Ферми, Паста и Улам в Лос-Аламосе. (Ферми [19551) занимались, как в то время казалось, совершенно изолированной проблемой – они исследовали поведение систем, которые первоначально были линейными, но в которые была привнесена нелинейность как возмущение. Если бы такого возмущения не было, энергия каждой нормальной моды линейной системы была бы постоянной. Можно было надеяться, что нелинейные взаимодействия между модами приведут к тому, что энергия системы равномерно распределится между всеми модами – этот результат был бы в согласии с теоремой о равномерном распределении. Но полученные результаты противоречили этой идее. Здесь читатель может удивиться, какое все это имеет отношение к уединенной волне Расселла и уравнению КдФ. Оказывается, что самое непосредственное, но чтобы убедиться в этом, необходимо проделать некоторые выкладки. Важность задачи ФПУ обусловлена тем, что неожиданные результаты этой работы стимулировали исследование нелинейных систем такого типа, и многие современные работы по солитонам берут свое начало именно оттуда. В связи с этим важно прояснить некоторые детали. В своей оригинальной работе ФПУ приводят результаты громоздких вычислений, которые мы не можем здесь ни привести, ни объяснить. Вместо этого мы дадим краткое резюме для того, чтобы объяснить, как эта нелинейная задача связана с уравнением КдФ.

Рассмотрим динамическую систему, состоящую из $N$ идентичных частиц единичной массы на прямой с фиксированными конечными точками ( $N$ велико; ФПУ рассматривали $N=64$ ). Предположим, что между ближайшими соседями действуют силы. Пусть $Q_{n}$ обозначает смещение из состояния равновесия $n$-й частицы. Тогда уравнение движения этой частицы можно записать в виде
\[
\ddot{Q}_{n}=f\left(Q_{n+1}-Q_{n}\right)-f\left(Q_{n}-Q_{n-1}\right) .
\]

Здесь $f(Q)$ – некоторая функция, которая включает в себя как обычное линейное взаимодействие между ближайшими соседями,

так и некоторый малый нелинейный член. ФПУ рассматривали два случая:
\[
\begin{array}{l}
f(Q)=\gamma Q+\alpha Q^{2}, \\
f(Q)=\gamma Q+\beta Q^{3} .
\end{array}
\]

Здесь $\gamma$ – линейная константа цепочки, а константы $\alpha$ и $\beta$ выбираются таким образом, чтобы максимальное смещение $Q$, вызываемое нелинейным членом, было мало. Если использовать

Рис. 1.3. Воспроизведен из ФПУ (Ферми и др. [1955]).
нелинейности такого вида и численно решить уравнение (1.3.1) с начальными условиями в виде, скажем, синусоидальной волны, то обнаружится, что энергия не распределяется между всеми нормальными модами, а остается в начальной моде и нескольких ближайших. K тому же плотность энергии в этих ближайших модах имеет почти периодический характер зависимости от времени. Рис. 1.3 взят из оригинальной статьи, написанной ФПУ, и представляет собой график зависимости энергии от времени для первых пяти мод с синусоидальными начальными данными.

После большого числа колебаний энергия каждой нормальной моды выглядит как почти периодическая функция от времени, причем энергия не перераспределяется в более высокие моды с течением времени. Строгое объяснение этой периодичности стимулировало более глубокое изучение уравнений типа (1.3.1). При некоторых приближениях уравнение (1.3.1) можно преобразовать в уравнение КдФ в континуальном пределе, т. е. при переходе к непрерывному случаю.

Гл. 1. Уединенные волны и солитоны
Для того, чтобы заменить члены типа $Q_{n}$ непрерывными переменными, используем разложение в ряд Маклорена:
\[
\left[\exp \left(a \frac{\partial}{\partial n}\right)\right] F(n)=F(n+a),
\]

где $n$ теперь рассматривается как непрерывная переменная. Уравнение (1.3.1) при $Q_{n}(t)=Q(n, t)$ принимает вид
\[
\ddot{Q}=f\left\{\left[\exp \left(\frac{\partial}{\partial n}\right)-1\right] Q\right\} \Gamma f\left\{\left[1-\exp \left(-\frac{\partial}{\partial n}\right)\right] Q\right\} .
\]

Разлагая функцию $f$ в ряд Маклорена, получим
\[
\begin{aligned}
\ddot{Q}=f^{\prime}(0)\left[\frac{\partial^{2} Q}{\partial n^{2}}+\frac{1}{12} \frac{\partial^{4} Q}{\partial n^{4}} \ldots\right] & +\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(0)\left[2 \frac{\partial Q}{\partial n} \cdot \frac{\partial^{2} Q}{\partial n^{2}}+\cdots\right] \\
& +\frac{1}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0)\left[3\left(\frac{\partial Q}{\partial n}\right)^{2} \frac{\partial^{2} Q}{\partial n^{2}}+\cdots\right] .
\end{aligned}
\]

На глаз трудно определить, какие члены в (1.3.6) нужно сохранить, а какими следует пренебречь, поэтому мы введем шаг решетки $l$ и определим переменную $x=\ln$ как расстояние вдоль решетки. Кроме того, мы при помощи $l$ сделаем замену переменной $Q: Q=l^{r} p$, где величина $r$ подлежит определению. Эта величина зависит от того, какой вариант нелинейного члена мы выбираем – квадратичный или кубический. Теперь уравнение (1.3.6) приобретает вид
\[
\begin{aligned}
\ddot{P} & =f^{\prime}(0)\left\{l^{2} \frac{\partial^{2} P}{\partial x^{2}}+\frac{l^{4}}{12} \frac{\partial^{4} P}{\partial x^{4}}+\cdots\right\} \\
& +\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)\left\{2 l^{r+3}(\partial P / \partial x)\left(\partial^{2} P / \partial x^{2}\right) \ldots\right\} \\
& +\frac{1}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0)\left\{3 l^{2 r+4}(\partial P / \partial x)^{2}\left(\partial^{2} P / \partial x^{2}\right) \ldots\right\} .
\end{aligned}
\]

Если функция $f$ выбрана в виде (1.3.2), то получаем $f^{\prime}(0)=\gamma$; $f^{\prime \prime}(0)=2 \alpha ; f^{\prime \prime \prime}(0)=0$. Поэтому если положить $r=1$, то члены с квадратичной нелинейностью оказываются одного порядка с членом, содержащим четвертую производную. Полагая $u(x, t)=$ $=\partial P / \partial x$, с точностью до $O\left(l^{4}\right)$ имеем
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left\{\frac{l^{4}}{12} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\alpha l^{4} u^{2}+l^{2} \gamma u\right\}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} .
\]

Если рассматривать это уравнение с точностью до $O\left(l^{2}\right)$, то это будет не что иное, как линейное волновое уравнение. Уравнение (1.3.8) известно под названием уравнения Буссинеска и описывает волны, которые могут перемещаться как влево, так и вправо. Его решение в виде уединенной волны для бесконечной цепи имеет вид
\[
\begin{array}{c}
u=\left(n^{2} / 8 \alpha\right) \operatorname{sech}^{2} \frac{1}{2}(a x-\omega t+8), \\
\omega^{2}=\gamma a^{2} l^{2}+a^{4} l^{4} / 12 .
\end{array}
\]

Уравнение Буссинеска похоже на уравнение КдФ по своей структуре, и можно ожидать, что оно сведется к уравнению КдФ для волн, распространяющихся только в одном направлении. Это позволит проследить начальное возмущение только в одном направлении вдоль цепи. Используем масштабные преобразования переменных $x, t$ и $u$. Сначала введем малый параметр $\varepsilon$ и выберем новые пространственную и временную переменные
\[
\xi=\varepsilon^{p}(x-c t), \quad \tau=\varepsilon^{q} t,
\]

затем разложим $u$ по степеням параметра $\varepsilon$ :
\[
u=\varepsilon u^{(1)}+\varepsilon^{2} u^{(2)}+\cdots .
\]

Для того, чтобы все члены с четвертой производной, производной по времени, а также нелинейные члены были одного и того же порядка по $\varepsilon$, необходимо положить $c=\gamma^{1_{j}^{2}} l, p=1 / 2$ и $q=3 / 2$. Полученное при этом уравнение для $u^{(1)}$ можно проинтегрировать по $\xi$, при этом получится уравнение КдФ:
\[
\frac{l^{3}}{12} \frac{\partial^{3} u^{(1)}}{\partial \xi^{3}}+2 \alpha l^{3} u^{(1)} \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi}+2 \gamma^{1 / 2} \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \tau}=0 .
\]

Для кубически нелинейной цепочки с функцией $f(Q)$, определенной по формуле (1.3.3), имеем $f^{\prime}(0)=\gamma, f^{\prime \prime}(0)=0$ и $f^{\prime \prime}(0)=6 \beta$. Теперь для того, чтобы кубически нелинейные члены и члены с четвертой производной оказались одного порядка, придется выбрать $r=0$. Тогда с точностью до $O\left(l^{4}\right)$ получим
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left\{\frac{l^{4}}{12} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\beta l^{4} u^{3}+\gamma l^{2} u\right\}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} .
\]

Проделав такие же масштабные преобразования переменных, как и в предыдущем случае, мы сможем теперь привести интересующие нас члены к одному порядку при $p=1, q=3$ и $c=\gamma^{1 / 2} l$. Интегрирование по $\xi$ приводит к уравнению
\[
\frac{l^{3}}{12} \frac{\partial^{3} u^{(1)}}{\partial \xi^{3}}+3 \beta l^{3}\left(u^{(1)}\right)^{2} \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi}+2 \gamma^{1 / 2} \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \tau}=0,
\]

у которого есть решения, распространяющиеся только вправо. В уравнении (1.3.15) присутствует кубическая, но не квадратичная, нелинейность, и оно называется модифицированным уравнением КдФ (мКдФ). Для бесконечной цепочки решение уравнения (1.3.15) в виде уединенной волны имеет вид
\[
\begin{aligned}
u^{(1)} & =a(6 \beta)^{-1 / 2} \operatorname{sech}\{a \xi-\omega \tau+\delta\}, \\
\omega & =\left(l^{3} a^{3}\right) / 24 \gamma^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

С физической точки зрения то, чего мы достигли, есть сведение квадратично и кубично нелинейных цепочек соответственно к двум нелинейным уравнениям в частных производных, уравнениям КдФ и мКдФ, на большом отрезке в пространстве и во времени для волн малой амплитуды, распространяющихся в одном направлении. Этот метод известен как редуктивная теория возмущений, и он будет детально обсужден в гл. 5 для различных примеров, в которых возникают уравнения КдФ и мКДФ. Для бесконечной цепочки профили уединенных волн представляют собой волны малой амплитуды, переносящие импульс при движении вдоль цепочки в локализованных пакетах таким же образом, как в случае мелкой воды, который наблюдал Скотт Расселл.