1. Пусть $\left(\psi_{n}, q_{n}, k_{n}\right), n=0,1, \ldots$, удовлетворяют уравнению Шрёдингера
\[
\psi_{x x}+\frac{\alpha}{6} q \psi=\frac{\alpha}{6} k^{2} \psi .
\]
Показать, что рекуррентная формула
\[
q_{n+1}-q_{n}=\frac{12}{\alpha}\left(\log \Psi_{n}\right)_{x x}
\]
приводит к рекуррентному соотношению
\[
q_{n+1}=\frac{12}{\alpha}\left(\log \left(\prod_{i=0}^{n} \psi_{i}\right)\right)_{x x} .
\]
В частности, показать, что если $q_{0}=0$, то $g_{1}(x, t)=$ $=2 k_{0}^{\prime} \operatorname{sech}^{2}\left((\alpha / 6)^{1 / 2} k_{0} x+g(t)\right)$, и определить функцию $g(t)$ для уравнения КдФ. Можно ли определить $q_{2}$ для $q_{0}=0$ по этой формуле?
2. Рассмотрим преобразование Миуры
\[
v_{x}=q+v^{2}
\]
между
\[
q_{t}-6 q q_{x}+q_{x x x}=0 \quad(\text { КдФ) }
\]
и
\[
v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 \quad \text { (мКдФ). }
\]
Если мы начинаем с $q=0$, то мы порождаем однопараметрическое семейство рациональных решений уравнения мКдФ $v=$ $=-(x+c)^{-1}$, где $c$ – произвольная константа. Однако ясно, что такое преобразование определяет отображение из мКдФ в Кдф. Это рациональное решение может быть сделано зависящим от времени путем подбора коэффициентов. Так, $v=2(x+C(t))^{-1}$ является решением уравнения мКдФ в предположении, что
\[
C_{t}=18(x+C)^{-2} .
\]
Получить соответствующее рациональное решение для уравнения КдФ. Рассмотреть $n$ таких решений, характеризуемых функциями $C_{i}, i=1, \ldots, n$. Показать, что дискретизацию соответствующих эволюционных уравнений для $C_{j}$, полученных заменой непрерывной переменной $x$ на сумму по всем $C_{i}$ (исключая $C_{j}$ для $j$-го уравнения движения), можно интерпретировать как конечномерную гамильтонову систему.
3. Рассматривая решение в виде уединенной волны уравнения мКдФ
\[
v_{t}+6 \varepsilon v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0, \quad \varepsilon= \pm 1
\]
(или каким-либо другим способом), показать, что это уравнение имеет солитонное решение
\[
v(x, t)=k \operatorname{sech}\left(k x+k^{3} t\right)
\]
лишь при $\varepsilon=1$. После преобразования Миуры соответствующее решение уравнения КдФ
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0
\]
становится сингулярным решением
\[
q(x, t)=k^{2}\left(\sec ^{2} \theta+\sec \theta \operatorname{tg} \theta\right), \quad \theta=k x+k^{3} t .
\]
Однако если мы начинаем с солитонного решения уравнения КдФ
\[
q(x, t)=2 k^{2} \operatorname{sech}^{2} k\left(x-4 k^{2} t\right),
\]
мы получим однопараметрическое (с параметром $c$ ) семейство решений в случае $\varepsilon=-1$ :
\[
\begin{array}{c}
v(x, t)=-2 k \operatorname{cosech} \varphi+\operatorname{cth}^{2} \varphi\left(c+x-k^{-1} \operatorname{cth} \varphi\right)^{-1}, \\
\varphi=k\left(x-4 k^{2} t\right) .
\end{array}
\]
Эти решения не имеют особенностей, если с конечно.
4. Для уравнения КдФ
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0
\]
автопреобразование Бэклунда, выраженное через потенциальную функцию $w_{x}=q / 2$, имеет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
(W-w)_{x}=k^{2}-(W-w)^{2}, \\
(W-w)_{t}=6(W-w)^{2}(W-w)_{x}-6 k^{2}(W-w)_{x}-(W-w)_{x x x} .
\end{array}
\]
Начиная с $w=0$, показать, что однопараметрическое (с параметром c) семейство несингулярных решений уравнения КдФ имеет вид
\[
q(x, t, c)=2 k^{2} \operatorname{sech}^{2}\left(k\left(x-4 k^{2} t\right)+c\right),
\]
и вывести из соображений симметрии, примененных к преобразованию, что сингулярное семейство решений таково:
\[
q^{*}(x, t, c)=-2 k^{2} \operatorname{cosech}^{2}\left(k\left(x-4 k^{2} t\right)+c\right) .
\]
Рассмотрим теперь три решения уравнения КдФ, связанные преобразованием Бэклунда:
Штриховые линии на рисунке обозначают соответствие Бэклунда, а сплошные стрелки обозначают отображения. Часть отображения, отвечающая переменной $x$, выглядит так:
\[
\begin{array}{l}
\left(w_{1}+w\right)_{x}=k_{1}^{2}-\left(w_{1}-w\right)^{2}, \\
\left(w_{2}+w\right)_{x}=k_{2}^{2}-\left(w_{2}-w\right)^{2} .
\end{array}
\]
Рассматривая дальнейшие преобразования
\[
\begin{array}{l}
\left(w_{12}+w_{1}\right)_{x}=k_{2}^{2}-\left(w_{12}-w_{1}\right)^{2}, \\
\left(w_{21}+w_{2}\right)_{x}=k_{1}^{2}-\left(w_{21}-w_{2}\right)^{2},
\end{array}
\]
показать, что условие $w_{12}=w_{21}$ удовлетворяется, если
\[
w_{12}=w+\frac{\left(k_{2}^{2}-k_{1}^{2}\right)}{\left(w_{2}+w_{1}\right)},
\]
откуда мы сможем вывести $q_{12}$. Эта коммутативность преобразования Бэклунда позволяет получать решения КдФ чисто алгебраическим путем, используя только что приведенную нелинейную суперпозицию соотношений. Этим способом можно построитьцелую пирамиду или лестницу решений. Если начинать с нулевого решения, то получится пирамида солитонных решений. Нужно действовать осторожно, с тем чтобы получать регулярные решения на каждом шаге.
\[
k_{1}<k_{2}<\ldots, q_{n} \text { – это } n \text {-солитонное решение. }
\]
5. Обобщение преобразования Миуры непосредственно приводит к тому, чтобы связать КдФ с семейством уравнений, содержащим уравнения КдФ и мКдФ в качестве частного случая:
\[
\begin{array}{c}
q_{t}+\alpha q q_{x}+q_{x x x}=0, \\
v_{t}+\mu v_{x}+\varphi v^{2} v_{x}+\theta v v_{x}+v_{x x x}=0 .
\end{array}
\]
Это можно сделать путем линейной замены переменной $v$ :
\[
(6 \varphi)^{1 / 2} i \varepsilon v_{x}+\mu+\left(\varphi v^{2}+2 \theta v\right)-\alpha q=0 .
\]
В частности, для $\varphi^{1 / 2}=6^{1 / 2} \delta, \theta=\alpha / 2, \mu=0$ и $\alpha=6$ преобразование можно записать так:
\[
i \delta v_{x}+\delta^{2} v^{2}+v-q=0 .
\]
Это преобразование устанавливает соответствие между решениями уравнений
\[
\begin{array}{c}
q_{t}-\left(3 q^{2}+q_{x x}\right)_{x}=0 \\
v_{t}+\left(3 \delta^{2} v^{3}+\frac{3}{2} v^{2}+v_{x x}\right)_{x}=0 .
\end{array}
\]
Уравнения записаны в виде законов сохранения
\[
H_{t}+F_{x}=0,
\]
где $H$-сохраняющаяся плотность, а $F$ – ассоциированный с ней поток. Характерное свойство рассматриваемых нами разрешимых уравнений состоит в том, что они имеют бесконечное множество интегралов движения $I=\int_{-\infty}^{\infty} H d x$. Это следует прямо из закона сохранения при условии, что функции $q$ и $v$ вместе со своими производными обращаются в нуль на границе (здесь границей служат $\pm \infty$ ). Мы можем получить формальный степенной ряд для $v$ из преобразования Миуры, полагая $v=\sum_{0}^{\infty} L_{i}(q) \delta^{i}$, где $L_{i}$ – функционал от функции $q$ и ее производных по $x$. Подставляя это разложение для $v$ в соответствующий закон сохранения и приравнивая коэффициенты при $\delta^{i}$, мы получим бесконечное число сохраняющихся плотностей $H$ для уравнения КдФ. Показать, что первые несколько плотностей при $\alpha=6$ равны, с точностью до постоянного множителя, следующим величинам:
\[
H_{0}=q, H_{2}=q^{2}, H_{4}=2 q^{3}-q_{x}^{2}, H_{6}=9 q^{4}-18 q q_{x}^{2}+9 q_{x}^{2} \cdot 15 .
\]
Заметим, что соответствующие плотности нечетного порядка здесь отсутствуют, поскольку они являются полными производными по $x$ и, следовательно, тривиальны. Доказать, что все плотности нечетного порядка тривиальны.
Раздел 3.3
1. Показать, что если $\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)|Q(x)| d x<\infty$, то $\int_{-\infty}^{\infty}(1+$ $+|x|)|Q(x)| d x<\infty$.
2. Полагая $h(x, k)=\varphi(x, k) \exp (i k x)$,
\[
|h(x, k)| \leqslant 1+x \int_{-\infty}^{x}|Q(v)||h(v, k)| d v+\int_{-\infty}^{\infty}(-v)|Q(v)||h(v, k)| d v,
\]
доказать следующую оценку:
\[
|h(x, k)-1| \leqslant K_{5}(1+\max (x, 0)) \int_{-\infty}^{\infty}(1+|v|)|Q(v)| d v .
\]
3. Доказать неравенство (3.3.32). Необходимо рассмотреть отдельно два случая: $x \leqslant 0, x \geqslant 0$. Итерируя (3.3.32), показать, что
\[
\left|h_{k}(x, k)\right| \leqslant K(1+\max (x, 0)) \exp M(x)
\]
и, таким образом, вывести первую оценку в (3.3.34).
4. Показать, что
\[
\left|h_{x}(x, k)\right| \leqslant K(1+|k|)^{-1} \cdot \int_{-\infty}^{x}(1+|v|) Q(v) \mid d v, x \in R,
\]
и, таким образом, доказать вторую оценку в (3.3.34).
5. Рассмотрим решение вида $\varphi^{1}(x)=f(x) \varphi(x, 0)$ уравнения $-y_{x x}+Q y=0$. Показать, что решением является функция
\[
\varphi^{1}(x)=\left(\int^{x} \varphi^{-2}(v, 0) d v\right) \varphi(x, 0), \quad \varphi^{1}(x)=x+o(1) \text { при } x \rightarrow \infty,
\]
и заключить, что $\varphi^{1} \equiv \tilde{\varphi}$.
6. Усилить оценку, данную в лемме 3.3.2.
\[
\begin{aligned}
\varphi(x, k) e^{i k x}=1+ & \frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{x}\left(e^{2(i k(x-v))}-1\right) Q(v) d v+ \\
& +\frac{1}{2(2 i k)^{2}}\left(\int_{-\infty}^{x} Q(v) d v\right)+o\left(1 /|k|^{2}\right) \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\end{aligned}
\]
Эта формула может быть упрощена, если $Q_{x} \in L^{2}(\mathbb{R})$.
7. Показать, что если функция $Q$ имеет $n$ производных, принадлежащих $L^{1}(R)$, то
\[
R_{+}(k)=o\left(1 /|k|^{n+1}\right) \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty .
\]
8. Рассмотрим оператор Шрёдингера $\mathbf{L}_{\boldsymbol{D}}=-\partial^{2} / \partial x^{2}+Q$, действующий в пространстве $L^{2}\left(-\infty, x_{0}\right)$ с условием Дирихле в точке $x_{0}$. Показать, что $\varphi(x, k), \operatorname{Im} k>0$, имеет конечное число простых нулей $k_{j}=i \eta_{j}, \eta_{j}>0$ и не имеет вещественных нулей, кроме, возможно, $k=0$, который называется виртуальным собственным значением.
9. Используя оператор, определенный в предыдущей задаче, показать, что число собственных значений оператора $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}$ равно числу нулей функции $\varphi(x, 0)$. Далее, рассматривая пару последовательных нулей функции $\varphi(x, 0)$, например, $a<b$, показать, что
\[
\varphi(x, 0)=\varphi_{x}(a, 0)(a-x)+\int_{a}^{x} Q(v)(v-x) \varphi(v, 0) d v, \quad a<x<b,
\]
и, рассматривая случай $\varphi(x, 0) \leqslant 0,0 \leqslant a \leqslant x \leqslant b$, вывести, что если $n$ – число собственных значений оператора $\mathbf{L}_{\mathbf{D}}$, то
\[
n \leqslant \int_{-\infty}^{x_{0}}\left(x_{0}-v\right)|Q(v)| d v<\infty .
\]
10. Рассмотреть потенциальный барьер
\[
Q(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0, \\
1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
0, & x>1,
\end{array}\right.
\]
и показать, что для фиксированного $k
eq 0$ функция $\varphi(x, k) e^{i k x}$ является ограниченной, в то время как для $k=0, \varphi(x, 0)$ имеет линейный рост при $x \rightarrow+\infty$. Сравнить это с общим поведением функции $\varphi$, представленным формулой (3.3.27).
11. Для системы первого порядка (3.3.12) определим решения Йоста для вещественного $k$ следующими граничными условиями:
\[
\begin{array}{ll}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \varphi e^{i k x}=\left(\begin{array}{c}
2 i k \\
1
\end{array}\right), \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \bar{\varphi} e^{-i k x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right), \\
\lim _{x \rightarrow+\infty} \psi e^{-i k x}=\left(\begin{array}{c}
2 i k \\
1
\end{array}\right), \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \bar{\psi} e^{i k x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
Установить условия, которым должна удовлетворять функция $Q$ для существования и единственности этих решений и их аналитических продолжений на комплексную плоскость $k$. Ввести функции $a(k), \bar{a}(k), b(k)$ и $\bar{b}(k)$ при помощи соотношений
\[
\begin{array}{l}
\varphi(k)=a(k) \bar{\psi}(k)+b(k) \Psi(k), \\
\bar{\varphi}(k)=\bar{a}(k) \psi(k)+b(k) \bar{\psi}(k)
\end{array}
\]
и исследовать их аналитические свойства, используя технику, аналогичную той, которая была применена в разд. 3.3. В частности, показать, что $a$ имеет лишь конечное число нулей.
12. Вычислить несколько первых членов разложения $a$ при больших значениях $k$ :
\[
a(k)=1-\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) d v+\frac{1}{2} \frac{1}{2 i k^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} Q(v) d v+o\left(|k|^{-2}\right)
\]
\[
\text { при }|k| \rightarrow \infty \text {. }
\]
Заключить отсюда, что если $\lambda_{0}=-\eta_{0}^{2}-$ наибольшее собственное значение, то
\[
\left|\lambda_{0}\right| \approx\left(\int_{-\infty}^{\infty} Q(v) d v\right)^{2}
\]
и что собственные значения отсутствуют, если
\[
\int_{-\infty}^{\infty} Q(v) d v<0
\]
13. Из задачи 9 к разд. 3.3 ясно, что для операторов Дирихле на пространствах $L^{2}(-\infty, 0)$ и $L^{2}(0, \infty)$ справедливы оценки
\[
n_{-\infty} \leqslant-\int_{-\infty}^{\infty} v|Q(v)| d v, \quad n_{+\infty} \leqslant \int_{-\infty}^{\infty} v|Q(v)| d v
\]
для числа собственных значений в их спектрах. Вывести отсюда, что число собственных значений оператора Дирихле на пространстве $L^{2}(-\infty, 0) \oplus L^{2}(0, \infty)$ имеет следующее ограничение:
\[
n_{D} \leqslant \int_{-\infty}^{\infty}|v||Q(v)| d v .
\]
Однако из принципа максимума и теоремы об отображении спектров можно показать, что $M=n+1$, так что
\[
M \leqslant 1+\int_{-\infty}^{\infty}|v||Q(v)| d v .
\]
14. Исходя из представления (3.3.64), исследовать поведение $a$ и $b$ при $|k| \rightarrow 0$. В частности, получить уравнение (3.3.66)
15. Рассмотреть однопараметрическое семейство потенциалов:
\[
{ }_{a} Q=\left\{\begin{array}{ll}
a,-2 \leqslant x \leqslant-1, \\
-1,-1 \leqslant x \leqslant+1, \\
0 & \text { в остальных случаях }
\end{array}\right.
\]
и найти решение Йоста $\varphi(x, k)$. Для случая $a=-4 \pi$ определить число собственных значений оператора Шрёдингера, вычислив для этого число нулей функции $\varphi(x, 0)$. Сравнить с границей, данной в задаче (3.3.14).
Показать, что существует единственное значение $a=a_{0}$, такое, что $\varphi(x, 0)=$ const для $x>0$, и, таким образом, функции $\varphi(x, 0)$ и $\psi(x, 0)$ линейно зависимы. Вывести, что ${ }_{a} R_{+}(0)=-1$ для $a
eq a_{0}$, но что $a_{0} R_{+}(0)=-1$; поэтому независимо от того, как сходится $a Q$, соответствующая последовательность коэффициентов отражения ${ }_{a} R_{+}(0)$ не сходится равномерно в окрестности нуля.
16. Вывести из уравнения (3.3.64), что если функция $Q$ имеет компактный носитель, то функции $R_{+}$и $T_{+}$аналитичны по $k$ во всей комплексной плоскости $k$. Если носителем $Q$ является полупрямая, показать из (3.3.64) и аналогичных уравнений для представления функции $\psi$, что $T_{+}$аналитична во всей комплексной плоскости $k$, в то время как $R_{+}$аналитична в верхней полуплоскости .
Раздел 3.4
1. Рассмотрим комплексное изоспектральное уравнение Шрёдингера
\[
-\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}+Q y=k^{2} y .
\]
Повторите анализ этой главы для такого уравнения. В частности, исследуйте разложение единицы для этой задачи. Заметим, что присутствие спектральных особенностей, т. е. таких вещественных $k$, что $a(k)=0$, вызывает некоторые сложности со сходимостью разложения. Придется либо ограничить класс рассматриваемых функций из пространства $L^{2}(\mathcal{K})$, либо ввести подходящую регуляризацию расходящихся интегралов, с тем чтобы разложение функции $v \in L^{2}(\mathbb{R})$ по собственным функциям было корректно определено. Являются ли простыми собственные значения в этой задаче и где они локализованы?
2. Доказать формулы (3.4.32), предполагая, что $v \in L^{2}(\mathbb{R})$ имеет разложение
\[
v=v_{\psi} \psi+v_{\psi *} \psi^{*}+\sum_{j=1}^{M} v_{j} \psi_{j}
\]
Использовать формулы для определения коэффициентов разложения и вывести из него разложение единицы.
3. Доказать существование и единственность решения задачи Гурса, которая ставится равенством (3.4.74).
4. Ввести множество решений изоспектрального уравнения Шрёдингера (3.3.1), определяемое граничными условиями
\[
\begin{array}{ll}
g_{1}(0)=1, & g_{1 x}(0)=i k, \\
g_{2}(0)=1, & g_{2 x}(0)=-i k,
\end{array}
\]
и показать, что вектор-строка $G=\left(g_{1}, g_{2}\right)$ удовлетворяет интегральному уравнению
\[
G(x, k)=G_{0}(x, k)+k^{-1} \int_{0}^{x} \operatorname{sh}(x-y) Q(y) G(y, k) d y,
\]
где $G_{0}(x, k)=(\exp (i k x), \exp (-i k x))$. Доказать, что компоненты вектора $G$ являются целыми функциями от $k$. Положите
\[
G(x, k)=H(x, k) \mathbf{B}(k), \quad \text { где } H=(\psi, \varphi),
\]
и определите В. Определите матрицу Йоста формулой
\[
\mathbf{J}(k)=T^{-1}(k) \mathbf{B}(k)
\]
и покажите, что $\operatorname{det} \mathbf{J}(k)=T^{-1}(k)$, так что связанные состояния определяются равенством
\[
\operatorname{det} \mathbf{J}(k)=0 \text {. }
\]
Интерпретируйте собственные функции матрицы $\mathbf{J}$.
Раздел 3.5
1. Определим операторы:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{B}_{\tilde{\psi}} \equiv \mathbf{B}_{\Psi}=-\left[4 \frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}+q \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\alpha}{2} q_{x}-4 i k^{3}\right], \\
\mathbf{B}_{\bar{\varphi}} \equiv \mathbf{B}_{\Psi}=-\left[4 \frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}+q \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\alpha}{2} q_{x}+4 i k^{3}\right] .
\end{array}
\]
Эти операторы образуют пары Лакса с изоспектральным оператором Шрёдингера для уравнения КдФ, как показано в разд. 3.2. Заметим, в частности, что равенства $\bar{\psi}_{t}=\mathbf{B}_{\bar{\psi}} \bar{\psi}, \tilde{\phi}_{t}=\mathbf{B}_{\bar{\psi}} \bar{\varphi}, \psi_{t}=$ $=\mathbf{B}_{\psi} \psi$ и $\varphi_{t}=\mathbf{B}_{\varphi} \varphi$ убеждают в том, что граничные условия, определяющие решения Йоста, выполнены для всех $t$. Показать, что поскольку для всех вещественных $k$
\[
\varphi=a \bar{\psi}+b \psi,
\]
то $R_{+i}=8 i k^{3} R_{+}$, и получить эволюционное уравнение для нормировочной постоянной собственных функций для этой задачи рассеяния.
2. Покажите, что
\[
\frac{d}{d k} \log a(k)=-i \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\psi \varphi}{a}-1\right) d x,
\]
исходя из уравнения Шрёдингера.
3. Используя определение $a$ в терминах вронскиана функций $\varphi$ и $\psi$ и уравнение Шрёдингера, получить рекуррентную формулу для коэффициентов в асимптотическом разложении $\log a$ при $|k| \rightarrow \infty$. Вычислить первые три нетривиальных члена этого разложения и сравнить их с (3.5.76).
4. Вывести представление производной Фреше для функционалов $\mathscr{F}(Q)$, включающих в свое определение как производные, так и интегралы от $Q$, если дано, что $Q: R \rightarrow R$ и $Q$ является функцией Шварца общего типа.
5. Исходя из определения
\[
\operatorname{Tr}\left(\left(\mathrm{L}-k^{2}\right)^{-1}-\left(L_{0}-k^{2}\right)^{-1}\right)=-\frac{1}{2 k} \frac{d}{d k} \log a(k)
\]
и беря $\Delta$-вариацию, вывести формально (3.5.52) (вам следует использовать представление ядра резольвенты, данное в теореме 3.9).
