В этом приложении мы дадим вывод уравнений Марченко, более прямой, чем тот, который обычно встречается в литературе. Различные фрагменты этого приложения содержатся

в $[2.5],[2.8],[2.22],[2.23],[2.85]-[2.88]$. Наш вывод непосредственно связан с важной работой [2.89] и может быть найден в $[2.90]$.

Начнем с рассмотрения следующей «задачи рассеяния», записанной на спектральном языке:
\[
\begin{array}{c}
{\left[i\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \partial_{t}-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}
0 & E(t) \\
E^{*}(t) & 0
\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}(t, \zeta) \\
\psi_{2}(t, \zeta)
\end{array}\right)=\zeta\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}(t, \zeta) \\
\psi_{2}(t, \zeta)
\end{array}\right)} \\
\psi(t, \zeta) \simeq\left(\begin{array}{c}
0 \\
T(\zeta)
\end{array}\right) e^{i \zeta t} \text { при } \quad t \rightarrow+\infty \\
\psi(t, \zeta) \simeq\left(\begin{array}{c}
R(\zeta) e^{-i \zeta t} \\
e^{i \zeta t}
\end{array}\right) \text { при } \quad t \rightarrow-\infty
\end{array}
\]

та же самая задача рассеяния на каузальном языке записывается в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{cc}
\partial_{t}-\partial_{y} & \frac{-E(t)}{2} \\
\frac{E^{*}(t)}{2} & \partial_{t}+\partial_{y}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\hat{\psi}_{1}(t, y) \\
\hat{\phi}_{2}(t, y)
\end{array}\right)=0, \quad t<y, \\
\hat{\psi}(t, y)=0, \quad t>y, \\
\hat{\psi}(t, y) \simeq\left(\begin{array}{c}
\hat{R}(t+y) \\
\delta(t-y)
\end{array}\right) \text { при } t \rightarrow-\infty \\
\simeq\left(\begin{array}{c}
0 \\
\hat{T}(t-y)
\end{array}\right) \text { при } t \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Разумеется, эти два представления эквивалентны, и связь между ними осуществляется преобразованием
\[
\hat{\psi}(t, y) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma_{\mathrm{a}}} e^{-i \xi y} \psi(t, \zeta) d \zeta,
\]

где путь интегрирования $\Gamma_{a}$ идет от $-\infty$ до $\infty$, обходя сверху все полюсы функции $\psi(t, \zeta)$. Такой выбор пути интегрирования обеспечивает зануление каузального представления при $t>y$. (Полюсы функции $\psi$ являются полюсами $T(\zeta)$, т. е. нулями величнны $[\bar{a}(\zeta)]^{*}=[T(\zeta)]^{-1}$.) Предположим для простоты, что $E$ зануляется вне конечного интервала по $t$. В этом случае асимптотические граничные условия означают просто «вне носителя $E$ »; весьма полезно изобразить каузальное представление задачи рассеяния так, как на рис. 2.4.

Оказывается, что каузальное представление является наиболее удобным средством для вывода уравнений Марченко, являющихся основными уравненяями метода обратной задачи. С другой стороны, спектральное представление дает больше информации о структуре, поведении и свойствах решения этих уравнений и тем самым о поле $E$.

Вывод интегральных уравнений Марченко осуществляется за два шага. Вопервых, рассмотрим какоенибудь решение $\varphi^{F}$ «свободной задачи» ( (2A.2) при $E=0)$. Определим оператор преобразования $R$, который переводит любое такое свободное решение в решение $\varphi$ полной задачи $((2 A .2)$ с $E
eq 0)$, совпадающее с $\varphi^{F}$ при $t \rightarrow-\infty$ : $\varphi(t, y)=\varphi^{F}(t, y)+$
\[
+\int_{-\infty}^{t} K\left(t, y^{\prime}\right) \varphi^{F}\left(y^{\prime}, y\right) d y^{\prime} .
\]

Требование, чтобы $\varphi$ было бы решением полной зада-
Рис. 2.4. Қаузальное представление задачи рассеяния. Заштрихованная область соответствует носителю $E$. Поле $\psi$ падает слева и имеет вид дельта-функции. Отраженная компонента обозначена через $R$, проходящая через $\hat{T}$, в области $t>y$ поле $\psi$ зануляется. чи при условии, что $\varphi^{F}$ решение свободной, немедленно приводит к уравнениям для матрицы $K$
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \partial_{t} K+\partial_{y^{\prime}} K\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
0 & E \\
E^{*} & 0
\end{array}\right) K=0, \quad t>y^{\prime} \\
K=0, \quad t<y^{\prime} \\
\lim _{y^{\prime} \rightarrow-\infty} K\left(t, y^{\prime}\right)=0 \text {; } \\
\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) K(t, t)-K(t, t)\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
0 & E(t) \\
E^{*}(t) & 0
\end{array}\right) . \\
\end{array}
\]

Обратно, задача (2A.3) с данными на характеристике, изображенная на рис. 2.5 , однозначно определяет $K$. Более того, если ядро $K$ известно, граничное условие (2A.3b) выражает поле $E$ через значение $K_{12}$ на диагонали:
\[
E(t)=4 K_{12}(t, t) .
\]

Таким образом, если мы найдем ядро $K$ по спектральным данным, мы найдем импульс $E$.

Вторым шагом в выводе уравнений Марченко является получение интегральных уравнений для $K$ с ядром, выражаюшимся через данные рассеяния $\Sigma$. Этот второй шаг начинается
Рис. 2.5. Задача для $K$ с данными на характеристике.

с того, что мы рассматриваем ядро $K$ как известное и используем его для получения каузального представления задачи рассеяния. Здесь свободная волна имеет вид $\left(\begin{array}{c}\hat{R}(t+y) \\ \delta(t-y)\end{array}\right)$, и полная волна $\hat{\psi}$ (совпадающая со свободной при $t \rightarrow-\infty$ ) имеет вид
\[
\hat{\psi}(t, y)=\left(\begin{array}{c}
\hat{R}(t+y) \\
\delta(t-y)
\end{array}\right)+\int_{-\infty}^{t} K\left(t, y^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c}
\hat{R}\left(y^{\prime}+y\right) \\
\delta\left(y^{\prime}-y\right)
\end{array}\right) d y^{\prime} .
\]

Используя зануление $\hat{\psi}(t, y)$ при $t>y$, сведем эти уравнения к тождеству
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\hat{R}(t+y) \\
0
\end{array}\right)+K(t, y)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+ \\
\quad+\int_{-\infty}^{t} K\left(t, y^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c}
\hat{R}\left(y^{\prime}+y\right) \\
0
\end{array}\right) d y^{\prime}, \quad t>y .
\end{array}
\]

Это тождество можно рассматривать как интегральное уравнение (уравнение Марченко), решения которого определяют ядро $K$ по отраженной волне $R^{1}$ ). Такой вывод уравнений Марченко, как нам кажется, является наиболее прямым, поскольку он минимизирует выкладки; тем не менее, чтобы найти $K$ (и, следовательно, $E$ ), представляется необходимым использовать спектральное представление отраженной волны $\hat{R}$.

Поскольку $\psi_{1}(t, \zeta) \simeq R(\zeta) \exp (-i \zeta t)$ при $t \rightarrow-\infty$, его преобразование дает важное представление
\[
\hat{R}(t+y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma_{a}} R(\zeta) e^{-i \zeta(t+y)} d \zeta,
\]

где контур $\Gamma_{a}$, как мы напомним читателю, выбирается лежащим выше всех полюсов величины $R(\zeta)$. Чтобы продеформировать контур $\Gamma_{a}$ в вещественную ось, используем вычисление вычетов, что приводит к эквивалентному представлению
\[
\hat{R}(t+y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R(\zeta) e^{-i \zeta(t+y)} d \zeta-\left.i \sum_{j=1}^{N} e^{-\zeta_{j}(t+y)} \frac{d}{d \zeta} R(\zeta)\right|_{\zeta-\zeta_{j}} .
\]

Таким образом, данные рассеяния $\Sigma$ определяют $R$ и, следовательно, $E$ при помощи уравнений Марченко.

Представление (2А.6) справедливо для всех значений $x$; однако, комбинируя его с выражениями (2.85), дающими эволюцию по $x$, получаем выражение $\hat{R}(t+y, x)$ через $\Sigma(x=0)$ :
\[
\begin{array}{l}
\hat{R}(t+y, x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d \zeta \exp -i[\zeta(t+y)+ \\
\left.\left.+\frac{x}{2} \int_{\Gamma_{u}} \frac{g\left(\zeta^{\prime}\right)}{\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right)} d \zeta^{\prime}\right]\right\} R(x=0, \zeta)-i \sum_{j=1}^{N} \exp \left\{-i\left[\zeta_{j}(t+y)+\right.\right. \\
+\left.\left.\frac{x}{2} \int_{\mathrm{\Gamma}_{u}} \frac{g\left(\zeta^{\prime}\right)}{\left(\zeta_{j}-\zeta^{\prime}\right)} d \zeta^{\prime}\right]\right\} \bar{C}_{j}(x=0)
\end{array}
\]
– В заключение нам приятно поблагодарить проф. Флашку, прочитавшего предварительный вариант этой статьи и сделавшего много полезных замечаний.
1) Важно учесть, что $K$ в уравнении (2А.5) имеет вид
\[
K=\left(\begin{array}{cc}
K_{22}^{*} & K_{12} \\
-K_{13}^{*} & K_{22}
\end{array}\right), \quad \text { что вытекает из (2А,3). }
\]