1. Пусть $({\psi }_n,q_n,k_n),n=0,1,\dots$, удовлетворяют уравнению Шрёдингера
$${\psi }_{xx}+\frac{\alpha }{6}q\psi =\frac{\alpha }{6}{k}^2\psi .$$

Показать, что рекуррентная формула
$$q_{n+1}-q_n=\frac{12}{\alpha }{(\log {\mathrm{\Psi }}_n)}_{xx}$$

приводит к рекуррентному соотношению
$$q_{n+1}=\frac{12}{\alpha }{(\log \left(\prod _{i=0}^n{\psi }_i\right))}_{xx}.$$

В частности, показать, что если $q_0=0$, то $g_1(x,t)=$ $=2k_0^{\prime }{\mathrm{sech}}^2((\alpha /6{)}^{1/2}{k}_{0}x+g(t))$, и определить функцию $g(t)$ для уравнения КдФ. Можно ли определить $q_2$ для $q_0=0$ по этой формуле?
2. Рассмотрим преобразование Миуры
$$v_x=q+v^2$$

между
$$q_t-6q{q}_x+q_{xxx}=0(\text{ КдФ) }$$

и
$$v_t-6v^2{v}_x+v_{xxx}=0\text{ (мКдФ). }$$

Если мы начинаем с $q=0$, то мы порождаем однопараметрическое семейство рациональных решений уравнения мКдФ $v=$ $=-(x+c{)}^{-1}$, где $c$ — произвольная константа. Однако ясно, что такое преобразование определяет отображение из мКдФ в Кдф. Это рациональное решение может быть сделано зависящим от времени путем подбора коэффициентов. Так, $v=2(x+C(t){)}^{-1}$ является решением уравнения мКдФ в предположении, что
$$C_t=18(x+C{)}^{-2}.$$

Получить соответствующее рациональное решение для уравнения КдФ. Рассмотреть $n$ таких решений, характеризуемых функциями $C_i,i=1,\dots ,n$. Показать, что дискретизацию соответствующих эволюционных уравнений для $C_j$, полученных заменой непрерывной переменной $x$ на сумму по всем $C_i$ (исключая $C_j$ для $j$-го уравнения движения), можно интерпретировать как конечномерную гамильтонову систему.
3. Рассматривая решение в виде уединенной волны уравнения мКдФ
$$v_t+6\epsilon v^2{v}_x+v_{xxx}=0,\epsilon =\pm 1$$
(или каким-либо другим способом), показать, что это уравнение имеет солитонное решение
$$v(x,t)=k\mathrm{sech}(kx+k^{3}t)$$

лишь при $\epsilon =1$. После преобразования Миуры соответствующее решение уравнения КдФ
$$q_t+6q{q}_x+q_{xxx}=0$$

становится сингулярным решением
$$q(x,t)=k^2({\sec }^2\theta +\sec \theta \mathrm{tg}\theta ),\theta =kx+k^{3}t.$$

Однако если мы начинаем с солитонного решения уравнения КдФ
$$q(x,t)=2k^2{\mathrm{sech}}^{2}k(x-4k^{2}t),$$

мы получим однопараметрическое (с параметром $c$ ) семейство решений в случае $\epsilon =-1$ :
$$\begin{array}{c}v(x,t)=-2k\mathrm{cosech}\phi +{\mathrm{cth}}^2\phi {(c+x-k^{-1}\mathrm{cth}\phi )}^{-1},\\ \phi =k(x-4k^{2}t).\end{array}$$

Эти решения не имеют особенностей, если с конечно.
4. Для уравнения КдФ
$$q_t+6q{q}_x+q_{xxx}=0$$

автопреобразование Бэклунда, выраженное через потенциальную функцию $w_x=q/2$, имеет следующий вид:
$$\begin{array}{l}(W-w{)}_x=k^2-(W-w{)}^2,\\ (W-w{)}_t=6(W-w{)}^2(W-w{)}_x-6k^2(W-w{)}_x-(W-w{)}_{xxx}.\end{array}$$

Начиная с $w=0$, показать, что однопараметрическое (с параметром c) семейство несингулярных решений уравнения КдФ имеет вид
$$q(x,t,c)=2k^2{\mathrm{sech}}^2(k(x-4k^{2}t)+c),$$

и вывести из соображений симметрии, примененных к преобразованию, что сингулярное семейство решений таково:
$$q^{\ast }(x,t,c)=-2k^2{\mathrm{cosech}}^2(k(x-4k^{2}t)+c).$$

Рассмотрим теперь три решения уравнения КдФ, связанные преобразованием Бэклунда:

Штриховые линии на рисунке обозначают соответствие Бэклунда, а сплошные стрелки обозначают отображения. Часть отображения, отвечающая переменной $x$, выглядит так:
$$\begin{array}{l}{(w_1+w)}_x=k_1^2-{(w_1-w)}^2,\\ {(w_2+w)}_x=k_2^2-{(w_2-w)}^2.\end{array}$$

Рассматривая дальнейшие преобразования
$$\begin{array}{l}{(w_{12}+w_1)}_x=k_2^2-{(w_{12}-w_1)}^2,\\ {(w_{21}+w_2)}_x=k_1^2-{(w_{21}-w_2)}^2,\end{array}$$

показать, что условие $w_{12}=w_{21}$ удовлетворяется, если
$$w_{12}=w+\frac{(k_2^2-k_1^2)}{(w_2+w_1)},$$

откуда мы сможем вывести $q_{12}$. Эта коммутативность преобразования Бэклунда позволяет получать решения КдФ чисто алгебраическим путем, используя только что приведенную нелинейную суперпозицию соотношений. Этим способом можно построитьцелую пирамиду или лестницу решений. Если начинать с нулевого решения, то получится пирамида солитонных решений. Нужно действовать осторожно, с тем чтобы получать регулярные решения на каждом шаге.
$$k_1<k_2<\dots ,q_n\text{ — это }n\text{-солитонное решение. }$$
5. Обобщение преобразования Миуры непосредственно приводит к тому, чтобы связать КдФ с семейством уравнений, содержащим уравнения КдФ и мКдФ в качестве частного случая:
$$\begin{array}{c}{q}_t+\alpha q{q}_x+q_{xxx}=0,\\ v_t+\mu v_x+\phi v^2{v}_x+\theta v{v}_x+v_{xxx}=0.\end{array}$$

Это можно сделать путем линейной замены переменной $v$ :
$$(6\phi {)}^{1/2}i\epsilon v_x+\mu +(\phi v^2+2\theta v)-\alpha q=0.$$

В частности, для ${\phi }^{1/2}=6^{1/2}\delta ,\theta =\alpha /2,\mu =0$ и $\alpha =6$ преобразование можно записать так:
$$i\delta v_x+{\delta }^2{v}^2+v-q=0.$$

Это преобразование устанавливает соответствие между решениями уравнений
$$\begin{array}{c}{q}_t-{(3q^2+q_{xx})}_x=0\\ v_t+{(3{\delta }^2{v}^3+\frac{3}{2}{v}^2+v_{xx})}_x=0.\end{array}$$

Уравнения записаны в виде законов сохранения
$$H_t+F_x=0,$$

где $H$-сохраняющаяся плотность, а $F$ — ассоциированный с ней поток. Характерное свойство рассматриваемых нами разрешимых уравнений состоит в том, что они имеют бесконечное множество интегралов движения $I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Hdx$. Это следует прямо из закона сохранения при условии, что функции $q$ и $v$ вместе со своими производными обращаются в нуль на границе (здесь границей служат $\pm \mathrm{\infty }$ ). Мы можем получить формальный степенной ряд для $v$ из преобразования Миуры, полагая $v=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{L}_i(q){\delta }^i$, где $L_i$ — функционал от функции $q$ и ее производных по $x$. Подставляя это разложение для $v$ в соответствующий закон сохранения и приравнивая коэффициенты при ${\delta }^i$, мы получим бесконечное число сохраняющихся плотностей $H$ для уравнения КдФ. Показать, что первые несколько плотностей при $\alpha =6$ равны, с точностью до постоянного множителя, следующим величинам:
$$H_0=q,H_2=q^2,H_4=2q^3-q_x^2,H_6=9q^4-18q{q}_x^2+9q_x^2\cdot 15.$$

Заметим, что соответствующие плотности нечетного порядка здесь отсутствуют, поскольку они являются полными производными по $x$ и, следовательно, тривиальны. Доказать, что все плотности нечетного порядка тривиальны.
Раздел 3.3
1. Показать, что если ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+x^2)|Q(x)|dx<\mathrm{\infty }$, то ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+$ $+|x|)|Q(x)|dx<\mathrm{\infty }$.
2. Полагая $h(x,k)=\phi (x,k)\exp (ikx)$,
$$|h(x,k)|⩽1+x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x|Q(v)||h(v,k)|dv+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-v)|Q(v)||h(v,k)|dv,$$

доказать следующую оценку:
$$|h(x,k)-1|⩽K_5(1+max(x,0)){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+|v|)|Q(v)|dv.$$
3. Доказать неравенство (3.3.32). Необходимо рассмотреть отдельно два случая: $x⩽0,x⩾0$. Итерируя (3.3.32), показать, что
$$|h_k(x,k)|⩽K(1+max(x,0))\exp M(x)$$

и, таким образом, вывести первую оценку в (3.3.34).
4. Показать, что
$$|h_x(x,k)|⩽K(1+|k|{)}^{-1}\cdot {\int }_{-\mathrm{\infty }}^x(1+|v|)Q(v)\mid dv,x\in R,$$

и, таким образом, доказать вторую оценку в (3.3.34).
5. Рассмотрим решение вида ${\phi }^1(x)=f(x)\phi (x,0)$ уравнения $-y_{xx}+Qy=0$. Показать, что решением является функция
$${\phi }^1(x)=({\int }^x{\phi }^{-2}(v,0)dv)\phi (x,0),{\phi }^1(x)=x+o(1)\text{ при }x\to \mathrm{\infty },$$

и заключить, что ${\phi }^1\equiv \tilde{\phi }$.
6. Усилить оценку, данную в лемме 3.3.2.
$$\begin{array}{rl}\phi (x,k)e^{ikx}=1+& \frac{1}{2ik}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x(e^{2(ik(x-v))}-1)Q(v)dv+\\ & +\frac{1}{2(2ik{)}^2}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}Q(v)dv)+o\left(1/|k{|}^2\right)\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }.\end{array}$$

Эта формула может быть упрощена, если $Q_x\in L^2(\mathbb{R})$.
7. Показать, что если функция $Q$ имеет $n$ производных, принадлежащих $L^1(R)$, то
$$R_{+}(k)=o\left(1/|k{|}^{n+1}\right)\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }.$$
8. Рассмотрим оператор Шрёдингера ${\mathbf{L}}_{\mathit{D}}=-{\partial }^2/\partial x^2+Q$, действующий в пространстве $L^2(-\mathrm{\infty },x_0)$ с условием Дирихле в точке $x_0$. Показать, что $\phi (x,k),\mathrm{Im}k>0$, имеет конечное число простых нулей $k_j=i{\eta }_j,{\eta }_j>0$ и не имеет вещественных нулей, кроме, возможно, $k=0$, который называется виртуальным собственным значением.
9. Используя оператор, определенный в предыдущей задаче, показать, что число собственных значений оператора ${\mathbf{L}}_{\mathbf{p}}$ равно числу нулей функции $\phi (x,0)$. Далее, рассматривая пару последовательных нулей функции $\phi (x,0)$, например, $a<b$, показать, что
$$\phi (x,0)={\phi }_x(a,0)(a-x)+{\int }_a^{x}Q(v)(v-x)\phi (v,0)dv,a<x<b,$$

и, рассматривая случай $\phi (x,0)⩽0,0⩽a⩽x⩽b$, вывести, что если $n$ — число собственных значений оператора ${\mathbf{L}}_{\mathbf{D}}$, то
$$n⩽{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}(x_0-v)|Q(v)|dv<\mathrm{\infty }.$$
10. Рассмотреть потенциальный барьер
$$Q(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1,& 0⩽x⩽1,\\ 0,& x>1,\end{array}$$

и показать, что для фиксированного $keq0$ функция $\phi (x,k)e^{ikx}$ является ограниченной, в то время как для $k=0,\phi (x,0)$ имеет линейный рост при $x\to +\mathrm{\infty }$. Сравнить это с общим поведением функции $\phi$, представленным формулой (3.3.27).
11. Для системы первого порядка (3.3.12) определим решения Йоста для вещественного $k$ следующими граничными условиями:
$$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\phi e^{ikx}=\left(\begin{array}{c}2ik\\ 1\end{array}\right),\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\overline{\phi }{e}^{-ikx}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\psi e^{-ikx}=\left(\begin{array}{c}2ik\\ 1\end{array}\right),\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\overline{\psi }{e}^{ikx}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).\end{array}$$

Установить условия, которым должна удовлетворять функция $Q$ для существования и единственности этих решений и их аналитических продолжений на комплексную плоскость $k$. Ввести функции $a(k),\overline{a}(k),b(k)$ и $\overline{b}(k)$ при помощи соотношений
$$\begin{array}{l}\phi (k)=a(k)\overline{\psi }(k)+b(k)\mathrm{\Psi }(k),\\ \overline{\phi }(k)=\overline{a}(k)\psi (k)+b(k)\overline{\psi }(k)\end{array}$$

и исследовать их аналитические свойства, используя технику, аналогичную той, которая была применена в разд. 3.3. В частности, показать, что $a$ имеет лишь конечное число нулей.
12. Вычислить несколько первых членов разложения $a$ при больших значениях $k$ :
$$a(k)=1-\frac{1}{2ik}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Q(v)dv+\frac{1}{2}\frac{1}{2i{k}^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Q(v)dv+o\left(|k{|}^{-2}\right)$$
$$\text{ при }|k|\to \mathrm{\infty }\text{. }$$

Заключить отсюда, что если ${\lambda }_0=-{\eta }_0^2-$ наибольшее собственное значение, то
$$\left|{\lambda }_0\right|\approx {({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Q(v)dv)}^2$$

и что собственные значения отсутствуют, если
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}Q(v)dv<0$$
13. Из задачи 9 к разд. 3.3 ясно, что для операторов Дирихле на пространствах $L^2(-\mathrm{\infty },0)$ и $L^2(0,\mathrm{\infty })$ справедливы оценки
$$n_{-\mathrm{\infty }}⩽-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}v|Q(v)|dv,n_{+\mathrm{\infty }}⩽{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}v|Q(v)|dv$$

для числа собственных значений в их спектрах. Вывести отсюда, что число собственных значений оператора Дирихле на пространстве $L^2(-\mathrm{\infty },0)\oplus L^2(0,\mathrm{\infty })$ имеет следующее ограничение:
$$n_D⩽{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|v||Q(v)|dv.$$

Однако из принципа максимума и теоремы об отображении спектров можно показать, что $M=n+1$, так что
$$M⩽1+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|v||Q(v)|dv.$$
14. Исходя из представления (3.3.64), исследовать поведение $a$ и $b$ при $|k|\to 0$. В частности, получить уравнение (3.3.66)
15. Рассмотреть однопараметрическое семейство потенциалов:
$${}_{a}Q=\{\begin{array}{l}a,-2⩽x⩽-1,\\ -1,-1⩽x⩽+1,\\ 0& \text{ в остальных случаях }\end{array}$$

и найти решение Йоста $\phi (x,k)$. Для случая $a=-4\pi$ определить число собственных значений оператора Шрёдингера, вычислив для этого число нулей функции $\phi (x,0)$. Сравнить с границей, данной в задаче (3.3.14).

Показать, что существует единственное значение $a=a_0$, такое, что $\phi (x,0)=$ const для $x>0$, и, таким образом, функции $\phi (x,0)$ и $\psi (x,0)$ линейно зависимы. Вывести, что ${}_a{R}_{+}(0)=-1$ для $aeq{a}_0$, но что $a_0{R}_{+}(0)=-1$; поэтому независимо от того, как сходится $aQ$, соответствующая последовательность коэффициентов отражения ${}_a{R}_{+}(0)$ не сходится равномерно в окрестности нуля.

16. Вывести из уравнения (3.3.64), что если функция $Q$ имеет компактный носитель, то функции $R_{+}$и $T_{+}$аналитичны по $k$ во всей комплексной плоскости $k$. Если носителем $Q$ является полупрямая, показать из (3.3.64) и аналогичных уравнений для представления функции $\psi$, что $T_{+}$аналитична во всей комплексной плоскости $k$, в то время как $R_{+}$аналитична в верхней полуплоскости .
Раздел 3.4
1. Рассмотрим комплексное изоспектральное уравнение Шрёдингера
$$-\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}+Qy=k^{2}y.$$

Повторите анализ этой главы для такого уравнения. В частности, исследуйте разложение единицы для этой задачи. Заметим, что присутствие спектральных особенностей, т. е. таких вещественных $k$, что $a(k)=0$, вызывает некоторые сложности со сходимостью разложения. Придется либо ограничить класс рассматриваемых функций из пространства $L^2(\mathcal{K})$, либо ввести подходящую регуляризацию расходящихся интегралов, с тем чтобы разложение функции $v\in L^2(\mathbb{R})$ по собственным функциям было корректно определено. Являются ли простыми собственные значения в этой задаче и где они локализованы?
2. Доказать формулы (3.4.32), предполагая, что $v\in L^2(\mathbb{R})$ имеет разложение
$$v=v_{\psi }\psi +v_{\psi \ast }{\psi }^{\ast }+\sum _{j=1}^M{v}_j{\psi }_j$$

Использовать формулы для определения коэффициентов разложения и вывести из него разложение единицы.
3. Доказать существование и единственность решения задачи Гурса, которая ставится равенством (3.4.74).
4. Ввести множество решений изоспектрального уравнения Шрёдингера (3.3.1), определяемое граничными условиями
$$\begin{array}{ll}{g}_1(0)=1,& g_{1x}(0)=ik,\\ g_2(0)=1,& g_{2x}(0)=-ik,\end{array}$$

и показать, что вектор-строка $G=(g_1,g_2)$ удовлетворяет интегральному уравнению
$$G(x,k)=G_0(x,k)+k^{-1}{\int }_0^x\mathrm{sh}(x-y)Q(y)G(y,k)dy,$$

где $G_0(x,k)=(\exp (ikx),\exp (-ikx))$. Доказать, что компоненты вектора $G$ являются целыми функциями от $k$. Положите
$$G(x,k)=H(x,k)\mathbf{B}(k),\text{ где }H=(\psi ,\phi ),$$

и определите В. Определите матрицу Йоста формулой
$$\mathbf{J}(k)=T^{-1}(k)\mathbf{B}(k)$$

и покажите, что $\det \mathbf{J}(k)=T^{-1}(k)$, так что связанные состояния определяются равенством
$$\det \mathbf{J}(k)=0\text{. }$$

Интерпретируйте собственные функции матрицы $\mathbf{J}$.
Раздел 3.5
1. Определим операторы:
$$\begin{array}{l}{\mathbf{B}}_{\tilde{\psi }}\equiv {\mathbf{B}}_{\mathrm{\Psi }}=-[4\frac{{\partial }^3}{\partial x^3}+q\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\alpha }{2}{q}_x-4i{k}^3],\\ {\mathbf{B}}_{\overline{\phi }}\equiv {\mathbf{B}}_{\mathrm{\Psi }}=-[4\frac{{\partial }^3}{\partial x^3}+q\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\alpha }{2}{q}_x+4i{k}^3].\end{array}$$

Эти операторы образуют пары Лакса с изоспектральным оператором Шрёдингера для уравнения КдФ, как показано в разд. 3.2. Заметим, в частности, что равенства ${\overline{\psi }}_t={\mathbf{B}}_{\overline{\psi }}\overline{\psi },{\tilde{\varphi }}_t={\mathbf{B}}_{\overline{\psi }}\overline{\phi },{\psi }_t=$ $={\mathbf{B}}_{\psi }\psi$ и ${\phi }_t={\mathbf{B}}_{\phi }\phi$ убеждают в том, что граничные условия, определяющие решения Йоста, выполнены для всех $t$. Показать, что поскольку для всех вещественных $k$
$$\phi =a\overline{\psi }+b\psi ,$$

то $R_{+i}=8i{k}^3{R}_{+}$, и получить эволюционное уравнение для нормировочной постоянной собственных функций для этой задачи рассеяния.
2. Покажите, что
$$\frac{d}{dk}\log a(k)=-i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\psi \phi }{a}-1)dx,$$

исходя из уравнения Шрёдингера.
3. Используя определение $a$ в терминах вронскиана функций $\phi$ и $\psi$ и уравнение Шрёдингера, получить рекуррентную формулу для коэффициентов в асимптотическом разложении $\log a$ при $|k|\to \mathrm{\infty }$. Вычислить первые три нетривиальных члена этого разложения и сравнить их с (3.5.76).
4. Вывести представление производной Фреше для функционалов $\mathcal{F}(Q)$, включающих в свое определение как производные, так и интегралы от $Q$, если дано, что $Q:R\to R$ и $Q$ является функцией Шварца общего типа.
5. Исходя из определения
$$\mathrm{Tr}({(\mathrm{L}-k^2)}^{-1}-{(L_0-k^2)}^{-1})=-\frac{1}{2k}\frac{d}{dk}\log a(k)$$

и беря $\mathrm{\Delta }$-вариацию, вывести формально (3.5.52) (вам следует использовать представление ядра резольвенты, данное в теореме 3.9).