\zeta_{t}+u \zeta_{x}+v \zeta_{y}-(\zeta+f)\left(u h_{x}+v h_{y}\right) / H=0 .
\]

Уравнение (5.4.22) можно существенно упростить. Заменяя $(\zeta+f)$ на $f$ (поскольку $\zeta \ll f)$ и $H$ на его среднее значение $H_{0}$. мы находим, что (5.4.22) превращается в уравнение
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(
abla^{2} \psi\right)+\frac{\partial\left[\psi ; i
abla^{2} \psi\left(f h / H_{0}\right)\right]}{\partial(x, y)}=0 .
\]

Уравнение (5.4.23) называется квазигеострофическим уряөкемием потенциальной завихренности.