Одномерная задача о взаимодействующих скалярных фермионах сыграла основную роль в недавних успехах теоретической физики. Это не только центральная задача для различных полей, но она также входит конструктивным элементом в более сложные модели. Проблема имеет много разных названий. С параметрами, инвариантными относительно преобразований Лоренца, она известна под названием массивной модели Тирринга [12.1]. Если привести ее к виду, согласующемуся с теорией ферми-жидкости, то получим (массивную) модель Латтинджера [12.2]. На решетке она называется $X Y Z$-моделью со спином $1 / 2$ (см. $[12.3],[12.4]$. С помощью трансфер-матрицы она может быть связана с двумерной моделью Изинга и восьмивершинной моцелью [12.3]. По сути дела все перечисленные модели эквивапентны квантовому СГ-уравнению [12.5], прототипом которого является одномерное нелинейное уравнение, и квантовые солитоны – просто другое название для фермионов или спиновых волн. Все эти модели связаны с одной хорошо известной моделью статистической механики, а именно с восьмивершинной моделью [12.3]. Точное вычисление спектра собственных значеиий в $X Y Z$-модели со спином $1 / 2$ было сделано Джонсоном, Кринским и Маккоем [12.4] с помощью обобщения методов, развитых Бакстером для восьмивершинной модели [12.3]. Имеются простые физические идеи, которые связывают континуальные теории поля с дискретной цепочкой спинов [12.6]. Целью настоящей главы является рассмотрение некоторых из этих моделей, связей между ними и вычисление спектров их собственных значений.

Здесь невозможно обсудить все модели достаточно глубоко. Хотя по некоторым из них существует литература, адекватно отражающая положение дел ([12.1], [12.2]), часть материала еще должна быть обдумана и понята. Действительно, нужно еще многое сделать. Например, хорошо понят одночастичный спектр в задаче о массивных фермионах, но еще очень мало результатов по корреляционным функциям. Остаются также технические трудности в установлении связей между различными моделями в некоторых областях значений параметров [12.7].

Существенный интерес представляют недавние предложения, касающиеся $S$-матрицы [12.8] в задаче о массивных фермионах. Ее расчет на основании микроскопической модели несомненно стал бы огромным достижением. Очевидно, что эги области привлекут большое внимание, а успехи в решении задачи о спектpax собственных значений внушают надежды на полное решение задачи в недалеком будущем.

Цель данной работь состоит в том, чтобы указать связь между одномерной фермионной задачей и $X Y Z$-моделью со спином $1 / 2$ для цепочки спинов и из снектра последней получить спектр фермионов. Полное математическое обсуждение связей между различными моделями не может быть здесь представлено, но приводятся эвристические соображения, которые могут открыть полезную перспективу. Даже если ограничиться областыо квантовых солитонов, то здесь уже имеется общирная литература, часть которой приведена в гл. 1. Канонический формализм в классическом случае описывается Фаддеевым в гл. 11. Полуклассическое квантование рассмотрено в работе [12.9] Фаддеева и Корепина. Они подчеркивают, что квантовые солитоны получаются при квантовании переменных действие – угол. Прекрасным примером является СГ-уравнение (изучавшееся также Буллафом и Доддом [12.10]) и нелинейное уравнение Шрёдингера (оно рассматривалось также Қаупом). Мы здесь не касаемся канонической формулировки теории поля и не пытаемся связать методы теории поля, основанные на каноническом формализме, с методами статистической механики. Мы ограничиваемся только замечаниями о том, что ответы одинаковы там, где их можно сравнивать.

Из обширной литературы по статистической механике ниже обсуждаются только работы, имеющие прямое отношение к теме данной главы, т. е. посвященные вычислению спектров. Работы, касающиеся применений к физическим системам в области фазовых переходов, квазиодномерных проводников и одномерных магнитных цепочек, не рассматриваются.

Даже в оставшейся узкой области невозможно сделать адекватный обзор, не обременяя читателя массой технических деталей или не докучая знатокам хорошо известными или неадекватными рассуждениями и доказательсгвами. Эти опасности компенсируются возможностью стимулировать интерес к какой-нибудь удивительно универсальной проблеме, пересекающей междисциплинарные границы в невиданной до сих пор степени. Несомненно, что осмысление такой проблемы со всех возможных точек зрения и их объединение было бы удовлетворительной компенсацией.

Новым техническим моментом настоящей работы является введение «непрерывного предела», что дает возможность заменить непрерывную механику дискретной. После решения дискретной задачи переход к непрерывному пределу совершается путем устремления расстояния между точками к нулю и одновременного подходящего переопределения операторов. В теории поля подобная процедура называется перенормировкой. В одномерной фермионной задаче она может быть осуществлена в явном виде. Где-то под этим «непрерывным пределом» скрывается универсальная проблема, представляющая общий интерес.

Конечно, притягательная сила этой универсальной проблемы связана с чем-то большим, чем междисциплинарный интерес. Существует много задач, казалось бы не связанных друг с другом, но которые, тем не менее, могут быть сведены к одной, и ее решение даст решение для всех.

Учитывая некоторые общие характеристики одномерной фермионной задачи, такие как скалярная симметрия, лоренцева инвариантность и локальность, можно утверждать, что именно она является такой ключевой задачей. Қак раз на эту задачу и на описание ее многогранной уникальности я хочу теперь обратить внимание читателя.