Уравновешивание дисперсии и слабой нелинейности является общим физическим процессом, возникающим в самых разнообразных физических приложениях [2.5]. Физические ситуации, приводящие к такому равновесию, можно разбить на несколько категорий, каждая из которых может быть неформально охарактеризована весьма общими физическими принципами $[2.10$, 2.34]. Тем самым для описания динамики разнообразных физических систем достаточно относительно короткого списка уравнений. Хотя формулировки, определяющие эти категории, могут показаться весьма неточными, они охватывают большинство нелинейных диспергирующих консервативных систем, обсуждаемых в современной литературе.

Чтобы проиллюстрировать типичные категории, мы рассмотрим консервативную диспергирующую слабо нелинейную волну, состоящую из быстрых осцилляций с медленно меняющимися амплитудой и фазой. Эти медленные модуляции могут описываться одним из вариантов нелинейного уравнения Шрёдингера, если выполняются следующие условия: I) частота несущих осцилляций очень велика, II) в системе нет резонансных эффектов, и III) нелинейность становится существенной на пространственных и временных интервалах, больших по сравнению с длиной волны и периодом осцилляций. При наличии резонансных эффектов модель делается более сложной; например, если резонанс происходит между несущими осцилляциями и средой, в которой распространяется волна, в уравнениях нужно учитывать также свойства этой среды. Часто микроскопическая среда описывается квантовомеханически, при помощи такой формы совместных уравнений Максвелла-Шрёдингера, как уравнения Максвелла – Блоха. Наконец, при наличии более чем одной несущей волны следует использовать подходящее $N$-волновое обобщение $[2.35,2.36]$.

Совсем иная группа моделей, резко отличная от предыдущей, основана на законах сохранения механики жидкости. В этом случае слабая нелинейность, уравновешиваемая дисперсией, приводит к уравнению Кортевега – де Фриза.

Для того чтобы проиллюстрировать, как возникают описанные выше различные категории, мы разберем несколько весьма специфических моделей нелинейных систем и используем приближения, сводящие «точные системы» к одной из этих категорий. Такая процедура сведения даст нам конкретное представление о типах аппроксимации, характерных для различных классов. В разд. 2.2.1 мы опишем взаимодействие электрического поля с двухуровневой средой и разберем два случая: один – вблизи резонанса, другой – вдали от резонанса. В качестве примера из механики жадкости мы рассмотрим специальный случай взаимодействия электрического поля с ионами плазмы.