Третий пример, которым мы будем здесь заниматься, несколько отличаетея от предыдущих двух и относится к геофизической динамике жидкоєтей, т. е. к вопросам, касающимся изучения атмосферы и океанов. Наше рассмотрение будет намеренно несколько поверхноєтным и неполным, поскольку из этой очень большой и сложной темы мы попытаемся выделить лишь основные моменты. Мы будем изучать эволюцию крупномасштабных волновых движений в неглубоких вращающихся слоях однородной жидкости в невязком приближении. Эта ситуация, как мы увндим, приближенно моделирует эволюцию волн в атмосфере (волны Россби). Непоєредєтвенная задача первой части этого раздела соєтоит в том, чтобы кратко обрисовать идеи и приближения, необходимые для понимания уравнения завихренности, которое нам предстоит вввести и которое мы затем сведем к уравнению КдФ с помощью теории возмущений.

K крупномасштабным движениям обычно относят такие движения, на которые существенно влияет вращение Земли. Мерой этого влияния может служить безразмерное число, называемое числом Россби, которое определяется следующим образом. Если $L$ и $U$ — типичные масштабы горизонтальной длины и скорости соответственно, а $\Omega$ есть частота лланетарного вращения, то число Россби $\varepsilon$ (не следует его смешивать с числом $\varepsilon$, используемым в конце этой главы как малый параметр возмущения) определяется как
\[
\varepsilon=U / L \Omega \text {. }
\]

Следовательно, необходимое условие доминирования вращения заключается в том, чтобы в $\ll$. Типичные значения $L$ и $U$, которые определяются по наблюдаемым картинам погоды, имеют порядок $1000 \mathrm{км} \mathrm{и} 10 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ соответственно. Отвечающие этим данным числа Россби, вычисленные по значению $\Omega=7.3 \times 10 \mathrm{c}^{-1}$ для вращения Земли, варьируют от 0.1 до 0.5 . Аналогичный расчет для океана дает значение числа Россби порядка $10^{-3}$.

При формулировке задачи много удобнее работать с системой отсчета, связанной с врацающейся Землей, так как именно в этой системе производятся экспериментальные измерения. Это неинерционная система отсчета, и поэтому следует принять во внимание центробежные и кориолисовы силы. Центробежные силы малы, и их можно включить в эффективный гравитационный потенциал. Поэтому появление силы Қориолиса — это главный эффект вращения.

Во вращающейся системе отсчета, связанной с Землей, вектор угловой скорости которой равен $\Omega$, уравнения Навье — Стокса для невязкой жидкости имеют вид
\[
\rho \frac{D_{\mathrm{q}}}{D t}=-
abla P+\rho
abla \varphi-\rho 2 \mathbf{\Omega} \times \mathbf{q},
\]

где $\rho$ и $P$ — плотность и давление жидкости соответственно, $\mathbf{q}-$ вектор скорости в системе отсчета, связанной с вращающейся Землей, а $\varphi$ — эффективный гравитационный потенциал. Для точного описания системы необходимы также и другие уравнения, например уравнение сохранения массы
\[
\frac{D \rho}{D t}=-\rho
abla \cdot \mathbf{q} .
\]

Завихренность $\boldsymbol{0}$ определяется как
\[
\boldsymbol{\omega}=\operatorname{rot} \mathbf{q},
\]

и поэтому, применяя операцию взятия ротора к уравнению (5.4.2), мы получим уравнение, описывающее поведение завихренности
во вращающейся системе, связанной с Землей:
\[
\frac{D \omega}{D t}=\left[(\omega+2 \boldsymbol{\Omega} \cdot
abla] \mathbf{q}-(\omega+2 \boldsymbol{\Omega})(
abla \cdot \mathbf{q})+(
abla \rho \times
abla P) \rho^{-2} .\right.
\]

Поправочный член $2 \Omega$ к завихренности называется планетарной завихренностью. Объединяя (5.4.3) с (5.4.5), мы получим
\[
\frac{D}{D t}(\omega / \rho)=\rho^{-1}[(\omega+2 \Omega) \cdot
abla] \mathbf{q}+\rho^{-3}(
abla \rho \times
abla P) .
\]

Предположим теперь, что некоторая сохраняемая величина $\lambda$ уже существует, т. е. что
\[
\frac{D \lambda}{D t}=0 \text {. }
\]

Легко тогда показать, что
\[
(\omega+2 \Omega) \cdot \frac{D}{D t}(
abla \lambda)=-(
abla \lambda) \cdot[(\omega+2 \boldsymbol{\Omega}) \cdot
abla] \mathrm{q} .
\]

Объединяя результат скалярного произведения (5.4.6) на $
abla \lambda$ и уравнение (5.4.8), получим
\[
\frac{D}{D t}\left[\rho^{-1}(\boldsymbol{\omega}+2 \Omega) \cdot
abla \lambda\right]=(
abla \lambda) \cdot \rho^{-3}(
abla \rho \times
abla P) .
\]

Правая часть в (5.4.9) может обратиться в нуль в двух случаях. Либо $\lambda$ есть функция только от $\rho$ и $P$, либо $
abla \rho \times
abla P=0$. Последнее условие удовлетворяется, если жидкость баротропная, т. е. если плотность $\rho$ постоянна на поверхности постоянного давления: $\rho=\rho(P)$ и, значит, $
abla \rho \times
abla P=0$. В таком случае из (5.4.9) следует, что скалярная величина П, называемая потенциальной завихренностью,
\[
\Pi=\rho^{-1}(\omega+2 \Omega) \cdot
abla \lambda,
\]

сохраняется.