Нелицейная оптика всегда представляла собой плодотворную область взаимодействия между эксперниепталыныи результатами, численными исследованиями и аналитической работой. Открытие янления самоиндцирований прозрачности (СИП) Макколом и Ханом [1967] повлекло за собой чистенное и эналитическое изученне уединеных волновых решенй соглветствующих уравнсний для огибающей интенсивного когерентного свстового импульса в диэлектрике с низкой плотностью. Другие численные результаты в этой области были сообщены в обзорах Лэма [1971] и Буллафа и др. 11979]. Хотя уравнение для огибающей и приближенные полевые уравнения имеют точные многосолитоншые решения, числснные изучсния точных полевых уравнепий Кодри и Эйлбека [1977], основанные на методе предиктор-корректор четвертого порядка, показали, что точное солитоніое новедение нарушается при высоких плотностях.

Рациональные конечно-разностные схемы для пелинейного уравнения Шрёдингера; подобные схемы Штраусса—Васкеса для нелиейного уравнения Қлейна-Гордона (10.3.9), были иредложены Дельфуром и др. [1981]. Гриффитс и др. [1982] предложили для этого уравнения схему метода колечных элементов, который прекрасно конкурирует с более классическими разностными схемами.

Физика плазмы также дала много нелинейных волновых уравнений с солитоноподобными свойствами. О некоторых интересных исследованиях по уравнениям тила КдФ сообцили Тапперт [1974] и Шамель [I979]. Значительная часть работы по солитонным явлениям в плазме была проведена в СССР, и обзоры Маханькова $[1978,1980]$ являются ценными истоцниками ссылок. Часть обзора [1978] носвящена численному исследованию различных модификаций уравнения Буссинеска. Обсуждается также нелинейное уравнение Шрёдингера с самосогласованным потенциалом, в особенности в связи с солитоноподобными явлсниями в фн зике плазмы. Во всех случаях модификации основных уранений вводят некоторую степень неупругости в солитонные взаимоцействия. Детали численной схемь, примененной для случая моцифицированного уравнения Буссинеска, даны в работе Боголюбского [1977 1.

Обзоры Маханькова [1978, 1980] содержат также информацию о реалистичных моделях теории поля. Для случая одной пространственной переменной в добавление к уравнению СГ и нелинейному уравнению Клейна-Гордона, описаниым в разд. 10.3, там сообщается также о работе с различными снстемами релятивистских полевых уравнений. Однако наиболее интересные результаты, отраженные в этих обзорах, относятся к пространственно трехмерным расчетам, которые будут обсуждаться в разд. 10.6 .

Прежде чем мы перейдем к более высоким пространственным размерностям, стоит упомянуть о работах по нелинейным разностиы уравнениям с точными многосолитонными решениями. По существу этот подход состоит в поиске разностной аппроксямации исходного волнового уравнения, которая имела бы точные решения, обладающие многими свойствами аналитических решений исходных уравнений в частных производных. Эти уравнения ингересны и сами по себе, поскольку могут также служить полезными численными схемами нового типа. Может также оказаться, что эти уравнения приведут к лучшему пониманию численных методов для нелинейных уравнений и откроют путь к нахождению схем для уравнений, не обладающих многосолитоншыми свойствами, хогя пока имеется мало свидетельств о прогрессе в этом направлении.

Абловиц и Лейдик [1977] разработали много схем, решаемых методом обратной задачи рассеяния. Хотя эти схемы содержат сложные нелокальные члены, недавняя неопубликованная работа позволяет предположить, что модифицированные варианты этих методов смогут конкурировать с более традиционными методами. Подробности содержатся в работе Абловица и Сигура [1981]. Хирота посвятил серию статей (см. Хирота [1977]) некоторым простым нелинейным разностным уравнениям, которые имеют точные многосолитонные решения. В качестве примера приведем следующий разностный вариант уравнения СГ:
\[
\begin{aligned}
\sin \left[\left(u_{m+1}^{n+1}+u_{m-1}^{n-1}-u_{m+1}^{n-1}-u_{m-1}^{n+1}\right) / 4\right]= & \\
= & h^{2} \sin \left[\left(u_{m+1}^{n+1}+u_{m-1}^{n-1}+u_{m+1}^{n-1}+u_{m-1}^{n+1}\right) / 4\right] .
\end{aligned}
\]