Мир субъядерных частиц демонстрирует замечательные закономерности. Некоторые из этих закономерностей могут быть описаны в рамках единой теории, если постулировать существование аппроксимирующих групп симметрии. Мы говорим об аппроксимируюцих группах, имея в виду то обстоятельство, что групповые соображения могут запрещать некоторые результаты, которые обнаруживаются экспериментально, но с низкой вероятностью появления. $\mathrm{C}$ такими симметриями мы можем связывать сохраняемье величины. В качестве примера рассмотрим сохранение электрического заряда. Даже в реакции вида
\[
p+\bar{p} \rightarrow \pi^{+}+\pi^{-}+\pi^{0},
\]

в которой столкновение протона с антипротоном приводит к появленню трех $\pi$-мезонов, мы еще можем говорить о сохранении заряда, если образовать заряженные пары частиц. Аналогично столкновение положительно заряженного позитрона $e^{+}$с отрицательно заряженным электроном $e^{-}$в результате процесса аннигиляции
\[
e^{+}+e^{-} \rightarrow \gamma+\gamma
\]

приводит к образованию пары фотонов $\gamma$-лучей – квантов электромагнитного поля, Образование этих двух фотонов обеспечивает сохранение импульса.

Неуничтожимость этих сохраняющихся величин, таких как электрический заряд, позволяет, по-видимому, предположить, что они играют фундаментальную роль в устройстве реального мира. Однако как мы можем воплотить в математической модели такую сущность, как электрический заряд, который не может быть уничтожен? Существует очень простая умозрительная модель, нллюстрирующая одну из таких возможностей.

Рассмотрим прямоугольную упругую ленту PQRS, изображенную на рис. 7.1(a). Предиоложим, что конец PS закреплен в показанном на рисунке вертикальном положении. Прежде чем закрепить другой конец QR, повернем его вокруг горизонтальной оси симметрии ленты на угол $2 \pi$. Результат представлен на pис. 7.1(b). Скрутка между $T$ и $T^{\prime}$ оказалась теперь «в ловушке» и не может быть удалена. Другими словами, эта скрутка блокирована граничными условиями на концах ленты. На рис. 7.1(с) показана та же самая лента, но с отмеченными еднничными нормальными векторами вдоль горизонтальной оси симметрии С.

При движении вдоль линии С от одного закрепленного конца к другому нормальный вектор поворачивается на угол, в точности равный $2 \pi$. Если лента достаточно узка по сравнению с ее длиной, то нормальный вектор поворачивается очень медленно на больших расстояниях от места скрутки $\mathrm{TT}^{\prime}$, быстро меняя угол поворота лишь в самой области скрутки.

Рис. 7.1. Модель упругой ленты.
Вот некоторые эксперименты, которые мы можем выполнить с такой лентой. Предположим, что мы пальцами перетянем область скрутки в сторону от положения равновесия к концу PS и задержим ее там. Если мы разожмем пальцы, то удерживавшиеся ранее силы упругости смогут себя свободно проявить и скрутка вернется в исходное положение равновесия. При этом скрутка будет распространяться вдоль ленты. Такое локализованное распростаняющееся возмущение оказывается очень похожим на частицу. Предположим теперь, что прежде, чем освободить скрутку у конца PS, мы освободим ленту у конца $Q R$, совершим скрутку в противоположном направлении, снова зафиксируем конец $Q R$ и, наконец, перетянем новую скрутку к концу $Q R$, зафикеировав ее у этого конца. Таким образом, мы создали конфигурацию, эквивалентную после освобождения неперекрученной ленте. Поэтому, когда мы освободим систему из двух удерживаемых пальцами скруток, они начнут двигаться вдоль ленты навстречу друг другу подобно частицам перед столкновением. Когда онн встретятся, происходит аннигиляция, после которой остается лишь возбужденная, но неперекрученная лента. Эта ситуация, когда освобожденная энергия аннигиляции переходит в энергию колебательных движений ленты, в точности копирует ситуацию, когда аннигилирующие электрон и позитрон передают свою энергию электромагнитному полю. При этом скрутка в направлении по часовой стрелке

—————————————————————-
0020_fiz_kol_vol_no_photo_page-0428.jpg.txt

7.1. Топологические рассмотрения и механическая модель
427
ведет себя подобно частице, заряженной, например, положительно, и тогда скрутка в направлении против часовой стрелки подобна отрицательно заряженной частице.

Любое реалистическое уравнение, описывающее динамику такой ленты, должно допускать решения, которые описывают только что приведенные локализованные возмущения. Такие решения известны как кинки, и одна из наших целей заключается в том, чтобы выделить не на интуитивном уровне, а достаточно строго те свойства решений, которых здесь можно ожидать. Классические теории, в которых появляются решения-кинки, так же как их квантовые варианты, служат моделями, которые могут помочь нам разобраться в поведении элементарных частиц.

Рассмотрим более строго топологию в этой ситуации. Қаждая конфигурация ленты определяет гладкое отображение центральной линии симметрии ленты на единичную окружность. Это отображение можно, например, построить, сопоставляя каждой точке линии $C$ точку на единичной окружности, определяемую концом нормального вектора к ленте, о котором шла речь выше. Когда скрутка движется вдоль ленты, мы можем в каждый момент времени ввести в рассмотрение функцию, описывающую мгновенное состояние ленты. Необходимость изучения такой системы приводит нас к рассмотрению семейства этих отображений. Поэтому мы с неизбежностью приходим к топологическим рассмотрениям.

Если длина нашей ленты равна $L$, то в качестве координаты мы можем выбрать $z=x / L$, где $x$ означает расстояние, измеряемое вдоль $C$ от конца PS. Тогда каждая конфигурация определяет отображение $\varphi: I \rightarrow S^{1}$, где через $I$ обозначается единичный интервал $[0,1]$, а через $S^{1}$ – единичная окружность. В общем случае мы будем пользоваться обозначением $I^{n}$ для декартова произведения $n$ экземпляров $I$ и $S^{n}$ для $n$-мерной сферы в $\mathbb{R}^{n+1}$. Граничные условия закрепленных концов выражаются требованиями
\[
\varphi(0)=\varphi_{0}=\varphi(1),
\]

где. $\varphi_{0}$ – произвольная точка окружности, выбор которой был определен отображениями $\varphi$. Функция $\varphi$ определяет замкнутую кривую или петлю в $S^{1}$ в точке $\varphi_{0}$. Рассматриваемые отображения не различают точки 0 и 1 , и мы можем эти точки отождествить. Таким образом, мы в действительности рассматриваем гладкие отображения из $S^{1}$ в $S^{1}$. Изменения функции $\varphi$, отвечающие распространению кинка или деформации ленты вручную в предположении, что мы не рвем ленту и не допускаем складок на ней, представляют собой, как подсказывает интуиция, непрерывный и обратимый процесс. Для того, чтобы такое интуитивное понятие сделать строгим, мы введем математическое понятие гомотопии.

—————————————————————-
0020_fiz_kol_vol_no_photo_page-0429.jpg.txt

428
7. Кинки и уравнекие $\mathrm{Cr}$
Назовем два гладких отображения $\varphi_{i}: I \rightarrow S^{1}(i=1,2)$ гомотопичными в точке $\varphi_{0}$, если можно найти одно отображение $H: I^{2} \rightarrow S^{1}$, задаваемое в координатах формулами $(s, z) \rightarrow H(s, z)=$ $=H^{s}$ (z) и обладающее следующими свойствами:
(i) $H^{s}$ есть петля в тогке $\varphi_{0}$ для всех значений $s \in[0,1]$.
(ii) $H^{0}=\varphi_{1}$ и $H^{\mathbf{1}}=\varphi_{2}$.
Этим объясняется следуюцее интуитивное наблюдение. Когда мы переводим ленту из конфигурации чи в другую конфигурацию $\varphi_{2}$, то мы проходим перез бесконечное количество физически до-

Рис. 7.2. пустимых промежуточных конфигураций. Функцией $H^{s}$ как бы метятся эти интерполирующие состояния. На рис. 7.2 эта ситуация изображена графнчески.
В общем случае $S^{1}$ заменяется топологическим пространством $X$. Две функции $f_{i}: I \rightarrow$ $\rightarrow X \quad(i=1,2)$ называются взаимно гомотопными в точке $x \in X$, если существует непрерывная функцня $H: I^{2} \rightarrow X$, такая, что
(1) для каждого значения $s \in[0,1]$ образ $H^{\text {s }}$ представляет собой петлю в точке $x \in X$,
(II) $H^{0}=f_{1}$ и $H^{1}=f_{2}$.
На множестве всех таких петель естественным образом можно определить операцию умножения. А именно, мы определим произведение $f_{1}$ of $f_{2}$ как петлю, полученную в результате прохождения снатала петли, определенной $f_{1}$, а затем петли, определенной $f_{2}$. В координатах это можно выразить следующим образом:
\[
f_{1} \circ f_{2}: z \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}
f_{2}(2 z), & 0 \leqslant z \leqslant 1 / 2, \\
f_{2}(2 z-1), & 1 / 2 \leqslant z \leqslant 1 .
\end{array}\right.
\]

Наглядно это изображено на рис. 7.3.
Отметим, что только что введенное умножение не наделяет множество всех петель с отмеченной точкой групповой структурой. Это происходит из-за того, что мы всегда связываем с петлями слецифические отображения. В результате необходимый для групповой структуры ассоциативный закон в данном случае не выполняется. Действительно, хотя для любых трех петель $f_{i}(i=1,2,3$ ) петля, отвечающая отображению $f_{1} \circ\left(f_{2} \circ f_{3}\right)$, та же самая, что и нетля, отвечающая отображению ( $\left.f_{1} \circ f_{2}\right) \circ f_{3}$, но сами эти отображения имеют отличающиеся функциональные формы. Для того, чтобы исключить зависимость от параметризации и сосредо-

—————————————————————-
0020_fiz_kol_vol_no_photo_page-0430.jpg.txt

7.1. Топологическе рассмотрения и механическая модель
429
точить внимание именно на самих петлях, мы должны отождествить все различные отображения, которым отвечает одна и та же петля. Это можно сделать, если каждой петле $f$ сопоставить множество всех петель $\bar{f}$, гомотопных петле $f$ в точке $x$. Тем самым мы разделяем петли на классы взаимно гомотопных петель, которые мы называем гомотопическими классами.

На множестве гомотопических классов теперь можно определить операцию умножения

Рис. 7.3 .

которая, как легко показать, на этот раз оказывается корректной в смысле образования групповой структуры. Наделяя этим умножением множество всех гомотопических классов петель в точке $x$ топологического пространства $X$, мы образуем группу, называемую фундаментальной аруппой пространства $X$ в почке $х$ и обозначаемую $\pi_{1}(X, X)$. Если каждая точка пространства $X$ может быть соединена с любой другой точкой этого пространства путем, целиком лежащим в $X$, то, как нетрудно показать, фундаментальные группы, определенные в этих двух точках, изоморфны. Единственная абстрактная групла, которой изоморфны все такие фундаментальные группы в произвольных точках свлзного в указапном смысле топологического пространства, обозначается $\pi_{1}(X)$ и называется фундаментальной аруппой пространстеа $X$.

Для случая упругой ленты интересующий нас объект – это группа $\pi_{1}\left(S^{\mathbf{1}}\right)$. Существеннғй момент, который мы хотели бы выделить, заключается в том, что любая заданная начальная конфигурация ленты, принадлежащая некоторому гомотоническому классу, какова бы ни была дннамика ленты, деформируется под ее действием непрерывно. Таким образом, начальная конфигурация леңты, развиваясь во времени, преобразуется в конфигурации, принадлежащие тому же самому гомотопическому классу. Это ограничение на систему является самым существенным.

430
7. Кинки и уравнение СГ
Для случая ленты различные числа скруток приводят к различным отображениям, не преобразующимся одно в другое. Поэтому число скруток отображения приписывает его к некоторому определяемому этим числом гомотопическому классу. Простой пример такого класса задается формулой $S_{n}: z \longrightarrow(\cos 2 \pi n z$, $\sin 2 \pi n z$ ). Когда $z$ пробегает интервал $I$, образ отображения $S_{n}$ покрывает единичную окружность $n$ раз. Целое число $n$ показывает, сколько раз пространство $S^{1}$ покрывается отображением $S_{n}$. В этом частном случае целое число $n$ зачастую называется числом витков (оборотов), а группа $\pi_{1}\left(S^{1}\right)=Z$ является аддитивной группой делых чисел.

Существует простой механический аналог упругой ленты, который может помочь понять, как эти топологические рассмотрения связаны с динамикой в некоторой конкретной ситуации.