Задача анализа поверхностных волн на воде сложна не только тем, что зто граничная задача с подвижной граннцей, но и тем, что в ней могут встретиться различные типы волнового движения в зависимости от того, велико или мало отношенне амплитуды волны к глубине. В этой главе мы ограничимся рассмотрением длинных поверхностных волн на мелкой воде, игнорируя эффекты трения; эта ситуация соответствует экспериментам Скотта Расселла и была теоретически исследована Буссинеском [1877], Кортевегом и де Фризом [1895] и некоторыми другими авторами. Здесь мы лишь выборочно рассмотрнм несколько вопросов этой весьма обширной темы, и интересующемуся читателю рекомендуется обратиться к более подробным работам, раєсматривающим различные тилы волновых движений на воде, например к соответствующим главам таких книг, как Лэм [1932], Стоукер [1957], Уизем [1974], Лайтхилл [1978].

Этот предмет имеет довольно длинную и примечательную иєторию, восходящую ко времени єэра Джорджа Стокса и более ранним, т. е. к первой половине прошлого века. Наблюдения уединенной волны Скоттом Расселлом были произведены незадолго до открытия уравнений Навье – Стокса и, как мы видели в гл. 1, их истинная значимость долгое время оставалась непонятной. Тот факт; что для решения этой задачи необходимо нечто из квантовой механики, сразу сделал ее очень современной, несмотря на ее древнюю родословную.

Нам понадобится некоторое время для того, чтобы представить задачу в удобной форме, но наша основная цель, как отмечалось в разд. 5.1, состоит в том, чтобы получить простейшую систему уравнений движения, в которой все переменные приведены к безразмерной форме. Как только это будет достигнуто, процедуры возмущения будут применяться гораздо легче.

Рассмотрим невязкую несжимаемую жидкость плотности $\rho$ с вектором скорости $\mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ в системе координат $(x, y, z)$.

Дно жидкости находится при $z=-h$, а невозмущенная поверхность – при $z=0$. Силы трения мы проигнорируеи, и единственной внешней силой, действующей на жидкость, будем считать силу тяжести: $F=-\rho g \widehat{\mathbf{k}}$, где $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \widehat{\mathbf{k}}-$ обычные единичные векторы. Нам понадобятся лишь два основных уравнения движения. Ввиду несжимаемости имеем
\[
\operatorname{div} \mathbf{v}=0,
\]

а уравнение импульса имеет вид
\[
\rho\left(\frac{\partial}{\partial i}+\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{
abla}\right) \mathbf{v}=-
abla^{-} P-g \rho \hat{\mathbf{k}},
\]

где $P$ – давление в жидкости. Для безвихревого движения rot $\mathrm{v}=0$, откуда следует, что существует потенциальная функция $\varphi$, такая, что $\mathbf{v}=
abla \varphi$. Далее, поскольку $\mathbf{v} \times \operatorname{rot} \mathbf{v}=0$, имеем
\[
(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}=\boldsymbol{v}\left(\frac{1}{2}\left(
abla^{\varphi}\right)^{2}\right) .
\]

Используя результат (5.3.2) и интегрируя, найдем, что наши два уравнения движения приобретают вид
\[
\begin{array}{c}

abla^{2} \Phi=0, \\
P_{\ldots}=-\rho\left(P_{t}+\frac{1}{2}\left(P_{0}\right)^{2}+g z\right),
\end{array}
\]

где $P_{0}$ – атмосферное давление, действующее на поверхность жидкости. Ясно, что при интегрировании мы должны получить в качестве константы интегрирования произвольную функцию времени в (5.3.5), но ее можно ввести в состав функции ч, поэтому мы будем ее игнорировать. Основная сложность этой задачи состоит в том, что нас гораздо больше интересует то, что происходит на поверхности жидкости, чем то, что делается со значениями функций $\varphi$ и $P$ внутри жидкости. Именно движение верхней границы дает эволюционне уравнение даннных поверхностных волн, и, следовательно, нам нужно получить эволюцию границы из заданного решения во всей жидкости, а не наоборот. Поэтому определим свободную верхнюю поверхность (шкка неизвестную) уравнением
\[
\Gamma(x, y, z, t)=z-S(x, y, t)=0 .
\]

Наша задача – найти уравнение для $S$. Јюбая деформация поверхности приведет к движению частиц, которые ес образуют, но в силу одного того факта, что они лежат на поверхности, они вернутся к исходному положению, когда влияние волны исуезнет. Поэтому интуитивно можно ожидать, что полная производиая $D I^{\prime} / D t$ функции Г’ будет равна нулю. Доказать это математическ и совсем легко. Пусть дана поверхность $z=S(x, y, t)$. Обозначим через $\hat{n}$ направленный внутрь жидкости единичный нормальный вектор, т. е. положим
\[
\widehat{\mathbf{n}}=\frac{\widehat{\mathbf{j}} S_{x}+\hat{\mathbf{j}} S_{y}-\hat{\mathbf{k}}}{\left(1+S_{x}^{2}+S_{y}^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

Нормальная скорость жидкости равна v. $\hat{\mathbf{n}}$. Скорость поверхности $z=S(x, y, t)$ – это
\[
\frac{-S_{t}}{\left(1+S_{x}^{2}+S_{y}^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

Приравнивая эти два выражения, получим
\[
v_{1} S_{x}+v_{2} S_{y}+S_{t}=v_{3},
\]

что и означает $D \Gamma / D t=0$.
Поскольку $\mathbf{v}=
abla \varphi$, уравнения (5.3.9) могут быть представлены в виде
\[
\varphi_{x} S_{x}+\varphi_{y} S_{y}+S_{t}=\varphi_{z} \text { на } z=S(x, y, t) .
\]

Заметим, что это граничное условие, и оно справедливо только при $z=S$, но не в жидкости в целом. У равнение Бернулли (5.3.5) опять же дает интересующую нас информацию лишь на поверхности. Если проигнорировать изменения давления воздуха, которые пренебрежимы, то слагаемые, отвечающие давлению на noверхности, можно переписать так:
\[
P-P_{0}=-T\left(S_{x x}+S_{y y}\right),
\]

где выражение в правой части (5.3.11) представляет собой поверхностное натяжение (Кортевег и де Фриз [1895], Уизем [1974, гл. 131). Для таких жидкостей, как вода, силы поверхностного натяжения совсем малы, и пока мы будем пренебрегать ими, чтобы сделать вычисления как можно проще; мы вернемся к ним позже, в конце раздела. На свободной поверхности уравнение (5.3.5) теперь имеет вид
\[
0=\varphi_{t}+\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+g S \text { при } z=S(x, y, t) .
\]

Граничные условия требуют, чтобы нормальная составляющая скорости $\vee$ была равна нулю на дне жидкости, т. е. $\varphi_{z}=0$ при $z=-h$.
Таким образом, полная система уравнений выглядит так:
\[
\begin{array}{c}

abla^{2} \varphi=0 \text { внутри жидкости }(-h<z<0), \\
\varphi_{x} S_{x}+\varphi_{y} S_{y}+S_{t}=\varphi_{z}, \\
0=\varphi_{t}+\frac{1}{2}\left(\varphi_{x}^{2}+\varphi_{y}^{2}+\varphi_{z}^{2}\right)+g S \text { при } z=S(x, y, t), \\
\varphi_{z}=0 \text { при } z=-h .
\end{array}
\]

Теперь нужно решить уравнение Лапласа в жидкости и затем применить три граничных условия. Кортевег и де Фриз в своей работе в журнале Philosophical Magazine искали решение уравнения Лапласа в виде быстро сходящегося ряда по $Z$, где $Z=$ $=h+z$ ( $Z$ – глубина жидкости, измеряемая от дна). Они утверждают, что следуют при этом методу, который использовал лорд Рэлей в его более ранней статье [1876]. Прежде чем мы начнем это делать, желательно перевести все переменные, включая глубину жидкости, в безразмерную форму. Это существенно для определения доминирующих слагаемых в случаях, когда длина волны велика или мала в сравнении с глубиной. Следовательно, необходимо ввести в задачу характерную длину волны $\lambda$ и характерный масштаб времени. Временной масштаб можно получить, рассматривая фазовую скорость волн, которая получается из линеаризованного варианта уравнений (5.3.14), (5.3.15). В результате получаетея
\[
\begin{array}{c}

abla^{2} \Psi=0, \\
\varphi_{t i}+g \varphi_{z}=0, \quad z=0, \\
\varphi_{z}=0, \quad z=-h .
\end{array}
\]

Рассмотрим решение уравнения (5.3.17) с разделенными перемен ными в виде
\[
\varphi(x, y, z, t)=R(z) \exp \left[i\left(k_{1} x+k_{2} y-\omega t\right)\right] .
\]

Из уравнения Лапласа получается
\[
R^{\mu}=\left(k_{1}^{2}-k_{2}^{2}\right) R .
\]

Возьмем решение уравнения (5.3.19) в виде
\[
R(z)=C \operatorname{ch}[k(z+\delta)], \quad k^{2}=k_{1}^{2}+k_{2}^{2}
\]

и, применяя условие $\varphi_{z}=0$ при $z=-h$, найдем, что $\delta=h$. Используя этот результат в граничных условиях на свободной поверхности $z=0$, придем к дисперсионному соотношению
\[
\omega^{2}=g k \text { th }(k h),
\]

правая часть которого является четной функцией переменной $k$. Дисперсионное соотношение (5.3.21) дает выражение для фазовой скорости $c$ в виде
\[
c^{2}=g h \cdot\left[\frac{\text { th }(k h)}{(k h)}\right] .
\]

Формула (5.3.22) показывает, что для волн, имеющих длиму, много большую глубины жидкости, т. е. $k h \ll 1$, верно соотношение $c^{2}=c_{0}^{2}=g h$. Это полезный результат, потому что он дает удобный масштаб времени для таких длинных волн: $t_{0}=\lambda / c_{0}$. Таким образом, мы вводим новые безразмерные переменные
\[
\bar{x}=x / \lambda ; \quad \bar{t}=t / t_{0} ; \quad \bar{z}=z / h .
\]

Осталась только одна переменная, которую еще нужно преобразовать к безразмерному виду, – переменная $S$. Введем типичную амплитуду «а» и определим безразмерную форму для $S$ :
\[
u=S / a \text {. }
\]

Начиная с этого момента мы перестанем принимать во внимание изменения по $y$, будем рассматривать только движение вдоль оси $x$, что уместно для случая движения по каналу. Следуя Кортевегу и де Фризу, мы используем обозначение $Z=h \pm z$, которое в нащем безразмерном случае примет вид $\bar{Z}=1+\bar{z}$. Тешерь координата $\bar{Z}$ указывает расстоянне от дна жидкости. Уравнения жидкости дают нам удобное преобразование масштаба для $\varphi$. Например, (5.3.15) теперь выглядит так:
\[
u \perp\left(\frac{c}{g a \hat{\lambda}}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial \bar{t}}+\frac{1}{2 g a h^{2}} \frac{h^{2}}{\lambda^{2}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \bar{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \bar{Z}}\right)^{2}=0 .
\]

Отсюда ясно, что $甲$ удобпо преобразовать таким образом: $\mathbb{D}=$ $=c$ срад. Легко проверить, что переменная $\Phi$ безразмерна. Полная система уравнений в безразмерной форме теперь выгляднт так:
\[
\left.\begin{array}{c}
0=u+\frac{\partial \boldsymbol{\Phi}}{\partial \bar{t}}+\frac{1}{2} v\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \bar{x}}\right)^{2}+\frac{v}{\mu}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \bar{Z}}\right)^{2}, \\
\mu\left(\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}\right)+\mu v\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Phi}}{\partial \bar{x}}\right)\left(\frac{\partial u}{\partial \bar{x}}\right)=\frac{\partial \Phi}{\partial \bar{Z}},
\end{array}\right\} \text { при } \bar{Z}=1+v u
\]
\[
\mu \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \bar{x}^{2}}-\cdots \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \bar{Z}^{2}}=0 \text { при } 0<\bar{Z}<1+v u
\]

и
\[
\frac{\bar{\partial} \Phi}{\partial \bar{Z}}=0 \quad \text { при } \bar{Z}=0,
\]

где безразмерные константы $v$ и $\mu$ даются формулами
\[
v=a / h \text { и } \mu=(h / \lambda)^{2} .
\]

Мы потратили некоторое время на то, чтобы получить уравнения (5.3.25)-(5.3.28), но зато они выгодно отличаются от уравнений (5.3.13)-(5.3.16) тем, что в них входят безразмерные константы $v$ и $\mu$, величины которых указывают, являются ли волны длинными или короткими в сравнении с глубиной, н малыми или большими по амплитуде. Тенерь мы готовы решать уравнение Лапласа с помощью ряда по $\bar{Z}$ и затем применить три граничных условня.

Возьмем Ф в форме
\[
\Phi(\bar{x}, \bar{Z}, \bar{t})=\sum_{n=0}^{\infty} \bar{Z}^{n} \rho_{n}(\bar{x}, \bar{t}) .
\]

Подстановка в уравнение Лапласа этого ряда приводит к рекуррентному соотношению
\[
\frac{\partial^{2} \rho_{n}}{\partial \bar{x}^{2}}+(n+2)(n+1) \rho_{n+2}=0 .
\]

Из граничного условия $\partial \Phi / \partial \bar{Z}=0$ на $Z=0$ немедленно еледует, что $\rho_{1}=0$, и поэтому все нечетные коэффициентн $\rho_{n}$ равны нулю. Обозначим $\rho=\rho_{0}$. Тогда из (5.3.30) можно получить общую формулу для коэффициентов $\rho_{2 j}$ и после этого записать выражение для Ф в виде
\[
\Phi=\sum_{j=0}^{\infty}(–1)^{i} \mu^{i} \cdot \frac{\bar{Z}^{2 i}}{(2 j) \mid} \cdot \frac{\partial^{2 i} \rho}{\partial \bar{x}^{2 i}} .
\]

Мы получили выражение для решения Ф в виде ряда всюду в жидкости, т. е. в области $0 \leqslant \bar{Z} \leqslant 1+v u$. Теперь нас интересует, что происходит на поверхности $\bar{Z}=1+v u$, и поэтому мы подставляем (5.3.31) в оба граничных условия для євободной поверхности и собираем слагаемые по степеням $\mu$. Уравнения делаются проще, если ввести переменную $w=\rho_{\hat{x}}$ и продифференцировать уравнение (5.3.25) по $\bar{x}$ после подстановки для облегчения введения этой переменной. Пара граничных условий для верхней поверхности после этого приобретает вид
\[
\begin{aligned}
0=u_{t}+[(1+v u) w]_{\bar{x}}-\mu[ & {\left[\frac{1}{6} w_{\bar{x} \bar{x} \bar{x}}(1+v u)^{3}+\right.} \\
& \left.+\frac{1}{2}(1+v u)^{2} u_{\bar{x}} w_{\bar{x} \bar{x}}\right]+O\left(\mu^{2}\right),
\end{aligned}
\]
$0=u_{\bar{x}}+w_{\bar{t}}+v w w_{\bar{x}}-$
\[
\begin{aligned}
– & \frac{1}{2} \mu\left[\left(w_{\bar{x} \bar{x} \bar{t}}+v w w_{\bar{x} \bar{x} \hat{x}}-v w_{\bar{x}} w_{\bar{x} \bar{x}}\right)(1+v u)^{2}+\right. \\
& \left.+2 v u_{\bar{x}}(1+v u)\left(w_{\bar{x} \hat{t}}+v w_{\bar{x} \bar{x}}-v w_{\bar{x}}^{2}\right)\right]+O\left(\mu^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В длинноволновом приближении, если пренебречь всеми членами, содержащими $v$ и $\mu(a \ll h, \lambda \gg h$ ), от вышенаписанных уравнений останется лишь соотношение $u_{i t}-u_{\tilde{x} \bar{x}}=0$, т. е. попросту линейное волновое уравнение. Заметим, что лишь тогда можно пренебречь высшими членами по $\mu$, когда $h \ll \lambda$, т. е. когда длины волн много больше, чем глубина. Если, однако, члены с $v$ coхранить, а членами с $\mu$ пренебречь, то получающиеся соотношения известны как уравнения, описывающие поведение волн на мелкой воде:
\[
\begin{array}{l}
0=u_{\bar{t}}+w_{\bar{t}}+v(u w)_{\bar{x}}, \\
0=u_{\bar{t}}+w_{\bar{t}}+v w_{\bar{x}} .
\end{array}
\]

Эти уравнения содержат нелинейные члены, но, как и прежде, не содержат дисперсионных членов. Для выделения из уравнений (5.3.32), (5.3.33) членов ведущего порядка в длинноволновом приближении недостаточно взять лишь члены низшего порядка по $\mu$, поскольку нам необходимо также перестроить переменные $\bar{x}$ и $\bar{t}$. Следуя процедуре, намеченной в разд. 5.1, рассмотрим следующие разложения для $u$ и $:$
\[
\begin{array}{l}
u=\varepsilon u^{(1)}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\ldots, \\
w=\varepsilon w^{(1)}+\varepsilon^{2} w^{(2)}+\ldots .
\end{array}
\]

Поскольку граничные условия для $u$ и таковы, что $u, w \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$, то в (5.3.36) отсутствуют члены при $\varepsilon^{0}$. Дисперснонное соотношение уже было выписано (уравнение (5.3.22)), и для волн, длина которых много больше глубины $h(k h \ll 1)$, разложение гиперболического тангенса даст члены, как ожидалось, при степенях $k$ и $k^{2}$ разложения для $\omega$. Қак в разд. 5.1, соответствующие пространственная и временная переменные имеют теперь вид
\[
\xi=\varepsilon^{p}(x-a t), \tau=\varepsilon^{3 p} t .
\]

Совершая эту подстановку в (5.3.32), получим
\[
\begin{array}{l}
\left(\varepsilon^{3 p} \frac{\partial}{\partial \tau}-a \varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\right)\left(\varepsilon u^{(1)}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\ldots\right)+ \\
+\varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\left(\varepsilon w^{(1)}+\varepsilon^{2} w^{(2)}+\ldots\right)+\left(1+v\left(\varepsilon u^{(1)}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\ldots\right)\right)\right]- \\
\quad-\frac{1}{6} \mu\left[1+v\left(\varepsilon u^{(1)}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\ldots\right)\right]^{3}+ \\
\quad+\varepsilon^{3 p} \frac{\partial^{3}}{\partial \xi^{3}}\left(\varepsilon w^{(1)}+\varepsilon^{2} w^{(2)}+\ldots\right)+\ldots=0,
\end{array}
\]

Мы пренебрегли квадратичными членами в порядке $O$ (е), потому что их порядок малости не меньше $\varepsilon^{3 p+2}$, а удерживать члены столь высокого порядка нет необходимости. Аналогичным образом уравнение (5.3.33) приводится к виду
\[
\begin{array}{l}
\left(\varepsilon^{3 p} \frac{\partial}{\partial \tau}-a \varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\right)\left(\varepsilon w^{(1)}+\varepsilon^{2} w^{(2)}+\ldots\right)+ \\
\quad+\varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon u^{(1)}+e^{2} u^{(2)}+\ldots\right)+\frac{1}{2} v \varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[8^{2} w^{(1)}\right]^{2}+\ldots-
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
-\frac{1}{2} \mu\left[1+v\left(\varepsilon u^{(\mathrm{I})}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\ldots\right)\right]^{2} \varepsilon^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{3}}\left[\left(\mathrm{e}^{3 \rho} \frac{\partial}{\partial \tau}-\right.\right. \\
\left.\left.-a \varepsilon^{\rho} \frac{\partial}{\partial \xi}\right)\left(\varepsilon w^{(1)}+\mathbf{e}^{2} w^{(2)}+\ldots\right)\right]+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Рассматривая последовательно каждое из этих двух уравнений и действуя, как в задаче об ионноакустических волнах разд. 5.2, получим, что $p=1 / 2$. В каждом из уравнений нижний порядок по $\varepsilon$ равен $3 / 2$, а следующнй за ним $5 / 2$. Для уравнения (5.3.38) имеем
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon^{3 / 2}:-a u_{\xi}^{(1)}+w_{\xi}^{(1)}=0, \\
\varepsilon^{5 / 2}:-a u_{\xi}^{(2)}+w_{\xi}^{(2)}+u_{\tau}^{(1)}+\left[w^{(1)} n^{(1)}\right]_{\xi}-\frac{1}{6} \mu w_{\xi \xi}^{(1)}=0,
\end{array}
\]

а для уравнения (5.3.39) –
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{e}^{3 / 2}:-a w_{\xi}^{(1)}+u_{\xi}^{(1)}=0, \\
\varepsilon^{5 / 2}:-\alpha w_{\xi}^{(2)}+u_{\xi}^{(2)}+w_{\tau}^{(1)}+v w_{\xi}^{(1)} w^{(1)}+\frac{1}{2} a p w_{\xi \xi}^{(1)}=0 .
\end{array}
\]

Рассмотрение членов при $\varepsilon^{3 / 2}$ показывает, что $a^{2}=1$, и тогда, выбирая $a=+1$, мы в этом порядке будем иметь
\[
u^{(1)}=w^{(1)} \text {. }
\]

Подставляя это в два уравнения при порядке $\varepsilon^{5 / 2}$, замечая к тому же, что члены $u^{(2)}$ и $w^{(2)}$ взаимно уничтожаются, мы получаем в результате соотношение
\[
u_{\tau}^{(1)}+\frac{3}{2} v u^{(1)} u_{\xi}^{(1)}+\frac{1}{6} \mu u_{\mathrm{t}}^{(1)}=0,
\]

представляющее собой уравнение КдФ. Введение переменных $\xi$ и $\tau$ позволяет корректно ввести в этой задаче дисперсионный член, уравновешивающий нелинейный член. Несмотря на малое значение $\mu$, дисперсионный член будет предотвращать разрушение волн, поскольку этот член всегда будет становиться значительным, когда волны станут достаточно крутыми, даже если коэффициент при нем будет малым. Если включить поверхностное натяжение (см. уравнение (5.3.11)), то дополнительный член $T u_{\overline{\mathbf{x}} \overline{\boldsymbol{x}}}$ в (5.3.25) превратится в член вида $u_{\text {5у в }}$ в (5.3.33). Он должен быть включен в окончательное уравнение, поскольку он входит в порядок $\varepsilon^{5 / 2}$, однако его вклад сведется лишь к изменению коэффициента при $u_{\mathrm{E}}^{41}$ в конечном уравнении КдФ. Взглянув на уравнение (1.2.1) гл. 1, в котором сформулирован результат Кортевега и де Фриза, мы видим, что вклад поверхностного натяжения включен в коэффициент при третьей производной. Наше уравнение выглядит отличающимся от (1.2.1) по той причине, что нашиамплитудные, пространственные и временные переменные без размерны, а результат 1895 года не был записан в безразмерном виде.

Теперь наблюдения Скотта Расселла легко объяснить. В гл. 1 мы привели рисунок, изображающий один из его экспериментов (рис. 1.1), в котором вода перед перегородкой удерживалась на более высоком уровне, чем за перегородкой. Удаление перегородки повлечет за собой движение масс воды вперед и в зависимости от высоты и ширины потока будут рождаться солитоны. Это, разумеется, эквнвалентно тому, что начальные данные для уравнения КдФ имели вид прямоугольной волны:
\[
u=\left\{\begin{array}{lll}
u_{0} & \text { при } & 0<x<L, \\
0 & \text { прн } & x<0 \text { и } x>L .
\end{array}\right.
\]

Число дискретных собственных значений, соответствующих этом у начальному условию, дает число солитонов, которые будут появляться и плыть вниз по желобу. (См. вычисления гл. 2 и 4.)

Мы заметим, что в задаче для уравнения Шрёдингера только прямоугольная потенциальная яма, а не прямоугольный потенциальный барьер, обладает связанными состояниями, но при той формулировке уравнения Шрёдингера, которая давалась в гл. 2 и 3 , нелинейный член входил в уравнение КдФ с отрицательным знаком (мы брали $\alpha=-6$ ),так что отридательный потенциал в той задаче соответствует положительному потенциалу здесь, где нелинейный член входит в уравнение КдФ с положительным знаком.