Во второй главе мы объясняли, что с каждым состоянием квантовой системы можно связать комплексную, интегрируемую с квадратом волновую функцию $\mathrm{\Psi }$. Эта волновая функция развнвается во времени в соответствии с зависящим от времени уравиением Шрёдингера
$$i\hslash {\mathrm{\Psi }}_t^t=\hat{H}{\mathrm{\Psi }}^t,$$

где $\hat{H}$ — это оператор, представляющий классический гамильтониан, или оператор энергии. Для удобства обозначений, если это не вызовет недоразумений, мы в дальнейшем будем опускать индекс $t$ у $\mathrm{\Psi }t$. Поскольку $\mathrm{\Psi }$ интегрируема с квадратом, мы будем интерпретировать вещественное число $|\mathrm{\Psi }{|}^2$ как плотность вероятности, соответствующую квантовой конфигурации, описываемой волновой функцией $\mathrm{\Psi }$. Несколько примеров таких нормированных функций были подробно разобраны в гл. 2, где оператор $\hat{H}$ задавался формулой
$$\hat{H}=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{d^2}{d{x}^2}+Q(x)).$$

Қаждый оператор, представляющий измеряемую величину, например $m_z$, т. е. $z$-компоненту магнитного момента заряженной частицы, с необходимостью обладает свойством самосопряженности: $m_z=m_2^{†}$. Например, $z$-компонента магнитного момента частицы с зарядом $e$, описываемой нерелятивистским гамильтонианом (7.8.2), может быть выбрана равной
$${\hat{m}}_z=\frac{ie\hslash }{2m}(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})=\frac{e}{2m}{\hat{J}}_z.$$

Тем самым обеспечивается вещественность собственных значений такого оператора, и эти значения интерпретируются как возможные измеренные значения представленных величин. Қаждый такой самосопряженный оператор называется наблюдаемой величиной. Квантовое состояния, представленное собственной функцией наблюдаемой величины $\hat{U}$, называется собственным состоянием величины (оператора) $\hat{U}$, и мы будем использовать одно и то же обозначение и для квантового состояния, и для ассоциированной с ним волновой функции.

Одно из основных предположений квантовой механики состоит в том, что собственные функции, ассоциированные с любой наблюдаемой величиной $\hat{U}$, образуют полную систему. Это означает, что любое квантовое состояние или любая волновая функция могут быть представлены в виде линейной комбинации конечного или бесконечного числа собственных функций. Например, предположим, что собственные значения ${\lambda }_n$ образуют дискретный набор и что каждому собственному значению ${\hat{\lambda }}_n$ отвечает лишь одна нормируемая собственная функция, $u_n$, такая что
$$\hat{U}{u}_n={\lambda }_n{u}_n.$$

Волновые функции $u_n$ можно нормировать таким образом, чтобы они образовали ортонормированную систему функций относительно скалярного произведения $⟨u,v⟩=\int u^{\ast }(x)v(x)dx$. Мы можем тогда записать
$$⟨u_n,u_m⟩={\delta }_{nm}.$$

Полнота системы $u_n$ означает, что любая волновая функцня $\mathrm{\Psi }$ допускает разложение в виде линейной комбинации функций этой системы $u_n$ :
$$\mathrm{\Psi }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{u}_n$$

Из (7.8.5) следует, что коэффициенты $a_n$ в (7.8.6) определяются формулами
$$a_n=⟨u_n,\mathrm{\Psi }⟩.$$

Если функция $\mathrm{\Psi }$ нормированная, то из (7.8.6) вытекает равенство Парсеваля
$$⟨\mathrm{\Psi },\mathrm{\Psi }⟩=1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|a_n\right|}^2.$$

В итоге мы можем интерпретировать коэффициенты $a_n$ из (7.8.7) как плотности вероятности. Величина $p_n={\left|a_n\right|}^2$ может пониматься как вероятность того, что величина $\mathrm{\Psi }$ будет находнться в собственном состоянии $u_n$, т. е. как вероятность того, что набяюдаемая в эксперименте величина $U$ даст при измерении результат ${\lambda }_n$. Ожидаемое эичение наблюдаемой величины $\hat{U}$ в состоянии $\mathrm{\Psi }$ будет определяться равенством
$$⟨\hat{U}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\mathrm{\Psi },\hat{U}\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|a_n\right|}^2{\lambda }_n.$$

Интерпретируя ${\left|a_n\right|}^2$ как вероятность получения значения ${\lambda }_n$ при измерении величины $U$ на системе, представленной волновой функцией $\mathrm{\Psi }$, мы видим, что правая часть (7.8.9) как раз является статистически ожидаемым значением экспериментальной величины $U$, возможные значения ${\lambda }_n$ которой имеют вероятности появления $p_n$. Вещественное число $⟨\hat{U}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}$ — это наиболее точноє описание квантового состояния с волновой функцией $\mathrm{\Psi }$, которое можно получить, характеризуя его неким определенным значением наблюдаемой $\hat{U}$.

Произвольную волновую функщию $\mathrm{\Psi }$ можно разложить по не зависящим от времени волновым функциям ${\phi }_n$ :
$$\mathrm{\Psi }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n.$$

Подставляя это представление в зависящее от времени уравнение Шрёдингера, получим уравнения для меняющнхся со временем коэффициентов $a_n$ :
$$i\hslash a_{n,t}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tilde{H}}_{nm}{a}_m$$

где матрица ${\tilde{H}}_{nm}$ задается соотношениями
$${\tilde{H}}_{nm}=⟨u_n,\hat{H}{u}_m⟩.$$

Это множество линейных уравнений для коэффициентов $a_n$ является простой переформулировкой задачи для зависящего от времени уравнения Шрёдингера.

Ожидаемое значение наблюдаемой величины $\tilde{A}$ в состоянии $\mathrm{\Psi }$ дается формулой
$$⟨\hat{A}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=\sum _{nm}{a}_n^{\ast }{a}_m⟨u_n,\hat{A}{u}_m⟩,$$

которую можно переписать в матричном виде
$$⟨\hat{A}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=\mathrm{tr}(\rho \tilde{A}),$$

где $\rho$ и $\tilde{A}$ суть две самосопряженные матрицы, определенные равенствами
$$\begin{array}{c}\widetilde{A_{nm}}=⟨u_n,\hat{A}{u}_m⟩={\tilde{A}}_{nm}^{+},\\ {\rho }_{nm}=a_n{a}_m^{\ast }.\end{array}$$

Матрица $\rho$ называется матрицей плотности, соответствующей состоянию $\mathrm{\Psi }$. Поскольку $\mathrm{\Psi }$ нормирована, должно выполняться равенство
$$\mathrm{tr}\rho =1.$$

Эволюция во времени коэффициентов $a_n$ определяется уравнениями (7.8.11), откуда можно легко найти, что эволюшия во времени матрицы плотности подчиняется уравнению
$$i\hslash \rho ,t=[\tilde{H},\rho ],$$

которое известно, как уравнение Лиувиля по аналогии с соответствующим уравнением классической механики. Для проязвольной наблюдаемой величины уравнение Шрёдингера принимает вид
$$i\hslash \frac{\partial \tilde{A}}{\partial t}=i\hslash \frac{\partial \tilde{A}}{\partial t}+\{\tilde{H},\tilde{A}],$$

для которого (7.8.18) является специальным случаем.
В качестве примера квантовой системы, которую можно свести к уравнению СГ, мы рассмотрим взаимодействие световой волны с газом. Атомы, составляющие газ, для целей нашего анализа могут пониматься как квантовые системы с двумя состояниями основным состоянием и единственным возбужденным состоянием. Поэтому перед рассмотрением этой ситуации мы конкретизируем изложенный выше формализм для случая системы с двумя состояниями.

Квантовая система с двумя состояниями
Рассмотрим квантовую систему с двумя состояниями, описываемую гамильтонианом ${\hat{H}}_0$ с двумя собственными значениями энергии $E_0$ и $E_1$ и с соответствующими собственными функциями ${\phi }_0$ и ${\phi }_1$, так что
$${\hat{H}}_0{\phi }_0=E_0{\phi }_0,{\hat{H}}_0{\phi }_1=E_1{\phi }_1,$$

где $E_0<E_1=E_0+h\omega$. При включении взаимодействия с посторонней внешней средой (например, полем) гамильтониан изменится и станет равным
$$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}_l^t,$$

где ${\hat{H}}_I^t$ — вклад, скязанный с дополнительной энергией взаимодействия и называемый гамильтонианом взаимодействия. Взаимодействие, которое может явно зависеть от времени, вызывает переход между двумя состояниями невозмущенной системы.

Для случая этой двумерной ситуации существует удобное векторное представление для уравнений Лиувилля. Его можно ввести следующим образом. Матрицы Паули, введенные в разд. 7.7 соотношениями (7.7.73), обладают следующими коммутационными свойствами:
$$[{\sigma }_a,{\sigma }_b]=2i{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c.$$

Вместе с единичной матрицей $I$ они образуют базис в векторном пространстве $2\times 2$-матриц. Поэтому $\rho$ и $\tilde{H}$ мы можем представить в виде
$$\mathit{\rho }=(1/2)(1+\mathit{\rho }\cdot \mathit{\sigma }),\tilde{H}=(1/2)\hslash ({\omega }_{0}I+\mathit{\omega }\cdot \mathit{\sigma }),$$

где
$${\omega }_0=\mathrm{tr}\tilde{H},\rho =\mathrm{tr}(\rho \sigma ),\omega =\frac{1}{\hslash }\mathrm{tr}(\tilde{H}\sigma ).$$

При выводе этих соотношений было принято во внимание равенство (7.8.17). Соотношение (7.8.18) для матрицы плотности переписывается в виде
$$(1/2)i\hslash \rho ,t\cdot \sigma =\frac{\hslash }{4}[\sigma \cdot \rho ,\sigma \cdot \omega ]=\frac{\hslash i}{2}(\rho \wedge \omega )\cdot \sigma ,$$

что можно представить в компактной форме
$$\rho ,t=\rho \wedge \omega ,$$

известной как уравнения Блоха; они подобны уравнениям Ландау-Лифшица разд. 7.7.

Для атома с двумя состояниями, взаимодействующего с внешним электрическим полем, оператор гамильтониана взаимодействия принимает вид
$${\hat{H}}_I^t=-{\mathrm{E}}^t\cdot \hat{\mathbf{P}},$$

где $\hat{\mathbf{P}}$ — оператор диполя вида
$$\hat{\mathbf{P}}=-\hat{e}\hat{\mathbf{x}}\text{. }$$

Если ${\phi }_0$ и ${\phi }_1$ — пара не зависящих от времени собственных функций оператора ${\hat{H}}_0$, фазы которых выбраны так, чтобы эти функции были вещественными, то матричное представление оператора $\mathbf{P}$ принимает вид
$$\mathbf{P}={\mathcal{P}}_{\mathit{x}},$$

где
$$\mathcal{P}=-e\int {\phi }_0\hat{x}{\phi }_1{d}^{3}x.$$

Макроскопическая поляризация р этой системы с двумя состояниями дается формулой
$$\mathbf{p}=\mathrm{tr}(\rho \tilde{P})=\mathcal{P}\mathrm{tr}\left(\rho {\sigma }_x\right)={\mathcal{P}}_{{\rho }_{\mathbf{1}}}.$$

Матричное представление полного гамильтониана имеет вид
$$\tilde{H}=\left(\begin{array}{cc}{E}_0& 0\\ 0& E_0+\hslash \omega \end{array}\right)-{\mathbf{E}}^t\cdot {\mathcal{P}}_{{\sigma }_x},$$

а соответствующее выражение $\omega$ в уравнениях Блоха представляется в виде
$$\omega =-\frac{2}{\hslash }({\mathbf{E}}^t\cdot \mathcal{P})\hat{i}-\omega \hat{k}.$$

Уравнения Блоха тогда принимают форму
$$\begin{array}{l}{\rho }_{1,t}=\omega {\rho }_2,\\ {\rho }_{2,t}=-\omega {\rho }_1+\frac{2}{\hslash }{\mathrm{E}}^t\cdot \mathcal{P}{\rho }_3,\\ {\rho }_{3,t}=-\frac{2}{\hslash }{\mathrm{E}}^t\cdot \mathcal{P}{\rho }_2.\end{array}$$

К этой системе уравнений мы должны добавить уравнения Максвелла, которым подчиняется электрическое поле $\mathbf{E}(\mathbf{x},t)$. В такой квазиклассической модели электрическое поле остается неквантованным, и уравнения электрического поля для плотности $n_0$, соответствующие газу с атомами в двух состояниях, имеют вид
$$\mathrm{\Delta }\mathbf{E}-{\mathbf{E}}_{,tt}=4\pi n_0{\mathbf{p}}_{tt}=4\pi n_0\mathcal{P}{\rho }_{1,tt}.$$

Уравнения (7.8.33), (7.8.34) суть классические уравнения Максвелла-Блоха. Измененная в масштабе двумерная форма этих уравнений уже рассматривалась в разд. 9 гл. 1, где мы привели результаты численных экспериментов, показывающих, что они не представляют собой точно интегрируемую систему. Очевидно, что понадобится некоторая регуляризация, если мы захотим все же получить в точности интегрируемую систему, подобную уравнению СГ.

Обозначим через $E^{\ast }$ меру напряженности электрического поля. Пусть $\mathbf{E}(x,t)$ и $\mathbf{P}$ — векторы одного и того же направления $\hat{\mathbf{e}}$; тогда вся проблема сводится к одномерной и по пространственным переменным, и по времени. Определим безразмерные величины $\epsilon$ и $\overline{E}(x,t)$ равенствами
$$\epsilon =\frac{E^{\ast }|\mathcal{P}|}{\hslash \omega },\overline{E}(x,t)=\frac{E\cdot e}{E^{\ast }}.$$

Теперь мы можем переписать уравнения $(7.8.33,7.8.34)$ в виде
$$\begin{array}{c}{\overline{E}}_{,xx}-{\overline{E}}_{,tt}=-2\gamma {\omega }^2\epsilon ({\rho }_1-2\epsilon \overline{E}{\rho }_3),\\ {\rho }_{1,tt}+{\omega }^2{\rho }_1=2\epsilon \overline{E}{\rho }_3,\\ {\rho }_{3,t}=-2\epsilon \overline{E}{\rho }_2\omega =-2\epsilon \overline{E}{\rho }_{1,t};\end{array}$$

при этом мы предположили, что плотность газа мала, т. е.
$$\frac{2\pi }{E^{\ast }}|\mathcal{P}|n_0=\epsilon \gamma ,\gamma =0(1).$$

В ситуации, когда $\epsilon \ll 1$, мы можем решить эту систему уравнений методом многомасштабных растяжений. Определим медленные пространственную и временну́ю переменные равенствами
$$X=\epsilon \omega x,T=\epsilon \omega t$$

и предположим, что для $\overline{E}(x,t),{\rho }_1$ и ${\rho }_3$ справедливы следующие асимптотические разложения:
$$\begin{array}{l}\overline{E}(x,t)=E_0(x,t,X,T)+\epsilon E_1(x,t,X,T)+O\left({\epsilon }^2\right),\\ {\rho }_1(x,t)={\rho }_{10}(x,t,X,T)+\epsilon {\rho }_{11}(x,t,X,T)+O\left({\epsilon }^2\right),(7.8.38)\\ {\rho }_3(x,t)={\rho }_{30}(x,t,X,T)+\epsilon {\rho }_{31}(x,t,X,T)+O\left({\epsilon }^2\right).\end{array}$$

Подставляя эти разложения в уравнения (7.8.38), получим для членов порядка $O\left({\epsilon }^0\right)$ уравнения
$$\begin{array}{c}{E}_{0,xx}-E_{0,tt}=0,\\ {\rho }_{10,tt}+{\omega }^2{\rho }_{10}=0,\\ {\rho }_{30,t}=0,\end{array}$$

а для членов порядка $O$ (в) следующие уравнения:
$$\begin{array}{rl}{E}_{1,xx}-E_{1,tt}+2\omega (E_{0,xX}-E_{0,tT})& =-2{\omega }^2\gamma {\rho }_{10},\\ {\rho }_{11,tt}+{\omega }^2{\rho }_{11}+2\omega {\rho }_{10,tT}& =2{\omega }^2{E}_0{\rho }_{30},\\ {\rho }_{31,t}+\omega {\rho }_{30,T}& =-2E_0{\rho }_{10,t}.\end{array}$$

В качестве решения уравнения (7.8.39) мы выберем бегущую волну
$$E_0=\mathrm{Re}[e^{i\omega (x-t)}{\epsilon }_0(X,T)]$$

а для уравнения (7.8.40) сделаем аналогичный выбор
$${\rho }_{10}=\mathrm{Re}[e^{i\omega (x-t)}{U}_0(X,T)].$$

Подставляя эти формы решений в (7.8.42) и исключая секулярные члены, получим
$$\begin{array}{rl}i({\epsilon }_{0,X}+{\epsilon }_{0,T})& =-\gamma U_0,\\ -i{U}_{0,T}& ={\epsilon }_0{\rho }_{30},\\ {\rho }_{30,T}& =-\frac{i}{2}({\epsilon }_0{\overline{U}}_0-{\overline{\epsilon }}_0{U}_0).\end{array}$$

Если мы предположим, что ${\epsilon }_0$ вещественное, и введем обозначения
$$U_0=-iP,{\rho }_{30}=-N,$$

где $P$ и $N$ вещественные, то уравнения (7.8.45) сведутся, далее, к виду
$$\begin{array}{c}{\epsilon }_{0,X}+{\epsilon }_{0,T}=\gamma P,\\ P_T={\epsilon }_{0}N,\\ N_T=-{\epsilon }_{0}P.\end{array}$$

Из (7.8.48), (7.8.49) мы находим, что ${(P^2+N^2)}_T=0$, и мы можем положить
$$P^2+N^2=1$$

Это позволяет нам параметризовать $P$ и $N$ :
$$P=\pm \sin \mathrm{\Phi },N=\pm \cos \mathrm{\Phi }.$$

Из (7.8.49) вытекает, что
$${\epsilon }_0(x,t)={\mathrm{\Phi }}_{,T}$$

и подстановка (7.8.51), (7.8.52) в (7.8.47) дает
$${\mathrm{\Phi }}_{,XT}+{\mathrm{\Phi }}_{,TT}=\pm \gamma \sin \mathrm{\Phi }.$$

Если мы введем новые пространственную и временную переменные $\overline{x}$ и $\overline{t}$, определенные равенствами
$$\overline{x}=\sqrt{\gamma }(T-2x),\overline{z}=\sqrt{\gamma T},$$

то эти уравнения примут стандартную форму
$$\mathrm{\Phi },xx-{\mathrm{\Phi }}_{ti}\pm \sin \mathrm{\Phi }=0$$

уравнения СГ. Дальнейшие подробности, касающиеся физики этого примера, будут помещены в гл. 9. В нашем втором примере мы снова вернемся к явлению сверхпроводимости. Сначала мы расширим рамки теории разд. 7.6 с тем, чтобы затем показать, что уравнение СГ снова возникает как модель распространения потока в линии передачи Джозефсона.