Системы, допускающие солитоны, обладают бесконечным семейством законов сохранения. Эти сохраняющиеся величины могут быть использованы [2.68] для предсказания прямо по начальным данным скорости солитонов, возникающих в итоге из этих начальных данных. Такое применение законов сохранения было весьма полезно для интерпретации первых численных результатов в квантовой оптике самоиндуцированной прозрачности. Позднее было показано, что бесконечное семейство законов сохранения является проявлением полной интегрируемости нелинейной системы [2.69-2.71]. В этом последнем разделе мы обсудим связи между физической информацией, полученной из законов сохранения в первых исследованиях, и математически точной формулировкой, использующей обратную задачу рассеяния для демонстрации полной интегрируемости уравнений движения.

Напомним некоторые свойства вполне интегрируемых конечномерных гамильтоновых систем. Пусть $S_{2n}$ обозначает $2n$-мерное фазовое пространство; рассмотрим гамильтонову систему на $S_{2n}$, порожденную гамильтонианом $H:S_{2n}\to R$,
$$\frac{d}{dt}z=Tabl{a}_{z}H,$$

где $Z=(Q,P)\in S_{2n}$, матрица $T\equiv \left(\begin{array}{rr}0& I\\ -I& 0\end{array}\right)$, и $I$ обозначает единичную $n\times n$-матрицу. Интеграл движения $E$ для этой гамильтоновой системы есть вещественная функция на фазовом пространстве, $E:S_{2n}\to R$, постоянная вдоль интегральных кривых системы (2.90), т. е. если $z(t)$ обозначает решение системы (2.90), то $E(z(t))$ не зависит от времени $t$. Гамильтонова система в $S_{2n}$ называется вполне интегрируемой, если она обладает $n$ интегралами движения $\{E_1,E_2,\dots ,E_n\}$, которые образуют независимое семейство, причем любые два члена этого семейства находятся в инволюции ${}^1$ ) [2.72, 2.73].

Вполне интегрируемые системы обладают многими замечательными свойствами $[2.73,2.74]$. Интегральные кривые лежат на поверхностях $\{E_i=$ const, $i=1,2,\dots ,n\}$, которые в том случае, когда они компактны, являются (топслогически) $n$-мерными торами ( $n$-мерными поверхностями в фазовом пространстве $S_{2n}$ ). С этими торами непосредственно связана координатная система $(\theta ,J)$, получающаяся из координат $(Q,P)$ каноническим преобразованием [2.73]. Действительно, поверхности $J=$ const, т. е. $\{J_1=C_1,J_2=C_2,\dots ,J_n=C_n\}$ для констант $\{C_1,C_2,\dots ,C_n\}$ в точности определяют эти торы. Переменные действия ( $J$ ) нумеруют торы, в то время как угловые переменные $(\theta )$ задают положение фазовой точки на этих торах.

Поскольку гамильтонов поток (2.90) оставляет эти торы неизменными, переменные действия $J$ должны быть интегралами движения для этой гамильтоновой системы. Аналитически это выражается в том, что гамильтониан $H$, выраженный через переменные $(\theta ,J)$, зависит только от $J$ и не зависит от $\theta$. Поскольку отображение $(Q,P)\to (\theta ,J)$ каноническое, уравнения движения запишутся в виде
\[
\frac{d}{d t}\left($$\begin{array}{l}\theta \\ J\end{array}$$\right)=\left($$\begin{array}{rr}0& I\\ -I& 0\end{array}$$\right)\left(\begin{array}{l}

abla_{\theta} H \

abla_{J} H
\end{array}\right)=\left($$\begin{array}{l}\omega \\ 0\end{array}$$\right) .
\]
1) Вещественные функции $\{E_1,\dots ,E_n\}$ на фазовом пространстве образуют независимое семейство, если градиенты этих функций лнейно независимы. Говорят, что две функции $E$ и $F$ находятся в инволюции, если их скобки Пуассона равны нулю,
$$\{E,F{\}}_J=(abl{a}_{z}E,Tabl{a}_{z}F)=\sum _{k=1}^n[\frac{\partial E}{\partial Q_k}\frac{\partial F}{\partial P_k}-\frac{\partial E}{\partial P_k}\frac{\partial F}{\partial Q_k}]=0.$$

Заметьте, в частности, что $j=0$ и что $\omega =abl{a}_{J}H$ есть функция только от $J$; следовательно, ${\theta }_k$ растет линейно по $t$ с коэффициентом ${\omega }_k$. Более того, поскольку переменные $\theta$ являются угловыми переменными на торе, величины $\{{\omega }_j,j=1,2,\dots ,n\}$ представляют собой частоты. Таким образом, показано, что движение в фазовом пространстве квазипериодично по $t$ с базисными частотами $\omega =abla,H$. Қвазипериодичность довольно регулярна; например, начальные состояния «почти повторяются» с течением времени — повторяемость типа той, что была обнаружена в первоначальных численных экспериментах ФПУ [2.9]. Ограниченность объема главы не позволяет нам здесь обсудить связь с этими экспериментами; такое обсуждение можно найти в $[2.75]$.

Поскольку переменные действия различают торы, на которых лежат траектории, и стало быть задают их радиусы, эти переменные связаны с амплитудами колебаний. Кроме того, они определяют частоты колебаний посредством формулы $\omega =$ $=abl{a}_{J}H$. Таким образом, они несут наиболее важную информацию о динамике системы. Наоборот, начальные значения угловых переменных, задающие положение точки на торе, несут гораздо менее важную информацию. В действительности переменные действия измеряют площадь, охватываемую базисными циклами тора, которая дается формулой
$$J_k=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{k-\text{ цин }}P\cdot dQ.$$

В сущности именно из-за такого определения переменные действия не только являются интегралами движения для гамильтоновой системы (2.90), но также проявляют замечательную устойчивость по отношению к адиабатическим (медленным) возмущениям динамической системы. В самом деле, они остаются почти постоянными при указанных возмущениях с гораздо большой точностью, чем другие интегралы движения, например энергия $[2.72,2.76]$. Это свойство устойчивости позволяет брать переменные действия в качестве основы многих вычислений теории возмущений в механике.

Переменные действие — угол, описывающие осцилляторы с одной степенью свободы и линейные системы взаимодействующих гармонических осцилляторов, хорошо известны $[2.76,2.77]$. В [2.78], [2.79] мы пытались рассмотреть переменные действие — угол для систем с солитонами по аналогии с этими привычными системами.

После того как мы перечислили основные свойства вполне интегрируемых гамильтоновых систем, вернемся к уравнению sine-Gordon, которое, как мы видели, возникает как предел уравнений самоиндуцированной прозрачности в отсутствие неоднородного расширения. Поэтому эту систему можно использовать как простую модель, чтобы проиллюстрировать пользу высших законов сохранения в квантовой оптике $[2.18,2.80]$. Наша цель здесь — объяснить эти первоначальные вычисления с точки зрения полной интегрируемости.

Уравнение sine-Gordon для электрического поля $E$ имеет вид ${}^1$ )
$$\frac{d}{d\tau }E=\sin {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{2}E(z^{\prime },\tau )d{z}^{\prime }$$

Это уравнение определяет бесконечномерную гамильтонову систему ${}^2$ )
$$\frac{d}{d\tau }E=abla\frac{\delta H}{\delta E}$$

с гамильтонианом $H$ вида
$$H(E)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{\cos [{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z}E\left(z^{\prime }\right)d{z}^{\prime }-1]\}dz.$$
(Здесь поле $E$ должно удовлетворять граничному условию ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E\left(z^{\prime }\right)d{z}^{\prime }=2n\pi$ для целого п.) Так же как и в общем случае самоиндуцированной прозрачности, уравнение sine-Gordon может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния при помощи, по сути дела, той же самой линейной задачи на собственные значения и тех же самых данных рассеяния.

Гамильтонова система (2.91) обладает бесконечным набором интегралов движения. В самом деле, вычисление эволюции по $\tau$ данных рассеяния показывает, что величина, обратная коэффициенту прохождения, $a(\zeta )$, постоянна по $\tau$ при всех значениях ५. В действительности эта совокупность интегралов не является независимой, поскольку $a(\zeta )$ при $\mathrm{Im}\zeta >0$ определяется значением $|a(\zeta )|$ на вещественной оси вместе с нулями
1) Мы заменили обозначения координат $x\to \tau ,t\to \mathit{z}$ для удобства изложения.
2) Обратите внимание, что антисимметрическая матрица $T$ заменяется на антисимметрический оператор $abla=\partial /\partial z$, а скобки Пуассона, порожденные $T$, заменяются на скобки, порожденные $abla$ :
$$\{F,G{\}}_{abla}=(\frac{\delta F}{\delta E},abla\frac{\delta G}{\delta E})=\frac{1}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta E}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\delta G}{\delta E}-\frac{\delta G}{\delta E}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\delta F}{\delta E})dz.$$

функции $a(\zeta )$ в верхней полуплоскости $\zeta$ посредством формулы (cм. [2.24])
$$\ln a(\zeta )=\sum _{j=1}^N\ln \left(\frac{\zeta -{\zeta }_j}{\zeta -{\overline{\zeta }}_j}\right)+\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln {\left|a\left({\xi }^{\prime }\right)\right|}^{-2}}{\zeta -{\xi }^{\prime }}d{\xi }^{\prime },\mathrm{Im}\zeta >0.$$

Однако совокупность
$\{{\zeta }_j(j=1,2,\dots ,N)$
$$\text{ и }\ln |a(\xi ){|}^{-2}\text{ (для всех вещественньх }\xi \text{ ) }\}$$

является бесконечным набором независимых интегралов движения. Более того, вычисление показывает, что эти величины находятся в инволюции по отношению к скобкам Пуассона $\{\text{, }{\}}_{abla}$.

Существование такого бесконечного семейства наводит на мысль о полной интегрируемости системы ${}^1$ ). В бесконечномерном случае наличие бесконечного числа интегралов движения необходимо, но не достаточно для полной интегрируемости, поскольку в этом случае трудно усмотреть, что интегралов действительно хватает; тем не менее уравнение sine-Gordon является вполне интегрируемым $[2.24,2.81,2.82]$. Чтобы доказать это, нужно использовать ${\zeta }_j$ и $\ln \mid a$ (६) ${|}^{-2}$ для определения переменных действия, явно вычислить угловые переменные для каждой переменной действия и проверить, что преобразование от $E$ к этим координатам действие — угол является каноническим отображением (взаимооднозначным, обратимым и сохраняющим скобки Пуассона). Другими словами, нужно построить координатную систему, эквивалентную $E$, для которой половина степеней свободы является интегралами движения гамильтоновой системы (2.91).

Физическая информация, содержащаяся в интегралах движения семейства (2.93), представляется совершенно ясной. Собственные значения ${\zeta }_j$ задают амплитуды и скорости импульсов, распространяющихся без искажений. Функция $\ln |a(\xi ){|}^{-2}$ нелинейным образом ассоциируется с амплитудой «звенящей» составляющей поля. Чтобы убедиться в этом, заметим, что сохранение вероятности (2.84) можно переписать в виде $|a(\xi ){|}^2=$ $=1-|R(\xi ){|}^2;$ таким образом, $\ln |a(\xi ){|}^{-2}$ определяет величину коэффициента отражения $|R{|}^2$, которая в свою очередь связана с амплитудой «звенящей» компоненты $E$, и эта связь делается непосредственной для слабых импульсов $E$. В самом деле, для слабых импульсов $R(\xi )$ сводится к фурье-образу величины $E$ $[2.25,2.26,2.65,2.78]$.
1) Именно эта идея привела Гарднера, равно как и Захарова и Фаддеева, к построению гамильтонова формализма для уравнения КдФ. [Частные сооб: щения.]

Хотя физическая информацня, содержащаяся в инвариантах движения семейства (2.93), совершенно ясна, эти интегралы выражаются на языке спектральной теории. Для сопоставления с ранними работами по «высшим законам сохранения» было бы желательно выразить явно эти константы через $E$. К сожалению, явные выражения переменных действия через $E$ для этой совокупности неизвестны; однако весьма явные формулы можно получить для другой совокупности инвариантов движения, связанной с первой.

Ясно, что семейство инвариантов (2.93) определяет интеграл движения $\ln a$ (५) посредством формулы (2.92). В свою очередь разложения $\ln a(\xi )$ возле $\xi =0$ и возле $\xi =\mathrm{\infty }$ дают асимптотические представления
$$\begin{array}{l}\ln a(\zeta )\simeq \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_{2k-{15}^{2k-1}}\text{ вблизи }\zeta \simeq 0,\\ \ln a(\zeta )\simeq \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{2k-1}(1/\zeta {)}^{2k-1}\text{ вблиз и }\zeta \simeq \mathrm{\infty },\end{array}$$

где коэффициенты разложения имеют вид
$$\begin{array}{c}{D}_k\equiv \sum _{j=1}^N\frac{1}{k}[{\left({\zeta }_j^{\ast }\right)}^{-k}-{\left({\zeta }_j\right)}^{-k}]+\frac{1}{\pi i}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}d\xi \frac{\ln |a(\xi ){|}^2}{{\xi }^{k+1}}\\ C_k\equiv \sum _{j=1}^N\frac{1}{k}[{\left({\zeta }_j^{\ast }\right)}^k-{\left({\zeta }_j\right)}^k]+\frac{1}{\pi i}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}d\xi \ln (|a(\xi ){|}^{-2}){\xi }^{k-1},k=1,3,\dots \end{array}$$

Совокупности $\{C_k,k=1,3,\dots \}$ и $\{D_k,k=1,3,\dots \}$ образуют бесконечные семейства интегралов движения, определяемые переменными действия (2.93). Для такой системы обратимость пока не доказана. Другими словами, неизвестно, определяют ли семейства $\left\{C_k\right\}$ или $\left\{D_k\right\}$ переменные действия и тем самым эквивалентны ли они переменным действия. Было бы интересно установить такую эквивалентность, поскольку именно эти семейства $\left\{C_k\right\}$ и $\left\{D_k\right\}$ (а не переменные действия) явно выражаются через поле $E$, содержат привычные интегралы (такие, как энергия) и были первоначально использованы для извлечения информации из «высших интегралов движения». С другой стороны, суммарная информация, извлекаемая из семейства $\left\{C_k\right\}$ и $\left\{D_k\right\}$, не известна точно, хотя и ясно, что переменные действия составляют половину (причем наиболее существенную) информации, необходимой для того, чтобы явно проинтегрировать уравнение. Формулы (2.94) для интегралов $\left\{C_k\right\}$ и $\left\{D_k\right\}$ показывают, что эта проблема эквивалентности может быть переформулирована как проблема моментов $[2.24,2.78]$. Определяют ли моменты функции $\ln |a(\xi )|$ функцию $\ln a(\xi )$ ?

Для более простой системы — цепочки Тоды — мы показали в $[2.78]$, что семейство, аналогичное $\left\{C_k\right\}$, определяет переменные действия. Однако это доказательство основывается на представлении $\ln a$ (६) сходящимися степенными, а не асимптотиче.скими рядами, и обобщить его на случай уравнения sine-Gordon не представляется возможным.

Теперь укажем, как семейство $\left\{D_k\right\}$ выражается через поле $E$. Это семейство $\left\{D_k\right\}$ определяется $\ln a(\zeta )$ вблизи $\zeta \simeq 0$. Используя технику типа той, что применяется в низкоэнергетической ядерной физике для вычисления «длин рассеяния» [2.24, $2.81,2.82$ ], выводим тождество
$$\frac{d}{d\zeta }\ln a(\zeta )=-i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{\left[\frac{{\phi }_1(z,\zeta ){\psi }_2(z,\zeta )+{\phi }_2(z,\zeta ){\psi }_1(z,\zeta )}{a(\zeta )}\right]-1\}dz.$$

Здесь $\phi$ и $\psi$ являются решениями задачи на собственные значения (2.80), удовлетворяющими граничным условиям
$$\phi (z,\zeta )\underset{z\to -\mathrm{\infty }}{\simeq }\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)e^{-i\zeta z}\text{ и }\psi (z,\zeta )\underset{z\to +\mathrm{\infty }}{\simeq }\left(\begin{array}{r}0\\ -1\end{array}\right)e^{i\zeta z}$$

При $\zeta =0$ можно найти $\phi$ и $\psi$ в явном виде:
$$\begin{array}{c}\phi (z,\tau )=\left(\begin{array}{c}\cos {\int }_{-\mathrm{\infty }}^z\frac{E(z^{\prime },\tau )}{2}d{z}^{\prime }\\ -\sin {\int }_{-\mathrm{\infty }}^z\frac{E(z^{\prime },\tau )}{2}d{z}^{\prime }\end{array}\right),\\ \psi (z,\tau )=(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}\sin {\int }_{-\mathrm{\infty }}^z\frac{E(z^{\prime },\tau )}{2}d{z}^{\prime }\\ \cos {\int }_{-\mathrm{\infty }}^z\frac{E(z^{\prime },\tau )}{2}d{z}^{\prime }\end{array}\right),\end{array}$$

где ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E(z^{\prime },\tau )d{z}^{\prime }=2n\pi$. Подстановка этих выражений в (2.95) дает
$${\frac{d}{d\zeta }\ln a(\zeta )|}_{\zeta =0}=-i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\cos {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z}E(z^{\prime },\tau )d{z}^{\prime }-1]dz$$

и показывает, что $D_1=-iH$, где $H$ есть гамильтониан. Аналогичные, но более сложные вычисления дают выражения для $D_k$ через поле $E$.

Выражение через $E$ семейства $\left\{C_k\right\}$ получается из поведения $\ln a(\zeta )$ при больших $\zeta$. Используемая здесь техника аналогична методу ВКБ в квантовой механике. Определим, следуя $[2.20]$,
$$F(z,\zeta )\equiv \ln [{\phi }_1(z,\zeta )e^{i\zeta z}].$$

Заметим, что $\underset{z\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(y,\zeta )=\ln a(\zeta )$. Преобразование задачи на собственные значения (2.80) приводит к уравнению для $F$ :

При больших § это дает асимптотическое разложение
$$\ln a(\zeta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{2k-1}(1/\zeta {)}^{2k-1},$$

где $\left\{C_k\right\}$ выражаются через $E$. Первые два члена этого разложения суть
$$\begin{array}{l}{C}_1=\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{E}^2(z,\tau )dz,\\ C_3=\frac{1}{(2i{)}^3}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\left|E_z\right|}^2+|E{|}^4)dz,\end{array}$$

и т. д. Эти формулы позволяют выразить интегралы $\left\{C_k\right\}$ через начальный профиль импульса $E(z,\tau =0)$, а это как раз и есть плотности высших законов сохранения [2.18].

Это наблюдение увеличивает важность упоминавшейся выше проблемы эквивалентности. Можем ли мы использовать интегралы $\left\{C_k\right\}$, задаваемые начальными данными, для определения переменных действия и тем самым для получения содержащейся в них физической информации — амплитуд и скоростей солитонов, амплитуд и частот «звенящих» компонент?

В приложениях $[2.83,2.84]$ предполагается, что «звенящим» вкладом можно пренебречь и вдобавок что априори известноскажем, из теоремы площадей — число солитонов, возникающих из рассматриваемых начальных данных. В этом случае константы $\left\{C_k\right\}$ используются для оценки скоростей возникающих солитонов. Например, если известно, что возникают два солитона, то пара соотношений
$$\begin{array}{rl}{C}_1& =\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|E(z,\tau =0){|}^{2}dz\simeq [\left({\zeta }_1^{\ast }\right)-{\zeta }_1]+[\left({\zeta }_2^{\ast }\right)-\left({\zeta }_2\right)]\\ 3C_3& =\frac{-3}{(2i{)}^3}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\left|E_z\right|}^2+|E{|}^4]dz\simeq [{\left({\zeta }_1^{\ast }\right)}^3-{\left({\zeta }_1\right)}^3]+[{\left({\zeta }_2^{\ast }\right)}^3-{\left({\zeta }_2\right)}^3]\end{array}$$

может рассматриваться как два нелинейных алгебраических уравнения с двумя неизвестными ( ${\zeta }_1$ и ${\zeta }_2$ ). Их решение дает выражения скоростей возникающих солитонов через начальный импульс $E$ (см. [2.66]).

Этот метод использовался Березиным и Қарпманом [2.68] и был ими вполне строго обоснован для уравнения Кортевега де Фриза. При исследовании строгости этого метода в общем случае немедленно обнаруживается, что отбрасывание непрерывной «звенящей» составляющей может не давать хорошей аппроксимации. Хоть непрерывная компонента и затухает по $\tau$, все же часто такое затухание происходит лишь алгебраически и локально по $(z,\tau )$. Опыт показывает $[2.18,2.68]$, что отбрасывание непрерывной части тем точнее, чем более гладкими являются начальные данные. Начальные профили, имеющие скачкообразный разрыв поля или его производных невысокого порядка, приводят к заметному «звону», которым нельзя пренебречь. (Такое отбрасывание «звенящего» вклада для уравнений самоиндуцированной прозрачности много лучше, чем для уравнения sine-Gordon, поскольку для них непрерывная компонента затухает экспоненциально по $\tau$ для почти всех $z$. Следует отметить, что система уравнений самоиндуцированной прозрачности не приводит к выражению глобальных интегралов движения только через поле $E$. Однако локальные законы сохранения существуют и могут быть вычислены, как и выше. Снова опыт показывает, что для системы самоиндуцированной прозрачности при достаточно гладких начальных данных процедура вполне согласуется с численными результатами.) Мы полагаем, что рассмотрение этих вычислений с точки зрения динамики вполне интегрируемых гамильтоновых систем внесет ясность, делая очевидными используемые приближения.