Цель настоящей главы – проиллюстрироввать реальное поведение солитонов или солитоноподобных объектов в двух физических ситуациях. За исключением последнего раздела, от читателя требуется лишь сравнительно небольшая математическая подготовка. Мы надеемся, что по прочтении этой главы станет понятно, почему при изучении физических проблем возникают как «интегрируемые», так и «не:нтегрируемые» системы, а сопоставление поведения одной интегрируемой системы, уравнения sine-Gordon ${ }^{2}$ ), и тесно с ней связанной неинтегрируемой, двойного уравнения sine-Gordon, прояснит различие между этими системами. В главе будут кратко рассмотрены конкретные физически интересные начальные условия для каждой из них и будет проиллюстрировано, как метод обратной задачи рас-
1) От англ. wobble – качаться, шататься. – Прим. перев.
2) Далее для краткости уравнение sine-Gordon будет называться СГ-уравнением, – Прим. перев.

сеяния можно использовать при решении задачи Коши для близких интегрируемых систем и при построении теории возмущений для соответствующих неинтегрируемых систем. Двойное уравнение sine-Gordon является новой системой. Она вводится здесь для того, чтобы обсудить возможные приложения теории солитонов в более широком классе ситуаций.

В этой главе мы будем иметь дело с двумя физическими задачами: с задачей из нелинейной оптики о распространении резонансных коротких световых импульсов в среде с вырожденными атомными переходами и с задачей о распространении спиновых волн ${ }^{1}$ ) при очень низких температурах в магнитных фазах ${ }^{3} \mathrm{He}$. В первой задаче мы имеем дело с оптической самоиндуцированной прозрачностью (СИП) в вырожденной атомной среде $[3.1,3.2]$. СИП в невырожденной среде уже описана Лэмом и Маклафлином в предыдущей главе. Задача о спиновых волнах в ${ }^{3} \mathrm{He}$ в этой книге больше не обсуждается; их теория в том виде, как она изложена, в основном развита нами [3.3-3.6]. Близкие работы Маки и Кумара [3.7], [3.8] появились параллельно с нашими (и чуть раньше их); предпринятый в работе [3.7] анализ повлиял на некоторые наши соображения. Қак и в своей более поздней работе [3.9], Маки и Кумар детально обсуждают возможности эксперимента. Мы также обсудим этот вопрос в настоящей главе.

Для распространения оптических импульсов успешный эксперимент действительно был осуществлен [3.10]; этот эксперимент будет кратко описан в статье. В случае спиновых волн столь же надежного эксперимента пока выполнено не было ${ }^{2}$ ); хотя вместе с Маки и Кумаром [3.8] мы и предлагаем варианты проведения такого эксперимента, мы вынуждены признать, что сделать это может оказаться очень трудно. Одна из причин заключается в том, что солитоноподобные спиновые волны возбуждений, которые мы будем описывать, по-видимому, должны генерироваться сразу во множестве там, где они вообще могут возникнуть; другая – в том, что в нашей теории волны считаются плоскими, и она может оказаться мало пригодной для описания реальной ситуации в ${ }^{3} \mathrm{He}$, где «текстура» $[3.9,3.11]$, ассоциированная с трехмерной геометрией системы, играет важную роль. Наоборот, в случае СИП поперечная самофокусировка хотя и важна, однако не имеет реніющего значения [3.12, 3.13]; плоская волновая теория пригодна для качественного
1) Мы используем термин жепиновые волны» для обозначения волн возбуждений магнитного спина; они могут быть распространяющимися или неподвнжными (в последнем случаё чаще говорят о «доме́нных стенках»). Мы всегда будем использовать этот термин в нелинейных ситуациях, тем самым обобщая понятие «спиновых волн», которые в рамках линейной теории должны быть гармоннческими.
2) Мы, однако, не имели возможности познакомиться с работами № 28 и №29, цитированными в статье Маки [3.9].

описания, и возбуждения односолитонного типа могут сравнительно легко быть созданы и изучены в лаборатории.

Все же в этой главе в основном рассматривается одна физически осмысленная система нелинейных уравнений в частных производных, а не экспериментальные подходы к ее изучению. Эта система – двойное СГ-уравнение
\[
u_{x x}-u_{t t}= \pm\left(\sin u+\frac{1}{2} \lambda \sin \frac{1}{2} u\right)
\]

с граничными условиями $u \rightarrow c(\bmod 4 \pi), u_{x}, u_{x x}, u_{x x x}$ и т. д. $\rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Число $c$ выбирается так, чтобы правая часть в этом пределе обращалась в нуль: последнее выполняется при $u=0$ или $2 \pi$ для знака «十» и $\lambda=1$, а также при $u=\delta=$ $=2 \arccos (-1 / 4)$ или $4 \pi-\delta$ для знака «-» и $\lambda=1$. Для $\lambda=0$ и знака «+» (3.1) является обычным СГ-уравнением с граничным условием $u \rightarrow 0(\bmod 2 \pi)$ при $|x| \rightarrow \infty$; для того же граничного условия $\lambda=0$ и отрицательного знака уравнение (3.1) неустойчиво – см., например, замечание в [3.14] и в предыдущей главе. Аналогичный неустойчивый случай можно получить из (3.1) при $\lambda=1$ (см. [3.2]). Устойчивое СГ-уравнение описывает распространение строго резонансных (т. е. не претерпевающих «неоднородного уширения») коротких оптических импульсов в невырожденном поглотителе (см., например, гл. 2 или гл. 6; см. также цитированную там литературу, особенно [3.1], или, например, [3.13]-[3.16]). Неустойчивый случай описывает распространение возбуждений в усилителе [3.1]. Как мы увидим, устойчивое СГ-уравнение описывает также распространение плоских спиновых волн в А-фазе ${ }^{3} \mathrm{He}$ при температуре ниже $2.6 \mathrm{mK}$. Первым из результатов мы обязаны Маки и Тсунето [3.7] (см. также [3.19]).

Ниже $2.6 \mathrm{mK}{ }^{3} \mathrm{He}$ в основном существует в виде двух жидких фаз, А и В [3.17]. Обе они являются анизотропными магнитными жидкостями $[3.3-3.5,3.7,3.8,3.18,3.19]$. Как мы увидим ниже, оказывается, что плоские спиновые волны в В-фазе описываются двойным СГ-уравнением (3.1) с $\lambda=1$ и отрицательным знаком $[3.3-3.6,3.8,3.9]$. Кроме того, оказывается, что распространение острых резонансных пиков в вырожденной атомной среде с $Q(2)$-симметрией переходов [3.1, 3.2,3.14] описывается двойным СГ-уравнением (3.1) с $\lambda=1$ и положительным знаком. В принципе все четыре случая для $\lambda=1$, а именно знак «十» с $c=0$ или $2 \pi$ и знак «-» с $c=\delta$ или $c=4 \pi-\delta$ описывают резонансную СИП в $Q(2)$-вырожденном поглотителе [3.2]; вырожденному усилителю соответствуют еще четыре случая $[3.1]^{\mathrm{I}}$ ).
1) Альтернативный термин-кослабитель»-используется для поглотителя в [3.2]. Все поглотители (ослабители) являются устойчивыми в отсутствие спонтанного излучения. Мы обсуждали в другом месте (см. [3.20]) теорию

Двойное уравнение s-G является одним из серии кратных уравнений s-G, в принципе допускающих приложения (см. [3.4]): например, тройное уравнение sine-Gordon
\[
u_{x x}-u_{t t}=\sin u+\frac{1}{3} \sin \frac{1}{3} u+\frac{2}{3} \sin \frac{2}{3} u
\]

описывает распространение строго резонансных пиков оптических импульсов сквозь невозбужденную поглощающую среду с $Q(3)$-симметрией (см. [3.1], [3.14]); обобщение на случай $Q(J)$-симметрии очевидно. Для этих симметрий правила отбора для оптических переходов имеют вид $\Delta J=0, \Delta M_{J}=0 ; J$ квантовое число углового момента. В экспериментах [3.10] $J$ есть квантовое число $F=2$ сверхтонкой структуры; кратность вырождения перехода равна $2 F+1=5$; теорема Вигнера Экхарта показывает, что различные матричные элементы суть $\pm p, \pm p / 2,0$ для $\Delta M_{F}=0$ и соответственно $M_{F}= \pm 2, \pm 1,0$; различные величины – $p, p / 2,0$; важны только $p$ и $p / 2$. Уравнение (3.1) с положительным знаком и $\lambda=1$ получается отсюда, как мы покажем ниже, после масштабного преобразования.

Уравнения типа двойного sine-Gordon связаны и с другими физическими задачами: например, они встречаются в квазиодномерной конденсатной теории волн плотности заряда (ВПЗ) для органических линейных проводников типа TTF-TCNQ (тетратиафульвалентетрацианокинодиметан) [3.21]. Эти системы состоят из одномерных органических полимерных цепочек. Скользящие ВПЗ были введены Пайерлсом [3.22] и рассматривались в трансляционно инвариантном случае Фрелихом [3.23], но во встречающихся на практике цепочках соизмеримость нарушает трансляционную инвариантность [3.24], и ВПЗ переходит в периодический «пининг»-потенциал, имеющий в проєтейшем случае вид $\cos M u$, где $u$-конденсированная фаза. Парное кулоновское взаимодействие приводит к возникновению второго потенциала, величина которого при низких температуpax пропорциональна $\cos u$. В случае наличия доминирующей фазы потенциал $V(u) \sim \cos M u+\lambda \cos u$ связывается с физически осмысленным лагранжианом с плотностью $\mathscr{L}[u]=\frac{1}{2} u_{t}^{2}-$ $-\frac{1}{2} u_{x}^{2}-V(u)$ [3.21]. Тогда уравнения движения после масштабного преобразования принимают вид
\[
u_{x x}-u_{t t}=\sin u+\lambda \sin \frac{u}{M} .
\]

вырожденной суперфлюоресценции (см. также ниже разд. 3.2), где, например, среда в неустойчивом усиливающем состоянии, ассоциированном с $c=0$, распадается на устойчивые состояния $u=\delta$ или $4 \pi-\delta$, частично через неустойчивое состояние $c=2 \pi$.

Поскольку $M=2 v^{-1}$, где $v$ – число электронов на атом (или на группу молекул), то $M=4$ для $\mathrm{D}$ (TCNQ) (здесь $^{2} \mathrm{D}$ означает «донорскую» группу), $M=3$ для $\mathrm{D}_{3}(\mathrm{TCNQ})_{2}$; для самого TTF-TCNQ $v=0.58$, что можно приближенно заменить на $v=$ $=1 / 2$ и $M=4$. Легко увидеть на фазовой плоскости лоренцковариантного уравнения (3.3), рассматриваемого в сопутствующей системе, что это уравнение должно вести себя во многом как двойное уравнение sine-Gordon с положительным знаком ‘).

Один из видов двойного СГ-уравнения возник в теории «сшивания» поливинилиденфторида, $\mathrm{PVF}_{2}$ [3.25]. Лютер [3.26] получил квантованное двойное СГ-уравнение как отображение восьмивершинной модели в поле; восьмивершинная модель важна в статистической механике и содержит как частный случай модель Изинга (в этом случае в электрическом поле). Представляется вероятным, что могут найтись и другие приложения уравнений типа двойного СГ-уравнения в статистической механике. Распространение флюксонов в джозефсоновских контактах большой площади (скажем, 1 мм $\times 1$ мм) описывается СГ-уравнением (случай $\lambda=0$ ) – см. гл. 2 или [3.14]; спиновые волны в А-фазе жидкого ${ }^{3} \mathrm{He}$ могут быть интерпретированы как следствие внутреннего эффекта Джозефсона [3.7, 3.14]. Соответствующий источнику член в уравнениях джозефсоновских контактов, как правило, периодический, однако (3.3) может иметь некоторое отношение к этой ситуации (см. [3.27]).

Bсе эти замечания указывают на то, что уравнение (3.1) представляет реальный физический интерес и непосредственно, в задачах оптики и спиновых волн, и косвенно, как уравнение, моделирующее поведение систем типа (3.3). Однако с математической точки зрения, за иск.ючением случая $\lambda=0$, эти системы не являются интегрируемыми и не имеют солитонных решений. На это указывают следующие два результата. Вопервых, нелинейное уравнение Клейна – Гордона
\[
u_{x t}=F(u)
\]

допускает преобразование Бэклунда, если и только если $F^{\prime \prime}(u)+\alpha^{2} F(u)=0$ для некоторого $\alpha$ (см. [3.28], [3.29]); вовторых, оно имеет бесконечный набор полиномиальных законов сохранения (см. гл. 1), если и только если $F^{\prime \prime}(u)+\alpha^{2} F(u)=$ $=0$ [3.30]. То, что уравнение неннтегрируемо при любом выборе знака, полностью подтверждено численным счетом [3.4-3.6, $3.31,3.32]$; сейчас не вызывает сомнения, что пара уединенных волн (решений типа кинков) для уравнения (3.1) с отрицательным знаком и $\lambda=1$ испускает излучение после столкновения
1) По поводу исследования двойного уравнения sine-Gordon в сопутствующей системе методами качественной теории см. [3.14].
[3.32, 3.33] (один такой пример показан на рис. 3.1) ${ }^{1}$ ). В гл. 1 мы приводили аргументы в пользу того, что такое поведение решений не позволяет решать эти уравнения каким-либо из вариантов метода обратной задачи рассеяния (см. также замечание при корректуре в конце этой главы).

Можно было бы сделать из этого вывод, что в этой книге не место для обсуждения уравнения (3.1). Однако уравнение с положительным знаком по меньшей мере близко (в некотором функциональном смысле) к вполне интегрируемому СГуравнению, получающемуся при $\lambda=0$. Сингулярная теория возмущений вблизи СГ-уравнения уже успешно применялась для описания поведения двух простейших решений уравнения (3.1) (см. [3.32], [3.34] – [3.36]); мы вкратце изложим эту теорию в конце настоящей главы.

Ниже мы займемся задачами о вырожденной СИП в разд. 3.2 и о спиновых волнах в ${ }^{3} \mathrm{He}$ в разд. 3.3 ; затем в разд. 3.4 мы дадим набросок теории возмущений. Чтобы закончить разд. 3.1, стоит, вероятно, показать в связи с гл. 5, что прямой метод дает уединенные волны для двойного СГ-уравнения, но не дает двухсолитонных решений.

Чтобы показать это, определим дифференциальный оператор (см. гл. 5)
\[
D_{x}^{m} D_{t}^{n}(a \cdot b)=\left\{\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)^{m}\left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\right)^{n}\left[a(x, t) b\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]\right\}_{\substack{x^{\prime}=x, t^{\prime}=t .}}
\]

Дальнейшие рассуждения таковы: положим

тогда
\[
u=4 \operatorname{arctg}(f / g)
\]
\[
\begin{array}{l}
u_{x}=4 D_{x}(f \cdot g) /\left(f^{2}+g^{2}\right), \\
u_{x t}=4\left[-\left(f^{2}-g^{2}\right) D_{x} D_{t}(f \cdot g)+f g D_{x} D_{t}(f \cdot f-g \cdot g)\right] \times\left(f^{2}+g^{2}\right)^{-2}, \\
\sin \frac{1}{2} u=2 f g\left(f^{2}+g^{2}\right)^{-1} ; \quad \text { sin } u=-4 f g\left(f^{2}-g^{2}\right)\left(f^{2}+g^{2}\right)^{-2} .
\end{array}
\]

Возьмем уравнение (3.1) со знаком + : заменим $(x-t) / 2 \rightarrow x$, $(x+t) / 2 \rightarrow t$, так что
\[
u_{x t}=\sin u+\frac{1}{2} \lambda \sin \frac{1}{2} u,
\]

вместо $\lambda$ поставим $4 \lambda$ и возьмем $\lambda>0$. Уравнение приобретет такую форму:
\[
\begin{array}{l}
-\left(f^{2}-g^{2}\right) D_{x} D_{t}(f \cdot g)+f g D_{x} D_{t}(f \cdot f-g \cdot g)- \\
-\lambda f g\left(f^{2}+g^{2}\right)+f g\left(f^{2}-g^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]
1) В работе [3.28], где обсуждалась интегрируемссть двойного уравнения sine-Gordon, мы были склонны к противоположному выводу. Дальнейшие работы показали, что вопреки свидетельству рисунка 1 цитированной работы значительное излучение возникает в ряде ситуаций.

Естественно положить
\[
\begin{array}{c}
D_{x} D_{t}(f \cdot g)=\mu f g, \\
D_{x} D_{t}(f \cdot f-g \cdot g)=(\mu-1)\left(f^{2}-g^{2}\right)+\lambda\left(f^{2}+g^{2}\right) .
\end{array}
\]

Если мы положим
\[
\begin{array}{l}
f=\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon^{3 f^{(3)}}+\ldots, \\
g=1+\varepsilon^{2} g^{(2)}+\varepsilon^{4} g^{(4)}+\ldots
\end{array}
\]

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, то получим $\mu=1+\lambda$ (при $\varepsilon^{0}$ ), и
\[
f_{x t}^{(1)}=(1+\lambda) f^{(1)}
\]
(при $\varepsilon^{1}$ ). Тогда, если $f^{(1)}=e^{\theta}, \theta=\omega t-k x+\delta$, где $\omega k=-1-\lambda$ (из $\omega, \lambda>0$ следует тем самым, что $k<0$ ), то
\[
g^{(2)}=[-\lambda / 4(1+\lambda)]
\]

а все остальные $f^{(n)}, g^{(n)}$ можно выбрать обращающимися в нуль. Итак,
\[
\begin{aligned}
u & =4 \operatorname{arctg}\left[-\sqrt{1+\lambda^{-1}} / \operatorname{sh} \theta^{\prime}\right], \\
\theta^{\prime} & =\theta+\ln \left[\frac{1}{2} \varepsilon \sqrt{\lambda(1+\lambda)^{-1}}\right]
\end{aligned}
\]

является решением. При $x \rightarrow-\infty, u \rightarrow 0$; при $x \rightarrow+\infty, u \rightarrow$ $\rightarrow 4 \pi$. Это, следовательно, $4 \pi$-кинк постоянной формы. Однако для двухсолитонного решения мы должны были бы положнть, естественно,
\[
f^{(1)}=e^{\theta_{1}}+e^{\theta_{2}} ; \quad \theta_{i}=\omega_{l} t-k_{i} x+\delta_{i} \quad(i=1,2),
\]

где $\omega_{i} k_{i}=-1-\lambda$. Ряды здесь, вообще говоря, не обрываются, за исключением случая $\lambda=0$ (СГ-уравнениё).