Если распределение $g(\cdot)$ известно, данные рассеяния $\Sigma(x=0)$ определяют $\Sigma(x)$ согласно формулам (2.85). Этот факт приводит нас к идее рассматривать среду при $x=0$ как прибор, измеряющий $\Sigma(x=0)$. По этим результатам измерения мы можем построить $E(t, x)$, используя (2.85) и уравнение Марченко.

Рассмотрим. сначала импульс специальной формы, возвращающий после его прохождения все осцилляторы в измерительном приборе при $x=0$ в исходное положение. Для такого специального импульса $R(\zeta, x=0)$ равно нулю для всех вещественных $\zeta$, и ядро $\hat{R}(t+y, x=0)$ сводится к конечной сумме по дискретному спектру. Если все сводится к конечной сумме при $x=0$, то в силу (2.85) $\hat{R}$ будет конечной суммой и при любых $x$. В этом случае уравнение Марченко сводится к конечномерной линейной алгебраической системе [2.5, 2.11, 2.66], решения которой дают $N$-солитонные формулы. (Здесь $N$ обозначает количество собственных значений и размер алгебраической системы.) Эти $N$-солитонные решения являются импульсами, не претерпевающими искажений.

Односолитонная волна получается, если имеется ровно одно собственное значение, $\zeta_{1}=\xi+i \eta$. В этом случае форма волны дается (см. [2.67], [2.68]) равенством
\[
E(x, t)=4 \eta \exp \left[-i\left(\varphi_{0}+\omega_{1} x-2 \xi t\right)\right] \operatorname{sech}\left[\theta_{0}+\omega_{2} x-2 \eta t\right] .
\]

Здесь $\omega_{1}+i \omega_{2}=-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\zeta_{1}-\zeta^{\prime}\right)^{-1} g\left(\zeta^{\prime}\right) d \zeta^{\prime}$, а константы $\theta_{0}$ и $\varphi_{0}$ связаны с нормировочной константой $\bar{c}_{1}=-2$ i $\exp \left(-\theta_{0}\right)$. $\cdot \exp \left(i \varphi_{0}\right)$. Это – комплексный импульс, амплитуда которого $4 \eta \operatorname{sech}(\cdot)$; он распространяется со скоростью $2 \eta / \omega_{2}$, а его фазовая скорость равна $2 \xi / \omega_{1}$. Подчеркнем, что мнимая часть собственного значения $\zeta_{1}$ определяет максимум амплитуды $E$ и с точностью до $\omega_{2}$ скорость огибающей, в то время как вещественная часть $\zeta_{1}$ (с точностью до множителя $\omega_{1}$ ) определяет фазовую скорость. В литературе это решение известно под разными названиями – солитон, кинк, $2 \pi$-импульс; оно аналогично $2 \pi$-импульсу разд. 2.2.1 за исключением того, что фаза $\varphi$ здесь не обязана быть равной нулю. Нелишне отметить, что линейная зависимость этого фазового члена от пространственных и временных переменных подтверждает сделанные в работах [2.13], [2.14], [2.38] предположения, а также экспериментальные результаты [2.40]-[2.42].

Если имеется более одного собственного значения, возникают многосолитонные решения. Интересен частный случай, где два солитона имеют одинаковую скорость огибающей. Такой импульс имеет нулевую площадь и известен в литературе под различными именами – «0л-импульс», «дублет», «бризер». Его можно рассматривать как двухсолитонное связанное состояние, или как локализованную волну с внутренней степенью свободы. Его характерные черты лучше всего могут быть описаны в упрощенной ситуации, где нет доплеровского расползания. В этом случае $g(\zeta)=\delta(\zeta)$, и, как мы видели, динамика сводится к уравнению sine-Gordon (2.21). Импульс вещественный, а собственные значения или лежат на мнимой оси и- представляют солитоны, или встречаются сопряженными парами ( $\left.\zeta,-\zeta^{*}\right)$ и представляют «бризеры». Эти бризеры перемещаются с постоянной скоростью без затухания и возникают при взаимодействии, вызывающем только сдвиг фазы – точности как соли-
Рис. 2.3. График решения типа бризера.

тоны. Вдобавок они пульсируют, как это видно из аналитической формулы (см. [2.18])
\[
E(t, x)=8 \eta \operatorname{sech} \theta \frac{\sin \varphi+(\eta / \xi) \text { th } \theta \cos \varphi}{1+(\eta / \xi)^{2} \operatorname{sech}^{2} \theta \cos ^{2} \varphi},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\varphi \equiv \varphi_{0}+\omega_{1} x-2 \xi t, \\
\theta \equiv \theta_{0}+\omega_{2} x-2 \eta t .
\end{array}
\]

Типичный график изображен на рис. 2.3. Такой бризер имеет 4 степени свободы: величина $\operatorname{Re}\left\{\zeta_{1}\right\}=-\operatorname{Re}\left\{\zeta_{2}\right\}=\xi$, определяющая фазовую скорость, связана с эффектом пульсации; $\operatorname{Im}\left\{\zeta_{1}\right\}=$ $\operatorname{Im}\left\{\zeta_{2}\right\}=\eta$ определяет амплитуду; комплексное число $\bar{c}_{1}$ определяет положение импульса. Из формул разд. 2.3.3 можно вывести, что энергия бризера немного меньше, чем энергия двухсолитонного состояния; поэтому о бризере часто говорят как о связанном двухсолитонном состоянии. Эффект пульсации может рассматриваться как проявление наличия внутренней степени свободы: Такая точка зрения превалирует среди изучающих квантованное уравнение sine-Gordon в качестве модели нелинейной теории поля, поскольку лишние степени свободы являются возможным источником спектра масс (см. [2.32], $[2.33],[2.67])$.

В общем случае осцилляторы, входящие в наш измерительный прибор при $x=0$, после прохождения импульса не все вернутся в основное состояние, но останутся «звенеть» в некотором смешанном состоянии. В этом общем случае структура решения может все же быть получена при помощи уравнений Марченко. Хотя $R(\xi, x)$ и не равно нулю, в ядре $\hat{R}$ все же доминируют дискретные составляющие, поскольку дискретная сумма экспоненциальна при больших $x$, в то время как вклад от непрерывного спектра много меньше. (Для большинства функций распределения $g$ этот вклад экспоненциально мал в большинстве областей пространства. В худшем случае он убывает степенным образом.) Таким образом, для больших $x$ общий импульс $E$ распадается в сумму солитонов и бризеров, упорядоченных по скорости, а также затухающего вклада от непрерывного спектра, единственное реальное значение которого состоит в том, чтобы обеспечить причинность [2.43]. Но гораздо более важной характерной чертой поля $E$ в ослабителе является наличие дискретных составляющих. (В усиливающей среде непрерывные составляющие более существенны. В этом случае могут оказаться полезными различные асимптотические вычисления $[2.25,2.27,2.28]$, использующие метод стационарной фазы.)