Уравнение (10.3.1), онисанное в разд. 10.3, легко обобщить на пространства более высокой размерности,
\[

abla^{2} u-u_{t t}-F(u),
\]

где $
abla^{2}$-лапласиан в п-мерном пространстве. В этой форме уравнения по-прежнему обладают лоренцовой инвариантностью и сохранят энергию
\[
E=\int\left((1 / 2) u_{t}^{2}+(1 / 2)|
abla u|^{2}+G(u)\right) d x,
\]

где $G^{\prime}=F$. Регулярность решений уравнения (10.6.4) обсуждал Штраусс [1978]. ППри $F(u)=-u+u^{3}$ (уравнение $\varphi^{4}$ ) уравнение не имеет рещений «взрыва» за консчное время. Рсшения уравнений СГ (10.3.2) велут себя хорошо в том смыле, что наследуют гладкость начальных устовий. Для других нелинейных уравнений Қлейна-Гордона поведсние решений чувствительно к природе нелинейного члена $F(u)$. Например, некоторые решения уравиения для $F(u)=u-u^{3}$ могут взрываться за конечное время.

В большинстве численных исследований уравщения (10.6.4) рассматривался случай $n=3$ и предполагалась сферическая или цилиндрическая симметрия. В условиях сферической симметрии (10.6.4) принимает вид
\[
u_{r r}+\frac{2}{r} u_{r}-u_{H}=F(u) .
\]

Для численных расчетов часто удобно ввести подстановку $v=r u$ н получить уравнение
\[
v_{r r}-v_{\ddagger t}=r F(v / r) .
\]

Для такой формы уравнения мы можем использовать те же самые численные схемы, что и в разд. 10.3, с модифицированной правой частью (10.6.7).

Известно, что не существует устойчивых стационарных решений лоренцево-инвариантных скалярных полевых уравнений (Деррик [19641). Однако этот результат не исключает зависяцих от времени осциллирующих рещений.

Первое нелинейное уравнсние Қлейна-Гордона, которое изучалось в предположении сферической симметрии, было уравнение $\varphi^{4}$. Боголюбский и Маханьков [1976] выбрали в качестве начального условия «стационарное» кинковое решение
\[
u(r, 0)=\text { th }[(r-R) / \sqrt{2}], R \gg 1 .
\]

Это сферический кинк, который становится точным стационарным решением только в иределе при $R \rightarrow \infty$.
$C$ этими начальными условиями сферический кинк вначале коллапирует в направлении пачала координат. Вблизи начала координат возникают бурные осцилляции, во время которых кинк отражается, и далее кинк возвращается к состоинио, близкому к начальным условиям, хотя некоторая энергия в виде осцилляций с малой амллитудой излучается по направлению к бесконечности. Затем весь цикл повторяется. Поскольку энергия теряется на каждом цикле, цроцесс не может продолжаться бесконечно, и в конечном счете после большого числа осцилляций кинк коллапсирует полностью, разразившись финальной вспышкой излучения. Число осцилляций довольно сложным образом зависит от значения $R$. Существование таких квазиустойчивых пульсаций привело к названию «пульсов» для импульсов, демонстрирующих такое поведение.

Боголюбский и Маханьков [1977] изучали также решения в виде пульсонов для уравнения СГ н обнаружили сходное поведение. В этом случае имеется дополнительная возможность для образования пульсонов, которые принимают вначале форму двойного или множественного кинка. Эти пульсоны были исследованы Боголюбским [1977]; он показал, что начальный двойной кинк относительно устойчив, но в конечном итоге переходит в одннарный пульсоя, который имеет сходное время жизни. Уравнения СГ с вращательной симметрией изучались независимо Кристиансеном и Ольсеном [1978], а дальнейшее изучение взаимодействий кинк—кинк и пульсон—пульсон в пространстве двух измерений было предпринято Кристиансеном и Ломдалом [1981]. Численная техника, использованная в этом последнсм иследоваиии, была простым распространением конечно-разностной схемы (10.3.8). В пространстве размерности два она сводится к виду
\[
\begin{aligned}
u_{l m}^{n+1}= & -u_{l m}^{n-1}+\frac{1}{2}\left(u_{i, m+1}^{n}+u_{i, m-1}^{n}+u_{i-1, m}^{n} \vdash u_{i+1, m}^{n}\right)- \\
& -\left(h^{2} / 2\right) F\left[\frac{1}{4}\left(u_{i, m+1}^{n}+u_{l, m-1}^{n}+u_{l-1, m}^{n}+u_{l+1, m}^{n}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Здесь дополнительная пространственная переменая $y_{i}$ заменяется на $t h$, и шаг по времени $k$ лля этой схемы равен $h / \sqrt{2}$, при этом сохраняется условие линейной устойчивости. Снова необходима только диагопальная решетка, которая уменьшает в два раза как память, так и требуемое время счета. Эуу схему с небольшими усовершенствованиями легко приспособить к параллельным компьютсрам. Но и на сериальном компьютере она показала свою надежность и эффективность. На рис. 10.8 показаны некоторые нчальные статии в эволюции пульсонов уравнения СГ, взятые из фильма Филбека и Ломдала [1982]. На этом рисунке $\sin (u / 2)$ изображена как функция от $x$ и $y$ для последовательных значений $t$

Рис. 10.8. Пульсонное решевие уравнения СГ.
В добавление к уравнениям $\varphi^{4}$ и СГ группа из ОИЯИ в Дубне изучала некоторые другие уравнения, в частности два уравнения:
\[
\begin{array}{l}
F(u)=u-u^{3}, \\
F(u)=u-u\left|u^{2}\right| /\left(1+|u|^{2}\right) .
\end{array}
\]

Эта работа была описана в обзорах Маханькова [1978, 19801. Наиболее интересное исследование групи ОИЯИ относилось к распространению численного моделирования на задачи, связанные с лобовым столкновением двух пульсонов для различных уравнений в двух и трех пространственных измерениях (предполагая цилиндрическую симметрию в последнем случае). Некоторые подробности этих исследований приведены в обзоре Маханькова [1980], и мы отсылаем читателя к текуцей литературе, если он желает познакомиться с развитием этой интересной области. Маханьков и др. классифицировали следующие качественно различные возможности взаимодействий:
— упругие и слабонеупругие взаимодействия;
— разрушение после столкновения;
— затухание через резонансное состояние;
— появление долгоживущих связанных состояний.

Наконец, последняя интригующая возможность — это образование $у$ стойчивых связанных состояний в результате столкновения двух неустойниеых пульсонов (Маханьков, Куммер и Швачка [1980]).