Если метод аппроксимирующих фуикций с локальными базисными функциями выбран и обыкповенные дифференцильные уравнения, порожденныс (10.2.6) или (10.2.9), решсны с помощью некоторой подходящей дискретизации по времени, то конечный результат представляет собой множество разиостных уравнений для коэффициентов $c_{m}^{n}=c_{m}\left(t_{n}\right)$, очень нохожих на конечноразностные уравнения. Қакой бы подход ни был выбран, в идеале хотелось бы показать, что метод язляется сходяцияся, т. е. что суммарная погрешность для некоторого фиксированного и конечного значения $t$ стремится к нулю, когда длина шага (расстояние между соседними узлами) стремится к нулю или число фуікцнй базиса стремится к бесконечности. К сожалению, доказательство сходимости, даже если оно возможно, обычно является исклюцительно трудным, и удовлетворительная теория в общем случае развита лишь для линейных дифференциальных уравнений (Мейз и Марковиц [1978]). Большинство разработок, связанных с нелинейными методами, основано на анализе лизеаризаций в окрестности некоторых постоянных решений. В дальнейшем мы будем придерживаться такого подхода и обсуждать только необходимые условия для сходимости вместо более хитроумной и технически сложной проблемы достаточности.

Для обеспечения сходимости метод, вообце говоря, должен быть согласованным и устойчивым. Согласованный метод – это такой, для которого погрешность метода стремится к нулю, когда стремится к нулю длина шага, Иногда этот предел должен быть взят специфическим образом; например, для метода \”классиков» предел должен быть таким, что $k / h \rightarrow 0$ при $k, h \rightarrow 0$. Устойчивость означает, что некоторая норма приближенного решения должна оставаться ограниченной при $n \rightarrow \infty$, где $n k=t$ при фиксированном $t$. Даже устойчивость обычно трудно доказывается для нелинейных дифференциальных уравнений, остается зачастую довольствоваться изучением устойчивости для линеаризованного варианта этих уравнений. Мы дадим здесь простое описание одного подхода к анализу устойчивости, основанного на методе Фурье, и перечислим литературу, по которой читатель может познакомиться $c$ дополнительными подробностями и деталями этого метода и с другими методами анализа устойчивости.

В методе Фурье дискретная аппроксимация $u_{m}^{n}$ разлагается на фурье-моды или гармоники и анализируется поведение каждой моды. Типичная мода будет вести себя как $\mu^{n} \exp (i \beta m)$, где $i-$ квадратный корень из (-1), а $\beta$ есть дискретная фурье-переменная, меняющаяся в интервале [0, $\pi$ ]. Подстановка такого члена в разностное уравнение дает уравнение для определения $\mu$ как функции $\beta$ и длины шага в задаче. Необходимое условие для устойчивости состоит в том, что $|\mu| \leqslant 1$ для всех $\beta$. Например, шодстановка этого члена в простую явную схему (10.2.10) для линейного уравнения теплопроводности дает
\[
\mu=1-4\left(k / h^{2}\right) \sin ^{2}(\beta / 2) .
\]

Мы видим, что для этой схемы требование устойчивости состоит в том, чтобы $k \leqslant h^{2} / 2$. В этом случае мы будем говорить, что схема условно устойчива, т. е. она устойчива лишь тогда, когда шаг по времени $k$ ограничен некоторой функцией от шага по пространству. Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство того, что для случая уравнения теплопроводности простая неявная схема, схема Крзнка – Николсона и схема «классиков» – все являются безусловно устойчивыми, в то время как схема с чередованием неустойчива для всех конечных $k$. – Однако схема с чередованием оказывается устойчивой для линейного уравнения Шрёдингера при $k \leqslant h^{2} / 4$ и для линейного волнового уравнения при $k \leqslant h$. Для трехуровневых схем, таких как схема с чередованием, метод Фурье ведет к квадратному уравнению для «коэффициента усиления» $\mu$. Хотя в этих простых примерах получающиеся корни легко можно проанализировать, в более сложной ситуации часто оказываются полезными результаты Миллера [1973].

Для систем уравнений коэффициент усиления заменяется матрицей усиления: тогда необходимо показать, что собственные значения этой матрицы ограничены по абсолютной величине единицей.

Когда требование устойчивости налагает ограничение на величину шага по времени, это приводит к важным практическим последствиям, поскольку для меньших $k$ приходится затрачивать большее машинное время для достижения заданного значения $t$. Величины $k$ и $h$ ограничиваются также соображениями точности. Эти соображения особенно важны для пространств более высокой размерности.