Основная цель этой главы, а на самом деле всей книги, состоит в изучении интегрируемых уравнений с частными производными. В этом заключительном разделе мы несколько отьйдем от этой темы, рассматривая эффект диссипации в примерах дисперсионной неустойчивости этой главы, Во всех солитонных уравнениях затуханис разрушит характер их точной интегрируемости, и попытка рассмотреть преобразование обратной задачи рассеяния окажется бессодежательной, поскольку данные рассеяния будут стремиться к нуло на бескопечности. Разумеется, каждая физическая система подвержена некоторым потерям энергии, однако малым.

Оказывается, что включение слабых потерь элергии в модельные вычисления в этой книгс, хотя и уместно физически, все же не приведет ни к каким математически интересным результатам. Например, включение слабой вязкости в примеры с жидкостями или плазмой, которые в отсутствие потерь приводили к Кдфуравнению, способствует появлению лишь члена $u_{x x}$, превращая КдФ-уравнение в уравнсние ҚдФ-Бюргерса.
$A B$-уравиения являотся примером, который дает некоторые интересные результаты, когда в расчет принимается затухание. Эти уравнения были псрвоначально получены в слабо нели нейном приближении в окрестюости критических точек систем, корни дисперсиониых соотношений которых образуют комплексно сопряженные пары. Включение любых затуханий, чтобы оно не разрушало структуры $A B$-уравнений, должно, во-первых, касаться чиенов порядка $O(\varepsilon)$, т. е. быть слабым, а во-вторых, не попускать dундамелтальны сдниов нейтральной кривой, на которой основап вввод $A B$-уравнений. $\mathrm{K}$ настоящему времени неизвестно, как работьты с полиыми уравнениями в частных пронзводных, поскопьку днскипативые тлены разрунают свойсьва ах ниегрируемости. По этой причинс мы будем рассматривать $A B$-уравнения только с изменением по времени:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} A}{d T_{1}^{2}}= \pm \alpha A-\beta A B, \\
\frac{d B}{d T_{1}}=\frac{d}{d T_{3}}\left(|A|^{2}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (9.5.1) ниен струкуру кубически нелинейносю осциллятора. Включспие слабого затухания, вапример внзкости, приводит к наделению оспатлтора диссипатнвными членами, т. е. к следующему видоизменению уравиений:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} A}{d T_{1}^{d}}+\Delta_{1} \frac{d A}{d T_{1}}= \pm \alpha A-\beta A B, \\
\frac{d B}{d T_{1}}+\Delta_{2} B=\left(\frac{d}{d T_{1}}+\Delta_{3}\right)|A|^{2} .
\end{array}
\]

Эффект пространственых пронзводых на пространственио независимые решения уравнений (9.5.2) и (9.5.3) является открытым вопросом, 10 приводит в действие механизм неустойчивости Бенджамнна-Фсйра, в котором зависящее от времени (только) решеиие может оказаться неустойниним к побочным модам.

Вывод уравнений (9.5.2) и (9.5.3) интуитивно очсвиден и может быть совершен выдепием дополпительных диссиативых чтенов в выкладки разд. 9.2. Единственое ограничение на эти выкиадки в гом, что псходная нойтралыная кривая не должна быть сдвинута более чем на величину $O(\varepsilon)$, ибо в противном случае сдвинется критическая точка, в окрестности которой рассматриваются все гейлоровские разложения. Если к исходной модели добазить чистые слабо дисснгативные эффекты, то величины $\Delta_{i}$ и $\alpha$ останутся вещественыыми, если же включить дополнительные слабо дисперсионжые эффекты, то очевидно, что $\Delta_{1}$ и станут комплексными. Дисперсионные эфректы никогда не отражаются ни на затухании, ни на скорости роста, и поэтому этот последний вид эффекта вноснт вкмад только в мнимую часть $\Delta_{1}$ и $\alpha$. Название «дополиктельые слабые дисперснонные эффекты\» означает, что даже конда мы рассматриваем незатухающую дисперсионную систему как фундаментальную математическую модель, то все равло эффект других слабо диснерснонных члешов в уравнении движения можно рассматривать феноменологически так, как если бы они были слабо дисснпативными. Эта процедура остается в силе в предположении, что характер рассматривасмой ғсустой чивости не нарушен. Два физнческих примера таких дисперсионцихея потоках дпя учета эффектов кривизны, и так называемые расстренные члены в лазерах, где резонрунцая полость не вполне подстроена под резонансюую чистоту атомиого образа. Эти эффекты будут рассмотрены более пифобно в стедующих примерах.

Уравнения (9.5.2) и (9.5.3) сами по себе не кажутся особонно интересными. Одыако мы прсобразуем их в систему трех ббыковенных дифференциальных уравнений псрвоб поридка с помоцью следующи замен:
\[
\begin{array}{c}
\tau=\Omega T_{1}, \quad \Omega=\operatorname{Rc} \Delta_{1}-(1 / 2) \Lambda_{3} \\
X=(2 \beta)^{1 / 2} \Omega^{-1} A, \\
Z=2 \beta \Omega^{-1} \Delta_{3}^{-1} B .
\end{array}
\]

Уравнения (9.5.2) и (9.5.3) теперь приводятся к виду
\[
\begin{array}{c}
\dot{X}—\sigma X+\sigma Y \\
\dot{Y}=-X Z+r X-\alpha Y \\
\dot{Z}=-\beta Z+\frac{1}{2}\left(X^{*} Y \cdots X Y^{*}\right)
\end{array}
\]

где $r=r_{1}+i r_{2}, a=1$— $і$ и пить параметров определяптся формулами
\[
\begin{array}{c}
\sigma=\frac{1}{2} \Delta_{3} \Omega^{-1}, \quad b=\Delta_{2} \Omega^{-1}, \\
r_{2}=\left[\Delta_{3} \operatorname{Im}\left(\Delta_{1}\right)-i 2 \operatorname{Im}(\alpha)\right]\left(\Delta_{3} \Omega\right) ; \\
r_{1}=1+2 \operatorname{Re}(\alpha) / \Delta_{3} \Omega, \\
e=-\left(\operatorname{Im} \Delta_{1}\right) \Omega^{-1} .
\end{array}
\]

Дополиительная переменная $Y$ определяетяя уравнением (9.5.7), а переменная $X$ не должна смешиваться с медленной переменной $X_{1}$. Уравнения (9.5.7)-(9.5.9) известны как ураннения Лоренца (Лоренц [19631) в комплексной форме. В случае включения лишь слабо диссипативных, а џе слабо дисперсионых эффектов эти уравнения сводятся к вецественной форме уравненнй Лоренца. В таком случае In $\Delta_{1}=\operatorname{Im} \alpha-0$ и, стало быть, $a-1$ и $r$ вещественно. Қомптексная природа перемениых $X$ и $Y$ может быть изменена па вецественню с помощью фазовых преюбразований и уравнения сводятся к виду, рассмотренному Лоренцем:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-\sigma X+\sigma Y, \\
\dot{Y}=\left(r_{a}-Z\right) X-Y, \\
\dot{Z}=-b Z+X Y .
\end{array}
\]

Уравнения Лорениа знаменит дсмопстрацией последовательности бифуркаций, которые прн некоторых знєчния $r$ прнводят к траекториям в фазопом пространтве, принадлежащим объекту, который называется странным атрактором. Обсуждепие этой тсмы ни в малейшей степени не входит в наши намерення, но заиттерсованному читателю мы рскоменцусм обратиться сначала к орнгинальной статье Лоренца, д затем к статьм, содержащимся в тексте или в литературе в рабогах Марсдена и Маккракена [1976] и Хакена [19781. O решениях этих обыкповсиых дифференциальных уравнений можыо сказать слецующее. Хотя периодические и квазипсриодические решения онсынакт упорядоченное состояние в том смысле, что эңергетиеский слектр Фурье содержит одну или более независимых частот, эпергетический спектр странноюо аттрактора широкий. Его ножно иредставлять себе как хаотичсское или турбулентное состолние, поскольку хаотичный аттрактор зысокочувствитслен к мельчайшим изменениям в начаяьных уеловиях.

В своей оригинальной статье Лорспц [1963] изучал двумерную проблему коивекции газа. В его задаче б былочнслом Прандтля, а $r_{a}$— числом Рулея. Появление в этом разделе уравнений Лорепла соверпенно не связано с задачей конвекции Лоренца (о которой рассказываетея в примечаниях), эти два момента не следует смешивать.

Мы сейчас исследуем поведение исходного вещественшого варнанта уравнений Лоренца (9.5.11) так глубоко, насколько это можно сделать аналитически. Система имсет нелодвижные точки в начале координат $X=Y=Z-0$, когда $0<r_{a}<1$, и также при
\[
\begin{array}{c}
X-Y= \pm\left[b\left(r_{a}-1\right)\right]^{1 / 2}, \\
Z=\left(r_{a}-1\right), \quad r_{a}>1,
\end{array}
\]

Линеаризашия вблизи начала координат дает
\[
\left(\begin{array}{l}
X \\
Y \\
Z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
-\sigma & \sigma & 0 \\
r_{a} & -1 & 0 \\
0 & 0 & -b
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
X \\
Y \\
Z
\end{array}\right) .
\]

Решения вида а $\exp (\lambda t)$ находятся по собственным значениям матрицы в (9.5.13). Характеристическое уравнение имеет вид
\[
(\lambda+b)\left[\lambda^{2}+\lambda(\sigma+1)+\sigma\left(1-r_{a}\right)\right]=0 .
\]

Корни этого уравнения суть $\lambda=-b$ и
\[
\lambda=\frac{1}{2}\left\{-\sigma-1 \pm\left((\sigma+1)^{2}+4 \sigma\left(1-r_{a}\right)\right)^{-1 / 2}\right\} ;
\]

когда $0<r_{a}<1$, все они отрицательны. Начало координат устойчиво, и если траектории в фазовом пространстве спирально навиваются на эту точку, то ее называют притягивающей неподвижной (особой) точкой. Если $r_{a}>1$, то один из корней становится положительным, и начало координат теперь неустойчиво и о нем говорят как об отталкивающей неподвижной точке. Однако если $r_{a}>1$, то появляются другие неподвижные точки, заданные в (9.5.12). Линеаризация вблизи этих точек приводит к характеристическому уравнению
\[
\lambda^{3}+\lambda^{2}(\sigma+b+1)+\lambda b\left(\sigma+r_{a}\right)+2 \sigma b\left(r_{a}-1\right)=0 .
\]

Рассматривая возможность появления пары комплексно сопряженных корней, $\lambda=\lambda_{0} \pm i \Omega$, мы видим, что, когда $r_{a}$ изменяется, точка $r_{a}=r_{a c}$, в которой $\lambda_{0}$ меняет свое значение с положительного на отрицательное, становится точкой неустойчивости для этих неподвижных точек, В такой точке мы можем выделить множитель $\lambda^{2}+\Omega^{2}$ из (9.5.16) и записать характеристическое уравнение в виде

откуда
\[
\left(\lambda^{2}+\Omega^{2}\right)(\lambda+\delta)=0,
\]
\[
\begin{array}{c}
\delta=\sigma+b+1 ; \Omega^{2}=b\left(\sigma+r_{\alpha}\right), \\
\delta \Omega^{2}=2 \sigma b\left(r_{a}-1\right) .
\end{array}
\]

Эти три уравнения дают значение $r_{a}$ вида
\[
r_{a c}=\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1} .
\]

Чтобы это значение $r_{a}$ было положительным, необходимо, чтобы $\sigma>b+1$. Итак, когда $0<r_{a}<1$, начало координат является единственной устойчивой неподвижной точкой. Когда $1<r_{a}<$ $\left\langle r_{a c}\right.$, начало координат неустойчиво, но две другие неподвижные точки устойчивы; траектории в фазовом пространстве будут отталкиваться началом координат, но притягиваться другими двумя неподвижными точками. Когда $r_{a}>r_{a c}$ (при условии, что $a>b+1$ ), эти две неподвижные точки становятся неустойчивыми. Следующий шаг, предпринятый Јоренцем, заключалея в том, что он выполнил численное интегрирование этой системы $r_{a}>r_{a c}$, чтобы увидеть, как ведут себя траектории в фазовой плоскости. Он выбрал $b=8 / 3, \sigma=10$, откуда получилось, что $r_{a c}=470 / 19=24.73$ и $r_{u}=28$. Численный график траекторий в фазовом пространстве показал, что они апериодичны и движутся к притягивающей поверхности, известной как аттрактор Лоренца. Не прибегая к некоторым сложным топологическим рассмотрениям, невозможно адекватно описать аттрактор Лоренца, можно лишь сказать, что он представляет собой некоторую риманову поверхность с бесконечным числом листов. Траектории орбит вокруг каждой из двух неподвижных точек задаются формулами (9.5.12). Когда орбиты двнжутся от одной фиксированной точки к другой, они переходят на другой лист аттрактора. Таким путем они избегают пересечения.

Кроме того, Лоренц показал, что переключение орбиты с одной неподвижной точки на другую полностью непредсказуемо, поскольку в движении не появляется никаких периодичностей. Топологическое описание аттрактора Лоренца и ассоциированных понятий и свойств можно найти в книге Марсдена и Маккракена [1976].
Комплексные уравнения Лоренца
Прежде чем продемонстрировать, как уравнения Лоренца возникают из $A B$-уравнений, мы коротко остановимся на комплексном варианте уравнений Лоренца и укажем на различия комплексного и вещественного вариантов. Ясно, что такие различия обнаружатся, хотя бы потому, что фазовое пространство комплексной системы пятимерно, а у вещественной трехмерно. Другое различие состоит в числе неподвижных точек каждой из систем.

Начало координат $X=Y=Z=0$ по-прежнему является неподвижной точкой. Кроме того, полагая, что $X=Y$, имеем $Z=r-a$. Третье уравнение дает
\[
|X|^{2}=b(r-a) .
\]

Поскольку $Z$ вещественно, то получается, что такие точки могут существовать, если только $e+r_{2}=0$. Именно это последнее равенство является условием того, что мнимые части $\Delta_{1}$ и $\alpha$ могут быть убраны фазовым вращением из (9.5.2), после чего комплексный случай сводится к вещественному. По этой причине мы проигнорируем это патологическое условие и будем предполагать, что $е$ и $r_{2}$ не удовлетворяют соотношению $e+r_{2}=0$. Поэтому в этом случае существует только одна неподвижная точка. Проверяя устойчивость начала координат, мы получим в качестве характеристического уравнения либо $\lambda=-b$, либо
\[
(\sigma+\lambda)(a+\lambda)-\sigma r=0 .
\]

Корни (9.5.21) имеют вид
\[
\lambda=\frac{1}{2}[-\sigma-a \pm(p+i q)], \quad p>0,
\]

где
\[
p+i q=\left[(\sigma+a)^{2}+4 \sigma(r-a)\right]^{1 / p} .
\]

Поэтому
\[
\operatorname{Re}(\lambda)=\frac{1}{2}[ \pm p-\sigma-1] \text {. }
\]

Одно собственное значение имеет отрицательную вещественную часть, а другое дает предел критической устойчивости, когда $p=\sigma+1$. Беря вещественную и мнимую части в (9.5.23), находим
\[
\begin{array}{c}
p^{2}-q^{2}=(\sigma+1)^{2}+4 \sigma\left(r_{1}-1\right)-e^{2}, \\
p q=2 \sigma\left(e+r_{2}\right)-e(\sigma+1) .
\end{array}
\]

Принимая $r_{1}=r_{\mathbf{1 c}}$ при $p=\sigma+1$, находим, что $r_{1 \mathrm{c}}$ удовлетворяет уравнениям
\[
\begin{array}{c}
r_{1 \mathrm{c}}=1+\frac{\left(e+r_{2}\right)\left(e-\sigma r_{2}\right)}{(\sigma+1)^{2}}, \\
\frac{1}{2}(e+q)=\frac{\sigma\left(e+r_{2}\right)}{\sigma+1} .
\end{array}
\]

Уравнение (9.5.27) определяет частоту критически устойчивой собственной моды, так как $\omega=\operatorname{Im}(\lambda)=(e+q) / 2$. Мы заметим, что если $e+r_{2}
eq 0$, то начало координат становится осцилляторно неустойчивым при $r_{1}=r_{10}$. Для большинства обыкновенных дифференциальных уравнений нельзя найти точное периодическое решение в замкнутой форме. Бифуркационная теорема Хопфа (Марсден и Маккракен [1976]) дает необходимое условие, чтобы бифуркация была периодическим решением, но не дает указаний об аналитическом виде этого решения. В этом случае нам повезло, и мы можем указать точное ‘периодическое решение
\[
\begin{aligned}
X & =A \exp (i \omega t), \\
Y & =\left(1+i \omega \sigma^{-1}\right) \exp (i \omega t), \\
Z & =r_{\mathbf{1}}-r_{1 \mathbf{c}}, \\
|A|^{2} & =b\left(r_{1}-r_{\mathbf{I c}}\right),
\end{aligned}
\]

где $r_{\mathbf{1 c}}$ и ш определены в (9.5.26) и (9.5.27).
Разница между вецественным и комплексным случаями теперь очевидна. Возвращаясь к вещественному случаю, мы берем либо $e=r_{2}=0$, либо $e+r_{2}=0$. В каждом случае $\omega=0$ и $r=1$, и предельный цикл сводится к окружности из неподвижных точек. Это не что иное, как вращение двух неподвижных точек вещественных уравнений Лоренца с переходом к континууму, и уравнения (9.5.28) сводятся к уравнениям (9.5.12). Следовательно, в комплексном случае, когда начало кооринат становится неустойчивым при $r_{\text {Iс }}$, предельный цикл занимает место двух неподвижных точек вещественного случая. Эти две точки становятся неустойчнвыми, когда $r>r_{a c}$, и появляется аттрактор Лоренца. Предельный цикл комплексных уравнений является в свою очередь устойчивым только для конечного диапазона значеннй $r_{1}: r_{10}<r_{1}<r_{10}^{\prime}$. Мы не будем продолжать вычисления далее, потому что цетали слишком длинны, но в принципе нетрудно изучить устойчивость предельного цикла, преобразуя систему отсчета частоты $\omega$, а затем проводя анализ устойчивости. Этим методом $r$ можно найти аналитически. Для нахождения поведения при $r_{1}>r_{\mathrm{Ic}}^{\prime}$ необходимо численное интегрирование. Эта задача изучалась Фаулером и др. [1981], которые нашли, что при $r_{2}, \sigma, e \cong 1$ возникает двухпериодическое поведение, представляющее собой движение на двумерном торе. На рис. 9.7 показаны графики $\operatorname{Re}(X)$ и $Z$ во времени.

Рис. 9.7.
Энергетический спектральный анализ этих данных показывает, что появляются две частоты с иррациональным отношением. Апериодическое движение аттрактора лоренцевского типа имеет место только в пределе, когда $r_{2} \rightarrow 0$. Отсюда следует, что комплексный вариант уравнений обнаружнвает бо́льшую степень порядка в том смысле, что, когда $r_{2}$ или $e$ не близки к нулю, то либо одно-, либо двухериодическое движение является превалирующим в параметрическом пространстве. Величины $r_{2}$ и е суть мнимые части $r$ и $a$, и они появляются непосредственно из-за включения слабо дисперсионных эффектов в исходную проблему. Ранее мы процитировали бета-эффект как пример эффекта этого вида, В качестве примера мы используем двухслойную модель бароклинной неустойчивости, обсужденной в разд, 4, и включим слабую вязкость и слабый бета-эффект для того, чтобы показать, как при таких предположениях получается комплексное уравнение Лоренца.

Квазигеострофические уравнения потенциальной завихренности, приведенные в (9.4.1), модифицируются включением вязкости и приводятся к виду
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial \psi_{i}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \psi_{i}}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\right]\left[
abla^{2} \psi_{i}+F\left(\psi_{j}-\psi_{i}\right)+\beta y\right]=-v
abla^{2} \psi_{i},} \\
i
eq j=1,2 \text {, } \\
\end{array}
\]

где $v$ — коэффициент вязкости. Разлагая около $\Psi_{i}=-U_{i} y$, как в разд. 9.4, мы находим новую нейтральную кривую с введенной вязкостью. Полагая $\omega_{I}=0$, получаем нейтральную кривую в виде
\[
\mu=\Delta u=\frac{1}{\left(2 F-a^{2}\right)}\left[\frac{\beta^{2} F^{2}}{a^{2}\left(a^{2}+F\right)^{2}}+\frac{a^{2} v^{2}}{k^{2}}\right] .
\]

В пределе, когда $v \rightarrow 0$, это не та же самая кривая, которая найдена в разд. 9.4 как идеальная (невязкая) нейтральная кривая
\[
\mu=\Delta u=\frac{2 \beta F}{a^{2}\left(4 F^{2}-a^{8}\right)^{1 / 2}} .
\]

Эти цве кривые не совпадают в невязком пределе, и мы заключаем отсюда, что даже слабая вязкость дестабилизирует нейтральную кривую (см. Ромеа [1977]). Однако в пределе $\beta \rightarrow 0$ две кривые сливаются, хотя природа неустойчивости изменяется. В этом пределе нейтральная кривая представляется формулой
\[
F=\frac{1}{2} a^{2}=\frac{1}{2}\left(k^{2}+m^{2} \pi^{2}\right) .
\]

Еще возможно принять $v=\varepsilon \overline{\boldsymbol{v}}$ и $\beta=\varepsilon \overline{\boldsymbol{\beta}}$, что лишь добавит к (9.5.32) члены порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Как упоминалось в разд. 9.4, соотношение (9.5.32) имеет минимум при $k_{\mathrm{c}}=0$, и поэтому волновое число $k$ необходимо взять вдали от минимума и ограничиться полосой ширины $\varepsilon^{q}$, так что $F \rightarrow F \pm \varepsilon^{2}$ около всей нейтральной кривой вместо полосы ширины $\varepsilon^{2}$ выше и ниже минимума. Необходимые здесь вычисления следуют намеченным в разд. 9.4. При $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ можно проинтегрировать уравнение и получить
\[
\begin{aligned}
\varphi_{1}^{(2)} & =D_{1}\left(T_{1}, y\right), \\
\varphi_{2}^{(2)} & =D_{2}\left(T_{1}, y\right)+ \\
& +\frac{4 i}{k \Delta t}\left[\frac{\partial A}{\partial T_{1}}+\left(\bar{v}-\frac{i k \vec{\beta}}{a^{2}}\right) A\right] \sin (m \pi y) \exp (i \theta)+\text { c. c. }
\end{aligned}
\]

Заметим, что коэффициент при $A$ комплексный, мнимая часть поя вилась из-за дисперсионного бета-эффекта. При $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ удаление секулярных членов, порожденных только $t$-членами в $\varphi^{(3)}$, дает
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial T_{1}}\left(\frac{\partial^{2} D_{1}}{\partial y^{2}}-a^{2} D_{1}\right)+\bar{v} & \frac{\partial^{2} D_{1}}{\partial y^{2}}= \\
& =\frac{2 a^{2} m \pi}{\Delta u} \sin (2 m \pi y)\left[\frac{\partial}{\partial T_{1}}+2 \bar{v}\right]|A|^{2}
\end{aligned}
\]

и аналогичное уравнение для $D_{2}$, из которого немедленно следует, что $D_{2}=-D_{1}$. Удаление секулярных членов, порожденных членами вида $t \exp (i \theta)$ в $\varphi^{(3)}$, приводит $к$ соотношению
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} A}{\partial T_{1}^{(2)}}+\frac{3}{2}\left(\bar{v}-\frac{i \beta k}{a^{2}}\right) \frac{d A}{d T_{1}}=a^{-2}\left[ \pm \frac{1}{4} k^{2}(\Delta u)^{2}+\right. \\
\left.+\frac{5}{9} k^{2} \bar{\beta}^{2} a^{-2}+i k \bar{\beta} \bar{v}\right] A+\left(\frac{k^{2} \Delta u}{2 a^{2}}\right) A \int_{0}^{1} \frac{\partial^{2} D_{1}}{\partial y^{2}} \sin (2 m \pi y) d y .
\end{array}
\]

Далее определим
\[
\bar{B}\left(T_{1}\right)=\int_{0}^{1} \frac{\partial^{2} D_{1}}{\partial y^{2}} \sin (2 m \pi y) d y .
\]

Умножая обе части уравнення (9.534) на $\sin (2 m л y)$, интегрируя по $y$ от 0 до 1 и учитывая граничные условия $D=0$ при $y=0$ и 1 , получим
\[
\left(1+\frac{a^{2}}{4 m^{2} \pi^{2}}\right) \frac{d \bar{B}}{d T_{1}}+\bar{v} \bar{B}=\frac{m \pi a^{2}}{\Delta u}\left[\frac{d}{d T_{1}}+2 \bar{v}\right]|A|^{2} .
\]

Уравнение (9.5.35) приводится к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} A}{d T_{1}^{2}}+\frac{3}{2}\left(\bar{v}-i k \bar{\beta} a^{-2}\right) \frac{d A}{d T_{1}}=a^{-2}\left[ \pm \frac{1}{4} k^{2}(\Delta u)+\right. \\
\left.+\frac{5}{9} k^{2} \bar{\beta}^{2} a^{-2}+i k \bar{\beta} \bar{v}\right] A-\frac{1}{2} k^{2}(\Delta u)^{2} a^{-2} A \bar{B} .
\end{array}
\]

Перенормируя переменную $B$ в виде
\[
\widetilde{B}=\left(\frac{4 m^{2} \pi^{2} a^{3}(\Delta u)^{-1}}{a^{2}+4 m^{2} \pi^{2}}\right) B
\]

так, чтобы коэффициент при $d$ (| $\left.\left.A\right|^{2}\right) / d T$ сделать равным единице, как в уравнении (9.5.3), находим, что эквивалентные значения $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ и $\Delta_{3}$ в уравнениях (9.5.2) и (9.5.3) равны
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{1}=\frac{3}{2}\left(\bar{v}-i k \vec{\beta} a^{-2}\right), \\
\Delta_{2}=\frac{4 m^{2} \pi^{2} \bar{v}^{2}}{a^{2}+4 m^{2} \pi^{2}}, \\
\Delta_{8}=2 \bar{v}
\end{array}
\]

и значения коэффициентов в комплексных уравнениях Лоренца определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
\sigma=2, \quad b=\frac{8 m^{2} \pi^{2}}{a^{2}+4 m^{2} \pi^{2}}, \\
r_{2}=(k \bar{\beta})\left(a^{2} \bar{v}\right)^{-1} ; \quad e=3 r_{2}, \\
r_{1}=1+\frac{2}{\bar{v}^{2}}\left[ \pm \frac{1}{4} k^{2}(\Delta u)^{2} a^{-2}+\frac{5}{9} \bar{\beta}^{2} a^{-4}\right] .
\end{array}
\]

Заметим, наконел, что $e+r_{2}=4 r_{2}$, так что периодические решения вида (9.5.28) существуют.

Наконец, пример с лазером разд. 9.3 аналогичным образом приводит к $A B$-уравнениям. Включение членов с однородным уширением, лервоначально указанных в (9.3.1)-(9.3.3), и утечка проводимости действительно при некоторых предположениях дают модель Лорепца. Этот вопрос был подробно исследован Хакеном и соавторами (см. ссылки у Хакена [1978]).