В лабораторных координатах уравнение КдФ принимает безразмсрный вид:
\[
u_{t}+u_{x}+u_{x x}+u_{x x x}=0 .
\]

Линейный член $u_{x}$ можно брать преобразованием к системе координат, движущейся с единчной скоростью, и мы получаем более знакомый вариапт уравнения
\[
u_{t}+u u_{x}+u_{x x x}=0 .
\]

Вперные уравнение КдФ было численно исследовано Забуски и Қрускалом (Забуски [1967], Забуски и Крускал [1965I). Они применили следующую конечно-разностную схему с чередованием:
\[
\begin{array}{r}
u_{m}^{n+1}=u_{m}^{n-1}-\frac{k}{3 h}\left(u_{m+1}^{n}+u_{m}^{n}+u_{m-1}^{n}\right)\left(u_{m+1}^{n}-u_{m-1}^{n}\right)- \\
-\frac{k}{h^{3}}\left(u_{m+2}^{n}-2 u_{m+1}^{n}+2 u_{m-1}^{n}-u_{m-2}^{n}\right) .
\end{array}
\]

Пространственное усреднение величины $u$ в конечно-разностном приближении для члена $u u_{x}$ взято с целью сохранения энергии (112) $\Sigma\left(u_{m}^{n}\right)^{2}$ с точностью до членов порядка $O\left(k^{2}\right)$. Условие линейной устойчивости для этой схемы состоит в том (Грейг и Моррис [19761), что
\[
k / h^{3} \leqslant\left(4+h^{2}\left|u_{0}\right|\right)^{-1}
\]

и означает, что для сохранения устойчивости необходимо взять очень маленький шаг по времени (здесь $u_{0}$ максимальное значение $u$ в интересующей нас области). Свойства нелинейной устойчивости этой схемы интенсивно изучал Ньюэл [1977]. Обзор конечно-разностных схем для уравнений КдФ появился в статье Влигенгхарта [1971]. Грейг и Моррис [1976] предложили схему «классиков» для этого уравнения. Эта схема имеет менее ограничительное условие устойчивости:
\[
k / h^{3} \leqslant\left(2-h^{2} u_{0}\right)^{-1} .
\]

Можно показать, что схема «классиков» дает лишь незначительную погрешность в ее модах Фурье. Однако очевидно, что даже условие (10.4.5) требует малого шага по времени: двухсолитонное столкновение требует 4800 временных шагов для получения точности в конечной амплитуде порядка $1 \%$.

Применение спектральных и псевдоспектральных методов к уравнению КдФ изучалось Шамелем [1978] и Абе и Ино [1980]. Многие авторы занимались применением метода Галеркина к этому уравнению, например Санс-Серна и Кристи [1981]. Эти авторы использовали кусочно-линейные базисные функции вместе с кубическими пробными функциями для получения метода четвертого порядка по пространству. Они обнаружили, что эта схема с $h=0.033$ и $k=0.01$ дает лучшую тоцность, чем схема Забуски-Қрускала с $h=0.01$ и $k=0.0005$. Этот впечатляющий результат позволяет предположить, что эта схема является одной из наилучших применяемых в настоящее время для уравнения КдФ. Дальнейшие схемы были описаны в обзоре Шумбн [1982].

Другой подход к численному изучению уравнений КдФ был предложен Осборном и Провензале [1981]. В этом исследовании было непосредственно применено преобразование обратной задачи рассеяния для решения задачи с начальными условиями, когда пачальные даниые аплроксимируюте кусочно постоянными функциями. Это обобщенис обычиого спектрального метода обещает быть полезным техпическим инструментом, с тем исключением, что оно неприменимо для уравнений, для которых не известна обратиая задача рассеяния.

Форнберг и Уизем [1978] опубликовали подробности численного исследювания уравнения КлФ и родственных уравнсний, в особенности имеющих вид
\[
u_{t}+u u_{x}-\int_{-\infty}^{\infty} K(x-\xi) u_{\xi}(\xi, t) d \xi=0,
\]

гдс ядро $K(x)$ можно выбирать цля получения различных дислерсионных эффектов. Эти авторн примснили комбинацию псевдоспектрального метода по переменной $x$ и разностную схему с черецованием по $t$. Этот подход идеально подходит к уравнениям с линейным интегральным членом вроде (10.4.6). Их схема налагала уеловие устойчнвости
\[
k / h^{3} \leqslant 3 /\left(2 \pi^{2}\right) \approx 0.152 .
\]

Точность этого метода, по заявлению авторов, высока, однако, к сожаленно, непосредственные сравнения с цругими схемами отсутствуют. Форнберг и Уизем рассмотрели также уравнение КиФ высшего порядка
\[
u_{t}+u^{b} u_{x}+u_{x x x}=0,
\]

и численные расчеты показали, что для $p \geqslant 3$ столкновения солитонов неупруги. Однако результаты для (10.4.6) при $K(x)=$ $=-\frac{\pi}{2} \exp (-|x| \pi / 2)$ в определснной степени указывают на существованис точных двухсолитонных решений. K сожалению, вычисления были проведены с таким шагом, что удалось достичь лишь посредственной точности, и потребуются дальнейшие проверки, прежлс чем можно будет с увсрениостью утверждать о наличии точного солитонного говедения.