Раздел 1.1
Привычка жадно выискивать в архивной пыли детали биографии Скотта Расселла стала чем-то вроде культа среди людей, занимающихся нелинейными задачами, и авторам настоящей книги тоже не удалось избежать этой навязчивой идеи. Очень немногие отрасли науки имеют столь четко отмеченное начало, связанное с одним определенным человеком. К тому же многие исследователи, возможно, имеют осознанную или неосознанную тягу к тому периоду викторианской науки, в которой ученый «джентельмен», часто дилетант с состоянием, играл значительную роль.

Хотя биография, написанная Эммерсоном, очень доступна и занимательна, но (что неудивительно) в ней сравнительно мало места посвящено рассмотрению уединенных волн переноса, так как этот предмет занимал лишь небольшой период в ранней научной деятельности Скотта Расселла. Лоннгрен и Скотт [1978] и Буллаф и Кодри [1980] дают в своих книгах краткое описание жизни Скотта Расселла, причем последняя книга включает неполный список опубликованных статей Скотта Расселла, составленный одним из автором настоящей книги (Дж. С. Эйлбеком) по источникам из Библиотеки Королевского Общества Эдинбурга. Некоторые публикации, например «Доклад о волнах» (Скотт Расселл [1844]), представляют собой пример такой ясности изложения, до которой далеко многим сегодняшним ученым.

Раздел 1.2
Устойчивость уединенных волн уравнения КдФ доказал Бенджамин [1972]. Смотри также гл. 10 по поводу альтернативных уравнений длинных волн.

Раздел 1.3

Вычисление, демонстрирующее сведение уравнения Буссинеска (1.3.8) к уравнению КДФ, использующее координаты $\mathcal{\xi}$ и $\tau$, поясняется и повторяется в примечаниях к гл. 5. Переменные $\xi$ и $\tau$ известны под названием «растянутые» координаты, поскольку они изменяются на величину $O$ (1), когда $x$ и $t$ изменяются на величины $O\left(\varepsilon^{-p}\right)$ и $O\left(\varepsilon^{-q}\right)$ соответственно. Уравнение КдФ (1.3.10) описывает эволюцию слабо нелинейной длинной волны, движущейся вправо вдоль цепочки с квадратичной нелинейностью.

Аналогично, модифицированное уравнение КдФ делает то же самое для цепочки с кубической нелинейностью.

Выбор вида функции $f(Q)=\exp (-Q)$ соответствует очень важной физической системе, известной как цепочка Тоды (Тода [1970]). Этот выбор вида функции $f(Q)$ весьма специален, так как при нем эта система оказывается вполне интегрируемым дифференциально-разностным уравнением (Манаков [1975], Флашка [1974а, б], Хенон [1974 ]).

Раздел 1.4
Численный результат Забуски и Крускала о том, что начальное состояние почти повторяется, является общим результатом, который был доказан аналитически для уравнения КдФ в случае периодических граничных условий. Эта задача очень трудна и требует для своего решения изощренных математических методов. Время повторения зависит от того, как много периодичностей в начальных условиях и соизмеримы ли их частоты. Смотри Лакс [1975], Новиков [1974] и Дубровин и Новиков [1975].

Раздел 1.5

Уравнение $\sin$-Гордон возникло еще до работы Скирма в исследованиях движений стенок Блоха в ферромагнитных кристаллах (Зеегер и др. [1953]). Позже оно изучалось в связи с контактами Джозефсона в теории сверхпроводимости. Мы вернемся к этой теме и другим приложениям уравнения $\sin$-Гордон в последующих главах.

Открытие Хиротой [1971] $N$-солитонных решений уравнения КдФ последовало из разработки им метода сведения обсуждаемого эволюционного уравнения к однородному уравнению второй степени. После этого очевидным кандидатом для подобных атак стало уравнение $\sin -$ Гордон. Работа Лэма [1971] об уравнении $\sin -$ Гордон в нелинейной оптике выдвинула на первый план преобразование Бэклунда, поскольку этим методом можно построить иерархию солитонных решений. Прямая формула для полного $N$-солитонного решения была найдена Хиротой [1972] в одной форме и была угадана Гиббоном и Эйлбеком [1972] в другой форме (позже она была доказана Кодри и др. [1973]). Хирота взял
\[
\varphi=4 \operatorname{arctg}(G / F)
\]

и показал, что уравнение $\sin -Г$ ордон может быть затем переписано в виде
\[
\begin{array}{c}
G G_{\xi \tau}-G_{\xi} G_{\tau}=F F_{\xi \tau}-F_{\xi} F_{\tau}, \\
G F_{\xi \tau}+F G_{\xi \tau}-G_{\xi} F_{\tau}-G_{\tau} F_{\xi}=0 .
\end{array}
\]

Можно видеть, что выражения для $G$ и $F$, взятые из (1.5.20), удовлетворяют (1.11.2). Хирота нашел подходящие выражения для функций $G$ и $F$, описывающие столкновения $N$ кинков или солитонов.

Следующие два автора действовали несколько иным путем. Они заметили, что для одного параметра ( $\left.b_{1}\right)$ решение уравнения sin-Гордон
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{\xi}=2 b_{1} \operatorname{sech}\left(b_{1} \xi+\frac{1}{b_{1}} \tau+\delta_{1}\right), \\
\sin \frac{1}{2} \varphi=\operatorname{sech}\left(b_{1} \xi+\frac{1}{b_{1}} \tau+\delta_{1}\right)
\end{array}
\]

может быть выражено формулой
\[
\varphi_{\xi}^{2}=4 \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}} \log \left(1+\exp \theta_{1}\right) .
\]

Если взять $\varphi_{\xi}=2 g / f$, где $g^{2}=f f_{\xi \xi}-f_{\xi}^{2}$, то получим
\[
\begin{aligned}
\varphi_{\xi}^{2} & =4-\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}} \log f, \\
\cos \varphi & =1-2 \frac{\partial^{2}}{\partial \xi \partial \tau} \log f
\end{aligned}
\]

для граничных условий $\varphi \rightarrow 0(\bmod 2 \pi),|\xi| \rightarrow \infty$. Дифференцируя $\varphi_{\xi}=2 g / f$ по $\tau$ и используя (1.11.5), получим
\[
g_{\tau}^{2}=f_{\tau} f_{\xi \xi}-f_{\xi \tau^{2}}+f f_{\xi \tau}-f_{\xi} f_{\tau} .
\]

Для $f$ может быть найдено решение
\[
\begin{array}{c}
M_{i j}=\frac{2}{b_{i}+b_{j}} \cosh \frac{1}{2}\left(\theta_{i}+\theta_{j}\right), \\
\theta_{i}=b_{i} \xi+\frac{1}{b_{i}} \tau+\delta_{i} .
\end{array}
\]

Все эти формы решений эквивалентны и могут быть переведены одна в другую теми или иными преобразованиями. Они могут быть вычислены последовательно шаг за шагом разложением $g$ и $f$ (или $G$ и $F$ ) в ряды по $\varepsilon$ вида
\[
\begin{array}{l}
g=\varepsilon g^{(1)}+\varepsilon^{3} g^{(3)}+\cdots, \\
f=1+\varepsilon^{2} f^{(2)}+\varepsilon^{4} f^{(4)} \cdots
\end{array}
\]

аналогично тому, как это делалось в (1.4.6) для уравнения КдФ Так же, как для уравнения КдФ, ряды будут обрываться, что приведет к получению точных решений, показанных здесь.

Общий метод сведения рассматриваемого дифференциального уравнения в частных производных к одному или двум однородным уравнениям второй степени с последующим нахождением удовлетворяющих их формул стал известен как метод Хироты. Хирота применял его ко многим уравнениям, включая уравнения мКдФ, цепочку Тоды, уравнения теории электрических цепей, с неменьшим успехом, чем к уравнениям КдФ и sin-Гордон. Вообще это исключительно мощный инструмент: слово метод в данном случае не совсем подходит, потому что при использовании он очень сильно опирается на опытность и интуицию исследователя. Хирота [1980] сделал обзор своих результатов и идей, включая список уравнений, решаемых этим методом. В упражнении (1) предлагается вычислить мультисолитонное решение цепочки Тоды методом Хироты.

Раздел 1.6

Уравнение НЛШ занимает особое место в истории теории солитонов, поскольку именно в связи с этим уравнением Захаров и Шабат ввели очень важную формулировку обратной задачи рассеяния $2 \times 2$. Эта формулировка может быть обобщена для решения других уравнений – детали см. в гл. 6.

Раздел 1.8

Значительно более исчерпывающий анализ распространения линейных и нелинейных волн содержится в книге Уизема [1974]. Анализ распространения нелинейных дисперсионных волн приведен в монографии Карпмана [1975].

Раздел 1.9

Как замечено выше, обсуждение других уравнений длинных волн можно найти в гл. 10.

Раздел 1.10

Как и в случае численного интегрирования, следует соблюдать осторожность при обращении к прямому методу Хироты. Недостаточно свести уравнение в частных производных к одному или двум однородным уравнениям второй степени. Ряды должны обрываться для того, чтобы из них можно было получить точное решение. Существует случай, когда этого не происходит. Рассмотрим уравнение (1.9.1) с противоположным знаком:
\[
\varphi_{\xi \tau}=\varphi-\beta \varphi^{3} .
\]

Обозначив $\varphi=g / f$ и положив
\[
\beta g^{2}=2\left(f f_{\xi \tau}-f_{\xi} f_{\tau}\right),
\]

мы легко найдем второе однородное уравнение:
\[
f g_{\xi \tau}+g f_{\xi \tau}-g_{\xi} f_{\tau}-g_{\tau} f_{\xi}=0 .
\]

Легко видеть, что ряды для $g$ и $f$ обрываются только для однопараметрического решения, а для решений более высоких порядков они не обрываются. Это мы оставляем читателю в качестве упражнения. С физической точки зреңия это не удивительно, так как решение в виде уединенной волны уравнения (1.11.9)
\[
\varphi=\sqrt{\frac{2}{\beta}} \operatorname{sech}\left(a \xi+\frac{1}{a} \tau+\delta\right)
\]

неустойчиво. Существуют и другие уравнения, которые могут быть сведены к однородной форме, но ряды для которых не обрываются. Большое значение метода Хироты состоит в том, что если сведение к однородной форме уже проделано, то вычисления, показывающие, будут ли обрываться ряды для двухпараметрических решений, представляют собой простые алгебраические выкладки.