Для одномерного пространства уравненне (7.7.31) принимает вид
\[
\mathrm{S}_{, t}=\mathrm{S} \wedge \mathrm{S},{ }_{x x}, \quad\left|\mathrm{~S}^{\mathrm{a}}\right|=1 .
\]

Эти уравнения вместе с граничными условиями
\[
S(x, t) \rightarrow S_{0} \text { при }|x| \rightarrow \infty,
\]

где $S_{0}$ – постоянная, описывают модель мепрерывной спиновой цепочки Гейзенберга. Поскольку $\pi_{1}\left(S^{2}\right)=0$, то, казалось бы, есть основание подозревать, что у этого уравнения отсутствуют недиссипативные кинк-решения, Как мы увидим, это весьма далеко от истины. В связи с этим важно напомнить, что появление с очевндностью сохраняемых топологических величнн, вообще говоря, влечет за собой существование кинк-решений, однако явное отсутствие таких величин все же не позволяет отрицать наличие кинк-решений.

Единичный вектор $S$ можно параметризовать, как в (7.7.46): $\mathbf{S}=(\sin \theta(x, t) \cos \varphi(x, t), \sin \theta(x, t) \sin \varphi(x, t), \cos \theta(x, t)) .(7.7 .62)$ Для определения решений солитонного типа положим
\[
\theta(x, t)=\theta(x-v t), \quad \varphi(x, t)=\Omega t+\hat{\varphi}(x-v t) .
\]

Подстановка этих выражений в уравнения (7.7.60), (7.7.61) позволяет проннтегрировать получающиеся уравнения и найти, что
\[
\begin{array}{c}
\hat{\varphi}, x=v(1+\sin \theta)^{-1}, \\
(\theta, x)^{2}=4 \Omega\left[\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}\right]\left[\frac{1+\sin \theta}{2}-\frac{v^{3}}{4 \Omega}\right],
\end{array}
\]

где $\chi=(x-v t)$.
После стандартных тригонометрических преобразований уравненне (7.7.65) можно привести $K$ более простому виду

Рис. 7.25, $S_{3}$ нз уравнения (7.7.69). Ось абсцисс совпадает с осью $x_{\text {, по }}$ по оси ординат $\cos \theta(x)$.

где $\beta$ и $\beta_{0}$ определены следующим образом:
\[
\beta=\frac{1}{2} \theta, \frac{v^{2}}{4 \Omega}=\cos ^{2} \beta_{0}=1-b^{2} .
\]

Уравнение (7.7.66) можно легко проинтегрировать, что даст
\[
\sin \beta=b \operatorname{sech}\left(b \sqrt{\Omega}\left(x-x_{0}\right)\right) .
\]

Это приводит к решению
\[
S_{3}=\cos \theta=1-2 b^{2} \operatorname{sech}^{2}\left(b \sqrt{\Omega}\left(x-x_{0}-v t\right)\right),
\]

с помощью которого мы теперь можем проннтегрировать уравнение $(7.7 .64)$ и получить
\[
\begin{aligned}
\hat{\Phi}(x, t)= & \varphi_{0}+(1 / 2) v\left(x-x_{0}-v t\right)+ \\
& +\operatorname{arctg}\left[\left(\frac{b^{2}}{1-b^{2}}\right)^{1 / 2} \operatorname{th}\left(b \sqrt{\Omega}\left(x-x_{0}-v t\right)\right)\right] .
\end{aligned}
\]

На рис. 7.25 приведен график $S_{3}(\chi)$. Это недиссипативное решение с конечной энергией
\[
E=4 b \sqrt{\Omega},
\]

которое, следовательно, является кинк-решением для уравнения (7.7.60). Однако заметим, что оно подобно бризерному решению уравнения СГ, поскольку его энергия может быть произвольно мала в зависимости от величины $\Omega$. Это означает, что лишь малой энергии достаточно для возбуждения такого решения.

На вопрос о том, будет ли это уравнение иметь солитонные решения, подобные рассматриваемым в этой книгс, ответнть довольно трудно. Тьён и Райт [1977) провели численное исследование процесса столкювения двух таких кинк-решений. Столкновение представляется упругим, причем впачале два кинка взаямно проникают друг в друга, а затем вновь восстаналиваются как два отдельных кинка. По-видимому, излучения не происходит, но ясно обнаруживается сдвиг фазы.

Уравнения (7.7.60) и в самом деле входят в класс точно интегрируемых систем. Если мы определим матрицу $S$ равенством
\[
S=\mathbf{S} \cdot \mathbf{\sigma},
\]

где $\sigma$ – матрицы Паули, т. е.
\[
\sigma_{x}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{y}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{z}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right),
\]

то уравнения (7.7.60) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
S_{, t}=\frac{1}{2 i}\left(S, S_{, x x}\right), \\
S^{2}=I, \quad S^{+}=S, \quad \operatorname{tr} S=0 . \\
\end{array}
\]

Если взять $\mathrm{S}_{0}=(0,0,1)$, то условие (7.7.61) переходит в слодующее:
\[
S(x, t) \rightarrow \sigma_{z} \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]

Уравнения (7.7.74) представляют собой условия иитегрируемости обратной задачи рассеяния
\[
\begin{array}{c}
\psi_{, x}=i \lambda S_{\psi_{1}} \\
\psi, t=\left(\lambda S S_{, x}+2 i \lambda^{2} S\right) \psi .
\end{array}
\]

Эта обратная задача рассеяния допускает тот же подход, что и примененный к АКНС-системе в гл. 6. Для (7.7.77), (7.7.78) могут быть построены уравнения Гельфанда-Левитана-Мартенко и определены солитонные решения, включающие (7.7.69), (7.7.70).

Обратная задача рассеяния для нелинейного уравнения Шредингера
\[
i \varphi, t+\varphi, x x+2|\varphi|^{2} \varphi=0
\]

задается следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\psi}, x=\left[i \lambda \sigma_{2}+\left(\begin{array}{rr}
0 & \varphi \\
-\varphi & 0
\end{array}\right)\right] \tilde{\psi}, \\
\tilde{\psi}, t=\left[-i\left(\begin{array}{cc}
\varphi \tilde{\varphi} & \bar{\varphi}, x \\
\varphi, x & -\varphi \bar{\varphi}
\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{cc}
0 & 2 \bar{\varphi} \\
-2 \varphi & 0
\end{array}\right)+2 i \lambda^{2} \sigma_{z}\right] \tilde{\psi} .
\end{array}
\]

Применяя преобразование вида
\[
\psi=g(x, t) \tilde{\psi}
\]

где $g(x, t)$ – независящая от $\lambda$ матрица, можно систему (7.7.77), (7.7.78) преобразовать к системе, имеющей вид (7.7.80), Таким образом, нелинейное уравнение Шредингера и уравнения линейной цепочки модели Гейзенберга являются в том смысле, как мы определили, эквивалентными. Преобразование вида (7.7.81) волновой функции задачи рассеяния известно как калибровочное преобразование. Две системы, связанные таким образом, называются калибровочно эквивалентными.

Другой уместный пример взаимоотношений такого типа касается уравнений Гейзенберга для ферромагнетиков, Задача рассеяния
\[
\begin{array}{c}
\psi_{\xi}=\left[\zeta\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right)+\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}
\varphi, \xi & 0 \\
0 & -\varphi_{\xi}
\end{array}\right)\right] \psi, \\
\psi_{, \xi}=\zeta^{-1}\left[\begin{array}{cc}
0 & e^{-l \varphi} \\
-e^{\ell \varphi} & 0
\end{array}\right],
\end{array}
\]

где $\xi=x+i y$, может быть ассоцнирована с яллиптическим уравнением $С \Gamma$
\[
\varphi_{, x x}+\varphi, y y=4 \sin \varphi .
\]

Пусть $\Psi$ – фундаментальное матричное решение системы (7.7.82)-(7.7.83). Нетрудно показать, что $\Psi$ можно выбрать принадлежащим $S U$ (2). Если мы определим матрицы $g$ и Ф равенствами
\[
g=\Psi(\zeta=1), \quad \Psi=g \Phi,
\]

то, производя простые вычисления, мы сможем показать, что Ф удовлетворяет уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{, \xi}=(\zeta-1) g^{-1}\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) g \Phi, \\
\Phi, \xi=\left(\zeta^{-1}-1\right) g^{-1}\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{i \Phi} \\
-e^{-i \Phi} & 0
\end{array}\right) g \Phi .
\end{array}
\]

Матрица $S$, определенная формулой
\[
S=g^{-1}\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) g,
\]

обладает следующими свойствами:
\[
\begin{array}{l}
S S_{, \xi}=2 g^{-1}\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) g, \\
S S_{, \xi}=2 g^{-1}\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{i \Phi} \\
-e^{-i \Phi} & 0
\end{array}\right) g \Phi .
\end{array}
\]

Если $S$ выражается через матрицы Паули равенством $S=\mathbf{S} \cdot \boldsymbol{\sigma}$, то $S S_{, a}=$ iS $\wedge S_{, a} \cdot \sigma(a=\xi, \bar{\xi})$, и с помощью формул (7.7.89)(7.7.90) уравнения (7.7.86)-(7.7.87) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\Phi, \xi=\frac{1}{2 i}(1-\zeta) S \wedge S, \xi \cdot \sigma \Phi, \\
\Phi, \bar{\xi}=\frac{1}{2 i}\left(1-\zeta^{-1}\right) S \wedge S_{, \bar{\xi}} \cdot \sigma \Phi .
\end{array}
\]

А это как раз и есть уравнения Гейзенберга обратной задачи рассеяния для ферромагнетиков, ранее приведенные в виде (7.7.57), (7.7.58). Следовательно, у нас есть средство, позволяющее по решениям эллиптического уравнения СГ (7.7.84) конструировать решения для ферромагнетиков. Процедура очень похожа на ту, что была связана с преобразованием Бэклунда. Задавая вначале решение уравнения (7.7.84), можно решить уравнения (7.7.82), (7.7.83) при $\zeta=1$ и построить фундаментальную матрицу. Если бы полное преобразование обратной задачи рассеяния оказалось бы пригодным для (7.7.82), (7.7.83), то, решая уравнення Гельфанда-Левитана-Марченко, можно было бы одновременно получить солитон и матрицу $\mathrm{g}$. K сожаленню, для эллиптического случая необходимых для этого уравнений не существует. Однако если матрица $g$ найдена, то построить $S$ легко, Действительно, если записать
\[
g=\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-b^{*} & a^{*}
\end{array}\right)
\]

то из (7.7.88) получается, что
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=i\left(a^{*} b-b^{*} a\right), \\
S_{2}=\left(a^{*} b+b^{*} a\right), \\
S_{3}=|a|^{2}-|b|^{2} .
\end{array}
\]