Вплоть до начала минувшего десятилетия число точно решаемых физически важных задач было очень невелико. Классический или квантовый осциллятор, линеаризованная многочастичная задача, квантованный атом водорода, ньютоново решение задачи об орбитах планет, решение Онзагером двумерной задачи Изинга – это перечисление является почти исчерпывающим. Ныне ситуация стала совершенно иной. Имеется множество точно решаемых нелинейных систем, важных с точки зрения физики, причем их число постоянно возрастает. Среди недавних примеров-ограниченное решение эйнштейновских уравнений теории поля (см. [1.207]-[1.209]), точное, по-видимому, решение квантованного уравнения sine-Gordon (СГ-уравнение) $u_{x x}-u_{t t}=\sin u$, которое можно связать с моделями Изинга ${ }^{1}$ ), и решение уравнений движения свободного твердого тела в $g$ измерениях ${ }^{2}$ ).

В настоящей книге рассматриваются подобные задачи, но ее главной темой являются солитоны. Эти математические объекты суть точные аналитические решения нелинейных волновых или эволюционных уравнений, вроде СГ-уравнения или уравнения Кортевега – де Фриза (КдФ) $u_{t}+6 u u_{x}+u_{x x x}=0$. Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой в 1967 г. того факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши, и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы также к СГ-уравнению и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в нелинейной физике, изменившую наши взгляды и подход ко многим нелинейным задачам. Нет никаких признаков, что эта революция идет на убыль, а то, что ею уже достигнуто, имеет, по-видимому, непреходящую ценность.
1) См. гл. 12. В [12.17] показано, что это решение действительно точное
2). Это решение указано в [1.187] и описано в [1.119].

Для непосвященного читателя стоит упомянуть, что, например, приложения СГ-уравнения сейчас охватывают столь различные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские контакты, спиновые возбуждения в жидком ${ }^{3} \mathrm{He}$ ниже 2.6 мK (см. гл. 3), наносекундные и более короткие резонансные оптические импульсы (см. гл. 1 и 2), волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках вроде TTF – TCNQ ${ }^{1}$ ) и модели теории поля ${ }^{2}$ ). Впервые уравнение КдФ появилось еще в 1895 г. в теории гравитационных волн на мелкой воде, но теперь оно встречается в теории решеток, физике плазмы и магнитогидродинамике. Перечень физических приложений этих и связанных с ними нелинейных уравнений в настоящее время чрезвычайно обширен (см., например, [1.22], [1.23]), и вряд ли можно сомневаться в их физической значимости.

Настоящая книга, посвященная солитонам, была задумана в 1975 г., когда д-р Х. Лоч из издательства Шпрингер высказал убеждение, что сборник статей, освещающих состояние дел в этой возбуждающей интерес области прикладной математики, был бы весьма полезным вкладом в выпускаемую издательством серию «Вопросы современной физики». Это убеждение основывалось отчасти на несомненных возможностях приложений теории солитонов во все новых физических областях, а отчасти на уже ставшей очевидной потребности во всестороннем описании математических методов, необходимых каждому работающему в этой области. В то время (1975 г.) число исследовательских групп, активно разрабатывающих теорию солитонов, было, как мы тогда полагали, очень невелико, и эти группы были четко определенными. Всем нам, работающим в данной области, была очевидна ее важность. Тогда еще существовала возможность в каждом из таких районов мира, как США, Европа, СССР и Япония, выделить две или три группы исследователей, которыми совсем недавно были получены интересные новые результаты по интегрируемым нелинейным эволюционным уравнениям.

По этой причине мы, будущие редакторы этой книги, с удовольствием приняли предложение д-ра Лоча, и нам сразу стало ясно, что поставленной перед нами задаче наилучшим образом отвечал бы сборник работ, написанных ведущими представителями каждой из национальных школ. Конечно, даже тогда не было возможности включить в книгу работы всех крупных исследователей солитонов, и мы старались найти таких
1) См. [3.21]. Другое прекрасное приложение СГ-уравнения к физике твердого тела связано с одномерным ферромагнетиком $\mathrm{CsNiF}_{3}$ [J. Phys. C 11, L29 (1978)]. Эксперименты и дополнительные сведения о теории можно найти в работе Кжемса и Стейнера [Phys. Rev. Lett. 31, 1137 (1978)] и обширной литературе, появившейся в 1979 г.
2) См. литературу, цитируемую в разд. 1.2.

ученых, каждый из которых мог бы представлять также и работы нескольких непосредственно с ним связанных коллег. В Японии выбор, естественно, пал на Тоду, Хироту и Вадати хотя даже в 1975 г. было ясно, что эти выдающиеся исследователи уже тогда могли представлять многих других, интерес которых к солитонам они же и стимулировали. То же самое, и, возможно, еще в большей степени, относится к Л. Д. Фаддееву, В. Е. Захарову и С. П. Новикову из СССР, поскольку языковый барьер не позволил нам в полной мере ознакомиться с достижениями специалистов этой страны в исследовании солитонов. Мы, однако, вполне сценили исключительные достижения этих трех ученых и были очень обрадованы их согласию представить свои работы для настоящего сборника.

Что касается США, то в то время мы не набрались храбрости обратиться к Мартину Крускалу, а принстонская группа, хотя ее работа по уравнению КдФ столь много значила для предмета в целом, по-видимому, распалась. Однако было очевидно, что по крайней мере три школы – из Потсдама, из Института им. Куранта и из университета штата Аризона должны быть представлены. В качестве старшего партнера группы, разработавшей известную схему АКНС обратной задачи рассеяния, А. Ньюэлл обрадовал нас, согласившись поместить в сборнике свою работу. Питер Лакс и его коллеги из Института им. Куранта благожелательно отнеслись к идее написать статью, но, к нашему сожалению, оказалось, что обстоятельства не позволили им сделать это. Однако Лэм и Маклафлин смогли представить аризонско-висконсинскую школу, что было нам особенно приятно.

Оставался нерешенным вопрос о работах европейских ученых; нам казалось, что, кроме Манчестера, больше нигде в Евponе ничего существенного не происходит. Это, однако, было иллюзией: в январе 1976 г. на конференции в Аризоне мы неожиданно узнали об исследованиях Қалоджеро, и стало ясно, что он должен быть среди авторов этой книги. Затем летом того же года нам стала известна замечательная последовательность преобразований, использованная Лютером для нахождения спектра квантованного СГ-уравнения. Представлялось необходимым, чтобы в эту книгу, выходящую в серии «Вопросы современной физики», были включены материалы по этой работе, возвещающей важные достижения в статистической механике, физике твердого тела, физике частиц и в изучении связей между этими дисциплинами. Фактически летом 1976 г. стало понятно, что отдельные статьи по физике плазмы и физике частиц столь же необходимы, как и статьи по отмеченным ранее вопросам, и что для чисто математических проблем тоже требуются новые статьи: Именно тогда нам открылась ужасающая истина: эта книга по солитонам грозит стать неограниченной по объему, и процесс ее написания, видимо, никогда не завершится!

Тем временем обстоятельства приняли такой оборот, что редакторы неожиданно оказались загруженными административными и прочими обязанностями и не могли уделять должного внимания подготовке этой книги. Все или почти все авторы выполнили свою задачу образцово, в срок представив статьи в пригодном для печати виде. Поэтому редакторы с некоторым смущением обнаружили, что они затягивают подготовку книги к печати. Такая задержка подрывает то доверие к оригинальности и творческому уровню работ, какого они заслуживают ведь многие из них были написаны в 1976 г. Мы хотим воспользоваться случаем и принести глубокие извинения авторам этих статей за то, что мы заставили их так долго ждать публикации, а также за то, что из-за этой задержки нам пришлось просить их внести в свои тексты изменения и дополнения для учета всего нового, что появилось за это время.

Тем не менее в качестве некоторого оправдания укажем на объем работы, с которой нам пришлось столкнуться. В 1975 г. были заложены основы классической теории солитонов; метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ, найденный Крускалом и соавторами в 1967 г., был применен B. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом к нелинейному уравнению Шрёдингера; Вадати и Тода обобщили явные решения уравнения КдФ; Вадати удалось решить модифицированное уравнение Кд $\Phi u_{t}+6 u^{2} u_{x}+u_{x x x}=0$, а Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур (AKHC) обобщили $2 \times 2$ схему задачи рассеяния Захарова и Шабата. В 1975 г. появились результаты для уравнения КдФ с периодическими граничными условиями, полученные группой из Института им. Куранта, тогда как первая работа С. П. Новикова по этой задаче была опубликована на русском языке несколько ранее. Кроме того, появилось несколько плодотворных физических приложений теории солитонов; возможно, наиболее заметные из них относятся к нелинейной оптике и были осуществлены Лэмом и манчестерской группой. К этому времени обзорная работа Скотта, Чу и Маклафлина [1.4] была доступна примерно в течение двух лет-срок как раз достаточный, чтобы изменить точку зрения всего мирового сообщества физиков.

Специалисты по физике частиц искали фактически свой собственный путь к представлениям о солитонах; в этой связи следует, в частности, отметить работу Дашена, Хасслахера и Невё $[11.23,11.24]$, хотя они более чем существенно опирались на результаты представителя «классической» солитонной школы ${ }^{1}$ )
1) Практически используемое определение «классического» солитона см. в гл. 1.

Л. Д. Фаддеева. Современные представления о солитонах в физике частиц наиболее заметно совпадают с «классическими», являющимися основным предметом настоящей книги, лишь в случае уравнения sine-Gordon и связанных с ним систем, вроде нелинейных $\sigma$-моделей. Это, однако, нисколько не противоречит тому факту, что классическая теория солитонов оказала за последние четыре года глубокое воздействие на физику частиц, хотя многие достижения последней в свою очередь повлияли на классическую теорию солитонов.

Немало физических приложений солитонов было осуществлено в 1975 г. – в частности, в физике твердого тела, где необходимо отметить работы по волнам зарядовой плотности в линейных проводниках, и в статистической механике, примером чего может служить работа Лютера. В физике плазмы, в солитоноподобных теориях ленгмюровской турбулентности (см. [1.193]) и в других областях нелинейной физики концепция уединенной волны также сыграла определенную роль. Достижений чисто математического характера, связанных с солитонной теорией, тоже было немало за эти годы. Полная интегрируемость бесконечномерных систем с солитонными решениями была осознана после замечательной работы Захарова и Фаддеева по уравнению КдФ, появившейся в 1971 г., но приложения алгебраической геометрии для отыскания солитонных решений (см. разд. 1.5), обнаружение связи между многообразиями Якоби и интегрируемыми динамическими системами (см. разд. 1.7), формулировка преобразований Бэклунда с помощью расслоений джетов и применение теории дифференциальных форм Картана к «структурам продолжения» Уолквиста и Эстабрука (см. разд. 1.3 и 1.7) — все это появилось значительно позже. Вследствие столь бурного развития теории солитонов книгу можно было бы закончить до 1975 г. (в той форме, в какой мы задумали ее в 1976 г.); однако позже этого срока осуществление подобного замысла стало почти невыполнимой задачей.

Чтобы все же справиться с ней, мы сделали следующее. Вопервых, сузили круг вопросов, рассматриваемых в тематических главах подробно, и ограничили представленный в них материал (кроме двух исключений) классическими солитонами, методами обратной задачи рассеяния для их отыскания и связанными с ними гамильтоновыми структурами. Во-вторых, к главам, тематика которых в 1976 г. была передним краем текущих исследований, мы запросили у их авторов добавления, доводящие изложение соответствующих вопросов до состояния на апрель 1979 г. ${ }^{1}$ ). В третьих, мы написали большую вводную статью, вошедшую в настоящую книгу в качестве первой главы. В ней мы попытались охватить (по крайней мере с помощью ссылок на
$\left.{ }^{1}\right)$ Статьи советских участников соорника остались на уровне 1976 г. Прим. ред,

соответствующую литературу) весь современный диапазон исследований солитонов.

Получившаяся в результате книга не является элементарной; отчасти этот факт отражает природу самого предмета, но, кроме того, он отражает наше убеждение в том, что сейчас назрела необходимость создать первый достаточно полный справочник по солитонам и методам обратной задачи для тех, кто или уже работает с нелинейными задачами, или хочет это делать. Для таких читателей наиболее существенно понимание современных возможностей аналитической теории солитонов. Тем не менее мы попытались в длинной вводной главе осуществить постепенный переход от элементарных физико-математических идей (которые, как мы надеемся, станут еще интереснее, будучи сопровождены историческими заметками) к весьма сложному математическому аппарату, применяемому в настоящее время для изучения интегрируемых систем.

Мы сознаем, что книга получилась объемистой; однако стоит подумать о том, что осталось за ее пределами, и становится ясно, что уже сейчас необходим второй том. Мы, учитывая предыдущий опыт, ничего в этой связи не обещаем: теория солитонов уже оказалась в ситуации Тристама Шэнди ${ }^{1}$ ). Мы надеемся тем не менее, что вошедшие в книгу материалы помогут исследователю найти новую область математики, или физики, или какой-нибудь другой науки, имеющую отношение к солитонам, или такую, где инстантоны (см. разд. 1.7) либо другие новые решения приведут к совершенно новым воззрениям. Мы надеемся также, что новичок сможет, прочтя эту книгу, понять, что же представляет собой теория солитонов; ему придется для этого основательно потрудиться, но мы убеждены, что его усилия будут достойно вознаграждены.

Мы признательны нашим коллегам, внесшим вклад в настоящую книгу и проявившим при этом мастерство, глубокие знания и долготерпение. Мы благодарны издательству Шпрингер за быстроту и точность, с которыми оно выпустило книгу, как только ее рукопись была получена. Мы благодарны г-же Памеле Қвили за перепечатку рукописи, а также нескольким нашим коллегам, выполнившим перевод статей, написанных на русском языке. Наконец, мы признательны д-ру X. Лочу из издательства Шпрингер, проявившему при неоднократных отсрочках представления рукописи чудеса терпения.
Манчестер, май, 1980 г.
Робин Буллаф Филипп Кодри
1) Тристаму Шэнди потребовалось два года, чтобы описать нервые два дня своей жизни. Закончит ли он когда-нибудь свою биографию? Ответ на этот вопрос можно найти в гл. 5 книги Бертрана Расселла «Mysticism and Logic».