Используя соотношения между $\bar{\varphi}, \bar{\psi}$ и $\varphi, \psi$ (см. разд. 6.2), которые имеют место при $r=-q$, уравнение (6А.3) и соответствующее уравнение, в котором $\Psi$ и $\Psi^{A}$ заменены на $\bar{\Psi}$ и $\bar{\Psi}^{A}$, могут быть преобразованы к виду
\[
\int_{-R}^{R}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)\left(\zeta^{\prime}\right)\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)(\zeta) d x=\frac{a^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) e^{2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}-a^{2}(\zeta) e^{-2 l\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}}{2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right)} .
\]

Отсюда находим
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)\left(\zeta^{\prime}\right)\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)(\zeta) d x & \\
& =\pi a^{2} \delta\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) \text { для вещественных } \zeta, \zeta^{\prime}, \\
& =0 \text { для остальных точек, }
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \zeta^{\prime}}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)\left(\zeta_{k}\right)\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)\left(\zeta_{j}\right)= \\
= \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)\left(\zeta_{j}\right) \frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)\left(\zeta_{k}\right)=\frac{i}{2} a_{k}^{\prime 2} \delta_{k j}, \\
\left.\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \zeta^{\prime}}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)\left(\zeta_{i j}\right) \frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)\left(\zeta_{k}\right)=\frac{i}{2} a_{k}^{\prime} a_{k}^{\prime \prime} \delta_{k j} . \quad \text { (6B } .2\right)
\end{array}
\]

Для доказательства инвариантности два-формы
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2} \delta q \wedge \int_{-\infty}^{x} d y \delta q\right) d x
\]

возьмем $\delta q$ согласно (6.134), а для $\int_{-\infty}^{x} d y \delta q$ проинтегрируем (6.139):
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{x} d y \delta q= & \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d \zeta \delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)\left(\frac{\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}}{2 i \zeta}-\lim _{R \rightarrow \infty} \frac{e^{2 i \zeta R}}{2 i \zeta}\right)- \\
& -2 i \sum_{1}^{N} \delta \beta_{k}\left(\frac{\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}}{2 i \zeta}-\lim _{R \rightarrow \infty} \frac{e^{2 i \zeta R}}{2 i \zeta}\right)_{\zeta_{k}}- \\
& -2 i \sum_{1}^{N} \beta_{k} \delta \xi_{k} \frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\frac{\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}}{2 i \zeta}-\lim _{R \rightarrow \infty} \frac{e^{2 i \zeta R}}{2 i \zeta}\right)_{\zeta_{k}} .
\end{aligned}
\]

Члены, связанные со значениями $\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}$ на $-\infty$, дают вклады, которыми можно пренебречь. Возможность пренебречь вкладом подынтегрального выражения следует из леммы Римана – Лебега и того, что оно равно нулю при $\zeta=0$. Вклады членов, входящих в сумму, убывают экспоненциально, поскольку $\operatorname{Im} \zeta_{k}>0$. После несложных вычислений, использующих (6B.2), можно показать, что (6B.4) дает
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 \operatorname{li\zeta }} \delta \ln b(\zeta) \wedge \ln a a^{*}+\sum_{k=1}^{N} \delta \ln b_{k} \wedge \delta \ln \zeta_{k}= \\
=\int_{0}^{\infty} \delta \frac{\ln a a^{*}}{-2 \zeta \pi} \wedge \delta \operatorname{Arg} b(\zeta) d \zeta+\sum_{k=1}^{N} \delta\left(-\ln \zeta_{k}\right) \wedge \delta \ln b_{k} .
\end{array}
\]

Следовательно, сопряженными переменными в пространстве данных рассеяния являются $\left[-\frac{1}{2 \zeta \pi} \ln a a^{*}, \operatorname{Arg} b(\zeta)\right]$ для положительных и вещественных $\zeta$ и $\left(-\ln \xi_{k}, \ln b_{k}\right)$. Для специальных классов интегрируемых гамильтоновых систем, рассмотренных выше, эти пары являются переменными типа действиеугол.