Все нелинейные эволюционные уравнения, обсуждаемые в этой главе, допускают бесконечную последовательность законов сохранения. Точные выражения для этих сохраняющихся величин получим для следующего нелинейного эволюционного уравнения
\[
\begin{aligned}
Q_{t}(x, t)=[A(t), Q(x, t)]+ & \left\{B(t), Q_{x}(x, t)\right\}+ \\
+ & {[Q(x, t),[W(x, t), B(t)]] . }
\end{aligned}
\]

Здесь $A(t)$ и $B(t)$ суть произвольные $N$-мерные матрицы. В уравненни использовано обозначение (9.104). Уравнение бумерона соответствует (9.110) при $N=2$ и постоянных бесследовых матрицах $A$ и $B$.
Сохраняющиеся величины даются [9.1] формулой
\[
c_{m}=\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} d x \operatorname{tr}\left[W^{(m)}(x, t)\right],
\]

где матрицы $W^{(m)}$ определены рекуррентным соотношением
\[
W^{(m+1)}(x, t)=W_{x}^{(m)}(x, t)+\sum_{l=1}^{m-1} W^{(l)}(x, t) W^{(m-l)}(x, t)
\]

при
\[
W^{(1)}(x, t)=W_{x}(x, t)=-Q(x, t) .
\]

Нетривиальные законы сохранения получаются лишь для $c_{2 n+1}$, поскольку все величины с четными номерами обращаются в нуль.

Первые три интеграла имеют вид
\[
\begin{aligned}
c_{1} & =-\frac{1}{4} \operatorname{tr}\left\{\int_{-\infty}^{+\infty} d x Q(x, t)\right\}, \\
c_{3} & =\frac{1}{4} \operatorname{tr}\left\{\int_{-\infty}^{+\infty} d x[Q(x, t)]^{2}\right\}, \\
c_{5} & =-\frac{1}{4} \operatorname{tr}\left\{\int_{-\infty}^{+\infty} d x\left(2[Q(x, t)]^{3}+\left[Q_{x}(x, t)\right]^{2}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]