В этом разделе мы займемся изучением математических свойств уравнения Шрёдингера
\[
L y=-\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}+Q y=k^{2} y,
\]

определенного на всей вещественной оси, $x \in R$, для фиксированного $t, t=t_{0}$. Будем рассматривать только такие функции $Q\left(x, t_{0}\right)$, которые суммируемы на любом интервале вида $] a, b[$, $-\infty<a, b<+\infty$ и такие, что $Q \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Такое уравнение, определенное на полуоси, исчерпывающе изучено как математиками, так и физиками. Однако между этими случаями существует ряд отличий. Многие результаты, содержащиеся в этой и следующей главах, впервые были получены в статье Фаддеева [1964]. Сравнивая уравнение (3.3.1) с выражением $(3.2 .1)$, замечаем, что мы записали здесь $Q=-\alpha q / 6$ и для обозначения произвольного решения уравнения Шрёдингера использовали символ $y$. Мы это сделали потому, что хотим оставить символ $\psi$ для обозначения некоторого специального класса решений, который будет введен ниже. Мы не будем использовать переменную $t$ при записи решений уравнения (3.3.1) в этом разделе, поскольку мы имеем дело с фиксированным $t=t_{0}$, но будем сохранять обозначение частной производной при дифференцировании по $x$, чтобы не забывать о зависимости от $t$. Заметим, что для уравнения КдФ (3.1.6) наше рассмотрение охватывает случай, когда функция $Q\left(x, t_{0}\right)$ имеет конечный предел при $|x| \rightarrow \infty$.

Для того класса функций, который мы рассматриваем, задача о собственных значениях уравнения (3.3.1) называется задачей рассеяния. Причина в том, что, как уже было замечено в разд. 2.2 , уравнение (3.3.1) можно интерпретировать как падающую плоскую волну, взаимодействующую с потенциальной ямой, определяемой функцией $Q(x, t)$. Это взаимодействие и рассеянные волны могут быть выражены в терминах некоторых фундаментальных решений, которые асимптотически (либо при $x \rightarrow+\infty$, либо при $x \rightarrow-\infty$ ) имеют характер плоской волны, т. е. решений для потенциала $Q\left(x, t_{0}\right) \equiv 0$. Это семейство решений, зависящих от параметра $k$, обычно называется решениями Йоста для уравнения (3.3.1); они определяются следующими граничными условиями:
\[
\begin{array}{c}
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-i k x} \Psi(x, k)=1, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{i k x} \bar{\Psi}(x, k)=1 ; \\
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-i k x} \Psi_{x}(x, k)=i k, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{i k x} \bar{\psi}_{x}(x, k)=-i k ; \\
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{-i k x} \bar{\varphi}(x, k)=1, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{i k x} \varphi(x, k)=1 ; \\
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{-i k x} \bar{\varphi}_{x}(x, k)=i k, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{i k x} \varphi_{x}(x, k)=-i k .
\end{array}
\]

Мы исследуем ниже, каким условиям должна удовлетворять функция $Q$ для того, чтобы существовали решения Йоста. Естественно возникает вопрос, существуют ли решения Йоста для комплексных значений $k$. Из граничных условий (3.3.2) ясно, что вопрос о существовании решений Йоста для комплексного $k$ связан с определением собственных функций оператора $L$ в $L^{2}(R)$. Этот анализ и составляет большую часть содержания данного раздела.

Введем теперь гильбертово пространство $L^{2}(R)$ комплекснозначных функций, измеримых по Лебегу и квадратично интегрируемых на вещественной оси. В таком пространстве скалярное произведение определяется формулой
\[
\langle u, v\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} u(x) v^{*}(x) d x,
\]

где $u, v \in L^{2}(R)$. Ясно, что для вещественного значения $k$ функции, определяемые условиями (3.3.2), вообще говоря, не принадлежат пространству $L^{2}(R)$. Это обобщенные собственные функции линейного оператора, определенного уравнением (3.3.1) и действующего на $L^{2}(R)$. Как мы увидим ниже, существует способ включения этих функций в формализм гильбертова пространства.

Если функция, определенная на вещественной оси, обращается в нуль при достаточно больших $|x|$, то о ней говорят, что она имеет компактный носитель. Множество функций пространства $L^{2}(R)$, имеющих компактный носитель, называется множеством финитных функций пространства $L^{2}(R)$; это множество плотно в $L^{2}(R)$. Рассмотрим множество функций вида $\{I, 0<a<\infty\}$, определенных условием $I_{a}(x)=x$, если $|x|<a$, и равных нулю для всех остальных $x$. Тогда с любой функцией $Q(x)$ можно связать финитную функцию $Q_{a}$, определенную равенством $Q_{a}=Q \cdot I_{a}$. Многие выкладки этого и следующих двух разделов можно существенно упростить, если сначала предположить, что функция $Q$ имеет компактный носитель $Q_{a}=Q \cdot I_{a}$, а затем устремить $a$ к бесконечности, $a \rightarrow \infty$. Корректность этой техники будет обсуждена в разд. 6.1.

Дифференциальное выражение в левой части уравнения (3.3.1) формально является самосопряженным, поскольку функция $Q$ вещественна. Это можно увидеть, если дважды проинтегрировать по частям с использованием формулы для скалярного произведения (3.3.3). Формально получится
\[
\langle\mathbf{L} u, v\rangle=\left[u v_{x}-u_{x} v\right]_{-\infty}^{\infty}+\langle u, \mathbf{L} v\rangle .
\]

Однако мы должны быть очень осторожны, говоря об области определения $\mathscr{D}_{\mathrm{L}}$ соответствующего самосопряженного оператора, действующего в пространстве $L^{2}(R)$. Ясно, что $\mathscr{D}_{\mathrm{L}}$ должно быть подпространством пространства $L^{2}(R)$, состоящим из тех элементов $u \in L^{2}(R)$, для которых $\mathrm{L} u \in L^{2}(R)$, и что выражение, содержащееся в квадратных скобках в (3.3.4), должно обращаться в нуль для произвольных элементов $\mathscr{D}_{\mathrm{L}}$. Таким образом, мы вводим условие абсолютной непрерывности производной $u_{x}$ на любом конечном интервале для любой функции $u \in \mathscr{D}_{\mathrm{L}}$. Условие $\mathbf{L} u \in L^{2}(R)$ тоже налагает на функцию $Q$ некоторые ограничения, не позволяя ей иметь слишком сильные особенности. Соответствующие условия на функцию $Q$ естественным образом возникают из требования существования и единственности решений Йоста. Этот самосопряженный оператор можно, кроме того, определить с помощью замыкания симметрического оператора, отвечающего уравнению (3.3.1) и действующего на множестве функций $C_{1}^{\infty}(R)$, являющихся бесконечно дифференцируемыми функциями на $\mathbb{R}$ с компактным носителем (Қато [1966]). В дальнейшем мы будем обозначать получившийся самосопряженный оператор через $\mathbf{L}$.

Стандартный метод в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, применяемый для доказательства существования и единственности решения данного дифференциального уравнения с граничными или начальными условиями, заданными в точке; состоит в том, чтобы включить эти условия в эквивалентное интегральное представление. В этом случае итерация Пикара, то
есть метод последовательных приближений, позволяет определить условия существования решения. Для уравнения (3.3.1) интегральное представление может быть получено непосредственно с использованием метода вариации постоянных. Можно действовать по-другому: ввести вспомогательные переменные $y_{1} \equiv y$, $y_{2}=y_{x}$ и превратить тем самым уравнение (3.3.1) в эквивалентную систему двух уравнений первого порядка
\[
\frac{\partial Y}{\partial x}+\mathbf{B}(k) Y=Q \sigma Y,
\]

где
\[
Y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{T}, \quad \mathbf{B}(k)=\left(\begin{array}{rr}
0 & -1 \\
k^{2} & 0
\end{array}\right), \quad \sigma=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Затем, поскольку функция $\exp (\mathbf{B}(k) x$ ) аналитична по $k$, эквивалентная интегральная формулировка уравнения (3.3.1) при начальном или граничном условии в точке
\[
Y\left(x_{0}, k\right)=Y_{0}(k)=\left(\begin{array}{l}
y_{01}(k) \\
y_{02}(k)
\end{array}\right)
\]

будет иметь вид
\[
Y(x, k)=e^{\mathbf{B}(k)\left(x_{0}-x\right)} Y_{0}(k)+\int_{x_{0}}^{x} e^{\mathbf{B}(k)(v-x)} Q(v) \sigma Y(v) d v .
\]

Если разложить функцию $\exp (\mathbf{B}(k) x$ ) в степенной ряд, получим
\[
e^{\mathbf{B}(k) x}=\mathbf{I} \cos k x+k^{-1} \mathbf{B}(k) \sin k x,
\]

где I – единичная матрица $2 \times 2$. Подставляя (3.3.8) в (3.3.7), придем к следующему уравнению относительно $y \equiv y_{1}$ :
\[
y(x, k)=\cos k\left(x_{0}-x\right) y_{01}(k)-
\]
\[
-k^{-1} \sin k\left(x_{0}-x\right) y_{02}(k)-k^{-1} \int_{x_{0}}^{x} Q(v) \sin k(v-x) y(v, k) \text {. }
\]

Как видно из (3.3.6), для получения интегрального представления решений Йоста нужно знать асимптотическое поведение функций и их первых производных по $x$. Граничные условия (3.3.2) достаточны для получения таких, например, интегральных представлений:
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, k)=e^{i k x}+k^{-1} \int_{x}^{\infty} Q(v) \sin (k(v-x)) \psi(v, k) d v, \\
\varphi(x, k)=e^{-i k x}-k^{-1} \int_{-\infty}^{x} Q(v) \sin (k(v-x)) \varphi(v, k) d v .
\end{array}
\]

Конечно, существует много способов сведения уравнения (3.3.1) к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор новых переменных в виде $y_{1}=i k y-y_{x}, y_{2} \equiv-y$ имеет то преимущество, что полученная при этом система двух дифференциальных уравнений первого порядка является следующей задачей на собственные значения:
\[
\mathbf{L} Y \equiv i\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x} & -Q \\
1 & -\frac{\partial}{\partial x}
\end{array}\right) Y=k Y .
\]

Если заменить во второй строке оператора $\mathbf{L}$ единицу на произвольную функцию $R(x, t)$, то получится обобщение этой задачи, являющееся задачей рассеяния ЗШ-АКНС. Последняя будет исследована в гл. 6.

Используем теперь метод последовательных приближений для того, чтобы определить условия, при которых существуют решения Йоста задачи (3.3.1). Начнем с продолжения уравнений (3.3.10) и (3.3.11) на комплексную плоскость переменной $k, k=\xi+i \eta$. Тогда
\[
\left|e^{-i k x}\right||\sin k x|=\frac{e^{\eta x}}{2}\left|e^{i k x}-e^{-i k x}\right| \leqslant e^{\eta x} \max \left\{e^{-\eta x}, e^{\eta x}\right\},
\]

так что для $x \leqslant 0$
\[
\left|e^{-i k x}\right||\sin k x| \leqslant e^{(\eta-|\eta|) x} .
\]

Если взять модуль от (3.3.11) и использовать неравенство (3.3.13), получим неравенство
\[
\left|\varphi(x, k) e^{i k x}\right| \leqslant 1+|k|^{-1} \int_{-\infty}^{x}|Q(v)| e^{(\eta-|\eta|)(v-x)}\left|\varphi(v, k) e^{i k v}\right| d v .
\]

Покажем теперь, что решение уравнения (3.3.11) может быть найдено в форме
\[
\varphi(x, k) e^{i k x}=\sum_{i=0}^{\infty} h_{i}(x, k)
\]

где
\[
\begin{array}{c}
h_{0}(x, k)=1 ; \\
h_{j+1}(x, k)=-k^{-1} \int_{-\infty}^{x} Q(v) e^{-i k(v-x)} \sin k(v-x) h_{j}(v, k) d v,
\end{array}
\]

если $\operatorname{Im} k \geqslant 0$. Итерация (3.3.14) в области $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ приводит к неравенству
\[
\begin{array}{l}
\left|\varphi(x, k) e^{i k x}\right| \leqslant 1+|k|^{-1} P_{0}(x)+ \\
+\frac{1}{2 !}|k|^{-2} P_{0}^{2}(x)+\cdots+\frac{1}{r !}|k|^{-r} P_{0}^{r}(x)+\cdots,
\end{array}
\]

где
\[
P_{0}(x)=\int_{\infty}^{x}|Q(v)| d v, \quad\left|h_{j}(x, k)\right| \leqslant \frac{P_{0}^{j}}{j !}(x)|k|^{-j} .
\]

Формулу (3.3.16) можно получить с помощью соотношения
\[
\frac{d}{d x} P_{0}^{r}(x)=r P_{0}^{r-1}(x)|Q(x)|, r=1, \ldots .
\]

Из формулы (3.3.17) следует, что ряд в правой части (3.3.16) мажорирует ряд (3.3.15). Этот ряд равномерно сходится при $x \in \mathbb{R}$, если существует его формальная сумма $\exp \left(P_{0}(x) \times\right.$ $\times|k|^{-1}$ ). Достаточным условием для существования суммы является абсолютная интегрируемость функции $Q$ на $R$, т. е. $Q \in L^{1}(\mathbb{R})$, откуда следует, что
\[
P_{0}(\infty)=\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)| d v<\infty .
\]

Поскольку $\sin$ и $Q$ суммируемы на любом конечном интервале, отсюда немедленно следует, что ряд $\sum h_{n}$ сходится абсолютно и равномерно для $x \in \mathbb{R}$ и фиксированного $k, \operatorname{Im} k \geqslant 0, k
eq 0$, и тем самым определено решение $\varphi(x, k)$ для уравнения (3.3.11). Кроме того, получается оценка
\[
\left|\varphi(x, k) e^{i k x}\right|<\exp \left(|k|^{-1} P_{0}(x)\right), \quad k
eq 0 .
\]

Точка $k=0$ исключается из рассмотрения, поскольку для этого случая неравенство (3.3.14) не имеет смысла. Однако из (3.3.10) и (3.3.11) можно непосредственно получить интегральные представления
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, 0)=1+\int_{x}^{\infty}(v-x) Q(v) \psi(v, 0) d v \\
\varphi(x, 0)=1-\int_{-\infty}^{x}(v-x) Q(v) \varphi(v, 0) d v
\end{array}
\]

решений Йоста для случая $k=0$.

Положим
\[
h_{0}(x)=1 \text {, }
\]
\[
h_{j+1}(x)=-\int_{-\infty}^{x}(v-x) Q(v) h_{j}(v) d v, \quad j=0,1, \ldots .
\]

Из этого рекуррентного соотношения можно вывести оценку
\[
\left|h_{j}(x)\right| \leqslant \frac{1}{j !}(M(x))^{j},
\]

где
\[
M(x)=\int_{-\infty}^{x}(x-v)|Q(v)| d v .
\]

Определим
\[
P_{j}(x)=\int_{-\infty}^{x}|v|^{j}|Q(v)| d v, \quad j=0,1,2, \ldots .
\]

Отсюда следует, что решения Йоста определены для $k=0$, если $P_{0}(\infty)<\infty$, и $P_{1}(\infty)<\infty$, и $x<a<\infty$. Действительно, в силу неравенства
\[
\left.\frac{e^{-i k x} \sin k x}{k}\left|=\frac{1}{2}\right| \frac{1-e^{-2 i k x}}{k}|=| \int_{x}^{0} e^{-2 i k y} d y \right\rvert\,<-x, \quad x \leqslant 0, \operatorname{Im} k>0
\]

легко установить аналогичный результат при $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ и $k
eq 0$ :
\[
\left|\varphi(x, k) e^{i k x}-1\right| \leqslant M(x) \exp M(x), \quad \operatorname{lm} k \geqslant 0 .
\]

Заметим, что оценка растет экспоненциально при $x \rightarrow \infty$. Следовательно, функция $\varphi(x, k) \exp (i k x)$ равномерно ограничена при $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ на любом интервале $x \in \mathrm{l}-\infty, a \mathrm{l}, a<\infty$. Мы можем заключить из этого, что функция $\varphi(x, k) \exp (i k x)$ непрерывна при $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ и аналитична при $\operatorname{Im} k>0$, поскольку этими свойствами обладают итерации. Другую оценку можно получить,

если заметить, что для функции $h(x, k)=\varphi(k, x) \exp (i k x)$ выполняется следующее неравенство:
\[
\begin{array}{c}
|h(x, k)-1| \leqslant x \int_{-\infty}^{x}|Q(v)||h(v, k)| d v+ \\
+\int_{-\infty}^{x}(-v)|Q(v)||h(v, k)| d v \leqslant K_{1} x \int_{-\infty}^{x}(1+|v|)|Q(v)| d v+ \\
+K_{2} \int_{-\infty}^{0}(-v)|Q(v)| d v \leqslant \\
\leqslant\left\{\begin{array}{ll}
K_{3}(1+x) \int_{-\infty}^{x}(1+|v|)|Q(v)| d v, & x \geqslant 0, \\
K_{4} \int_{-\infty}^{x}(-v)|Q(v)| d v, & x<0 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Отсюда для $x \in R$ следует неравенство
\[
|h(x, k)-1| \leqslant K_{5}(1+\max (x, 0)) \int_{-\infty}^{x}(1+|v|)|Q(v)| d v .
\]

Используя это и принимая во внимание «хорошее» поведение функции $h(x, k)$ вдали от $k=0,(3.3 .20)$, получим
\[
\left|\varphi(x, k) e^{i k x}-1\right| \leqslant \frac{K(1+\max (x, 0))}{(1+|k|)} \int_{-\infty}^{x}(1+|v|)|Q(v)| d v
\]
(см. Фаддеев [1974] и статью Дейфта и Трубовица [1979], где был впервые выведен этот результат). Таким образом, для аналитичности функции $\varphi(x, k)$ при Im $k>0$ требуется существование $\varphi_{k}(x, k)$. Из (3.3.11) легко получить функцию
\[
\begin{aligned}
h_{k}(x, k)= & -\int_{-\infty}^{x} Q(v)\left(k^{-1} \sin k(v-x) e^{i k(x-v)}\right)_{k} h(v, k) d v- \\
& -\int_{-\infty}^{x} Q(v)\left(k^{-1} \sin k(v-x) e^{i k(x-v)}\right) h_{k}(v, k) d v,
\end{aligned}
\]

которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
-h_{x x k}+2 i\left(k h_{k x}+h_{x}\right)+Q h_{k}=0 .
\]

Если рассмотреть функцию $\left\{k^{-1} \sin k(v-x) \exp [i k(x-v)]\right\}_{k}$, легко убедиться, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{k^{-1} \sin (k x) \exp (-i k x)\right\}_{k} \mid= \\
=\left|\left(\int_{x}^{0} \exp (-2 i k y) d y\right)_{k}\right| \leqslant x^{2}, \quad \text { Im } k \geqslant 0, \quad x \leqslant 0 .
\end{array}
\]

Наконец, используя оценку (3.3.28), можно получить неравенство
\[
\left|h_{k}(x, k)\right| \leqslant K_{5}(1+x \max (x, 0))+\int_{-\infty}^{x}(x-v)|Q(v)|\left|h_{k}(v, k)\right| d v,
\]

поскольку
\[
\int_{-\infty}^{x}|Q(v)|(v-x)^{2}|h(x, v)| d v \leqslant K_{5}(1+x \max (x, 0))
\]

в предположении, что $P_{2}(\infty)<\infty$. В дальнейшем мы будем предполагать, что $P_{i}(\infty)<\infty$ для $i=0,1,2$. Эти требования можно свести в одно условие
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty .
\]

Итерация (3.3.32) приводит к заключению, что $h_{k}$ равномерно ограничено для всех $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ на любой полуоси $x \leqslant a$. Следовательно, производная $\varphi_{k}$ существует и непрерывна $\operatorname{npи} \operatorname{Im} k \geqslant 0$ и аналитична при Im $k>0$. Кроме того, используя (3.3.11) и (3.3.27), несложно показать, что производная $h_{x}$ равномерно ограничена. Эти ограничения в явном виде задаются выражениями
\[
\begin{array}{ll}
\left|h_{k}(x, k)\right| \leqslant K(1+x \max (x, 0)), & \operatorname{Im} k \geqslant 0, \\
\left|h_{x}(x, k)\right| \leqslant \frac{K}{1+|k|}, & \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\end{array}
\]

При $k=0$ мы тоже можем найти решения, удовлетворяющие интегральным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\psi}(x)=x+\int_{x}^{\infty}(v-x) Q(v) \tilde{\psi}(v) d v, \\
\tilde{\varphi}(x)=x-\int_{-\infty}^{\infty}(v-x) Q(v) \tilde{\varphi}(v) d v .
\end{array}
\]

При помощи подстановки $h(x)=x^{\mathbf{1}} \tilde{\Phi}(x)$ уравнение (3.3.36) преобразуется к виду
\[
h(x)=1-x^{-1} \int_{-\infty}^{x}(v-x) v Q(v) h(v) d v .
\]

В этом случае метод последовательных приближений приводит к рекуррентной формуле
\[
h_{0}(x)=1, \quad h_{j+1}(x)=-x^{-1} \int_{-\infty}^{x}(v-x) v Q(v) h_{j}(v) d v, \quad j=0,1, \ldots
\]

и оценкам
\[
\left.\left|h_{j}(x)\right| \leqslant \frac{1}{j 1}(\mathcal{S}(x, \delta))^{j}, \quad x
otin\right]-\delta, \delta[,
\]

где
\[
S(x, \delta)=\int_{-\infty}^{x}\left(\delta^{-1} v^{2}+|v|\right)|Q(v)| d v .
\]

Оценка для $\tilde{\varphi}_{x}$ легко устанавливается таким же способом. Аналогичные результаты получаются, если повторить те же процедуры для других решений Йоста и функции $\psi$. Это удобно резюмировать при помощи следующей теоремы.
Теорема 3.1 Уравнение Шрёдингера
\[
\left[-\partial^{2} / \partial x^{2}+Q(x)\right] y=k^{2} y \text { на } \mathbb{R}
\]

имеет решения $\psi(x, k), \varphi(x, k), \bar{\psi}(x, k), \bar{\varphi}(x, k), y$ довлетворяющие интегральным уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, k)=e^{i k x}+k^{-1} \int_{x}^{\infty} Q(v) \sin k(v-x) \psi(v, k) d v, \\
\varphi(x, k)=e^{-i k x}-k^{-1} \int_{-\infty}^{x} Q(v) \sin k(v-x) \varphi(v, k) d v, \\
\bar{\psi}(x, k)=e^{i k x}+k^{-1} \int_{x}^{\infty} Q(v) \sin k(v-x) \bar{\psi}(v, k) d v, \\
\bar{\varphi}(x, k)=e^{-i k x}-k^{-1} \int_{-\infty}^{x} Q(v) \sin k(v-x) \bar{\varphi}(v, k) d v,
\end{array}
\]

если $\int_{-\infty}^{\infty}(1+|v|)|Q(v)| d v<\infty$. Для каждого $x \in \mathbb{R}$ решения $\varphi(x, \bar{k}), \psi(x, k)$ и их производные по $x \varphi_{x}, \Psi_{x}$ непрерывны по $k$ при $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ а аналитичны по $k$ при $\operatorname{Im} k>0$. Если выполнено условие $\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+v^{2}\right)|Q(v)| d v<\infty$, то производные $\varphi_{k}(x, k)$ Аналогичные свойства справедливы для функций $\bar{\varphi}(x, k), \bar{\psi}(x, k)$, $\bar{\varphi}_{x}(x, k), \quad \bar{\psi}_{x}(x, k), \bar{\varphi}_{k}(x, k), \bar{\psi}_{k}(x, k)$ npu $\operatorname{Im} k \leqslant 0$.

При $k=0$ вдобавок к решениям Йота существуют решения, задаваемые интегральными уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\Psi}(x)=x+\int_{x}^{\infty}(v-x) Q(v) \tilde{\psi}(v) d v \\
\tilde{\varphi}(x)=x-\int_{-\infty}^{x}(v-x) Q(v) \tilde{\varphi}(v) d v
\end{array}
\]

которые могут быть определены и являются непрерывными вне любой окрестности точки $k=0$ при выполнении условия
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+v^{2}\right)|Q(v)| d v<\infty
\]

Эти решения имеют следующее равномерное асимптотическое поведение:
\[
\begin{array}{cl}
\psi(x, k)=e^{i k x}(1+o(1)), & \bar{\Psi}(x, k)=e^{-i k x}(1+o(1)) \\
\psi_{x}(x, k)=e^{i k x}(i k+o(1)), & \bar{\psi}_{x}(x, k)=-e^{-i k x}(-i k+o(1))
\end{array}
\]
npu $x \rightarrow+\infty$;
\[
\begin{array}{cc}
\varphi(x, k)=e^{-i k x}(1+o(1)), & \bar{\varphi}(x, k)=e^{i k x}(1+o(1)), \\
\varphi_{x}(x, k)=e^{-i k x}(-i k+o(1)), & \bar{\varphi}_{x}(x, k)=e^{i k x}(i k+o(1))
\end{array}
\]
npu $x \rightarrow-\infty$;
\[
\begin{array}{ll}
\tilde{\Psi}(x)=x(1+o(1)), & \tilde{\Psi}_{x}(x)=1+o(1) \quad \text { npu } x \rightarrow+\infty, \\
\tilde{\varphi}(x)=x(1+o(1)), & \tilde{\varphi}_{x}(x)=1+o(1) \quad \text { npu } x \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

В процессе доказательства теоремы устанавливаются, кроме того, следующие оценки для решений Йоста.

Следствие 3.1.1. Для всех $x \in \mathbb{R} u$ каждого $k$, такого что $\operatorname{Im} k>0, u|k| \geqslant \delta$, существует такое вещественное число $C_{0}$, что
\[
|\varphi(x, k)| \leqslant C_{\delta} \exp \eta x, \quad|\psi(x, k)| \leqslant C_{\delta} \exp (–\eta x) .
\]

Если мы потребуем, чтобы решения Йоста были аналитичны для действительных значений $k$, функция $Q$ должна удовлетворять очень строгим условиям. Решения Йоста будут бесконечно дифференцируемы по $k$, если
\[
P_{j}(\infty) \equiv \int_{-\infty}^{\infty}|x|^{\prime}|Q(x)| d x<\infty, \quad j=0,1, \ldots .
\]

Таким образом, для того, чтобы решения Йоста были аналитичны для вещественных $k$, необходимо, чтобы функция $Q$ убывала быстрее, чем любая степень $|x|$ при $|x| \rightarrow \infty$.

В следующей теореме рассматривается единственность решений Йоста.

Теорема 3.2. При выполнении условий теоремы 3.1 решения Поста $\psi(x, k), \varphi(x, k), \bar{\psi}(x, k), \bar{\Phi}(x, k)$ единственны.
Доказательство. Пусть
\[
\varphi_{j}(x, k)=e^{-i k x}-k^{-1} \int_{-\infty}^{x} Q(v) \sin k(v \cdots x) \varphi_{j}(v, k) d v, \quad j=1,2
\]

суть два решения, удовлетворяющие условиям теоремы 3.1. Тогда если
\[
\omega(x, k)=\left|\left(\varphi_{1}(x, k)-\varphi_{2}(x, k)\right) \exp (i k x)\right|,
\]

To
\[
\omega(x, k) \leqslant s(x, k), \operatorname{Im} k \geqslant 0,
\]

где
\[
s(x, k)=\int_{-\infty}^{x}(x-v)|Q(v)| \omega(v, k) d v .
\]

Из (3.3.41) следует, что
\[
s_{x}=\int_{-\infty}^{x}|Q(v)| w(v) d v \leqslant s(x) \int_{-\infty}^{x}|Q(v)| d v,
\]

так что
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(s(x, k) \exp \left[-\int_{-\infty}^{x}(x-v)|Q(v)| d v\right]\right) \leqslant 0,
\]

и после интегрирования этого соотношения от – до $x$ получим
\[
s(x, k) \leqslant 0, \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\]

Из уравнений (3.3.41) и (3.3.42) немедленно следует, что $w(x, k) \equiv$ $\equiv 0$. Таким образом получается, что для $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ решение Йоста единственно, если интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}(1+|v|)|Q(v)| d v$ конечен. Для других решений Йоста единственность устанавливается таким же путем.

Проверка граничных условий (3.3.2) для решений Йоста приводит к такому следствию из теоремы 3.2 .

Следствие 3.2.1. Решения Поста $\varphi, \bar{\varphi} u \psi, \bar{\psi}$ связаны соотношениями
\[
\begin{array}{l}
\bar{\varphi}(x, k)=\varphi\left(x,-k^{*}\right)=\varphi^{*}\left(x, k^{*}\right), \\
\bar{\psi}(x, k)=\psi\left(x,-k^{*}\right)=\psi^{*}\left(x, k^{*}\right),
\end{array}
\]

где * обозначает операцию комплексного сопряжения.
Рассмотрим теперь пространство решений линейного уравнения второго порядка (3.3.1) или эквивалентной ему системы первого порядка (3.3.5) для фиксированного $k$. Для обозначения таких решений будем использовать запись $y(x)$ (или $Y(x)$ ). Здесь явно обозначается зависимость от переменной $x$ для того, чтобы подчеркнуть, что решения могут иметь разные области определения. Легко проверить, что как для скалярного, так и для векторного уравнений сумма двух решений на общей области их определения, а также произведение решения на любое комплексное число тоже являются решениями. Таким образом, множество решений является линейным пространством (на их общей области определения) над полем комплексных чисел. Поскольку $Q(x) \rightarrow$ $\rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$, то отсюда следует (для фиксированного $k$ ), что любое решение уравнения (3.3.1) или (3.3.5) определено произвольным начальным условием при $x \rightarrow+\infty$ или при $x \rightarrow-\infty$, имеющим форму линейной комбинации экспоненциальных функций $\exp ( \pm i k x)$.

На следующем шаге мы должны доказать, что любое такое граничное условие единственным образом определяет решение (3.3.1) или (3.3.5). Это можно доказать тем же способом, каким мы доказали существование и единственность решений Йоста (см. Наймарк [1968]). Доказательство показывает, кроме того, что любое решение определено для почти всех $x$. Отсюда следует, что асимптотическое соотношение, которое существует между произвольным решением и линейной комбинацией решений Иоста, верно почти всюду. Поэтому мы можем однозначно представить любое решение одной лишь функцией $y$ или $Y$.

Если $Y_{1}, Y_{2}$ – различные решения уравнения (3.3.5), то они линейно независимы в том случае, если из равенства
\[
\alpha Y_{1}+\beta Y_{2}=0, \alpha, \beta \in C
\]

следует $\alpha=\beta=0$.
Это значит, что если (3.3.43) верно, то одно решение не получается из другого умножением на число. Заметим, что порядок скалярного уравнения (3.3.1) или размерность векторного пространства, в котором принимают свои значения решения (3.3.5), это максимальная размерность пространства решений (для фиксированного $k$ ) для (3.3.1) и (3.3.5) соответственно. Пусть $Y_{1}, Y_{2}$, $Y_{3}$ – три различных решения (3.3.5). Тогда из
\[
\alpha Y_{1}+\beta Y_{2}+\gamma Y_{3}=0
\]

следует, что
\[
Y_{3}\left(x_{0}\right)=-\gamma^{-1}\left(\alpha Y_{1}\left(x_{0}\right)+\beta Y_{2}\left(x_{0}\right)\right)
\]

для любого $x_{0} \in \mathbb{R}$ и что, поскольку решения единственным образом определяются начальными условиями, то $Y_{3}$ линейно зависит от $Y_{1}$ и $Y_{2}$.
Определим вронскиан $W\left(Y_{1}, Y_{2}\right)$ двух решений $Y_{1}, Y_{2}$
\[
W\left(Y_{1}, Y_{2}\right) \equiv \operatorname{det}\left|\begin{array}{ll}
y_{11} & y_{21} \\
y_{12} & y_{22}
\end{array}\right|=\left(y_{11} y_{22}-y_{21} y_{12}\right) .
\]

Из (3.3.43) мы видим, что $Y_{1}, Y_{2}$ линейно независимы, если их вронскиан $W\left(Y_{1}, Y_{2}\right)$ не равен нулю.

Пусть теперь $k$ может меняться. Тогда получится однопараметрическое (с комплексным параметром) семейство решений, члены которого договоримся обозначать ${ }_{k} Y(x)=Y(x, k)$. Читателю должно быть ясно, что поскольку любое решение может быть выражено в терминах решений Йоста, произвольное семейство решений может быть определено только для вещественных $k$, или для $\operatorname{Im} k \leqslant 0$, или для $\operatorname{Im} k \geqslant 0$.

Лемма 3.3. Решения ${ }_{k} Y_{1},{ }_{k} Y_{2}$ системы (3.3.5) линейно независимы тогда и только тогда, когда вронскиан $W\left({ }_{k} Y_{1, k} Y_{2}\right)$ не равен нулю.

Решения ${ }_{k} Y_{1},{ }_{k} Y_{2}$ уравнения (3.3.1) линейно независимы тогда и только тогда, когда их вронскиан $W$ ( $\left.{ }_{k} Y_{1},{ }_{k} Y_{2}\right)$ не равен нулю.

Исключая функцию $Q$ из (3.3.5) или (3.3.1) при помощи двух решений ${ }_{k} Y_{1},{ }_{k} Y_{2}$, удовлетворяющих этим уравнениям, получим соотношение для их вронскиана:
\[
\begin{array}{c}
W\left({ }_{k} y_{1}, x y_{2}\right)(x)-W\left({ }_{k} y_{1},{ }_{x} y_{2}\right)\left(x_{0}\right)= \\
=\left(k^{2}-x^{2}\right) \int_{x_{0}}^{x} y_{1}(v)_{x} y_{2}(v) d v .
\end{array}
\]

Из этого важного соотношения мы можем немедленно получить, что для $x=k$ вронскиан $W\left({ }_{k} y_{1}, x_{2} y_{2}\right)$ независим от $x$ и является функцией $k$. В случае решений Йоста получается:
\[
\begin{array}{c}
W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \psi\right) \equiv 2 i k a(k), \quad W\left({ }_{k} \bar{\varphi},{ }_{k} \psi\right) \equiv-2 i k \bar{a}(k), \\
W\left({ }_{k} \psi,{ }_{k} \bar{\psi}\right)=-2 i k, k
eq 0, \quad W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \tilde{\varphi}\right)=2 i k, k
eq 0, \\
W\left({ }_{0} \psi, \tilde{\psi}\right)=1, k=0, \quad W\left({ }_{0} \varphi, \tilde{\varphi}\right)=1, k=0, \\
W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \bar{\psi}\right)=-2 i k b(k), \quad W\left({ }_{k} \bar{\varphi},{ }_{k} \psi\right)=2 i k b(k) .
\end{array}
\]

Соотношения (3.3.48) можно получить, используя асимптотическое поведение решений Йоста, описанное в теореме 3.1. Уравнения (3.3.47) и (3.3.49) представляют собой определения функций, входящих в правые части. Как мы покажем ниже, вронскианы (3.3.47)-(3.3.49), вооще говоря, не будут определены почти всюду, если функция $Q$ не имеет компактного носителя. Если выполнены условия теоремы 3.1, то функция $a(k)$ аналитична при $\operatorname{Im} k>0$, функция $\bar{a}(k)$ аналитична при $\operatorname{Im} k<0$, и обе функции непрерывны для $\operatorname{lm} k=0, k
eq 0$. На самом деле из соотношений (3.3.47)-(3.3.49) и теоремы 3.1 ясно, что функции $k a(k)$ и $k b(k)$ непрерывны на вещественной оси для всех $k$. Поскольку максимальное число линейно независимых решений уравнения (3.31) и системы (3.3.5) равно двум, из леммы 3.3 и соотношений (3.3.47)-(3.3.49) выводится следующая теорема.

Теорема 3.4. Для фиксированного $k$ при выполнении условий теоремы 3.1 решения Йоста ${ }_{k} \varphi,{ }_{\partial^{2}} \psi\left({ }_{k} \bar{\varphi}, k_{k} \bar{\psi}\right)$ образуют базис пространства решений уравнения $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} y-Q y=k^{2} y$ nри Im $k \geqslant$ $\geqslant 0(\operatorname{Im} k \leqslant 0)$ и $k
eq 0$, кроме случая, когда $a(k)=W\left({ }_{k} \varphi\right.$, $\left.{ }_{k} \psi\right) / 2 i k$ равно нулю (когда $\bar{a}(k)=-W\left({ }_{k} \bar{\varphi},{ }_{k} \bar{\psi}\right) / 2 i k$ равно нулю).
При $\operatorname{Im} k=0 u k
eq 0$ решения Поста ${ }_{k} \psi,{ }_{k} \bar{\psi}$ или ${ }_{k} \varphi,{ }_{k} \bar{\varphi}$ всегда образуют базис. В частности, если $b(k)=W\left({ }_{k} \bar{\varphi}, k_{k} \bar{\phi}\right) / 2 i k u$ $\bar{b}(k)=-W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \bar{\psi}\right) / 2 i k$ и а $(k), \bar{a}(k)$ не равны нулю, то любая пара решений Иоста ${ }_{k} \varphi,{ }_{k} \psi,{ }_{k} \bar{\varphi},{ }_{k} \bar{\psi}$ может быть использована в качестве базиса пространства решений при $\operatorname{Im} k=0 u k
eq 0$. Для $k=0$ пара функций ( $\left.{ }_{\circ} \psi, \tilde{\psi}\right)$ или $\left.{ }_{\circ} \varphi, \tilde{\varphi}\right)$ образует базис почти всюду.

Следствие 3.4.1. Функция а $(k)(\bar{a}(k)$ ) аналитична в верхней (нижней) полуплоскости $k$ и непрерывна сверху (снизу) вплоть до вещественной оси $k(k
eq 0)$. Функции $b(k)$ и $ь(k)$ непрерывны на вещественной оси $k(k
eq 0)$. Кроме того, из соотношений между решениями Йста следует, что
\[
a(k)=a(-k)=a^{*}(k)
\]
$u$
\[
5(k)=b(-k)=b^{*}(k) .
\]

Базис пространства решений уравнения (3.3.1) для фиксированного $k$, например $\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \psi\right)$ при $\operatorname{Im} k>0$, называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений системы (3.3.5) записывается в виде матрицы, например
\[
{ }_{k} \Phi=\left(\begin{array}{ll}
k \varphi & { }_{k} \bar{\varphi} \\
{ }_{k} \varphi_{x} & { }_{k} \bar{\varphi}_{x}
\end{array}\right) \text { или }{ }_{k} \Psi=\left(\begin{array}{ll}
{ }_{k} \psi & { }_{k} \bar{\psi} \\
{ }_{k} \psi_{x} & { }_{k} \bar{\psi}_{x}
\end{array}\right)
\]

при $\operatorname{Im} k=0, k
eq 0$; эти матрицы называются фундаментальными матричными решениями системы (3.3.5). Из (3.3.5) мы немедленно получаем
\[
{ }_{k} \Phi_{x}=(Q \sigma-B(k))_{k} \Phi .
\]

В дальнейшем, допуская некоторую языковую вольность, мы будем просто говорить, что $\Phi$ и $\Psi$– фундаментальные матричные решения системы (3.3.5). Для вещественного $k$ любое решение ${ }_{k} y$ уравнения (3.3.1) может быть записано в виде линейной комбинации фундаментальных решений $k \psi,{ }_{k} \bar{\psi}$ :
\[
{ }_{k} y={ }_{k} c_{1 k} \bar{\Psi}+{ }_{k} c_{2}{ }_{k} \Psi,
\]

где ${ }_{k} c_{1}$ и ${ }_{k} c_{2}$ – комплексные числа. Соответствующее семейство решений $y$ с параметром $k$ может быть, таким образом, выражено через решения Йоста $\bar{\psi}, \psi$ и пару комплексных функций $c_{1}(k)$, $c_{2}(k)$ :
\[
y(x, k)=c_{1}(k) \bar{\psi}(x, k)+c_{2}(k) \Psi(x, k) .
\]

В частности, для решений Йоста $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ при использовании (3.3.47)-(3.3.49) найдем
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, k)=a(k) \bar{\psi}(x, k)+b(k) \psi(x, k), \\
\bar{\Phi}(x, k)=b(k) \bar{\psi}(x, k)+\bar{a}(k) \psi(x, k) .
\end{array}
\]

В терминах фундаментальных матричных решений системы (3.3.5) уравнения (3.3.47)-(3.3.49) могут быть записаны в таком виде:
\[
\Phi(x, k)=\Psi(x, k) A(k),
\]

где
\[
A(k)=\left(\begin{array}{ll}
b(k) & \bar{a}(k) \\
a(k) & \bar{b}(k)
\end{array}\right) .
\]

Прямо из (3.3.47)-(3.3.49) разложением определителей можно найти
$W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \psi\right) W\left({ }_{k} \bar{\varphi},{ }_{k} \bar{\psi}\right)-W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \bar{\psi}\right) W\left({ }_{k} \bar{\varphi},{ }_{k} \psi\right)=W(\varphi, \bar{\varphi}) W(\psi, \bar{\psi})$.

Отсюда следует следующее соотношение между функциями $a, \bar{a}$, $b$ и $\bar{b}$ для вещественного $k
eq 0$ :
\[
a(k) \bar{a}(k)-b(k) \bar{b}(k)=1 .
\]

Здесь нам кажется уместным сделать некоторую паузу в изложении чисто математической стороны вопроса и обратить внимание на связь между материалом этого раздела и более физическим подходом к тем же проблемам, затронутым в разд. 2.2. Предположим, что мы можем определить ограниченные непрерывные функции $T_{+}(k)=a^{-1}(k)$ и $R_{+}(k)=b(k) a^{-1}(k)$ для вещественных $k$. Тогда (3.3.54) можно переписать в виде

Рис. 3.1. Представление решения (3.3.59) как процесса рассеяния.
Асимптотическое поведение решений Йоста, описанное в теореме 3.1, позволяет дать выражению (3.3.59) следующую интерпретацию. Функция $\bar{\psi}(x, k)$ представляет плоскую падающую справа волну ( $\exp (-i k x)$ ), взаимодействующую с потенциалом $Q$. В peзультате взаимодействия часть волны проходит ( $T_{+}(k) \times$ $\times \exp (-i k x)$ ), а другая часть отражается $\left(R_{+}(k) \exp (i k x)\right)$. Это взаимодействие представлено ниже в виде диаграммы.

Это «столкновение» вполне упруго, так как из (3.3.58) и следствия 3.4 .1 получаем
\[
\left|T_{+}(k)\right|^{2}+\left|R_{+}(k)\right|^{2}=1 .
\]

Это «моментальный снимок» столкновения в фиксированный момент времени $t=t_{0}$. При переменном $t$ будут меняться решения Йоста, коэффициенты прохождения и отражения, но рисунок взаимодействия останется неизменным. Точное соотношение между коэффициентами рассеяния и потенциалом дано в гл. 4, а в следующих разделах этой главы мы построим формулы, представляющие временну́ю эволюцию коэффициентов рассеяния $R_{+}$и $T_{+\cdot}$ Если мы определим $T_{-}(k)=a^{-1}(k)\left(\equiv T_{+}(k)\right)$ и $R_{-}(k)=\bar{b}^{+}(k) \times$ $\times a^{-1}(k) \equiv-b^{*}(k) a^{-1}(k)$ для вещественного $k$, то мы сможем построить аналогичные картинки для плоской волны (exp (ikx)), падающей слева и взаимодействующей с потенциалом $Q$, используя (3.3.55). Матрица
\[
\tilde{S}(k)=\left(\begin{array}{ll}
T_{+}(k) & R_{-}(k) \\
R_{+}(k) & T_{-}(k)
\end{array}\right)
\]

называется матрицей рассеяния. В разд. 3.4 обсуждается роль матрицы $\widetilde{S}$ в теории рассеяния. Из следствия 3.1.1 ясно, что $\widetilde{S}(k)$ непрерывна при $k
eq 0$. На самом деле, как мы теперь установили, она непрерывна для всех вещественных $k$, если
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+v^{2}\right)|Q(v)| d v<\infty .
\]

Используя свойства решений Йоста, описанные в теореме 3.1, получим
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, k) e^{i k x}=e^{2 i k x}\left[\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) e^{-i k v} \varphi(v, k) d v\right]+ \\
+\left[1-\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) e^{i k v} \varphi(v, k) d v\right]+o(1), \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

С другой стороны, из (3.3.54)
так что
\[
\varphi(x, k) e^{l k x}=b(k) e^{2 i k x}+a(k)+o(1), \quad x \rightarrow+\infty,
\]
\[
\begin{array}{l}
a(k)=1 \cdots \frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) e^{i k v} \varphi(v, k) d v, \\
b(k)=\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) e^{-i k v} \varphi(v, k) d v .
\end{array}
\]

Из оценки (3.3.27) для $\varphi \exp (i k x)$ и представлений (3.3.64) устанавливается, что $a$ аналитична при $\operatorname{Im} k>0$ и что $a$ и $b$ непрерывны для вещественных $k
eq 0$. Полагая $m=\int_{-\infty}^{\infty} Q(v) \varphi(v, 0) d v$ (что потребует конечности интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+v^{2}\right)|Q(v)| d v<\infty$ ), из (3.3.64) получаем
\[
a(k)=\left(1-\frac{m}{2 i k}\right)-\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v)[\varphi(v, k) \exp (i k v)-\varphi(v, 0)] k^{-1} d v .
\]

Затем перейдем к пределу $k \rightarrow 0$ и используем (3.3.34) для двух случаев, $m=0$ и $m
eq 0$. Мы найдем, что хотя предел $a(0)$ существует и не равен нулю и $a$ непрерывна при $k=0$ в случае $m=0$, но для $m
eq 0 a$ не является непрерывной при $k=0$. Однако $T_{+}$и в этом случае непрерывна при $k=0$. Действительно, для $m
eq 0$
\[
T_{+}(k)=k \text { (const) }+o(1) \text { при } k \rightarrow 0 .
\]

Подобным же образом $b$ не непрерывна при $k=0$, но, используя (3.3.4) и (3.3.64), можно установить непрерывность $R_{+}$при $k=0$. Мы заключаем, что соотношение (3.3.59) верно для всех вещественных $k$ и что матрица $\widetilde{S}(k)$ непрерывна. Если $m
eq 0$, то из (3.3.64)
\[
\begin{aligned}
\left(1+R_{+}(k)\right) a(k) & =1+\int_{-\infty}^{\infty} Q(v) \frac{e^{i k v}-e^{-i k v}}{2 i k} \varphi(v, k) d v= \\
& =1+\int_{-\infty}^{\infty} Q(v) v \varphi(v, k) d v+o(1) \text { при } \quad k \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]

Отсюда можно сделать вывод, что
\[
R_{+}(0)=-1 \text { при условии } \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) \varphi(v, 0) d v
eq 0 .
\]

Из (3.3.64) ясно, что $T_{+}$и $R_{+}$аналитичны в комплексной $k$ плоскости, если функция $Q$ имеет компактный носитель.

До сих пор мы не рассматривали связанные состояния этого процесса взаимодействия. По определению эти решения принадлежат пространству $L^{2}(\mathbb{R})$, и из ранее высказанных замечаний относительно решений уравнения (3.3.1) следует, что единственными кандидатами на эту роль являются решения, имеющие асимптотическое поведение $\exp ( \pm i k x)$ при $x \rightarrow \pm \infty$, Im $k>0$ или $\exp ( \pm i k x)$ при $x \rightarrow \mp \infty \operatorname{Im} k<0$. Таким образом, решения типа связанных состояний представляют собой собственные функции оператора $\mathbf{L}$, удовлетворяющие соотношениям типа
\[
{ }_{k} \varphi={ }_{k} c_{k} \psi, \quad \operatorname{Im} k>0 ; \quad{ }_{k} \bar{\varphi}={ }_{k} \bar{c}_{k} \bar{\psi}, \quad \operatorname{Im} k<0 .
\]

Если предположить, что $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty$, то $\lambda=k^{2}=0$ не может быть собственным значением оператора $L$, поскольку общее решение уравнения (3.3.1) будет тогда иметь вид
\[
y(x, 0)=c_{1} \psi(x, 0)+c_{2} \tilde{\psi}(x) \sim c_{1}+c_{2} x(1+O(1)) \quad \text { при } \quad x \rightarrow+\infty
\]

и не будет принадлежать пространству $L^{2}(\mathbb{R})$.

В оставшейся части этого раздела мы покажем, что существует конечное число собственных функций, удовлетворяющих (3.3.69) при условии $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty$. Из определений (3.3.47) видно, что соотношения типа (3.3.69) требуют, чтобы или $a(k)=$ $=0, \operatorname{Im} k>0$, или $\bar{a}(k)=0, \operatorname{Im} k<0$. Отсюда следует, что вопрос о конечности или бесконечности числа собственных функций оператора $\mathbf{L}$ сводится к изучению нулей функции $a$.

Перед нами открыты два подхода. Первый состоит в том, чтобы продолжать работу в рамках теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а второй — в том, чтобы развивать спектральную теорию самосопряженного оператора L в пространстве $L^{2}(R)$. В оставшейся части этого раздела мы воспользуемся первым методом. Спектральная теория оператора $L$ будет изучаться в следующем разделе. Почему нам все же необходимо столь строгое изложение? Причина этого заключена в самой сути метода обратной задачи. В следующей главе мы установим условия, при которых функция $Q$ может быть единственным образом восстановлена по данным рассеяния соответствующего линейного уравнения рассеяния Шрёдингера (3.3.1). Данные рассеяния включают нормировочные постоянные связанных состояний, собственные значения оператора $\mathbf{L}$ и один из коэффициентов отражения.
Непосредственно из (3.3.46) имеем
\[
W\left(k * \varphi^{*},{ }_{k} \varphi\right)=\left(k^{* 2}-k^{2}\right) \int_{-\infty}^{x}\left|{ }_{k} \varphi\right|^{2} d x, \quad \operatorname{Im} k>0 .
\]

Если ${ }_{k} \varphi$ – решение типа связанного состояния, т. е. собственная функция оператора $\mathbf{L}$, то соотношение (3.3.69) и граничные условия на $\varphi$ дают следующую формулу из уравнения (3.3.71):
\[
\xi \eta\left\|_{k} \varphi\right\|^{2}=0, \quad k=\xi+i \eta, \quad \eta>0 .
\]

Здесь $\|\cdot\|$ – норма в пространстве $L^{2}(R)$, и мы немедленно получаем, что $\operatorname{Re} k=\xi=0$. Поскольку, как мы только что показали, случай $a(0)=0$ исключен, можно сделать вывод, что нули функции $a$ лежат на положительной части мнимой оси комплексной плоскости $k$. Из соотношения $\bar{a}\left(k^{*}\right)=a^{*}\left(k^{*}\right), \operatorname{Im} k>0$, следует, что нули функции $\bar{a}$ комплексно сопряжены с нулями функции $a$, и, следовательно, можно заключить, что собственные значения оператора $\mathbf{L}$ строго отрицательны. Таким образом, если $\lambda=$ $=-\eta^{2}, \eta>0$, – собственное значение оператора $\mathbf{L}$, то $k=i \eta-$ нуль функции $a$. Может показаться, что налицо парадоксальная ситуация, а именно что единственному собственному значению $\lambda=-\eta^{2}$ оператора $\mathbf{L}$ соответствуют две собственные функции

$\left\{\imath_{\eta} \varphi,-i \eta \bar{\varphi}\right\}$. Однако из следствия 3.2 .1 вытекает, что $i_{\eta} \varphi=$ $={ }_{-i \eta} \bar{\varphi}=\left({ }_{i \eta} \varphi\right)^{*}$, так что собственные функции вещественны.

Теперь мы покажем, что функция $a$ имеет лишь конечное число нулей. Для того чтобы доказать этот результат, мы используем асимптотическое поведение функции $а$ при $|k| \rightarrow \infty$, Im $k \geqslant 0$. Здесь уместно представить также поведение функции $b$ и решений Йоста при больших $k$. Это потребуется нам в следующих разделах. Из (3.3.64) и (3.3.20) мы сразу получаем
\[
\begin{array}{c}
a(k)=1-\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) d v+O\left(\frac{1}{|k|^{2}}\right), \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty, \\
b(k)=\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) \exp (2 i k v) d v+O\left(|k|^{-2}\right) \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Теорема Римана-Лебега позволяет вывести из последнего результата, что $b(k)=o\left(\frac{1}{|k|}\right)$ при $|k| \rightarrow \infty$. Аналогично асимптотическое поведение решений Йоста получается из итерации их интегральных представлений с использованием оценки (3.3.20).

Лемма 3.5. Решения Йоста имеют асимптотические разложения:
\[
\begin{array}{c}
\varphi(x, k) e^{i k x}=1+\frac{1}{(-2 i k)} \int_{-\infty}^{x} Q d v+O\left(|k|^{-2}\right), \\
\psi(x, k) e^{-i k x}=1+\frac{1}{2 i k} \int_{x}^{\infty} Q d v+O\left(|k|^{-2}\right)
\end{array}
\]
$n р и|k| \rightarrow \infty$, равномерно справедливые в полуплоскости $\operatorname{Im} k \geqslant 0$, если $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|(1+|v|) d v<\infty$. Разложения для $\bar{\varphi}, \bar{\psi}$ получаются комплексным сопряжением из разложений для $\varphi и ч$.

Поскольку нули аналитической функции изолированы и функция $a$ отлична от нуля на вещественной оси, то из (3.3.73) следует, что функция $a$ имеет лишь конечное число нулей. К тому же они простые, как мы сейчас покажем. Продифференцируем уравнение (3.3.1) по переменной $k$ и умножим на $\varphi$ :
\[
-\varphi_{x x k} \varphi+Q \varphi_{k} \varphi=2 k \varphi^{2}+k^{2} \varphi_{k} \varphi, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\]

Если умножить уравнение (3.3.1) на $\varphi_{k}$, вычесть из (3.3.75) и один раз проинтегрировать, то получится следующая формула:
\[
W\left(\varphi, \varphi_{k}\right)(\infty)-W\left(\varphi, \varphi_{k}\right)(-\infty)=-2 k \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{2} d x, \quad \operatorname{Im} k>0
\]

Дифференцируя (3.3.47) один раз по $k$ и подставляя значения вронскианов при $x=+\infty$, получим
\[
W\left(\varphi_{k}, \psi\right)(\infty)+W\left(\varphi, \psi_{k}\right)(\infty)=2 i a+2 i k a_{k}, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\]

Следовательно, в нулях функции $a k_{j}=i \eta_{j}, \eta_{j}>0, \varphi_{j}=c_{j} \psi_{j}$, где $u_{j} \equiv k_{j} u$, соотношения (3.3.76) и (3.3.77) можно скомбинировать таким образом, что получится равенство
\[
c_{j}^{2} W\left(\psi_{j}, \dot{\psi}_{j}\right)(\infty)-W\left(\varphi_{j}, \dot{\varphi}_{j}\right)(-\infty)-2 i k_{j} \dot{a}_{j} c_{j}=-2 k_{j} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{j}^{2} d x .
\]

В формуле (3.3.78) мы использовали обозначение $f_{j} \equiv f_{k} \mid k=k_{j}$ для того, чтобы запись была менее громоздкой. Если в (3.3.78) подставить значения вронскианов, то получится следующий результат:
\[
D_{-j}^{-1} \equiv i c_{j} \dot{a}_{j}=\left\langle\varphi_{j}, \varphi_{j}\right\rangle, \quad D_{+j}^{-1} \equiv i c_{j}^{-1} \dot{a}=\left\langle\psi_{j}, \psi_{j}\right\rangle .
\]

Из выражения (3.3.79) и других наших замечаний, ‘сделанных раньше, следует, что собственные значения оператора $\mathbf{L}$ просты и что $D_{-j}\left(D_{+j}\right)$ можно интерпретировать как нормировочную постоянную для собственной функции $\varphi_{j}\left(\psi_{j}\right)$.

Можно показать, что число нулей функции $\varphi(x, 0)$ для фиксированного $x_{0}$ совпадает с числом собственных значений оператора Дирихле, определенного дифференциальным выражением (3.3.1) в пространстве $L^{2}\left(-\infty, x_{0}\right.$ ) (Коддингтон и Левинсон [1955]). Используя принцип минимакса, можно вывести, что оператор $\mathbf{L}$ обладает дискретным спектром тогда и только тогда, когда функция $\varphi(x, 0)$ обращается в нуль при некотором $x$ (Дейфт и Трубовиц [1979]). Далее легко показать, что если $M$ – число собственных значений оператора $\mathbf{L}$, то
\[
M \leqslant \int_{-\infty}^{\infty}|v||Q(v)| d v .
\]

Заметим, наконец, что в случае $m=0$ в (3.3.65) требуется, чтобы функции $\varphi(x, 0)$ и $\Psi(x, 0)$ были линейно зависимы:
\[
0=m \leftrightharpoons \int_{\infty}^{\infty} Q(v) \varphi(v, 0) d v=W\left({ }_{0} \varphi,{ }_{0} \varphi\right) .
\]

Это условие весьма неустойчиво и, как мы покажем в разд. 4.3, встречается только в тех случаях, когда еще одно собственное значение нужно добавить к спектру оператора L. Геперь подведем итоги и сформулируем результаты, полученные нами на последних нескольких страницах этого раздела.

Лемма 3.6. Eсли $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty$, то функция а единственным образом определена и непрерывна в полуплоскости Im $k \geqslant 0, k
eq 0$, аналитична при II $k>0$ и имеет конечное число нулей $k_{j}:=i \eta_{j}, \eta_{j}>0$. Функция в единственным образом определена и непрерьвна для вещественных $k
eq 0$. Функции $k a, k b$ непрерывны для всех вещественных $k$. Дая вецественных $k
eq 0$ функции а и $b$ удовлетворяют условию
\[
|a(k)|^{2}-|b(k)|^{2}=1 .
\]

Функции а и имеют следующее асимптотическое поведение: $a(k)=1+O\left(|k|^{-1}\right)$ при $|k| \rightarrow \infty, \quad b(k)=O\left(|k|^{-1}\right)$ при $|k| \rightarrow \infty$.

Теорема 3.7. Ecлu $\int_{\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty$, то данные рассеяния $S_{ \pm}\left\{R_{ \pm}, D_{ \pm j}, \lambda_{j}, j=1, \ldots, M\right\}$ определены единст венным образом.
(i) Собственные значения $\lambda_{j}$ все различны, строго отрицательны и просты.
(ii) Нормировочные постоянные $D_{t ;}$ положительны.
(iii) Матрица рассеяния
\[
\tilde{S}(k)=\left(\begin{array}{ll}
T_{+}(k) & R_{\ldots}(k) \\
R_{+}(k) & T_{-}(k)
\end{array}\right),
\]

где $T_{+} \rightleftharpoons T_{-} \approx T_{\text {, }}$, определена единственным образом и обладает следующими свойствами:
(a) $T(k)=T^{*}(-k), R_{ \pm}(k)=R_{ \pm}^{*}(k)$ (вецественность);
(b) $T(k) R_{+}^{*}(k)+R_{-}(k) T^{*}(k)=0$;
$|T(k)|^{2}+\left|R_{+}(k)\right|^{2}=\left.|=| T(k)\right|^{2}+\left|R_{-}(k)\right|^{2} \quad$ (yнитарность);
(c) $\stackrel{S}{S}(k)$ непрерывна;
(d) $T(k)=1+O\left(\frac{1}{|k|}\right)$ при $|k| \rightarrow \infty, k$ вецественно

(е) либо $T(k)=\alpha k+o(k), \quad \alpha
eq 0, \quad$ при $|k| \rightarrow 0, \quad$ пибо $|T(k)|>$ const $>0$ npu $|k| \rightarrow 0$.
Чего же мы на самом деле достигли в этом разделе? Основное то, что мы установили аналитические свойства некоторых специальных решений, решений Йоста, для уравнения Шрёдингера и аналитические свойства функции $a=W(\varphi, \psi) / 2 i k$. Кроме того, мы исследовали асимптотическое поведение этих функций в комплексной плоскости $k$. Заодно мы показали, что оператор $\mathbf{L}$ имеет лишь конечное число строго отрицательных, простых собственных значений. Далее, теорема 3.7 описывает некоторые свойства данных рассеяния для данного потенциала $Q$.

В следующем разделе мы покажем, что существует разложение единицы в терминах главных функций оператора L. Иначе говоря, мы определим спектральное семейство для оператора $\mathbf{L}$. Будет показано, что главными функциями оператора $\mathbf{L}$ являются его собственные функции и решения Йоста, для которых I $\operatorname{Im} k=0$. Эти последние функции не принадлежат пространству $L^{2}(\mathbb{R})$ и ассоциированы с непрерывным спектром оператора L. Для получения этого результата мы используем комплексный анализ в плоскости $\lambda$, так что наши знания об аналитических и асимптотических свойствах решений Йоста окажутся существенными. Прелесть этого подхода состоит в том, что, изучая однопараметрическое (с комплексным параметром $k$ ) семейство решений Йста, мы одновременно охватываем свойства обоих типов главных функций, требуемых для разложения.

Функция $a$ играет центральную роль в этом анализе; она отражает спектральные свойства оператора $\mathbf{L}$. На самом деле логарифм от $a$ определяется регуляризованным следом резольвентного оператора. В гамильтоновой формулировке обратной задачи присутствуют коэффициенты асимптотического разложения функции $a$ при больших $k$, определяющие гамильтонианы некоторых разрешимых нелинейных уравнений. Это кратко описывается в разд. 3.5.

Все леммы и теоремы этого раздела имеют свои аналоги для системы уравнений первого порядка (3.3.5), эквивалентной скалярному уравнению Шрёдингера. Некоторые упражнения в конце этой главы развивают этот альтернативный подход к изучению уравнения Шрёдингера.