Некоторые виды белковых молекул состоят из пептидных групп ( $\mathrm{H}-\mathrm{N}-\mathrm{C}=\mathrm{O}$ ), связанных периодическим образом в три закручивающиеся в спираль цепи, образующие спиральную молекулярную цепь. Одним из примеров такой цепи является так называемая $\alpha$-спираль, в которой соседние пептидные группы каждой цели связаны водородными связями. Перекрестные водородные связи между пелтидными группами придают спирали жесткость. Такой тип молекулярной цепи представляет собой классический пример системы с двойным ветвлением. Внутри каждой пептидиой группы, или субмолекулы, происходят квантовые переходы, обязанные своим появлением колебательной структуре двойных связей $\mathrm{C}=\mathrm{O}$ в инфракрасной области спектра. Фотоны распространяются. в такой системе от одной группы к другой, в результате чего возникают дисперсионные эффекты. Сверх того, в значительно больших пространственных и временных масщтабах, чисто классические упругие продольные волны будут распространяться по спиральным цепочкам, ведущим себя подобно пружинам. Типичные длины волн этих механических колебаний много больпе, чем длина волны света, так что можно ожидать появления длиннокоротковолнового резонанса. Давыдов и Кислюха [1976] рассмотрели математическую модель, предназначенную для выяснения связи этих явлений с различными видами движений. Общее обсуждение моделей молекулярих цепей можно найти у Давыдова [1971; 1979]. Гамильтониан системы берется в виде
\[
H=E: \sum_{n}\left\{\left(E_{\mathrm{int}}-D_{n}\right) B_{n}^{\dagger} B_{n}-J\left(B_{n+1}^{+} B_{n}+B_{n+1} B_{n}^{+}\right)\right\},
\]

где $E$ – сумма кинетической и потенциальной энергий, $E_{\mathrm{int}}$ постоянная энергия внутримолекулярного возбуждения (между субмолекулами), $B_{n}^{\dagger}$ и $B_{n}$ – межмолекулярные бозонные операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
\[
\left[B_{n}, B_{m}^{+}\right]=\delta_{n m}, \quad\left[B_{n}, B_{m}\right]=0 .
\]

Индекс $n$ означает $n$-ю молекулу, которая имеет массу $M$ и находится в положении $r_{n}$. Член $B_{n+1}^{+} B_{n}$ уничтожает фотон в $n$-й молекуле и создает другой в $(n+1)$-й. Число $d$ зависит от электрического дипольного момента вдоль оси цепочки, создаваемого колебательным переходом в двойной связи. Взаимодействие между механическим движением и квантовыми эффектами моделируется введением в гамильтониан функции $D_{n}$. Упругая волна, проходяцая по цепочке, будет изменять энергию внутримолекулярных связей и, следовательно, изменять $E_{\text {int }}$. Так как $B_{n}^{\dagger} B_{n}$ дает суммарное число фотонов в системе (это оператор числа частищ), то полиая энергия $n$-й молекулы изменяется проходящей упругой волной.

Определим $\rho_{n}$ как отклонение от положения равновесия $n$-й молекулы и предположим, что $D_{n}$ может быть выражено в терминах взаимодействия с ближайшими соседями:
\[
D_{n}=G\left(r_{n+1}-r_{n}\right)+G\left(r_{n}-r_{n-1}\right),
\]

что в первом порядке по $\rho_{n}$ дает
\[
D_{n} \simeq\left(1+\gamma \rho_{n}\right) D .
\]

Мы ожидаем, что отклонение от положения равновесия будет малым, так что положительная постоянная $p$ тоже будет малой. Величина $D$ является постоянной, зависящей от внда цепочки. Қвантовомеханическая часть задачи может быть охарактеризована волновой функцией $|\psi\rangle$, определенной формулой
\[
|\psi\rangle=\sum_{n} \alpha_{n}(t) B_{n}^{+}|0\rangle
\]

где $a_{n}(t)$ суть зависящие от времени амплитуды, которые в случае, когда волновая функция $|\psi\rangle$ нормирована, должыы удовлетворять соотношению
\[
\sum_{n} a_{n}^{2}=1 .
\]

Применяя уравнение Шрёдингера
\[
i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=H|\psi\rangle
\]

мы получим следующее уравнение для амплитуд:
\[
i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=\left[\left(E_{\text {int }}+E\right)-\left(1+\gamma \varphi_{n}\right) D\right] a_{n}-J\left(a_{n+1}+a_{n-1}\right) .
\]

Механические колебания будут подчиняться уравнению движения, которое задается классическим гамильтонианом, отвечающим гамильтониану (8.6.18):
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H} & =\sum_{n}\left\{\left[\left(E_{\mathrm{int}}+E\right)-\left(1+\gamma \rho_{n}\right) D\right] a_{n}^{*} a_{n}-J a_{n}^{*}\left(a_{n+1}+a_{n-1}\right)\right\}, \\
E & =T+U .
\end{aligned}
\]

Без члена взаимодействия $\rho_{n} D$ ббычная гамильтонова механика для множества связанных линейных осцилляторов будет цавать дискретные волновые уравнения
\[
\ddot{\rho}_{n}=\mu M^{-1}\left(\rho_{n+1}+\rho_{n-1}-2 \rho_{n}\right),
\]

где $\mu$-коэффициент взаимодействия, отвечающий потенциальной энергии $U$. Дополнительный член взанмодействия в гамильтониане дает модифицированную фориу уравнения (8.6.24):
\[
\ddot{\rho}_{n}=\mu M^{-1}\left(\rho_{n+1}+\rho_{n-1}-2 \rho_{n}\right)+\gamma D\left\{2\left|a_{n}\right|^{2}-\left|a_{n+1}\right|^{2}-\left|a_{n-1}\right|^{2}\right\} .
\]

Уравнения (8.6.22) и (8.6.25) являются разностными уравнениями, которые могут быть превращены в уравнения в частных производных, если ввести непрерывную пространетвенную переменную $x=R n$, где $R$ – шаг пространственной решетки:
\[
\rho_{n}(t) \rightarrow \rho(x, t), \quad a_{n}(t) \rightarrow a(x, t) .
\]

Мы получим
\[
\begin{array}{c}
i \hbar \frac{\partial a}{\partial t}-(\lambda-\gamma D \rho) a+J \frac{\partial^{2} a}{\partial x^{2}}=0, \\
\frac{\partial^{2} \rho}{d t^{2}}-c_{p}^{2} \frac{\partial^{2} \rho}{\partial x^{2}}=-\gamma D R M^{-1} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(|a|^{2}\right),
\end{array}
\]

где $c_{p}=\left(\mu R^{2} / M\right)^{1 / 2}$ представляет собой продольную скорость звука в цепочке и $\lambda=E_{\text {int }}+E-D-2 J$. Уравнения (8.6.26) и (8.6.27) – это уравнения Давыдова, связывающие амплитуду вероятности $a(x, t)$ и продольное смещение $\rho$. Они имеют тот же вид, что и уравнения Захарова в физике плазмы. Сами по себе они не интегрируемы методом обратной задачи рассеяния, но в примечаниях кэтой главе мы бегіо покажем, как они сводятся либо к НУЦШ-пределу, либо к уравнениям длинно-коротковолнового резонанса применением растянутых координат $\xi=8(x-$ – $\left.c_{g} t\right), \tau=\varepsilon^{2} t$. Разложение в ряд для $a$,
\[
a=\varepsilon^{q} a^{(1)}+\varepsilon^{q+1} a^{(2)}+\cdots,
\]

выбирается путем выражения $q$ через постоянную взаимодействия $\gamma D R M^{-1}$, которую мы обозначим через $G$. Если записать $G=$ $=e^{\vec{g} G}$, то , согласно сказанному в приводимых ниже примечания х к главе, при $c_{p}
eq c_{q}$ мы выбираем $q=(2-g) / 2$ и из (8.6.26), (8.6.27) получаем НУШ-предел. Если, однако, значение $k$ таково, что $c_{p}=c_{g}$, то нужно взять $q=(3-g) / 2$, и окончательные уравнения будут не НЛШ-уравнениями, а уравнениями длиннокоротковолнового резонанса, приведенными в (8.6.12)-(8.6.15). Хайман и др. [1981] обсуждали НУШ-предел для уравнений Давыдова, а Скотт [1982] обобщил эти уравнения таким образом, чтобы включить в рассмотрение эффекты трехцепочечной спирали
и другие взаимодействия. В реальном белке значение $G$ будет очень сильно зависеть от его аминокислотного состава. Решение вопроса о том, можно ли достичь равенства $c_{p}=c_{g}$, зависит от характеристик белка и диапазона используемых в эксперименте частот.