Главная > СОЛИТОНЫ и нелинейные волновые уравнения (Р Додд, Дх:Эйлбек, Дж.Гиббон, Х.Моррис)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Во второй главе мы объясняли, что с каждым состоянием квантовой системы можно связать комплексную, интегрируемую с квадратом волновую функцию Ψ. Эта волновая функция развнвается во времени в соответствии с зависящим от времени уравиением Шрёдингера
iΨtt=H^Ψt,

где H^ — это оператор, представляющий классический гамильтониан, или оператор энергии. Для удобства обозначений, если это не вызовет недоразумений, мы в дальнейшем будем опускать индекс t у Ψt. Поскольку Ψ интегрируема с квадратом, мы будем интерпретировать вещественное число |Ψ|2 как плотность вероятности, соответствующую квантовой конфигурации, описываемой волновой функцией Ψ. Несколько примеров таких нормированных функций были подробно разобраны в гл. 2, где оператор H^ задавался формулой
H^=(22md2dx2+Q(x)).

Қаждый оператор, представляющий измеряемую величину, например mz, т. е. z-компоненту магнитного момента заряженной частицы, с необходимостью обладает свойством самосопряженности: mz=m2. Например, z-компонента магнитного момента частицы с зарядом e, описываемой нерелятивистским гамильтонианом (7.8.2), может быть выбрана равной
m^z=ie2m(xyyx)=e2mJ^z.

Тем самым обеспечивается вещественность собственных значений такого оператора, и эти значения интерпретируются как возможные измеренные значения представленных величин. Қаждый такой самосопряженный оператор называется наблюдаемой величиной. Квантовое состояния, представленное собственной функцией наблюдаемой величины U^, называется собственным состоянием величины (оператора) U^, и мы будем использовать одно и то же обозначение и для квантового состояния, и для ассоциированной с ним волновой функции.

Одно из основных предположений квантовой механики состоит в том, что собственные функции, ассоциированные с любой наблюдаемой величиной U^, образуют полную систему. Это означает, что любое квантовое состояние или любая волновая функция могут быть представлены в виде линейной комбинации конечного или бесконечного числа собственных функций. Например, предположим, что собственные значения λn образуют дискретный набор и что каждому собственному значению λ^n отвечает лишь одна нормируемая собственная функция, un, такая что
U^un=λnun.

Волновые функции un можно нормировать таким образом, чтобы они образовали ортонормированную систему функций относительно скалярного произведения u,v=u(x)v(x)dx. Мы можем тогда записать
un,um=δnm.

Полнота системы un означает, что любая волновая функцня Ψ допускает разложение в виде линейной комбинации функций этой системы un :
Ψ=n=1anun

Из (7.8.5) следует, что коэффициенты an в (7.8.6) определяются формулами
an=un,Ψ.

Если функция Ψ нормированная, то из (7.8.6) вытекает равенство Парсеваля
Ψ,Ψ=1=n=1|an|2.

В итоге мы можем интерпретировать коэффициенты an из (7.8.7) как плотности вероятности. Величина pn=|an|2 может пониматься как вероятность того, что величина Ψ будет находнться в собственном состоянии un, т. е. как вероятность того, что набяюдаемая в эксперименте величина U даст при измерении результат λn. Ожидаемое эичение наблюдаемой величины U^ в состоянии Ψ будет определяться равенством
U^Ψ=Ψ,U^Ψ=n=1|an|2λn.

Интерпретируя |an|2 как вероятность получения значения λn при измерении величины U на системе, представленной волновой функцией Ψ, мы видим, что правая часть (7.8.9) как раз является статистически ожидаемым значением экспериментальной величины U, возможные значения λn которой имеют вероятности появления pn. Вещественное число U^Ψ — это наиболее точноє описание квантового состояния с волновой функцией Ψ, которое можно получить, характеризуя его неким определенным значением наблюдаемой U^.

Произвольную волновую функщию Ψ можно разложить по не зависящим от времени волновым функциям φn :
Ψ=n=1anφn.

Подставляя это представление в зависящее от времени уравнение Шрёдингера, получим уравнения для меняющнхся со временем коэффициентов an :
ian,t=m=1H~nmam

где матрица H~nm задается соотношениями
H~nm=un,H^um.

Это множество линейных уравнений для коэффициентов an является простой переформулировкой задачи для зависящего от времени уравнения Шрёдингера.

Ожидаемое значение наблюдаемой величины A~ в состоянии Ψ дается формулой
A^Ψ=nmanamun,A^um,

которую можно переписать в матричном виде
A^Ψ=tr(ρA~),

где ρ и A~ суть две самосопряженные матрицы, определенные равенствами
Anm~=un,A^um=A~nm+,ρnm=anam.

Матрица ρ называется матрицей плотности, соответствующей состоянию Ψ. Поскольку Ψ нормирована, должно выполняться равенство
trρ=1.

Эволюция во времени коэффициентов an определяется уравнениями (7.8.11), откуда можно легко найти, что эволюшия во времени матрицы плотности подчиняется уравнению
iρ,t=[H~,ρ],

которое известно, как уравнение Лиувиля по аналогии с соответствующим уравнением классической механики. Для проязвольной наблюдаемой величины уравнение Шрёдингера принимает вид
iA~t=iA~t+{H~,A~],

для которого (7.8.18) является специальным случаем.
В качестве примера квантовой системы, которую можно свести к уравнению СГ, мы рассмотрим взаимодействие световой волны с газом. Атомы, составляющие газ, для целей нашего анализа могут пониматься как квантовые системы с двумя состояниями основным состоянием и единственным возбужденным состоянием. Поэтому перед рассмотрением этой ситуации мы конкретизируем изложенный выше формализм для случая системы с двумя состояниями.

Квантовая система с двумя состояниями
Рассмотрим квантовую систему с двумя состояниями, описываемую гамильтонианом H^0 с двумя собственными значениями энергии E0 и E1 и с соответствующими собственными функциями φ0 и φ1, так что
H^0φ0=E0φ0,H^0φ1=E1φ1,

где E0<E1=E0+hω. При включении взаимодействия с посторонней внешней средой (например, полем) гамильтониан изменится и станет равным
H^=H^0+H^lt,

где H^It — вклад, скязанный с дополнительной энергией взаимодействия и называемый гамильтонианом взаимодействия. Взаимодействие, которое может явно зависеть от времени, вызывает переход между двумя состояниями невозмущенной системы.

Для случая этой двумерной ситуации существует удобное векторное представление для уравнений Лиувилля. Его можно ввести следующим образом. Матрицы Паули, введенные в разд. 7.7 соотношениями (7.7.73), обладают следующими коммутационными свойствами:
[σa,σb]=2iεabcσc.

Вместе с единичной матрицей I они образуют базис в векторном пространстве 2×2-матриц. Поэтому ρ и H~ мы можем представить в виде
ρ=(1/2)(1+ρσ),H~=(1/2)(ω0I+ωσ),

где
ω0=trH~,ρ=tr(ρσ),ω=1tr(H~σ).

При выводе этих соотношений было принято во внимание равенство (7.8.17). Соотношение (7.8.18) для матрицы плотности переписывается в виде
(1/2)iρ,tσ=4[σρ,σω]=i2(ρω)σ,

что можно представить в компактной форме
ρ,t=ρω,

известной как уравнения Блоха; они подобны уравнениям Ландау-Лифшица разд. 7.7.

Для атома с двумя состояниями, взаимодействующего с внешним электрическим полем, оператор гамильтониана взаимодействия принимает вид
H^It=EtP^,

где P^ — оператор диполя вида
P^=e^x^

Если φ0 и φ1 — пара не зависящих от времени собственных функций оператора H^0, фазы которых выбраны так, чтобы эти функции были вещественными, то матричное представление оператора P принимает вид
P=Px,

где
P=eφ0x^φ1d3x.

Макроскопическая поляризация р этой системы с двумя состояниями дается формулой
p=tr(ρP~)=Ptr(ρσx)=Pρ1.

Матричное представление полного гамильтониана имеет вид
H~=(E000E0+ω)EtPσx,

а соответствующее выражение ω в уравнениях Блоха представляется в виде
ω=2(EtP)i^ωk^.

Уравнения Блоха тогда принимают форму
ρ1,t=ωρ2,ρ2,t=ωρ1+2EtPρ3,ρ3,t=2EtPρ2.

К этой системе уравнений мы должны добавить уравнения Максвелла, которым подчиняется электрическое поле E(x,t). В такой квазиклассической модели электрическое поле остается неквантованным, и уравнения электрического поля для плотности n0, соответствующие газу с атомами в двух состояниях, имеют вид
ΔEE,tt=4πn0ptt=4πn0Pρ1,tt.

Уравнения (7.8.33), (7.8.34) суть классические уравнения Максвелла-Блоха. Измененная в масштабе двумерная форма этих уравнений уже рассматривалась в разд. 9 гл. 1, где мы привели результаты численных экспериментов, показывающих, что они не представляют собой точно интегрируемую систему. Очевидно, что понадобится некоторая регуляризация, если мы захотим все же получить в точности интегрируемую систему, подобную уравнению СГ.

Обозначим через E меру напряженности электрического поля. Пусть E(x,t) и P — векторы одного и того же направления e^; тогда вся проблема сводится к одномерной и по пространственным переменным, и по времени. Определим безразмерные величины ε и E¯(x,t) равенствами
ε=E|P|ω,E¯(x,t)=EeE.

Теперь мы можем переписать уравнения (7.8.33,7.8.34) в виде
E¯,xxE¯,tt=2γω2ε(ρ12εE¯ρ3),ρ1,tt+ω2ρ1=2εE¯ρ3,ρ3,t=2εE¯ρ2ω=2εE¯ρ1,t;

при этом мы предположили, что плотность газа мала, т. е.
2πE|P|n0=εγ,γ=0(1).

В ситуации, когда ε1, мы можем решить эту систему уравнений методом многомасштабных растяжений. Определим медленные пространственную и временну́ю переменные равенствами
X=εωx,T=εωt

и предположим, что для E¯(x,t),ρ1 и ρ3 справедливы следующие асимптотические разложения:
E¯(x,t)=E0(x,t,X,T)+εE1(x,t,X,T)+O(ε2),ρ1(x,t)=ρ10(x,t,X,T)+ερ11(x,t,X,T)+O(ε2),(7.8.38)ρ3(x,t)=ρ30(x,t,X,T)+ερ31(x,t,X,T)+O(ε2).

Подставляя эти разложения в уравнения (7.8.38), получим для членов порядка O(ε0) уравнения
E0,xxE0,tt=0,ρ10,tt+ω2ρ10=0,ρ30,t=0,

а для членов порядка O (в) следующие уравнения:
E1,xxE1,tt+2ω(E0,xXE0,tT)=2ω2γρ10,ρ11,tt+ω2ρ11+2ωρ10,tT=2ω2E0ρ30,ρ31,t+ωρ30,T=2E0ρ10,t.

В качестве решения уравнения (7.8.39) мы выберем бегущую волну
E0=Re[eiω(xt)ε0(X,T)]

а для уравнения (7.8.40) сделаем аналогичный выбор
ρ10=Re[eiω(xt)U0(X,T)].

Подставляя эти формы решений в (7.8.42) и исключая секулярные члены, получим
i(ε0,X+ε0,T)=γU0,iU0,T=ε0ρ30,ρ30,T=i2(ε0U¯0ε¯0U0).

Если мы предположим, что ε0 вещественное, и введем обозначения
U0=iP,ρ30=N,

где P и N вещественные, то уравнения (7.8.45) сведутся, далее, к виду
ε0,X+ε0,T=γP,PT=ε0N,NT=ε0P.

Из (7.8.48), (7.8.49) мы находим, что (P2+N2)T=0, и мы можем положить
P2+N2=1

Это позволяет нам параметризовать P и N :
P=±sinΦ,N=±cosΦ.

Из (7.8.49) вытекает, что
ε0(x,t)=Φ,T

и подстановка (7.8.51), (7.8.52) в (7.8.47) дает
Φ,XT+Φ,TT=±γsinΦ.

Если мы введем новые пространственную и временную переменные x¯ и t¯, определенные равенствами
x¯=γ(T2x),z¯=γT,

то эти уравнения примут стандартную форму
Φ,xxΦti±sinΦ=0

уравнения СГ. Дальнейшие подробности, касающиеся физики этого примера, будут помещены в гл. 9. В нашем втором примере мы снова вернемся к явлению сверхпроводимости. Сначала мы расширим рамки теории разд. 7.6 с тем, чтобы затем показать, что уравнение СГ снова возникает как модель распространения потока в линии передачи Джозефсона.

1
Оглавление
email@scask.ru