В предыдущих трех примерах мы сосредоточились в основном на уравнении КдФ, для которого $p=1 / 2$. Модифицированное уравнение КдФ также встречается во многих задачах с использованием того же самого метода растяжения координат, но значение $p$ обычно берется равным единице. Этот метод, однако, тождествен уже описанному в одном из ранних разделов этой главы, поэтому не стонт отводить всю главу одному лишь уравнению мКдФ ради него самого. Заключительный пример этой главы будет посвящен случаю, когда єтепень нелинейности есть произвольное положительное целое число $n$. Необходимо сказать, что в таком случае значение $p$ будет зависеть от $n$, и окончательное уравнение принимает вид
\[
u_{\tau}+a u^{n} u_{\xi}+b u_{\xi \xi \xi}=0
\]

что представляет собой уравнение КдФ с $(n+1)$-й степенью нелинейности. Это уравнение включает как уравнение КдФ $(n=1)$, так и уравнение $\operatorname{MK} \Phi(n=2)$, и только два этих уравнения оказываются интегрируемыми. Преимущество этого примера в том, что он показывает, как метод растяжения для этих двух уравнений может быть включен в общую схему.

Пример, который мы рассмотрим, относится к линии передачи в электронике, в которой потери отсутствуют. Это означает, что схема не содержит резисторов и что сопротивления элементов контура так малы, что их можно взять равными нулю. Модель, которую мы будем рассматривать, была введена Скоттом [1970].

Две индуктивности со значениями $l$ и $l_{1}$ соединены с двумя емкостями, как показано на рис. 5.3, причем одна из емкостей представляет собой конденсатор с постоянной емкостью $c$, другая конденсатор переменной емкости $c_{1}\left(v_{1}\right)$, которая изменяется в зависимости от разности потенциалов на нем. Эту разность мы обозначим через $v_{1}$, в то время как ток в этой части контура через $i_{1}$.

Рис, 5.3.
Вспоминая, что падение напряжения на индуктивности $l$ равно – $l \partial i / \partial t$, где $i$ – сила тока, мы воспользуемся законами Кирхгоффа для контура. Первое уравнение эквивалентно закону сохранения массы:
\[
l \frac{\partial i}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}=0
\]

Эго значит, что падение напряжения на индуктивности $l$ должно уравновешиваться изменением напряжения на единицу длины вдоль всего контура. Второе уравнение, выражающее тот факт, что суммарное падение напряжения вдоль замкнутого контура $\mathrm{ABCD}$ должно быть равно нулю, имеет вид
\[
v_{1}-v+l_{1} \frac{\partial l_{1}}{\partial t}=0 .
\]

На конденсаторе $c_{1}$ должно выполняться равенство
\[
c_{1}\left(v_{1}\right) \frac{\partial v_{1}}{\partial t}=i_{1}
\]

и, наконец, баланс токов вдоль $\mathrm{ABCD}$ дает
\[
c \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial l}{\partial x}+i_{1}=0
\]

Эти уравнения не содержат членов, соответствующих потерям, так что получающаяся система оказывается дисперсионной, а не диссипативной. Это можно установить нахождением дисперсионного соотношения линеаризованной системы уравнений. Более удобно, исключая $i_{1}$, немедленно получить
\[
\begin{array}{c}
v_{1}-v=l_{1} c \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}+l_{1} \frac{\partial^{2} i}{\partial x \partial t}, \\
c \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial i}{\partial x}+c_{1}\left(v_{1}\right) \frac{\partial v_{1}}{\partial t}=0 \\
l \frac{\partial i}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

Линеаризуя около $i=v=v_{1}=0, c_{1}=c_{0}$, мы получаем чисто вещественное дисперсионное соотношение и, как в предыдущих разделах, вводим растянутые координаты $\xi=\varepsilon^{p}(x-\alpha t) ; \tau=$ $=\boldsymbol{e}^{3 p} t$. Мы еще не уточнили выбор переменной емкости $c_{1}\left(v_{1}\right)$. Будем считать, что $c_{1}\left(v_{1}\right)$ имеет вид
\[
c_{1}\left(v_{1}\right)=c_{0}\left(1-a v_{1}^{n}\right),
\]

где $n$ – положительное целое число и $c_{0}$ и $a$ также положительны. Физически это означает, что емкость нелинейная и меняется с изменением разности потенциалов на ней. Сейчас мы применим к уравнениям (5.5.6) – (5.5.8) обычный метод, в котором $i, v$ и $v_{1}$ обладают разложениями вида
\[
i=e^{(1)}+e^{2 i(2)}+\ldots .
\]

Нет необходимости проводить в подробностях все вычисления, поскольку это делалось раньше. Вместо этого мы перечислим члены, полученные на каждом порядке по $\varepsilon$.
Для $(5.5 .6)$
Для (5.5.7)
\[
\begin{array}{ll}
O(\varepsilon): & v_{1}^{(1)}-v^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{2}\right): & v_{1}^{(2)}-v^{(2)}, \\
O\left(e^{m}\right): & v_{1}^{(m)}-v^{(m)}, \\
O\left(e^{2 p+1}\right): & -\left[\alpha^{2} l_{1} c v_{55}^{(1)}-\alpha l_{1} i_{5}^{(2)}\right] .
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
O\left(\varepsilon^{\rho+1}\right): & -\alpha c v_{\xi}^{(\mathrm{I})}+i_{\xi}^{(1)}-\alpha c_{0} v_{\xi}^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{p+m}\right): & -\alpha c v_{\xi}^{(m)}+i_{\xi}^{(m)}-\alpha c_{0} v_{\mathrm{\xi}}^{(m)}, \\
O\left(\varepsilon^{3 p+1}\right): & \alpha v_{\tau}^{(1)}+c_{0} v_{1 \tau}^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{n+p+1}\right): & \alpha \alpha c_{0}\left[v_{1}^{(1)}\right]^{n} v_{1}^{(1)} .
\end{array}
\]

Для (5.5.8)
\[
\begin{array}{ll}
O\left(\varepsilon^{p+1}\right): & -\alpha l i_{\xi}^{(1)}+v_{\xi}^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{p+m}\right): & -\alpha l_{\xi}^{(m)}+v_{\xi}^{(m)}, \\
O\left(\varepsilon^{3 p+1}\right): & l i_{\tau}^{(1)} .
\end{array}
\]

Рассматривая вначале уравнення (5.5.11) и (5.5.13), которые оба являются нелинейными, мы пока не знаем, при каком порядке в достигается баланс между членами порядка $O\left(\varepsilon^{m}\right)$ и членами со второй производной, с одной стороны, и с производной по тс другой. Однако, взяв в (5.5.11) члены $O\left(\varepsilon^{m}\right)$ для уравновешивания членов $O\left(\varepsilon^{2 p+1}\right)$, мы получим $m=2 p+1$. Уравновешивая в (5.5.13) члены $O\left(\varepsilon^{p+m}\right)$ с членами $O\left(\varepsilon^{3 p+1}\right)$, мы также получаем $m=2 p+1$. Тот же самый результат мы имеем в (5.5.12), но должны, кроме того, принять во внимание нелинейности, которые возникают при $O\left(\varepsilon^{n+p+1}\right)$. Поэтому мы выбираем $p+m=3 p+$ $+1=n+p+1$ и, следовательно, $p=n / 2$ и $m=n+1$. Выражения (5.5.11)-(5.5.13) теперь приводятся к виду
\[
\begin{array}{l}
+c_{0} \alpha a\left[v_{1}^{(1)}\right]^{n} v_{1 \xi}^{(1)}=0, \\
O\left(e^{f}\right): \quad-\alpha i_{\xi}^{(i)}+v_{\xi}^{(j)}=0, \quad 1 \leqslant j<n+1, \\
O\left(e^{(3 / 2) n+1}\right): \quad-\alpha i_{\bar{\xi}}^{(n+1)}+v_{\bar{\xi}}^{(n+1)}+l i_{\tau}^{(1)}=0 . \\
\end{array}
\]

Три линейных уравнения при $O\left(\varepsilon^{j}\right)(1 \leqslant i \leqslant n+1)$ легко решаются и дают
\[
v_{1}^{(i)}=v^{(j)}=\alpha l i(j), 1 \leqslant j<n+1,
\]

в предположении, что
\[
a^{2}=\left[l\left(c+c_{0}\right)\right]^{-1} .
\]

Положительный корень $(5,5.18$ ) фиксирует значение $\alpha$ в растянутых координатах $\xi$ и г для волн, идущих направо. Окончательно мы получаем три уравнения:
\[
\begin{array}{c}
v_{1}^{(n+1)}-v^{(n+1)}=-\alpha^{3} l_{1} l c_{0} i_{\xi}^{(1)}, \\
0=i_{\xi}^{(n+1)}-\alpha c v_{\xi}^{(n+1)}-\alpha c_{0}^{(n+1)}+\alpha^{(-1} i_{\imath}^{(1)}+ \\
+\alpha a c_{0}(\alpha l)^{(n+1)}\left[i^{(1)}\right]^{n} i_{\xi}^{(1)} \\
0=-\alpha l i_{\xi}^{(n+1)}+v_{\xi}^{(n+1)}+l i_{\tau}^{(1)}
\end{array}
\]

Умножая (5.5.20) на $\alpha l$ и складывая с (5.5.21), находим, что
\[
\alpha^{2} l c_{0}\left[v_{\xi}^{(n+1)}-v_{\xi}^{(n+1)}\right]+2 l i_{\tau}^{(1)}+\alpha a c_{0}(\alpha l)^{n+2}\left[i^{(1)}\right]^{n} i_{\xi}^{(1)}=0 .
\]

Пользуясь (5.5.19), исключим перное слагаемое в (5.5.22) и окончательно получим
\[
\left(\alpha^{5} t l_{1}^{2} c_{0}^{2}\right) i_{\mathrm{E}}^{(1)}+\alpha^{2} a c_{0}(\alpha l)^{n+1}\left[i^{(1)}\right]^{n} i_{\xi}^{(1)}+2 i_{\tau}^{(1)}=0 .
\]

Это уравнение КдФ со степенью нелинейности $(n+1)$. Растянутые координаты здесь вводятся следующим образом: $\xi=e^{n / 2} x$, $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{e}^{3 n / 2}(x-\alpha t)$. Если емкость конденсатора $c_{1}$ линейно зависит от напряжения ( $n=1 ; p=1 / 2$ ), то мы получаем уравнение КдФ с точно такими же $\xi$ и $\tau$, как в уже рассмотренных примерах. Если емкость меняется по квадратичному закону, то мы получаем уравнение мКдФ ( $n=2 ; p=1)$.