Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
\[
q_{t}(x, t)=i \omega(\partial / \partial x, t) q(x, t),
\]

где $\omega(z, t)$-целая функция переменной $z$. Решение задачи Коши для него может быть записано в краткой форме с помощью «резольвентной формулы»
\[
q(x, t)=\exp \left\{i \int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \omega\left(\frac{\partial}{\partial x}, t^{\prime}\right)\right\} q\left(x, t_{0}\right) .
\]

Несложно вывести аналогичную (хотя намного более условную) формулу для нелинейных эволюционных уравнений (9.25). Для этого надо сравнить (9.97), (9.98) (справедливые даже в том случае, когда $f$ и $g$ зависят от $t$ ) с (9.28) [9.1]. Получим
\[
a_{\mu}\left(\Lambda, t_{0}, t\right)\left[\sigma_{\mu} Q\left(x, t_{0}\right)-Q(x, t) \sigma_{\mu}\right]+b_{\mu}\left(\Lambda, t_{0}, t\right) \Gamma \sigma_{\mu}=0,
\]

где $a_{\mu}$ и $b_{\mu}$ определяются из
\[
\begin{array}{l}
{\left[a_{\mu}\left(z^{2}, t_{0}, t\right)+z b_{\mu}\left(z^{2}, t_{0}, t\right)\right] \sigma_{\mu}=} \\
=\exp \left\{z \int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \beta_{0}\left(z^{2}, t^{\prime}\right)\right\} \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(z^{2}\right)+z \beta_{n}\left(z^{2}\right)\right] \sigma_{n} V\right\} .
\end{array}
\]

Операторы $\Lambda$ и $\Gamma$ определяются из (9.13), (9.14) при $Q^{\prime}(x)=$ $=Q(x, t)$ и $Q(x)=Q\left(x, t_{0}\right)$.

В заключение заметим, что сходным образом можно связать решение НЭУ вида (9.25), вычисленное для времени $t^{\prime}$, с решением другого уравнения того же вида, вычисленным для времени $t$. Подобные преобразования называются обобщенными преобразован:ями Бэклунда [9.1].