Системы, допускающие солитоны, обладают бесконечным семейством законов сохранения. Эти сохраняющиеся величины могут быть использованы [2.68] для предсказания прямо по начальным данным скорости солитонов, возникающих в итоге из этих начальных данных. Такое применение законов сохранения было весьма полезно для интерпретации первых численных результатов в квантовой оптике самоиндуцированной прозрачности. Позднее было показано, что бесконечное семейство законов сохранения является проявлением полной интегрируемости нелинейной системы [2.69-2.71]. В этом последнем разделе мы обсудим связи между физической информацией, полученной из законов сохранения в первых исследованиях, и математически точной формулировкой, использующей обратную задачу рассеяния для демонстрации полной интегрируемости уравнений движения.

Напомним некоторые свойства вполне интегрируемых конечномерных гамильтоновых систем. Пусть $S_{2 n}$ обозначает $2 n$-мерное фазовое пространство; рассмотрим гамильтонову систему на $S_{2 n}$, порожденную гамильтонианом $H: S_{2 n} \rightarrow R$,
\[
\frac{d}{d t} z=T
abla_{z} H,
\]

где $Z=(Q, P) \in S_{2 n}$, матрица $T \equiv\left(\begin{array}{rr}0 & I \\ -I & 0\end{array}\right)$, и $I$ обозначает единичную $n \times n$-матрицу. Интеграл движения $E$ для этой гамильтоновой системы есть вещественная функция на фазовом пространстве, $E: S_{2 n} \rightarrow R$, постоянная вдоль интегральных кривых системы (2.90), т. е. если $z(t)$ обозначает решение системы (2.90), то $E(z(t))$ не зависит от времени $t$. Гамильтонова система в $S_{2 n}$ называется вполне интегрируемой, если она обладает $n$ интегралами движения $\left\{E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n}\right\}$, которые образуют независимое семейство, причем любые два члена этого семейства находятся в инволюции ${ }^{1}$ ) [2.72, 2.73].

Вполне интегрируемые системы обладают многими замечательными свойствами $[2.73,2.74]$. Интегральные кривые лежат на поверхностях $\left\{E_{i}=\right.$ const, $\left.i=1,2, \ldots, n\right\}$, которые в том случае, когда они компактны, являются (топслогически) $n$-мерными торами ( $n$-мерными поверхностями в фазовом пространстве $S_{2 n}$ ). С этими торами непосредственно связана координатная система $(\theta, J)$, получающаяся из координат $(Q, P)$ каноническим преобразованием [2.73]. Действительно, поверхности $J=$ const, т. е. $\left\{J_{1}=C_{1}, J_{2}=C_{2}, \ldots, J_{n}=C_{n}\right\}$ для констант $\left\{C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}\right\}$ в точности определяют эти торы. Переменные действия ( $J$ ) нумеруют торы, в то время как угловые переменные $(\theta)$ задают положение фазовой точки на этих торах.

Поскольку гамильтонов поток (2.90) оставляет эти торы неизменными, переменные действия $J$ должны быть интегралами движения для этой гамильтоновой системы. Аналитически это выражается в том, что гамильтониан $H$, выраженный через переменные $(\theta, J)$, зависит только от $J$ и не зависит от $\theta$. Поскольку отображение $(Q, P) \rightarrow(\theta, J)$ каноническое, уравнения движения запишутся в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l}
\theta \\
J
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
0 & I \\
-I & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}

abla_{\theta} H \\

abla_{J} H
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\omega \\
0
\end{array}\right) .
\]
1) Вещественные функции $\left\{E_{1}, \ldots, E_{n}\right\}$ на фазовом пространстве образуют независимое семейство, если градиенты этих функций лнейно независимы. Говорят, что две функции $E$ и $F$ находятся в инволюции, если их скобки Пуассона равны нулю,
\[
\{E, F\}_{J}=\left(
abla_{z} E, T
abla_{z} F\right)=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{\partial E}{\partial Q_{k}} \frac{\partial F}{\partial P_{k}}-\frac{\partial E}{\partial P_{k}} \frac{\partial F}{\partial Q_{k}}\right]=0 .
\]

Заметьте, в частности, что $j=0$ и что $\omega=
abla_{J} H$ есть функция только от $J$; следовательно, $\theta_{k}$ растет линейно по $t$ с коэффициентом $\omega_{k}$. Более того, поскольку переменные $\theta$ являются угловыми переменными на торе, величины $\left\{\omega_{j}, j=1,2, \ldots, n\right\}$ представляют собой частоты. Таким образом, показано, что движение в фазовом пространстве квазипериодично по $t$ с базисными частотами $\omega=
abla, H$. Қвазипериодичность довольно регулярна; например, начальные состояния «почти повторяются» с течением времени — повторяемость типа той, что была обнаружена в первоначальных численных экспериментах ФПУ [2.9]. Ограниченность объема главы не позволяет нам здесь обсудить связь с этими экспериментами; такое обсуждение можно найти в $[2.75]$.

Поскольку переменные действия различают торы, на которых лежат траектории, и стало быть задают их радиусы, эти переменные связаны с амплитудами колебаний. Кроме того, они определяют частоты колебаний посредством формулы $\omega=$ $=
abla_{J} H$. Таким образом, они несут наиболее важную информацию о динамике системы. Наоборот, начальные значения угловых переменных, задающие положение точки на торе, несут гораздо менее важную информацию. В действительности переменные действия измеряют площадь, охватываемую базисными циклами тора, которая дается формулой
\[
J_{k}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{k-\text { цин }} P \cdot d Q .
\]

В сущности именно из-за такого определения переменные действия не только являются интегралами движения для гамильтоновой системы (2.90), но также проявляют замечательную устойчивость по отношению к адиабатическим (медленным) возмущениям динамической системы. В самом деле, они остаются почти постоянными при указанных возмущениях с гораздо большой точностью, чем другие интегралы движения, например энергия $[2.72,2.76]$. Это свойство устойчивости позволяет брать переменные действия в качестве основы многих вычислений теории возмущений в механике.

Переменные действие — угол, описывающие осцилляторы с одной степенью свободы и линейные системы взаимодействующих гармонических осцилляторов, хорошо известны $[2.76,2.77]$. В [2.78], [2.79] мы пытались рассмотреть переменные действие — угол для систем с солитонами по аналогии с этими привычными системами.

После того как мы перечислили основные свойства вполне интегрируемых гамильтоновых систем, вернемся к уравнению sine-Gordon, которое, как мы видели, возникает как предел уравнений самоиндуцированной прозрачности в отсутствие неоднородного расширения. Поэтому эту систему можно использовать как простую модель, чтобы проиллюстрировать пользу высших законов сохранения в квантовой оптике $[2.18,2.80]$. Наша цель здесь — объяснить эти первоначальные вычисления с точки зрения полной интегрируемости.

Уравнение sine-Gordon для электрического поля $E$ имеет вид ${ }^{1}$ )
\[
\frac{d}{d \tau} E=\sin \int_{-\infty}^{2} E\left(z^{\prime}, \tau\right) d z^{\prime}
\]

Это уравнение определяет бесконечномерную гамильтонову систему ${ }^{2}$ )
\[
\frac{d}{d \tau} E=
abla \frac{\delta H}{\delta E}
\]

с гамильтонианом $H$ вида
\[
H(E)=\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\cos \left[\int_{-\infty}^{z} E\left(z^{\prime}\right) d z^{\prime}-1\right]\right\} d z .
\]
(Здесь поле $E$ должно удовлетворять граничному условию $\int_{-\infty}^{\infty} E\left(z^{\prime}\right) d z^{\prime}=2 n \pi$ для целого п.) Так же как и в общем случае самоиндуцированной прозрачности, уравнение sine-Gordon может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния при помощи, по сути дела, той же самой линейной задачи на собственные значения и тех же самых данных рассеяния.

Гамильтонова система (2.91) обладает бесконечным набором интегралов движения. В самом деле, вычисление эволюции по $\tau$ данных рассеяния показывает, что величина, обратная коэффициенту прохождения, $a(\zeta)$, постоянна по $\tau$ при всех значениях ५. В действительности эта совокупность интегралов не является независимой, поскольку $a(\zeta)$ при $\operatorname{Im} \zeta>0$ определяется значением $|a(\zeta)|$ на вещественной оси вместе с нулями
1) Мы заменили обозначения координат $x \rightarrow \tau, t \rightarrow \boldsymbol{z}$ для удобства изложения.
2) Обратите внимание, что антисимметрическая матрица $T$ заменяется на антисимметрический оператор $
abla=\partial / \partial z$, а скобки Пуассона, порожденные $T$, заменяются на скобки, порожденные $
abla$ :
\[
\{F, G\}_{
abla}=\left(\frac{\delta F}{\delta E},
abla \frac{\delta G}{\delta E}\right)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta F}{\delta E} \frac{\partial}{\partial z} \frac{\delta G}{\delta E}-\frac{\delta G}{\delta E} \frac{\partial}{\partial z} \frac{\delta F}{\delta E}\right) d z .
\]

функции $a(\zeta)$ в верхней полуплоскости $\zeta$ посредством формулы (cм. [2.24])
\[
\ln a(\zeta)=\sum_{j=1}^{N} \ln \left(\frac{\zeta-\zeta_{j}}{\zeta-\bar{\zeta}_{j}}\right)+\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left|a\left(\xi^{\prime}\right)\right|^{-2}}{\zeta-\xi^{\prime}} d \xi^{\prime}, \quad \operatorname{Im} \zeta>0 .
\]

Однако совокупность
$\left\{\zeta_{j}(j=1,2, \ldots, N)\right.$
\[
\text { и } \left.\ln |a(\xi)|^{-2} \text { (для всех вещественньх } \xi \text { ) }\right\}
\]

является бесконечным набором независимых интегралов движения. Более того, вычисление показывает, что эти величины находятся в инволюции по отношению к скобкам Пуассона $\{\text {, }\}_{
abla}$.

Существование такого бесконечного семейства наводит на мысль о полной интегрируемости системы ${ }^{1}$ ). В бесконечномерном случае наличие бесконечного числа интегралов движения необходимо, но не достаточно для полной интегрируемости, поскольку в этом случае трудно усмотреть, что интегралов действительно хватает; тем не менее уравнение sine-Gordon является вполне интегрируемым $[2.24,2.81,2.82]$. Чтобы доказать это, нужно использовать $\zeta_{j}$ и $\ln \mid a$ (६) $\left.\right|^{-2}$ для определения переменных действия, явно вычислить угловые переменные для каждой переменной действия и проверить, что преобразование от $E$ к этим координатам действие — угол является каноническим отображением (взаимооднозначным, обратимым и сохраняющим скобки Пуассона). Другими словами, нужно построить координатную систему, эквивалентную $E$, для которой половина степеней свободы является интегралами движения гамильтоновой системы (2.91).

Физическая информация, содержащаяся в интегралах движения семейства (2.93), представляется совершенно ясной. Собственные значения $\zeta_{j}$ задают амплитуды и скорости импульсов, распространяющихся без искажений. Функция $\ln |a(\xi)|^{-2}$ нелинейным образом ассоциируется с амплитудой «звенящей» составляющей поля. Чтобы убедиться в этом, заметим, что сохранение вероятности (2.84) можно переписать в виде $|a(\xi)|^{2}=$ $=1-|R(\xi)|^{2} ;$ таким образом, $\ln |a(\xi)|^{-2}$ определяет величину коэффициента отражения $|R|^{2}$, которая в свою очередь связана с амплитудой «звенящей» компоненты $E$, и эта связь делается непосредственной для слабых импульсов $E$. В самом деле, для слабых импульсов $R(\xi)$ сводится к фурье-образу величины $E$ $[2.25,2.26,2.65,2.78]$.
1) Именно эта идея привела Гарднера, равно как и Захарова и Фаддеева, к построению гамильтонова формализма для уравнения КдФ. [Частные сооб: щения.]

Хотя физическая информацня, содержащаяся в инвариантах движения семейства (2.93), совершенно ясна, эти интегралы выражаются на языке спектральной теории. Для сопоставления с ранними работами по «высшим законам сохранения» было бы желательно выразить явно эти константы через $E$. К сожалению, явные выражения переменных действия через $E$ для этой совокупности неизвестны; однако весьма явные формулы можно получить для другой совокупности инвариантов движения, связанной с первой.

Ясно, что семейство инвариантов (2.93) определяет интеграл движения $\ln a$ (५) посредством формулы (2.92). В свою очередь разложения $\ln a(\xi)$ возле $\xi=0$ и возле $\xi=\infty$ дают асимптотические представления
\[
\begin{array}{l}
\ln a(\zeta) \simeq \sum_{k=1}^{\infty} D_{2 k-15^{2 k-1}} \quad \text { вблизи } \quad \zeta \simeq 0, \\
\ln a(\zeta) \simeq \sum_{k=1}^{\infty} C_{2 k-1}(1 / \zeta)^{2 k-1} \quad \text { вблиз и } \quad \zeta \simeq \infty,
\end{array}
\]

где коэффициенты разложения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
D_{k} \equiv \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{k}\left[\left(\zeta_{j}^{*}\right)^{-k}-\left(\zeta_{j}\right)^{-k}\right]+\frac{1}{\pi i} \int_{0}^{\infty} d \xi \frac{\ln |a(\xi)|^{2}}{\xi^{k+1}} \\
C_{k} \equiv \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{k}\left[\left(\zeta_{j}^{*}\right)^{k}-\left(\zeta_{j}\right)^{k}\right]+\frac{1}{\pi i} \int_{0}^{\infty} d \xi \ln \left(|a(\xi)|^{-2}\right) \xi^{k-1}, \quad k=1,3, \ldots
\end{array}
\]

Совокупности $\left\{C_{k}, k=1,3, \ldots\right\}$ и $\left\{D_{k}, k=1,3, \ldots\right\}$ образуют бесконечные семейства интегралов движения, определяемые переменными действия (2.93). Для такой системы обратимость пока не доказана. Другими словами, неизвестно, определяют ли семейства $\left\{C_{k}\right\}$ или $\left\{D_{k}\right\}$ переменные действия и тем самым эквивалентны ли они переменным действия. Было бы интересно установить такую эквивалентность, поскольку именно эти семейства $\left\{C_{k}\right\}$ и $\left\{D_{k}\right\}$ (а не переменные действия) явно выражаются через поле $E$, содержат привычные интегралы (такие, как энергия) и были первоначально использованы для извлечения информации из «высших интегралов движения». С другой стороны, суммарная информация, извлекаемая из семейства $\left\{C_{k}\right\}$ и $\left\{D_{k}\right\}$, не известна точно, хотя и ясно, что переменные действия составляют половину (причем наиболее существенную) информации, необходимой для того, чтобы явно проинтегрировать уравнение. Формулы (2.94) для интегралов $\left\{C_{k}\right\}$ и $\left\{D_{k}\right\}$ показывают, что эта проблема эквивалентности может быть переформулирована как проблема моментов $[2.24,2.78]$. Определяют ли моменты функции $\ln |a(\xi)|$ функцию $\ln a(\xi)$ ?

Для более простой системы — цепочки Тоды — мы показали в $[2.78]$, что семейство, аналогичное $\left\{C_{k}\right\}$, определяет переменные действия. Однако это доказательство основывается на представлении $\ln a$ (६) сходящимися степенными, а не асимптотиче.скими рядами, и обобщить его на случай уравнения sine-Gordon не представляется возможным.

Теперь укажем, как семейство $\left\{D_{k}\right\}$ выражается через поле $E$. Это семейство $\left\{D_{k}\right\}$ определяется $\ln a(\zeta)$ вблизи $\zeta \simeq 0$. Используя технику типа той, что применяется в низкоэнергетической ядерной физике для вычисления «длин рассеяния» [2.24, $2.81,2.82$ ], выводим тождество
\[
\frac{d}{d \zeta} \ln a(\zeta)=-i \int_{-\infty}^{\infty}\left\{\left[\frac{\varphi_{1}(z, \zeta) \psi_{2}(z, \zeta)+\varphi_{2}(z, \zeta) \psi_{1}(z, \zeta)}{a(\zeta)}\right]-1\right\} d z .
\]

Здесь $\varphi$ и $\psi$ являются решениями задачи на собственные значения (2.80), удовлетворяющими граничным условиям
\[
\varphi(z, \zeta) \underset{z \rightarrow-\infty}{\simeq}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) e^{-i \zeta z} \quad \text { и } \quad \psi(z, \zeta) \underset{z \rightarrow+\infty}{\simeq}\left(\begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array}\right) e^{i \zeta z}
\]

При $\zeta=0$ можно найти $\varphi$ и $\psi$ в явном виде:
\[
\begin{array}{c}
\varphi(z, \tau)=\left(\begin{array}{c}
\cos \int_{-\infty}^{z} \frac{E\left(z^{\prime}, \tau\right)}{2} d z^{\prime} \\
-\sin \int_{-\infty}^{z} \frac{E\left(z^{\prime}, \tau\right)}{2} d z^{\prime}
\end{array}\right), \\
\psi(z, \tau)=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}
\sin \int_{-\infty}^{z} \frac{E\left(z^{\prime}, \tau\right)}{2} d z^{\prime} \\
\cos \int_{-\infty}^{z} \frac{E\left(z^{\prime}, \tau\right)}{2} d z^{\prime}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $\int_{-\infty}^{\infty} E\left(z^{\prime}, \tau\right) d z^{\prime}=2 n \pi$. Подстановка этих выражений в (2.95) дает
\[
\left.\frac{d}{d \zeta} \ln a(\zeta)\right|_{\zeta=0}=-i \int_{-\infty}^{\infty}\left[\cos \int_{-\infty}^{z} E\left(z^{\prime}, \tau\right) d z^{\prime}-1\right] d z
\]

и показывает, что $D_{1}=-i H$, где $H$ есть гамильтониан. Аналогичные, но более сложные вычисления дают выражения для $D_{k}$ через поле $E$.

Выражение через $E$ семейства $\left\{C_{k}\right\}$ получается из поведения $\ln a(\zeta)$ при больших $\zeta$. Используемая здесь техника аналогична методу ВКБ в квантовой механике. Определим, следуя $[2.20]$,
\[
F(z, \zeta) \equiv \ln \left[\varphi_{1}(z, \zeta) e^{i \zeta z}\right] .
\]

Заметим, что $\lim _{z \rightarrow+\infty} F(y, \zeta)=\ln a(\zeta)$. Преобразование задачи на собственные значения (2.80) приводит к уравнению для $F$ :

При больших § это дает асимптотическое разложение
\[
\ln a(\zeta)=\sum_{k=1}^{\infty} C_{2 k-1}(1 / \zeta)^{2 k-1},
\]

где $\left\{C_{k}\right\}$ выражаются через $E$. Первые два члена этого разложения суть
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty} E^{2}(z, \tau) d z, \\
C_{3}=\frac{1}{(2 i)^{3}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\left|E_{z}\right|^{2}+|E|^{4}\right) d z,
\end{array}
\]

и т. д. Эти формулы позволяют выразить интегралы $\left\{C_{k}\right\}$ через начальный профиль импульса $E(z, \tau=0)$, а это как раз и есть плотности высших законов сохранения [2.18].

Это наблюдение увеличивает важность упоминавшейся выше проблемы эквивалентности. Можем ли мы использовать интегралы $\left\{C_{k}\right\}$, задаваемые начальными данными, для определения переменных действия и тем самым для получения содержащейся в них физической информации — амплитуд и скоростей солитонов, амплитуд и частот «звенящих» компонент?

В приложениях $[2.83,2.84]$ предполагается, что «звенящим» вкладом можно пренебречь и вдобавок что априори известноскажем, из теоремы площадей — число солитонов, возникающих из рассматриваемых начальных данных. В этом случае константы $\left\{C_{k}\right\}$ используются для оценки скоростей возникающих солитонов. Например, если известно, что возникают два солитона, то пара соотношений
\[
\begin{aligned}
C_{1} & =\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty}|E(z, \tau=0)|^{2} d z \simeq\left[\left(\zeta_{1}^{*}\right)-\zeta_{1}\right]+\left[\left(\zeta_{2}^{*}\right)-\left(\zeta_{2}\right)\right] \\
3 C_{3} & =\frac{-3}{(2 i)^{3}} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left|E_{z}\right|^{2}+|E|^{4}\right] d z \simeq\left[\left(\zeta_{1}^{*}\right)^{3}-\left(\zeta_{1}\right)^{3}\right]+\left[\left(\zeta_{2}^{*}\right)^{3}-\left(\zeta_{2}\right)^{3}\right]
\end{aligned}
\]

может рассматриваться как два нелинейных алгебраических уравнения с двумя неизвестными ( $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ ). Их решение дает выражения скоростей возникающих солитонов через начальный импульс $E$ (см. [2.66]).

Этот метод использовался Березиным и Қарпманом [2.68] и был ими вполне строго обоснован для уравнения Кортевега де Фриза. При исследовании строгости этого метода в общем случае немедленно обнаруживается, что отбрасывание непрерывной «звенящей» составляющей может не давать хорошей аппроксимации. Хоть непрерывная компонента и затухает по $\tau$, все же часто такое затухание происходит лишь алгебраически и локально по $(z, \tau)$. Опыт показывает $[2.18,2.68]$, что отбрасывание непрерывной части тем точнее, чем более гладкими являются начальные данные. Начальные профили, имеющие скачкообразный разрыв поля или его производных невысокого порядка, приводят к заметному «звону», которым нельзя пренебречь. (Такое отбрасывание «звенящего» вклада для уравнений самоиндуцированной прозрачности много лучше, чем для уравнения sine-Gordon, поскольку для них непрерывная компонента затухает экспоненциально по $\tau$ для почти всех $z$. Следует отметить, что система уравнений самоиндуцированной прозрачности не приводит к выражению глобальных интегралов движения только через поле $E$. Однако локальные законы сохранения существуют и могут быть вычислены, как и выше. Снова опыт показывает, что для системы самоиндуцированной прозрачности при достаточно гладких начальных данных процедура вполне согласуется с численными результатами.) Мы полагаем, что рассмотрение этих вычислений с точки зрения динамики вполне интегрируемых гамильтоновых систем внесет ясность, делая очевидными используемые приближения.