Исторически Перринг и Скирме [1962] были первыми, кто исследовал уравнение СГ численно. Они рассматривали две простые схемы. Первая – это простая схема с чередованием, эквивалентная
\[
u_{m}^{n+1}=-u_{m}^{n-1}+r^{2}\left(u_{m+1}^{n}+u_{m-1}^{n}\right)+2\left(1-r^{2}\right) u_{m}^{n}-k \sin u_{m}^{n},
\]

где $r=k / h$. Численные тесты и линейный анализ устойчивости показали, что эта схема неустойчива для $k=h$, но было найдено, что уменьшение $k$ до $0.95 h$ достаточно для устранения этой неустойчивости. Вторая схема связана с представлением этого уравнения в виде пары двух уравнений первого порядка, принимающих вид
\[
\begin{array}{l}
u_{x}+u_{t}=v, \\
v_{x}-v_{t}=\sin u,
\end{array}
\]

и введением новых переменных $\eta, \xi=t \pm x$, таких что (10.3.6) приводитея к виду
\[
u_{\eta}=\frac{1}{2} v, \quad v_{\xi}=-\frac{1}{2} \sin u
\]
(так называемой характеристической форме). Поскольку характеристиками в этом случае являются прямые линии, уравнения (10.3.7) можно решить стандартной техникой предиктор – корректор для обыкновенных дифференциальных уравнений (Эймз [1977 ]). Эта техника, примененная Перрингом и Скирмом, была, вероятно, основаиа на известном правиле апроксимации трапециями, которое дает метод второго порядка точности. Хотя он несколько более точен, чем (10.3.5), он требует большей работы, поскольку на каждом шаге по времени необходимы корректирующие итерации.

С использовапием обеих схем было исследовано взаимодействие кинков и по данным численных расчетов были введены аналитические формулы. Были исследованы также связанные состояния типа пары кинк — антикинк (бризеры), причем писленное исследование показало, что взаимодействие кинка с бризером также устойчиво. Аналитические решения, полученные Перрингом и Скирме на основании их численного расчета, были выведены ранее и независимо Зеегером и др. [1953].

В течение ряда лет интерес к численному исследованию уравнений СГ падал в связи с развитием аналитических результатов, описанных в этой книге. Однако интерес к другим нелинейным уравнениям Қлейна – Гордона привел в середине 70-х гг. к возобновлению численных исследований. Одна из наиболее интересных и полезных численных схем, введенная Абловицем, Крускалом и Лейдиком [1979], была простой модификацией (10.3.5).

Они показали, что схему с чередованием можію сделать устойчивой для $k=h$, если вместо $u_{m}^{n}$ в последнсм члене (10.3.5) взять пространственное среднее $1 / 2\left(u_{m+1}^{m}+u_{m-1}^{n}\right)$. Это дает для $k=h$
\[
u_{m}^{n+1}=-u_{m}^{n-1}+u_{m-1}^{n}+u_{m-1}^{n}-h^{2} F\left\{1 / 2\left(u_{m-1}^{n}+u_{m+1}^{n}\right)\right\} .
\]

Эта модификация уменьшает число умножений на единицу, но более важно, что член с $u_{m}^{n}$ теперь отсутствует и вычисления телсрь можно производить по диагональной сетке, привлекая только четные (или нечетные) значения ( $n+m$ ). Это уменьшает затраты машинного времени в два раза. (Следует обратить внимание на важное с практической точки зрения обстоятельство. Если вычислить результаты на обеих независимых диагональных сетках, то решения на двух различных решетках могут отличаться слегка по фазе, что создает картину осциллирующего решения, похожую на ту, что дает неустойчивая схема. Это еще одна причина, по которой следует оставить только одну из двух сеток.) На практике нужно запоминать только два временных слоя, и окончательная программа оказывается исключительно простой и эффектнвной. Численные тесты, выполненные Эйлбеком [1978], подтвердили, что по крайней мере для шага среднего размера $(h \approx 0.1)$ схема (10.3.8) более эффективна, чем оба метода предиктор-корректор второго и четвертого порядка, основанные на характеристиках. Мы использовали схему (10.3.8) для проведения расчетов, с помощью которых получены все рисунки в этом разделе.

Другая интересная численная схема для нелинейных уравнений Клейна – Гордона была предложена Штрауссом и Васкесом [1978]. Они рассмотрели для одномерного по пространству случая неявную конечно-разностную схему:
\[
u_{m}^{n+1}=-u_{m}^{n}+u_{m+1}^{n}+u_{m-1}^{n}-\frac{h^{2}\left[G\left(u_{m}^{n+1}\right)-G\left(u_{m}^{n-1}\right)\right]}{u_{m}^{n+1}-u_{m}^{n-1}},
\]

где
\[
G^{\prime}(u)=F(u)
\]

Эта схема имеет то пренмущество, что она сохраняет «энергию», задаваемую выражением
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{h}{2} \sum_{m}\left(u_{m}^{n+1}-u_{m}^{n}\right)^{2} / h^{2}+\frac{h}{2} \sum_{m}\left(u_{m+1}^{n+1}-u_{m}^{n+1}\right) \times \\
\times\left(u_{m+1}^{n}-u_{m}^{n}\right) / h^{2}+\frac{h}{4} \sum_{m}\left\{\left(u_{m}^{n+1}\right)^{2}+\left(u_{m}^{n}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{h}{2} \sum_{m}\left\{G\left(u_{m}^{n+1}\right\}+G\left(u_{m}^{n}\right)\right\} \text {. } \\
\end{array}
\]

На практике схема (10.3.9) дает результаты, очень похожие на те, что получены с помощью более простой схемы (10.3.8), но детального сравнения этих двух схем проведено не было.

Хотя аналитические результаты для уравнений $\mathrm{Cr}$ предлагают полное описание решений для неограниченных областей, в рсальной жизни уравнения используют для того, чтобы моделировать физическис системы с конечными границами и фиксированпыми граничныи условиями. В добавление к этому физические модели часто имеют дополнительые члсны, описывающие диссипацию и источники энергии. С этими усложнениями точная теория оказывается невозможной, хотя в отдельных случаях теория возмущений может давать полезные результаты. Для более общих задач численные расчеты оказываются поэтому особенно нужными. Недавно была проведена большая работа, использующая эту технику для моделирования контактов Джозефсона. Некоторые результаты по задачам с конечной границей были сообщены в статьях группы из Салерно, см. Констабиле и др. [19781. В настоящее время вызывает большой интерес возмущенное уравнение $С Г$
\[
u_{x x}-u_{t t}=\sin u+\alpha u_{t}-\beta u_{x x t}-\gamma,
\]

которое моделирует контакты Джозефсона. В этом уравнении член с коэффициентом $\propto$ представляет диссилацию, а с $\beta$ отражает влияние поверхіостного импеданса; наконец, $\gamma$ представляет ток смещения, сообщенный системе. Дальнейшие подробности можно найти в статьях Кристиансена и др. [1981], Ломдала и др. [1981] и в диссертации Ломдала [1982 1, а также в литературе, цитируемой в указанных работах. В этих исследованиях применена неявная конечно-разностная схема второго порядка: детали также можно найти в диссертации Ломдала. Влияние диссипации и тока смещения довольно хорошо предсказывается: кинки соответственно замедляются или ускоряются, и когда присутствуют оба члена $\alpha$ и $\gamma$, достигается асимптотическая скорость, при которой оба эти эффекта взаимно компенсируются. Численные результаты в этом случае находятся в хорошем согласии с простыми возмущенными схемами, основанными на гамильтоновом подходе. Численные исследования полного варианта уравнения (10.3.11) демонстрируют другой интересный эффект: моды «гроздевидных флуксонов», в которых два нли более кинков связываются вместе и в виде устойчивой конфигурации движутся взад и вперед через контакт Джозефсона. Типичное двухкинковое решение изображено на рис. 10.2 .

Заметим, что на этом рисунке изображена пространственная производная $u(x, t)$.

Результаты вычнслений, представленные в цитированных выше статьях, также хорошо согласуются с экспериментальными измереннями характеристнк (графиков ток – напряженис) и выходной мощности колсбаний для реального контакта Джозефсона.

Јюбителям комньютерных фильмов будет интересно узнать, что многие результаты дия возмущенны и невозмущенных уравнений СГ теперь иллюстрируются 16-мм кинофильмом (Эйлбек и Ломдал [1982 ]). Этот фильм показывает также некоторые реше-

Рис. 10.2. Мода гроздевидных флюқсоноп в контакте Джозсфсона.
ния уравнения СГ в $(2+1)$-мерном пространстве, которые будут обсуждаться в разд. 10.6 .
10.3.2. Уравнение фи-четыре
Уравнение $\varphi^{4}$ нзучалось многими группами исследователей. Это уравпение имеет решение вида
\[
u(x, t)= \pm \text { th }(\xi / \sqrt{2}), \quad \xi=(x-v t)\left(1-v^{2}\right)^{-1 / 2},
\]

где знаки яплюс» или «минус» отвечают кинку или антикинку соответственно. Заметим, что для кинка (антикинка) решение меняется от $u=-1(u=1)$ до $u=1(u=-1)$. В отличие от уравнения СГ уравнение $\varphi^{4}$ имеет лишь два «вакуумных состояния» с нулевой энергией: $u= \pm 1$. Единственные толологически возможные начальные условия, содержащие два кинка, – это комбинация кинка и антикинка.

Кудрявцев [1975] первым опубликовал результаты по численному исследованию столкновения кинка с антикинком для фиксированной скорости относительно центра масс, равной 0.1. Он показал, что при такой энергии два кинка образуют долгоживущее осциллирующее связанное состояние, которое медленно затухает, излучая энсргию до бесконечности. Он сообцил также, что для высоких скоростей столкновения кинки отталкивактся друг от друга, и шасть их энергии теряется на нзлучение. Мы показывали уже для уравнсния ${ }^{4}$ столкновение кинка с аптикннком при высокой энергии на рнс. 1.14 и при низкой энергии на рис. 1.15. Эти резуыьтаты ясно указыванот па отсутствне точиы солитонных свойств у этого уравнения.

Обри [1976] Первым показал, что образование свлзаніого состояния шары кинк-антикинк бцло не просто пороговым

Рис. 10.3. Решение $u(0, t)$ цля столкновения кипка с антикинком, $v=0.1$, модель $\mathrm{Fr}^{4}$.

эффектом, а демонстрировало более спожную зависимость от скоросн о относительно цснтра масс. Последуюцис исследования прноткрнли угивительно сложную картину взанмодействия кинка с антикинком. Делатьше подробное исследование было недавно провсдено Кэмпбеллом и сотр. в Лос-Аламосе и к моменту выхода книги еще не было опублнковано. Эта группа провела серию вычислений, используя метод четвертого порядка, на всем днапазоне $0<v<1$ с шагом 0.001 . Результаты показали, что для $v>0.258$ кинк и антикинк отскакивагот друг от друга, подобно тому, как изображено на рис. 1.14, оставляя позади энергию в внде множества колебательных мод и пизкомплитудного нзлучения. Для пизких скоростей, $v<0.194$, всегда образуется связанное состояние в виде бризсрного решения, как показано на рнс. 1.15. На рнс. 10.3 поқазано значенне $u(x, t)$ в центре масс как функция от $t$ при таком столкновении. Обратите внимание, что осциллирующее состояние чрезвычайно устойчиво в ходе большого числа осциллягий, песмотря на то что на протяжении всего времени взаимодсйствия эпергия излучается к границам.

Для значений $v$ между 0.193 и 0.258 наблюдается последовательность зон, в которых поочередно два кинка лнбо отражаютея, либо захватываются. На рис. 10.4 и 10.5 показаны рсзультаты двух вычислений, произведенных для значсннй $v$, взятых по разные стороны границы между такими зонами.

Заметим, что для $v=0.223$ после начального столкновсния появляется квазиустойчивое осциллирующее состояние. Для случая $v=0.224$ система, прежде чем разделиться, проходит через две осцилляции. Кэмпбелл и др. сообцили о 8 зонах отражения, разделенных зонами захвата, причем некоторые из зон имели толщину порядка 0.001 . Более детальные вычисления открывают еще более тонкую зонную структуру. Қэмпбелл (не опубликовапо) выдвинул убедительное теоретическое объяспение для этих окон притягивания и отталкивания, основанное на резонансном механизме, связанном с линейными колебатсльными модами, возбужденными столкновением кинка и аптикинка. Похожие результаты для модифицированного уравнения СГ были сообцены Пейраром и Ремуссене (не опубликовано).

В ходе дальнейших численных исследованнй лос-аламосской группы, основанных на квазнлинеаризации Ньютона-Қанторовица, были получены дапные, свидетельствующие о существовании точного бризерного решения, годобного бризеру уравнения СГ. Аналитическая форма этого решения пока не найдена, но численные проверки дали веские доказательства его устойчивости.