Как уравнение СГ, так и уравнение $\varphi^{4}$ являются примерами общего нелинейного уравнения Клейна – Гордона
\[
\varphi . x x-\varphi, t t=U^{\prime}(\varphi),
\]

отвечающего плотности гамильтониана вида
\[
\mathscr{C}(\pi, \varphi)=(1 / 2)\left(\pi^{2}+\varphi_{, x}^{2}+2 U(\varphi)\right) .
\]

Для случая уравнения СГ потенциальная функция $U_{1}(\varphi)$ дается равенством
\[
U_{1}(\varphi)=(1-\cos \varphi),
\]

для случая модели $\varphi^{4}$ потенциал $U_{2}(\varphi)$ представляется формулой
\[
U_{2}(\varphi)=\frac{\lambda}{4}\left(\varphi^{2}-\frac{m^{2}}{\dot{2}}\right)^{2} .
\]

Эскизы графиков этих потенциалов изображены на рис. 7.12.
Мы всегда можем прибавить к потенциальной функции $U(\varphi)$ произвольную постоянную и этой свободой в каждом из рассмотренных выше случаев можно воспользоваться, полагая $U(\varphi)=0$ для основного состояния системы. Если мы всегда будем посту-

Рис, 7.12. Потенциальные функцин СГ (слева) и $\varphi^{4}$ (справа).
пать таким образом, то собственные значения основных состояний окажутся нулями функции $U(\varphi)$.

Если решение должно обладать конечной энергией и имеет асимптотическое поведение вида
\[
\varphi \rightarrow \varphi_{ \pm}(t) \text { при } x \rightarrow \pm \infty,
\]

то с необходимостью мы должны иметь
\[
U\left(\varphi_{ \pm}\right)=0 .
\]

Следовательно, возможные асимптотические значения решений с конечной энергией обязаны быть нулями потенциальной функции $U(\varphi)$, отвечающими основным состояниям системы. Для уравнения $C Г$ нули потенциальной функции $U_{1}(\varphi)$ суть $\{2 n \pi: n$ t $\in Z\}$, и поэтому единственно допустимые граничные условия для решений с конечной энергией представляются в виде
\[
\varphi \rightarrow 0 \bmod (2 \pi) \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]

Для модели $\boldsymbol{\varphi}^{4}$ множество нулей потенциальной функции имеет вид $\left\{\varphi_{+}, \varphi_{-}\right\}$, и мы получаем другие асимптотические предельные значения. Если, как в этом случае, нули функции $U(\varphi)$ дискретны, то получается равенство
\[
\partial_{t} \varphi_{ \pm \infty}(t)=0,
\]

так что $\varphi_{ \pm}$есть сохраняемая величина. Это заставляет нас подругому смотреть на топологический заряд. Пространство $F$ несингулярных решений конечной энергии для нелннейного уравнения Клейна – Гордона (7.4.1) можно разбить на некоторое число подпространств, помеченных асимптотическими значениями полей в каждом из этих подпространств. Например, в случае уравнения $\varphi^{4}$ мы имеем четыре подпространства:
\[
A^{\alpha \beta}=\left\{\varphi \in F: \varphi \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\varphi^{\alpha}, & x \rightarrow \infty \\
\varphi^{\beta}, & x \rightarrow-\infty
\end{array}\right\},\right.
\]

Prc. 7.13.
каждое из которых характеризуется парой чисел из множества $\pm 1$. В этом случае топологически сохраняемые величины не принимают произвольных целых значений. Несмотря на это, такая величина может быть определена и здесь.

Интегральные результаты предыдущего раздела, вообще говоря, нельзя непосредственно применить к нелинейному уравнению Клейна – Гордона. Однако в случае вещественного поля $\varphi$ мы можем рассмотреть поле направлений $\hat{\varphi}$, определенное равенством
\[
\hat{\Phi}=\varphi /|\varphi| .
\]

Поле $\hat{\varphi}$ сингулярно в нулях функции $\varphi$, предполагаемой непрерывной. Кинковая плотность $\rho=\hat{\varphi}, x$ все же может быть вычислена, хотя она имеет сингулярности типа дельта-функций в нулях функции $\varphi$. Если $z_{1}, \ldots, z_{m}$ суть нули функции $\varphi$, то мы получим формулу
\[
\rho=\sum_{j=1}^{m} d\left(\varphi, z_{j}\right) \delta\left(x-z_{j}\right) d(\varphi, z)=\lim _{x \rightarrow 2} \operatorname{sgn}(\varphi, x(x)) .
\]

На рис. 7.13 изображена эта ситуация для функдии $\varphi$ с пятью нулями.

Суммарный топологический заряд можно определить формулой
\[
Q^{t}(\varphi)=\int_{-\infty}^{\infty} d x \rho(x, t)=\sum_{j=1}^{m} d\left(\varphi, z_{j}\right) .
\]

Поскольку функция $\varphi$ предполагается непрерывной, то возможные значения величины $Q^{t}(\varphi)$ суть +1 и 0 . Однокинковые решения $\varphi_{ \pm}^{ \pm}$для уравнения $\varphi^{4}$, заданные формулой (7.2.13), имеют

Рис. 7.14. Решение уравнения (7.4.14) в виде кинка.
заряд $Q^{t}\left(\varphi_{v}^{*}\right)=1$, и для подпространств $A^{\alpha \beta}$, определенных в $(7.4 .9)$, мы имеем
\[
Q\left(A^{++}\right)=0=Q\left(A^{-}\right) \text {и } Q\left(A^{+-}\right)=+1=-Q\left(A^{-+}\right) .
\]

Другой пример дается потенциалом
\[
U_{3}(\varphi)=\left(\varphi^{2}+a^{2}\right)\left(1-\varphi^{2}\right)^{2}\left(\frac{\lambda^{2}}{8\left(1+a^{2}\right)}\right),
\]

Рис. 7.15. Дважды квадратичныи потенциал.
который имеет два основных состояния $\varphi= \pm 1$. Модель, отвечающая этому потенциалу, имеет статическое кинк-решение
\[
\Phi(x)=\left[1+a^{-2}+\operatorname{sh}^{2}((1 / 2) \lambda x)\right]^{-1 / 2} \operatorname{sh}((1 / 2) \lambda x),
\]

которое изображено на рис. 7.14. Для этого решения $\hat{\varphi}=\operatorname{sgn} x$, и как элемент подпространства $A^{+-}$, отвечающего этой модели, это решение имеет топологический заряд, равный +1 .

В физике иногда (для смещенных ферроэлектриков) вместо модели $\varphi^{4}$ пользуются другой моделью, в которой потенциал задается формулой
\[
U_{4}(\varphi)=(1 / 2) \omega^{2}(|\varphi|-1)^{2} .
\]

График этого потенциала изображен на рис. 7.15.

Ассоциированное с этим потенциалом уравнение Клейна Гордона принимает вид
\[
\varphi, t t-\varphi, x x+\omega^{2}(|\varphi|-1) \operatorname{sgn} \varphi=0 .
\]

Оно имеет кинк-решения
\[
\varphi_{ \pm}= \pm \operatorname{sgn}(\gamma(x-v t))[1-\exp (-\omega \gamma|x-v t|)] .
\]

Форма статичной кинк-волны показана на рис. 7.16. Сходство этого кинка с кинком уравнения $\varphi^{4}$ очевидно. Мы снова получаем недиссипативное решенне с зарядом +1 .

Если, как в случаях, рассмотренных выше, потенциальная функция $U(\varphi)$ имеет более одного дискретного нуля, то мы ока-

Рис. 7.16. Рещение уравнения (7.4.17) в виде кинка.
жемся в ситуации, когда существует не только нетривиальный топологический заряд, но и недиссипативное решенне. Если $\alpha$ и $\beta$ – пара нулей потенциальной функции и существует несингулярное решение с конечной энергией, обладающее асимптотикой
\[
\varphi \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\alpha, & x \rightarrow-\infty, \\
\beta, & x \rightarrow+\infty,
\end{array}\right.
\]

To
\[
\mathscr{E}_{\Phi}(x, t)>\max U(\varphi)_{\Phi \in[\alpha, \beta]}>0
\]

и, стало быть, (7.2.8) не может выполняться.
Ситуация становится более интересной, если потенциальная функция $U(\varphi)$ имеет континуум нулей, и особенно интересной в том случае, когда имеется более одной пространственной переменной. Гамильтониан
\[
\mathscr{H}(\pi, \varphi)=(1 / 2)\left(\pi^{2}+\varphi_{, x}^{2}+\varphi_{, y}^{2}+(1 / 2) \lambda\left(|\varphi|^{2}-1\right)^{2}\right)
\]

представляет комплексную модель $\varphi^{4}$ с двумя пространственными переменными. Каждая точка на окружности $S^{\mathbf{1}}$ является возможным состоянием системы. Для моделей с двумя пространственными переменными, подобных только что рассмотренной, аналогом стремления переменной $x$ в одномерной модели к $\pm \infty$ служит стремление радиальной переменной $r-\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1 / 2} \mathrm{к}$ бескоючности вдоль лучей, исходящих из начала коордиат. Получаемый результат будет тогда зависеть, вообще говоря, от выбранного луча. Поэтому каждое несингулярное ренение ч конечной энергии определяет отображение $\bar{\varphi}: S^{\mathrm{I}} \rightarrow S^{\mathrm{I}}$, записываемое в координатах следующим образом:
\[
\tilde{\varphi}: \hat{n} \rightarrow \lim _{r \rightarrow \infty} \Phi(r \hat{n}, t)=\bar{\varphi}(0, t) .
\]

Поскольку $\pi_{1}\left(S^{1}\right)-Z$, то кажетси шравдоподобным, что в этой модели мы получаем ренения тина кинка. Здесь, однако, имеются трудности. Энергия решения $\varphi$ записывается в виде
\[
E_{\varphi}=\int_{0}^{2 \pi} d 0 \int_{0}^{\infty} r d r(1 / 2)\left(\varphi^{2},\left.t\right|^{2},{ }^{2}+t^{-2} \varphi^{2}, \theta \mid(1 / 2) \lambda\left(|\varphi|^{2}-1\right)^{2}\right) .
\]

Формула (7.4.21) показывает, что для того, чтобы избежать логарифмической расходимости в случас пссинулярного решения с конечной энергией, необходимо потребовать, чтобы $ө, \boldsymbol{-} 0$. А это означает, цто отображение $\bar{\Phi}$ может быть лишь тривнальным. В следуюцем разделе мы увидим, что эта ситуация может быть разрешена введением новых типов полей, называсмых калибровочными полями, которые являются обобщениями обыкновеных электромагнитны полей. Однако здесь имеется другой более общий результат, с которым не так просто справиться.

Пусть $\varphi$ – статическое решение общего нелинейного уравнения Қлейна – Гордона с $N$ пространственными перемспыми, включающее некоторое множество скалярпых полей ча. Энергия такого решения состоит из двух слагаемых:
\[
\mathscr{E}_{\varphi}=\mathscr{E}_{\varphi}^{1}+\mathscr{E}_{\varphi}^{2}, \quad \mathscr{E}_{\varphi}^{1,2} \geqslant 0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{\Phi}^{1}=(1 / 2) \sum_{a=1}^{m} \int d x^{1} \ldots d x^{N}\left(
abla \varphi_{a}\right)^{2}, \\
\mathscr{E}_{\Phi}^{2}=\int d x^{1} \ldots d x^{N} U\left(\varphi_{1}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрим однопараметрическое семейство полевых конфигураций $» \varphi$, определенное формулой
\[
{ }_{\lambda} \varphi: \mathbf{x} \rightarrow \varphi(\lambda \mathbf{x}) .
\]

Энергия произвольной конфигурации из этого семейства имеет вид
\[
\mathscr{E}_{\lambda^{\varphi}}=\lambda^{2-N} \mathscr{E}_{\Phi}^{1}+\lambda^{-N} \mathscr{E}_{\varphi}^{2} .
\]

Для статического репения ${ }_{1} \varphi$ можно записать равенство
\[
\left(\frac{\partial}{\partial \lambda} \mathscr{E}_{\lambda^{\Phi}}\right)_{\lambda=1}=0,
\]

из которого следует, что
\[
(N-2) \mathscr{E}_{\Phi}^{1}+N \mathscr{E}_{\Psi}^{2}=0 .
\]

В случае $N=1$ мы находим из последнего равенства, что $\mathscr{E}_{\varphi}^{1}=$ $=\mathscr{E}_{\varphi}^{2}$ и что суммарная энергия статичсского решения в этом случае равна $2 \mathscr{E}_{\varphi}^{1}$. Этот факт часто упрощает ее вычисление. Одиако если $N>2$, то едилственное возможное решение, совместимое с неотрицательностью компонент энергии, получается, когда $\mathscr{E}_{\varphi}^{1}=\mathscr{E}_{\varphi}^{2}=0$. Это означает, что при $N \geqslant 2$ не существует статических решений конечной энергии. Этот отрицательный результат известен как теорема Деррикса. Важно понять, что существуют модели с независящими от времени недиссипативыым решениями.

Другой аспект, заслуживающий упоминания, заключается в том, что релятивистские полевые теории не обязаны описываться нелинейными уравнениями типа Клейна – Гордона. Например, комплексная полевая теория, отвечающая плотности лагранжиана вида
\[
\mathscr{L}=\frac{\left|\psi_{. \ell}\right|^{2}-\left|\psi_{, x}\right|^{2}}{\left(1-\lambda^{2}|\psi|^{2}\right)}-m^{2}|\psi|^{2},
\]

допускает настоящие солитонные решения и при этом нелинейна. Существует проблема квантования таких моделей, но ча классическом уровне она вполне приемлема. Другие уравнения, такие как
\[
\psi, t t-\psi,{ }_{x x}=\exp (-\psi)-\exp (+2 \psi)
\]

для комплексного поля $\psi$, не порождаются потенциальной функцией $U(\psi, \bar{\psi})$. Однако уравнение (7.4.28) имеет солитонные решения и допускает гамильтонов формализм, но не стандартной формы.