При выводе НЛШ-уравнений в разд. 2 эти уравнения всегда получались как результат удаления секулярных членов в порлдке $O\left(\varepsilon^{3}\right)$, с тем чтобы обеспечить пригодность теории возмущений. Мы будем говорить об этом как о кубическом резонансе. Если, однако, рассматриваемая система имеет квадратичные нелинейности, то можно получить квадратичный резонанс в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, рассматривая не одно, а несколько волновых чисел и частот; такие ситуации действительно возникают в фнзике, когда происходит взаимодействие различных мод в одной и той же системе. Для изучения эффекта нескольких взаимодействующих мод вернемся к нашим вычислениям из разд. 8.2 и линейное решение в порядке $O(\varepsilon)$ возьмем в виде
\[
\begin{array}{c}
\varphi^{(1)}=A_{1} \exp \left(i \theta_{1}\right)+A_{2} \exp \left(i \theta_{2}\right)+ \\
+A_{\mathbf{a}} \exp \left(i \theta_{3}\right)+\text { c. c. }
\end{array}
\]

Предположим также, что волны образуют «триаду», удовлетворяющую условиям
\[
\begin{array}{l}
k_{3}=k_{1}+k_{2} \text { (сохранение импульса), } \\
\boldsymbol{\omega}_{3}=\omega_{1}+\boldsymbol{\omega}_{2} \text { (сохранение энергии), }
\end{array}
\]

так что
\[
\theta_{3}=\theta_{1}+\theta_{2}
\]

Квадратичный член $(M \varphi)(N \varphi)$ в (8.2.1) в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ дает различные гармоники, большинство из которых не резонирует с $L$. Однако в силу равенства $0_{3}=\theta_{1}+\theta_{2}$ три из них будут резонировать с $L$. Выписывая члены порядка $O\left(e^{2}\right)$, получаем
\[
\begin{array}{l}
L \varphi^{(2)}=-\sum_{j=1}^{3}\left(l_{\omega_{j}} \frac{\partial A}{\partial T_{1}}-l_{k_{j}} \frac{\partial A}{\partial X_{1}}\right) \exp \left(i \theta_{j}\right)+ \\
+\left(m_{1} n_{2}+m_{2} n_{1}\right) A_{1} A_{2} \exp \left[i\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right]+ \\
+\left(m_{3} n_{1}^{*}+m_{1}^{*} n_{3}\right) A_{3} A_{1}^{*} \exp \left[i\left(\theta_{3}-\theta_{1}\right)\right]+ \\
+\left(m_{3} n_{2}^{*}+m_{2}^{*} n_{3}\right) A_{3} A_{2}^{*} \exp \left[i\left(\theta_{3}-\theta_{2}\right)\right]+\text { c. c. }+ \\
+ \text { несекулярные квадратичные члены, }
\end{array}
\]
$=k_{j}(j=1,2,3)$. Учитывая тот факт, что $0_{3}=\theta_{1}+\theta_{2}$, мы можем удалить секулярные члены и получить окончательно
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A_{1}=\mu_{1} A_{2}^{*} A_{3}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A_{2}=\mu_{2} A_{3} A_{j}^{*}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{3} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A_{3}=\mu_{3} A_{1} A_{2} .
\end{array}
\]

Эти уравнения общеизвестны как уравнения трехволнового резонанса. Қвадратичные члены дают резонанс исключительно ввиду соотношений между частотами и волновыми числами. Хотя кажется, что с физической точки зрения трудно удовлетворить условиям (8.5.2), все же многие системы устроены так, что каждое из этих условий выполняется автоматически за счет того, что создается третья волна. Например, в нелинейной оптике лазер подходящей частоты, действующий как насос, может индуцировать волны Стокса посредством процесса Рамана, и третья волна появляется как акустическая (фононная) волна в материале. Уравнениям (8.5.2) много легче удовлетворить в случае более высокой пространственной размерности (что и с физической точки зрения более уместно):
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{k}_{3}=\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}, \\
\omega_{3}=\omega_{1}+\omega_{2} .
\end{array}
\]

Для заданного дисперсионного соотношения мы теперь имеем много больше степеней свободы: удовлетворить уравнениям (8.5.8) легче. В пространстве двух измерений, например, нам надо ввести еще одну медленную переменную $Y_{1}=\varepsilon y$, что приводит к уравнениям с шестью групшовыми скоростями, которые могут быть вычислены по трем частотам:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{11} \frac{\partial}{\partial X_{1}}+c_{12} \frac{\partial}{\partial Y_{1}}\right) A_{1}=\mu_{1} A_{2}^{*} A_{3}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{21} \frac{\partial}{\partial X_{1}}+c_{22} \frac{\partial}{\partial Y_{1}}\right) A_{2}=\mu_{2} A_{3} A_{1}^{*} \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{31} \frac{\partial}{\partial X_{1}}+c_{32} \frac{\partial}{\partial Y_{1}}\right) A_{3}=\mu_{3} A_{1} A_{2} .
\end{array}
\]

Трехволновой резонанс, или феномен смешивания, – очень важный эффект во всех нелинейных системах, так как он допускает обмен энергиями между модами. Он также допускает подкачку энергия по одной моде и затем передачу этой энергии в другую моду. Захаров и Манаков [1973; 1976; 1976] и Қауп [1976] показали, что пространственно одномершый вариант трехволновых уравнений интегрируем с помощью преобразования обратыой задачи рассеяния, а Захаров [1976] то же самое установил для двумерного случая. Проследив, как возникают эти уравнения, нетрудио понять, что такие резонансы естественно должны обнаруживаться в широком классе физических систем, включая нелинейную оптику, электронику, теорию плазмы и гидродинамику. Обширный и превосходный обзор этой тематики дан Каупом, Рейманом и Берсом [1979] и Рейманом [1979]. В этих статьях нашел отражение почти каждый аспект теории трехволнового взаимодействия, и в них можно найти полшый перечень ссылок, в том числе на работы по неустойчивостям, вызванным затуханием, и взрывным неустойчивостям. Кауп [1981] рассмотрел, кроме того, трехволновый резонанс в случае трех пространственных измерений.

Проблема интегрируемости уравнений (8.5.5)-(8.5.7) методом обратной задачи рассеяния – это довольно трудная проблема, выходящая за рамки настоящей книги. Однако дело упрощается, если рассмотреть двухволновую версию уравнений (8.5.5)-(8.5.7). Повторение предыдущих вычислеший при условии $k_{2}=2 k_{1}$ приводит к уравнениям двухволиового резонанса
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A_{1}=\mu_{1} A_{1}^{*} A_{2} \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A_{2}=\mu_{2} A_{1}^{2}
\end{array}
\]

После преобразования
\[
\begin{array}{c}
\xi=\mu_{1}\left(X-c_{2} T_{1}\right) /\left(c_{1}-c_{2}\right), \\
\tau=-\mu_{2}\left(X-c_{1} T_{1}\right) /\left(c_{1}-c_{2}\right)
\end{array}
\]

уравнения (8.5.12) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial A_{1}}{\partial E}=A_{1}^{*} A_{2}, \\
\frac{\partial A_{2}}{\partial \tau}=A_{1}^{2} .
\end{array}
\]

Рис. 8.3.
Рис. 8.4

Условиям интегрируемости $2 \times 2$-задачи рассеяния из гл. 6 (см. уравнения (6.1.12)) можно удовлетворить, выбрав
\[
\begin{array}{c}
A=-\frac{i}{2 i \lambda}\left|A_{1}\right|^{2}, \quad B=\frac{1}{2 i \lambda} A_{1}^{2}, \quad C=-\frac{1}{2 i \lambda} A_{1}^{* 2}, \\
q=r^{*}=A_{2} .
\end{array}
\]

Описание различных решений, получаемых методом обратной задачи рассеяния, включая порожденные затуханием и взрывные неустойчивости, можно найти у Қаупа и др. [1979].