В разд. 6.5, 6.6 рассматривались эволюционные уравнения, в которых обе зависимые переменные удовлетворяли одному и тому же дисперсионному соотношению. Было показано, что это приводит к системам, обладающим бесконечным набором интегралов движения.

В этом разделе будет проанализирован случай, когда $q$ и $r$ удовлетворяют двум различным дисперсионным соотношениям.
Зададим движение данных рассеяния $S_{-}$уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)=2 M \frac{\bar{b}}{a}, \quad \delta\left(\frac{b}{\vec{a}}\right)=-2 \bar{M} \frac{b}{\bar{a}}, \\
\delta \beta_{k}=2 m_{k} \beta_{k}, \quad \delta \zeta_{k}=2 Z_{k}, \quad k=1, \ldots, N, \\
\delta \bar{\beta}_{k}=-2 \bar{m}_{k} \bar{\beta}_{k}, \quad \delta \bar{\zeta}_{k}=-2 \bar{Z}_{k}, \quad k=1, \ldots, \bar{N} .
\end{array}
\]

Тогда из (6.55) вытекает
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right)=-\frac{2}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(M \frac{\bar{b}}{a} \Psi^{A}+\bar{M} \frac{b}{\bar{a}} \bar{\Psi}^{A}\right) d \zeta+ \\
+4 i \sum_{k=1}^{N}\left(m_{k} \beta_{k} \Psi_{k}^{A}+\beta_{k} Z_{k} \chi_{k}^{A}\right)-4 i \sum_{k=1}^{\bar{N}}\left(\bar{m}_{k} \bar{\beta}_{k} \bar{\Psi}_{k}^{A}+\bar{\beta}_{k} \bar{Z}_{k} \bar{\chi}_{k}^{A}\right) .
\end{array}
\]

Поставим вопрос: существует ли оператор $\Omega$, действующий на вектор $\left(\begin{array}{l}r \\ q\end{array}\right)$ так, что

причем по-прежнему получатся уравнения, представляющие практический или теоретический интерес? Удобно ввести функции
\[
\tilde{\Psi}(x, \zeta)=\left(\begin{array}{l}
\psi_{1} \bar{\psi}_{1} \\
\psi_{2} \bar{\psi}_{2}
\end{array}\right), \quad \tilde{\Psi}^{A}(x, \zeta)=\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2} \bar{\varphi}_{2} \\
-\varphi_{1} \bar{\varphi}_{1}
\end{array}\right),
\]

Можно показать, что (для удобства обозначений предположим, что $q$ и $r$ финитны, а значит, $\bar{b} / a$ и $b / \bar{a}$ аналитичны)
\[
\tilde{\Psi}^{A}(x, \eta)=-\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{\bar{b}}{a} \frac{1}{\zeta-\eta} \Psi^{A} d \zeta-\frac{1}{2 \pi i} \int_{\bar{C}} \frac{b}{\bar{a}} \frac{1}{\zeta-\eta} \bar{\Psi}^{A} d \zeta .
\]

Здесь $C, \bar{C}$-контуры, такие же как и в разд. 6.4. Функция $\widetilde{\Psi}^{A}(x, \eta)$ определена лишь для вещественных $\eta$ и для собственных значений $\zeta_{k}, \bar{\zeta}_{k}$. Для того чтобы $\widetilde{\Psi}^{A}$ стремилась к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$, для вещественных $\eta$ необходимо потребовать $b(\eta)=$ $=\bar{b}(\eta)=0$. Рассмотрим взвешенное среднее от функции $\widetilde{\Psi}^{A}(x, \eta)$ на вещественной оси $\eta$
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) \tilde{\Psi}^{A}(x, \eta) d \eta
\]

где функция $g(\eta)$ аналитическая в полосе, содержащей вещественную ось, и допускающая разложение Винера – Хопфа
\[
g(\eta)=\frac{2}{\pi}[\bar{M}(\eta)-M(\eta)],
\]

где $M$ и $\bar{M}$ аналитические при $\operatorname{Im} \eta>0(\operatorname{Im} \eta<0)$. Например, для данной аналитической в окрестности Im $\eta=0$ функции $g(\eta)$ можно записать
\[
M(\eta)=-\frac{i}{4} \int_{C_{u}} \frac{g(\alpha) d \alpha}{\eta-\alpha}, \quad \bar{M}(\eta)=-\frac{i}{4} \int_{C_{A}} \frac{g(\alpha) d \alpha}{\eta-\alpha} .
\]

Қонтуры $C_{u}$ и $C_{A}$ проведены вдоль вещественной оси над и под полюсом в точке $\alpha=\eta$ соответственно. Частным, но полезным выбором $g(\eta)$ является лоренцево уширение
\[
g(\eta)=\frac{\beta}{\pi\left(\eta^{2}+\beta^{2}\right)}=\frac{2}{\pi}\left[\left(-\frac{i}{4}\right) \frac{1}{\eta-i \beta}-\left(-\frac{i}{4}\right) \frac{1}{\eta+i \beta}\right]
\]

Используя (6.99), получим
\[
\begin{array}{r}
\int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) \tilde{\Psi}^{A}(x, \eta) d \eta=-\frac{2}{\pi} \int_{C} \frac{\bar{b}}{a} \Psi^{A} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{M}-M}{\zeta-\eta} d \eta d \zeta- \\
-\frac{2}{\pi} \int_{\bar{c}} \frac{b}{\bar{a}} \bar{\Psi}^{A} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{M}-M}{\zeta-\eta} d \eta d \zeta= \\
=-\frac{2}{\pi} \int_{c} M(\zeta) \frac{\bar{b}}{a} \Psi^{A} d \zeta-\frac{2}{\pi} \int_{\bar{C}} \bar{M}(\zeta) \frac{b}{\bar{a}} \bar{\Psi}^{A} d \zeta
\end{array}
\]

Здесь при интегрировании по контуру в верхней (нижней) полуплоскости подставлены соответствующие выражения, содержащие $M(\bar{M})$. Напомним, что в первом члене интегрирование ведется при $\operatorname{Im} \eta \geqslant 0$, а во втором при $\operatorname{Im} \eta \leqslant 0$.
Выражение (6.104) совпадает с (6.97), если положить
\[
m_{k}=M\left(\zeta_{k}\right), \quad \bar{m}_{k}=\bar{M}\left(\bar{\zeta}_{k}\right), \quad Z_{k}=\bar{Z}_{k}=0 .
\]

Таким образом, система состоит из уравнения
\[
\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) \tilde{\Psi}^{A}(x, \eta) d \eta
\]

и уравнения, связывающего $\widetilde{\Psi}^{A}$ с потенциалами $r$ и $q$,
\[
\left(L^{A}-\eta\right) \tilde{\Psi}^{A}=\frac{i}{2}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) .
\]

Эта система обратным преобразованием рассеяния сводится к тривиально интегрируемой системе (6.96). Заметим, что так как $\bar{b}$ ассоциировано с $r$, а $b$ ассоциировано с $q$, то $M(\zeta)$ отвечает за эволюцию $q$, а $\bar{M}(\zeta)$ за эволюцию $r$.