Экспериментальные результаты, описанные в разд. 3.2 , показывают, как нелинейная оптика может влиять на теорию солитонов. Ее значение для развития предмета описано в разд. 1.3. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) использовался для изучения свойств магнитных жидкостей ${ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{A} \mathrm{и}{ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{B}$. Движение ядерных спинов определяется уравнениями Блоха, описывающими нелинейные осцилляторы в пространственно-однородной ситуации. Именно этот аспект мы и разберем ниже.

В работе [3.3] мы ввели «адиабатическую» плотность гамильтониана $\mathscr{C}$, обобщающую предложенную Леггеттом [3.19]: для описания необычных ЯМР-спектров, наблюдаемых в ${ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{A}$ и ${ }^{3} \mathrm{He}$ В. Плотность гамильтониана имеет вид
\[
\mathscr{H}(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \gamma^{2} \chi^{-1} \sigma_{\omega}^{2}-\gamma \sigma_{w} B_{0}+\frac{1}{4} \gamma^{-2} \bar{c}^{2}
abla \theta \cdot \underline{\rho} \cdot
abla \theta+H_{D}(\theta) ;
\]

$\gamma=e / m p c$ – гиромагнитное отношение, $\chi$-магнитная восприимчивость, $\bar{c}$-скорость ( $\leqslant v_{F} \sim 10^{3}$ см/с) и $H_{D}(\theta)$-дипольное взаимодействие; $\rho=\operatorname{diag}(2,1,2)$ для ${ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{B}$ и $\rho=$ лений $y$ и $z$ в этих двух фазах [3.3], а дробь «1/4» введена для того, чтобы $\bar{c}$ в каждом из случаев была бы скоростью спиновой волны $[3.3,3.4] ; \sigma_{w}$ – оператор спина в спиновом пространстве с координатами ( $u, v, w)$, и по техническим причинам [3.3] $(u, v, w)$ соответствует $(z, x, y) ; B_{0}$ – постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль оси $y$, являющейся также осью $w ; \mathscr{H}(x)$ нужно брать с коэффициентом $\rho_{s} \hbar$, где $\rho_{s}$ – плотность сверхтекучей компоненты. «Параметры порядка», определяющие состояния сверхтекучего ${ }^{3} \mathrm{He}$, весьма сложны, и для неспециалиста достаточно уяснить себе, что (3.19) есть обычная плотность гамильтониана, описывающая распространение спиновых волн в этих веществах.

Для уравнений движения введем частоту $\Omega_{\chi} \equiv 4 \gamma^{2} \chi^{-1}$, продольную ЯМР частоту $\Omega_{l}$ и константу связи $\gamma_{0}=\Omega \chi \Omega_{l}^{-1}$ (по техническим причинам $[3.3,3.4] \Omega_{l}=\Omega_{t \text { А }}$ для ${ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{A}$, но $\Omega_{l}=$ $=4 \Omega_{l \text { в }} / 15$ для ${ }^{3} \mathrm{He}$ В). Введем обычные коммутационные соотношения
\[
\left[\sigma_{w}(\mathbf{x}, t), \theta(\mathbf{x}, t)\right]=i \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right) .
\]

Уравнения Гейзенберга имеют вид
\[
\begin{aligned}
\theta_{t} & =\gamma^{2} \chi^{-1} \sigma_{w w}-\gamma B_{0}, \\
\sigma_{w, t} & =-\delta H_{D} / \delta \theta+\frac{1}{2} \chi
u^{-2} c^{-2}
abla \cdot \underline{\rho} \cdot
abla \theta,
\end{aligned}
\]

и
\[
\theta_{t t}=\frac{1}{2} c^{-2}
abla \cdot \underline{\underline{\rho}} \cdot
abla \theta-\gamma^{2} \chi^{-1} \delta H_{D} / \delta \theta,
\]

где
\[
\left[\theta, \theta_{t}\right]=i \gamma^{2} \chi^{-1} \delta\left(x-x^{\prime}\right) .
\]

Для А-фазы имеем $[3.3,3.7,3.19]$
\[
H_{D}(\theta)=-\frac{3}{5} g_{D \mathrm{~A}}(T) \cos ^{2} \theta+\text { const },
\]

а для В-фазы $[3.3,3.8,3.19]$
\[
H_{D}(\theta)=\frac{4}{5} g_{D B}(\cos \theta+\cos 2 \theta)+\text { const. }
\]

В обоих случаях величина $g_{D}$ зависит от температуры $T$, которая войдет и в $\Omega_{l}$. Второе выражение $(3.22 \mathrm{~b}$ ) представлено в виде, который свидетельствует о двухспиновом описании двойного уравнения sine-Gordon – отметим, однако, отличие в знаке от выражения (3.17).

Рассмотрим плоские волны, распространяющиеся вдоль направления $B_{0}$ (по оси $y$ ) и вращающиеся в плоскости $(x, z)$.

Это происходит из-за стремления спинов расположиться параллельно направлению так называемого орбитального вектора і̂ в А-фазе, а $і$ расположен перпендикулярно $B_{0}$; в В-фазе нет орбитального вектора, и $B_{0}$ определяет естественную ось вращения, параметризованного углом $\theta$. Удобно переименовать ось $y$ (направление $B_{0}$ ) через $x$.
Для А-фазы получим
\[
\begin{array}{c}
\theta_{t t}-\bar{c}_{\mathrm{A}}^{2} \theta_{x x}=-\Omega_{l \mathrm{~A}}^{2} \sin \theta \cos \theta \\
{\left[\Omega_{l \mathrm{~A}}^{2}=\frac{6}{5} g_{D \mathrm{~A}}(t) \gamma^{2} \chi^{-1}\right] . \text { Для В-фазы }} \\
\theta_{t t}-\bar{c}_{\mathrm{B}}^{2} \theta_{x x}=\frac{4}{15} \Omega_{l \mathrm{~B}}^{2}(\sin \theta+2 \sin 2 \theta)
\end{array}
\]
$\left[\Omega_{l \mathrm{~B}}^{2}=3 g_{D \mathrm{~B}}(T) \gamma^{2} \chi^{-1}\right]$. Положим $u=-2 \theta$ (А-фаза) и $\quad u=2 \theta$ (В-фаза). Заменим $t$ на $\Omega_{t} t$. Получаем операторные уравнения
(А-фаза) и
\[
u_{x x}-u_{t t}=\sin u
\]
\[
u_{x x}-u_{t t}=-\left(\sin u+\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} u\right)
\]
(В-фаза) с коммутационным соотношением
\[
\left[u, u_{t}\right]=i \gamma_{0} \delta\left(x-x^{\prime}\right)
\]

для обоих случаев.
«Матрица энергетической щели», определяющая $\theta$ [3.4], является $c$-числом, так что и $\theta$ есть $c$-число. Тем не менее спиновая волна элементарных возбуждений при температуре ниже 2.6 мК может быть проквантована. В этом случае уравнения (3.25), (3.26) должны решаться как операторные. Спектр уравнения (3.25) найден Лютером в гл. 12; он упоминался в гл. 1 в связи с выражением (1.104). Для квантового двойного уравнения sine-Gordon с любым знаком в (3.1) даже не найден спектр, хотя известно, что его $S$-матрица разложима [3.46] ${ }^{1}$ ).
1) Квантование спиновых волн могло бы привести к интересным следствиям. Нами вычислена величина $\gamma_{0} \sim 10^{5}[3.4,3.5]$. В А-фазе для СГ-уравнения (и, возможно, в В-фазе для двойного уравнения sine-Gordon) столь большое значение величины $\gamma_{0}$ разрушает бризерный спектр. Этот результат следует из (1.105), поскольку количество квантовых бризеров $N<1$ для больших значений $\gamma_{0}$. (наблюдаемое перенормированное значение $\gamma_{0}$ заменяет $\gamma_{0}$ в (1.105)]. Несмотря на очень низкие температуры, при которых существуют эти элементарные спиновые возмущения, наш вывод тем не менее состоит в том, что спиновые волны не квантованы. Это согласуется с тем, что параметр порядка является $c$-числом $[3.4,3.5]$, с большим радиусом корреляций $\bar{c} \Omega_{\bar{l}}^{-1}$, с обсуждающимся ниже эффектом «звона», который наблюдали Уитли [3.17], а также с соображением, которое мы обсудим ниже, что сам «звон» может в сильной степени зависеть от бризеров [3.48]. Отметим, что во всяком случае гамильтониан (3.19) должен быть умножен на $\rho_{\mathrm{s}}$, плотность сверхтекучей компоненты на единицу длины (т. е. $\rho_{s} \Omega_{i} \bar{c}^{-1}$ ). В частности, если на это

Уравнение (3.26) для $c$-чисел имеет плотность гамильтониана
\[
\mathscr{C}(x)=\gamma_{0}^{-1}\left[\frac{1}{2} u_{x}^{2}+\frac{1}{2} u_{t}^{2}+2\left(\cos \frac{1}{2} u+\frac{1}{4}\right)^{2}\right] .
\]

Минимумы дипольного взаимодействия имеются при $u=\delta=$ $=2 \arccos (-1 / 4)$ и при $4 \pi-\delta$. Имеются два решения-кинка постоянной формы, а именно (3.14), (3.15). Помня о лоренцковариантности уравнения (3.26) в переменных $x, t$, мы можем переписать эти решения в другом виде:
\[
\begin{array}{l}
u=2 \pi+4 \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{3}{4}} \operatorname{tg} \frac{1}{2} \theta\right), \\
u=4 \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{5}{3}} \operatorname{tg} \frac{1}{2} \theta\right), \\
\theta=\chi(x-V t), \quad \chi=\sqrt{\frac{15}{16}}\left(1-V^{2}\right)^{-1 / 2} .
\end{array}
\]

Первое из решений является ( $4 \pi-2 \delta$ )-кинком, расположенным между минимумами $\delta$ и $4 \pi-\delta$ дипольной энергии; второе – это $2 \delta$-кинк, расположенный между $-\delta$ и $+\delta$.

Эти два кинка могут лишь отскочить друг от друга при столкновении: они не могут пройти один через другой подобно солитонам, поскольку $2 \delta
eq 4 \pi-2 \delta$. Графики производных этих кинков при соударениях (т. е. $\mathscr{E}$ в (3.14), (3.15)) приведены, например, в [3.3], [3.4], [3.14], [3.31]. Аналогичные результаты для тройного уравнения sine-Gordon имеются в [3.14], [3.37].

Эти два кинка имеют энергии покоя и эффективные массы покоя, а именно $5.1097 \gamma_{0}^{-1}$ единиц для $4 \pi-2 \delta$ и $11.3929 \gamma_{0}^{-1}$ единиц для $2 \delta$. Когда сталкивается $2 \delta$-пара кинк – антикинк, они могут проходить друг через друга, сохраняя г. у. $u \rightarrow-\delta$, $|x| \rightarrow \infty$, что приводит к образованию – $4 \pi-2 \delta)$-пары антикинк – кинк. Численные расчеты $[3.4,3.5,3.8,3.33,3.47]$ показывают, что именно так обстоит дело для любых взаимных скоростей $v$ в системе центра масс. Во всех случаях имеется добавочное излучение, испускаемое после столкновения.

Когда сталкивается ( $4 \pi-2 \delta)$-пара кинк- антикинк, появляются два усложнения: хотя г. у. $u \rightarrow \delta,|x| \rightarrow \infty$ согласуется и с $(4 \pi-2 \delta)$-парой кинк-антикинк, и с $(4 \pi-2 \delta)$-парой анти-

число умножить плотность гамильтониана (3.28), то получится интуитивно верный результат, поскольку $\gamma_{0}$ будет делиться на этот множитель. Неясно, однако (для нас), какое значение следуєт взять для $\rho_{s} \Omega_{l} \bar{c}^{-1}$ в одномерном случае. Также неясно, приведет ли этот коэффициент при плотности гамильтониана к самосогласованной одномерной теории.

По поводу нахождения спектра квантового СГ-уравнения см. гл. 12 этой книги, а также цитированную там литературу, работы [1.42, с. 114-117], [3.13] или более раннюю работу Фаддеева [1.41], а также [1.40]. См. также обзор Фаддеева и Корепина .[1.218], недавнюю работу Фаддеева, цитированную в гл. 12, и [1.221].

кинк – кинк, имеется пороговое значение $V=0.8938$, ниже которого энергия ( $4 \pi-2 \delta)$-пары недостаточна для создания массы покоя $2 \delta$-пары, и в этом случае ( $4 \pi-2 \delta$ ) -пара неупруго соударяется, а из-за потерь на излучение реальная величина порога возрастает до $V=0.925$ [3.4, 3.33]. Имеется также нижний порог порядка $V=0.36[3.33,3.48]$. Здесь сближающиеся $(4 \pi-2 \delta)$-пары теряют мало энергии на излучение и образуют долгоживущее бризероподобное связанное состояние. На рис. 3.5 показаны кинк и антикинк, каждый с $V=0$, превращающиеся в такое бризероподобное состояние под действием взаимного притяжения. На рис. 3.6 изображено поведение для $V=0.36$.

Представляется возможным, что эти возникшие бризеры могут быть приведены в движение пространственно-однородным гармоническим продольным полем. Если заменить $B_{0}$ в (3.19) на $B_{0}+B_{1} \cos t$, то уравнение (3.26) примет вид
\[
u_{x x}-u_{t t}=-\left(\sin u+\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} u\right)-\gamma \omega \Omega_{l}^{-2} B_{1} \sin \left(\omega \Omega_{l}^{-1} t\right) .
\]

В соответствующем А-фазе случае СГ-уравнения при наличии затухания, рассматривая уравнения как уравнения для $c$-чисел, Кауп и Ньюэлл [3.49] показали при помощи сингулярной теории возмущений, что бризеры СГ-уравнения синхронизированы по фазе на частоте $\omega$ в промежутке ниже ЯМР-частоты $\Omega_{l A}$. В В-фазе ситуация не совсем такая, поскольку потенциал $V(u)=2(\cos u / 2+1 / 4)^{2}$ не симметричен в окрестности минимумов $\delta$ или $4 \pi-\delta$; бризерный спектр здесь также неизвестен. Однако по-прежнему частота $\omega$ лежит ниже $\Omega_{t B}$. В работе [3.48] мы отмечали, что для рассматриваемых там граничных условий (которые в лучшем случае могут лишь аппроксимировать физическую ситуацию, так что к выводу следует относиться соответственным образом) бризерные решения должны играть роль в ЯМР-эффекте. Конечно же, сопутствующие ЯМР частоты от «составных решений» дают о себе знать [3.9], но это, в сущности, статический эффект. В настоящее время у нас нет никаких данных, которые могли бы свидетельствовать о влиянии перемещения бризеров на ЯМР-эффект.

Спиновые волны в ${ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{A} \mathrm{и} \mathrm{в}{ }^{3} \mathrm{He}$ В могут быть созданы при помощи магнитного удара. Предположим, что в формуле (3.19) $B_{0}$ снова является однородным при $t>0$, а при $t<0$ имеется добавочное неоднородное поле $\Delta B_{0}(x)$, которое выключается при $t=0$ (такой метод был предложен также в [3.8]). В работе [3.48] мы показали приближенную эквивалентность этой задачи в А-фазе решению уравнения (3.25) (для $c$-чисел) со следующими условиями: $u \rightarrow 0, u_{x} \rightarrow 0, u_{x x} \rightarrow 0$ и т. д.; $|x| \rightarrow \infty$; $u(x, 0)=0 ; u_{t}(x, 0)=2 \tau$ при $|x|<l ; u_{t}(x, 0)=0$ при $|x|>l$;

Рис. 3.5. Долгоживущее бризероподобное состояние уравнения (3.1) (с отрицательным знаком и $\lambda=1$ ), образующееся при падении друг на друга ( $4 \pi$ $-2 \delta$ ) -кинка и антикинка ( $V=0$ ). Обратите внимание на слабое излучение, испускаемое при скоростях $\pm 1( \pm \bar{c})$. Время $t$ направлено к наблюдателю; переменная $x$ возрастает слева направо. Граничные условия имеют вид $u \rightarrow \delta=2 \arccos (-1 / 4)$ при $|x| \rightarrow \infty$.

Рис. 3.6. Поведение $(4 \pi-2 \delta)$-пары кинк – антикинк двойного уравнения sine-Gordon вблизи порога ( $V=0.36$ ) для образования бризера. Обратите внимание на нерегулярность поведения и на возросшее по сравнению с рис. 3.5 излучение. (Время $t$ направлено вперед).

( $l$-длина в безразмерных единицах, а $\tau$ – частота в аналогичных единицах). Кауп [3.50] частично решил такую задачу Коши, и мы отсылаем читателя к его статье по поводу деталей простого, но искусного применения метода обратной задачи. Маки и Кумар [3.8] развили другой метод, прямо применимый к задаче о спиновых волнах в Не. Для наших целей существенно

Рис. 3.7. Пять стоячих бризеров уравнения sine-Gordon, образующихся из начальных условий $u(x, 0)=0 ; u_{t}(x, 0) \leqslant 2,|x|<15, u_{t}(x, 0)=0,|x|>$ $>15$. Время отсчитывается от $t=60 \sqrt{2}$ и направлено в сторону от наблюдателя. Обратите внимание на имеющуюся у этих бризеров тенденцию к излучению.

отметить, что при $\tau<1$ возникают стационарные бризеры, а не кинки: каждый стационарный бризер имеет вид (1.31). Проделанный Қаупом анализ показал, что число таких бризеров равно целой части от $(l \tau / \pi)+1 / 2$. В реальных единицах $l \tau=\left(L \lambda_{\mathrm{A}}^{-1}\right)\left(\gamma \Delta B_{0} \Omega_{l_{\mathrm{A}}}\right)^{-1}$, где радиус корреляции $\lambda_{\mathrm{A}}=2 \pi \Omega_{l_{\mathrm{A}}}^{-1} \bar{c}_{\mathrm{A}}$. Поскольку длина образца $L \leqslant 1 \mathrm{cм}, \bar{c}_{\mathrm{A}} \leqslant 3 \times 10^{3} \mathrm{~cm} /$ с и вблизи критического значения $\Delta B_{0} \sim \Delta B_{0 \text { с }}$ (см. [3.47], а также ниже) $\gamma \Delta B_{0} \sim \Omega_{l \text { A }} \sim 10^{6}$ рад/с, то $l \tau$ может быть больше $\geq 300$ (для $\left.\bar{c}_{\mathrm{A}} \sim 10^{2} \mathrm{cм} / \mathrm{c}, l \tau \sim 3000\right)$. На каждый бризер приходится по два собственных значения ассоциированной задачи рассеяния, так что количество собственных значений $\geqslant 600$ (для $\bar{c}_{\mathrm{A}} \sim$ $\sim 10^{2} \mathrm{cм} / \mathrm{c} \geqslant 6000$ ). Здесь, однако, наиболее интересен теоретически случай узкой области магнитных возбуждений, где $L \ll 1$ см и $l \tau \leqslant 10$, хотя, конечно, его трудно реализовать экспериментально.

На рис. 3.7 изображен случай $\tau<1$ и 5 стационарных бризеров. Рисунок не охватывает начальный период возникновения этих бризеров (по поводу этого интересного периода см. некоторые рисунки в [3.47], а также рис. 3.8); время на рис. 3.7 начинается с момента $t=60 \sqrt{2}$, и из рисунка видно, что даже по прошествии столь длительного промежутка времени стационарные бризеры являются устойчивыми решениями типа стоячих волн и не имеют тенденции перемещаться.

Ниже при помощи анализа поведения на фазовой плоскости в синхронной системе мы покажем, что значение $\tau=1$, где $\gamma \Delta B_{0}=\gamma \Delta B_{0 \text { с }} \equiv \Omega_{t \mathrm{~A}}$, имеет «критический» характер: можно ожидать, что оно остается критическим также в пространственно неоднородной задаче, и именно так обстоит дело. При $\tau>1$ пары кинк – антикинк начинают расходиться в противоположных направлениях. На языке данных рассеяния при $\tau>1$ пары собственных значений $\zeta$, 一 $\zeta^{*}$ выходят на мнимую ось и расщепляются на ней. Максимальное число пар кинк- антикинк, которые могут быть таким образом созданы, $\sim l \tau / \pi=\gamma \Delta B_{0} L \bar{c}_{\mathrm{A}}^{-1} \pi^{-1}$. Важно, что в то время как стоячие волны бризеров остаются в области $|x|<l$, кинки излучают налево ( $x \rightarrow-\infty$ ), а антикинки – направо ( $x \rightarrow+\infty$ ). Кинки и антикинки не могут излучать в одном и том же направлении.

Соответствующие результаты для В-фазы более запутаны. Прежде всего не известно ни одного решения задачи Коши для уравнения в $c$-числах (3.26). Во-вторых, поле является критическим при двух значениях $\gamma \Delta B_{0 \mathrm{c}_{1}}=\sqrt{3 / 5} \Omega_{l \mathrm{~B}} \quad$ и $\gamma \Delta B_{0 \mathrm{c}_{2}}=\sqrt{5 / 3} \Omega_{l \mathrm{~B}}$; соответствуюе критическое значение $\tau$ – при $2 \tau=3 / 2$ и $2 \tau=5 / 2$. Эти критические по.Ія хорошо известны в пространственно-однородном случае [3.18]; Уитли [3.17] сообщил о предварительных экспериментах, рассчитанных на то, чтобы их обнаружить. В неоднородном случае мы сообщали [3.48] о численных результатах, свидетельствующих о наличии таких критических полей, а также о явлениях, весьма отличных от тех, что имеются для СГ-уравнения в случае А-фазы. Здесь нет места для детального изложения всех этих численных результатов. Но один из особо интересных результатов – то, что выше первого порога, где $\Delta B=\Delta B_{0 \mathrm{c}_{1}}$, как ( $\left.4 \pi-28\right)$-кинки, так и ( $4 \pi-2 \delta$ ) -антикинки излучают в одном и том же направлении.

Исходя из результатов работы [3.48], мы приходим к выводу, что в отличие от случая СГ-уравнения, задача Коши (3.31) для двойного уравнения sine-Gordon с отрицательным знаком, $\lambda=1, u \rightarrow \delta,|x| \rightarrow \infty, u(x, 0)=\delta$, чувствительна как к $l$, так и к $\tau$. Имеется порог при $u_{t}=2 \tau=3 / 2$ : ниже этого порога образуются только бризеры, но они могут излучать; на самом пороге или выше его могут появляться также излучающие қинки и излучающие пары кинк- антикинк (как уже отмечали, этот результат резко отличается от случая СГ-уравнения); наряду с этими парами кинк – антикинк могут иметься излучающие бризероподобные возбуждения. Мы отсылаем читателя к нашей статье [3.48], а также к работе [3.32], где на многочисленных рисунках наглядно представлены те численные результаты, на которых мы основываем свои выводы. Здесь мы приведем только результат о прохождении второго критического порога при $u_{t}=5 / 2$.

Граничные условия для решения, изображенного на рис. 3.8 , имеют вид $u=\delta,|x| \rightarrow \infty$. Пробегая рис. 3.8 справа налево, мы видим, что $\delta \rightarrow 4 \pi \rightarrow \delta \rightarrow 4 \pi+\delta \rightarrow 8 \pi-\delta \rightarrow 4 \pi+\delta \rightarrow 8 \pi-\delta$. Следовательно, последовательность кинков и антикинков имеет вид (справа налево): $-(4 \pi-2 \delta)$-антикинк, $-2 \delta$-антикинк, – $(4 \pi-2 \delta)$-антикинк, $(4 \pi-2 \delta)$-кинк, – $4 \pi-2 \delta)$-антикинк. Эта последовательность подтверждает сами собой напрашивающиеся выводы, а именно: I) для граничных условий $u \rightarrow \delta$, $|x| \rightarrow \infty$ сначала испускается $-(4 \pi-2 \delta)$-антикинк (или $2 \delta$ –

Рис. 3.8. Результат прохода через второй критический порог двойного уравнения sine-Gordon при $u_{t}=5 / 2 ; u_{t}=2,6,|x|<15$. Граничные условия заданы в виде $u \rightarrow \delta,|x| \rightarrow \infty$; прочитанная справа налево последовательность испускаемых кинков и антикинков такова: $-(4 \pi-2 \delta)$-антикинк, $-2 \delta$-антикинк, $-(4 \pi-2 \delta)$-антикинк, $(4 \pi-2 \delta)$-кинк – $4 \pi-2 \delta)$-антикинк. Обратите внимание на наличие – $2 \delta$-антикинка и $2 \delta$-кинка. Похоже, что в этом примере никаких бризеров не образуется.

кинк); II) за – $4 \pi-2 \delta)$-антикинком следует или $-2 \delta$-антикинк, или – $(4 \pi-2 \delta)$-кинк. В этом примере нет свидетельств в пользу образования бризероподобных возбуждений, однако представляется вероятным, что при изменении $l$ последняя пара – $(4 \pi-2 \delta)$-антикинков может образовать связанное состояние в виде исходящего бризера. У нас нет свидетельств даже о наличии уходящих $2 \delta$-пар кинк-антикинк. Мы отмечали, что если такие пары столкнутся, они превратятся в пары – $4 \pi-$ $-28)$-антикинков, обязательно приобретающие за счет дефекта масс кинетическую энергию, достаточную для преодоления тенденции к образованию бризера. Таким образом, уходящая $2 \delta$-пара кинк – антикинк является, вероятно, неустойчивой по отношению к образованию уходящих – $4 \pi-2 \delta)$-пар антикинк – кинк.

Упоминавшиеся выше «критические поля» для А-фазы (СГуравнение) и В-фазы (двойное уравнение sine-Gordon) обладают тем свойством, что в пространственно-однородной задаче индуцированная намагниченность не «звенит». Это легко увидеть на фазовой плоскости в синхронной системе: например, уравнение (3.26) для $c$-чисел имеет первый интеграл
\[
-\frac{1}{2} u_{t}^{2}-\cos u-\cos \frac{1}{2} u=c,
\]

а это и есть траектория на фазовой плоскости уравнения (3.10) (где $u_{t} \rightarrow u_{\xi}$ ). Траектории, соединяющие неустойчивые особые точки, получаются при $-c=2$ и при $c=0$. При $u=\delta$ имеем: если $c=-2$, то $u_{t}=5 / 2$; если $c=0$, то $u_{t}=3 / 2$. На этих траекториях $u_{t}$ изменяется до нуля без осцилляций (без «звона»), когда $и$ изменяется до $4 \pi$ и соответственно до $2 \pi$. Поскольку $u_{t}$ определяет намагниченность (умножьте первое из уравнений (3.21a) на $\chi \gamma^{-1}$ ), мы назовем эти траектории «незвенящими»: скачки магнитного поля, выбивающие систему из состояния $u=\delta$ на одну из этих траекторий, равны соответственно $\quad \Delta B_{0 \mathrm{c}_{2}}=\gamma^{-1} \sqrt{5 / 3} \Omega_{l \text { в }}$ и $\Delta B_{0 \mathrm{c}_{1}}=\gamma^{-1} \sqrt{3 / 5} \Omega_{\mathrm{B} t}$; именно эти значения упоминались выше. Для СГ-уравнения в задаче об А-фазе аналогичный анализ показывает, что $u_{t}=2 \tau=2$ определяет единственную незвенящую траекторию, и система из состояния $u=0$ выбивается на эту траекторию посредством скачка $\Delta B_{0 \mathrm{c}}=\gamma^{-1} \Omega_{l \text { A }}$.

Явление ЯМР зависит от времени и не зависит от пространственных координат. Оно, стало быть, может быть использовано для того, чтобы определить критические поля для приведения в незвенящее состояние; это было подробно проделано Уитли [3.17] для А-фазы и с меньшей степенью подробности для В-фазы. Один из выводов, вытекающих из проделанного анализа, тот, что критические поля для «незвенящего» ЯМР в однородном случае остаются, следовательно, критическими для распада на солитоны как в А-, так и в В-фазе в пространственно-неоднородном случае. Однако если бы распад на солитоны (или, разумеется, на квазисолитоны в случае В-фазы) все же происходил, такой распад сопровождался бы наблюдаемым звенящим сигналом по крайней мере в выделенных точках $x>l$ вне исходной области неоднородности магнитного поля. Не очевидным является то, что средний сигнал непременно должен быть незвенящим, и, возможно, это имеет некоторое отношение к неполному согласию между теорией и экспериментом, обнаруженному Уитли в исследованиях Афазы [3.17]. По крайней мере наш анализ показывает существенность граничных условий.

Несмотря на возможность образования уходящих бризеров выше и ниже порога в В-фазе, должно было бы быть возможным, по крайней мере в принципе, обнаружить кинки и антикинки, движущиеся в одном и том же направлении, на самом пороге при $u_{t}=3 / 2$ или выше его. Ясно, что ниже второго порога при $u_{t}=5 / 22 \delta$-кинки не возникают. Последовательность испускаемых кинков для $3 / 2<u_{t}(x, 0)<5 / 2$ должна, следовательно, иметь вид кинк – антикинк – кинк и т. д. (или антикинк – кинк и т. д.), и для достаточно больших $l$ можно ожидать образования многих пар кинк-антикинк. Кроме того, результаты работы [3.48] показывают, что излучающие пары кинк – антикинк (пары антикинк – кинк) могут образовывать уходящие бризероподобные возбуждения.

Bce это разнообразие явлений для неинтегрируемого двойного уравнения sine-Gordon резко отличается от относительной простоты интегрируемого СГ-уравнения для случая А-фазы. Как показывают результаты численных и аналитических исследований [3.48], здесь выше единственного порога при $u_{t}=2$ может испускаться только простая последовательность, состоящая из одних кинков (или из одних антикинков).

Мы предложили в работе [3.48] возможное использование этого факта: магнитный детектор в принципе мог бы регистрировать кинки и антикинки для случая В-фазы, а в А-фазе только кинки, и таким образом мы можем получить экспериментальное подтверждение гипотез о симметриях «параметров порядка» для этих двух различных фаз. Из результатов нашей работы [3.48] вытекает, однако, что для В-фазы малые (порядка одного-двух радиусов корреляции $\lambda_{\mathrm{B}}=c_{\mathrm{B}} \Omega_{l \mathrm{~B}}^{-1}$ ) изменения начального распределения $u_{t}$ приводят, например, к тому, что вместо бризера на пороге испускается одиночный кинк. Для того чтобы использовать особенности поведения ${ }^{3} \mathrm{He} \mathrm{B}$, необходимо удалить малые поля $\sim 20$ Гаусс из заданной области размером $\sim 100$ микрон; требуется также чувствительный детектор намагниченности. Такие эксперименты могут в настоящее время оказаться неосуществимыми. Возможно, практически более реально возбуждать бризеры посредством магнитного удара и, например, обеспечивать их фазовую синхронизацию с продольными $r F$-полями. Для достаточно больших значений константы связи $\gamma_{0}$ может быть достаточно много термически возбужденных кинков и бризеров даже при температурах $\leqslant 2.6 \mathrm{mK}$, как это вытекает из вида спектра (1.104)1). Однако в настоящее время мы полагаем, что эффективное значение $\gamma_{0}$ намного меньше того, что было нами найдено раньше.

Вот и все, что мы хотели сказать по поводу противопоставления интегрируемого СГ-уравнения неинтегрируемому двойному уравнению sine-Gordon, а также о возможных экспериментах с реальными физическими системами, использующих различия между этими уравнениями. Есть искушение интерпретировать эти разнообразные результаты для двойного уравнения sine-Gordon аналитически на языке данных рассеяния подходящей задачи рассеяния и непосредственно сравнить их со случаем СГ-уравнения. Пока что это было сделано только для двух частных решений уравнения (3.1): оба они получены для случая $\lambda=1$ и знака «+»; аналогичное сопоставление пока не было проделано для знака «-». Мы приведем набросок такого исследования для решений с положительным знаком в следующем разделе. По сравнению с остальной частью главы у читателя будет предполагаться более серьезная математическая подготовка; нелишне, если он (или она) прочтет предварительно гл. 6 и основательно ознакомится с методом обратной задачи рассеяния, а также с тем, как этот метод может применяться в сингулярной теории возмущений.